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OndasdeMateriaEcuacióndeSchrödinger
Física3‐2012FacultaddeIngenieríaUNMDP
ProblemasabiertosdelafísicaclásicaafinesdelsigloXIXAntecedentesdelamecánicacuántica
Radiacióndecuerponegro Efectofotoeléctrico
• Todocuerpoatemperaturamayora0Kemiteradiaciónentodoelespectrodefrecuencias.
• Elespectrodeemisióndependetantodelafrecuenciacomodelatemperatura.
• Uncuerponegromodelauncuerpoqueescapazdeabsorbertodalaradiaciónqueincidesobreél.
• Luzincidentesobreunmetalconunafrecuenciamayoraciertoumbralproduceunacorriente.
• Lacorrienteapareceenformacasiinstantánea,aunparaluzdemuybajaintensidad.
• Lacorrienteesproporcionalalaintensidadquellegaalasuperficiedelmetal.
Observacionesexperimentales
Conformelatemperaturaaumentacrecelapotenciaemitidayelpicodeladistribuciónsecorrehacialongitudesdeondamascortas,del
infrarrojoalultravioleta.
RadiacióndecuerponegroObservacionesexperimentales
Termografía
TodocuerpocontemperaturaT>0Kemiteradiación.
RadiacióndecuerponegroPrediccionesdelateoríaclásicaylasolucióndePlanck
Prediccióndelateoríaclásica
Lateoríadelelectromagnetismoclásico,predicequeuncuerponegroidealenequilibriotérmico
debeemitirenergíaentodoslosrangosdefrecuencia;demaneraqueamayorfrecuencia,mayorenergía.Estodaalugaralfenómenoconocidocomocatástrofedelultravioleta.
TeoríadePlanck(1900)
SoluciónUncuerponegropuedeemitirradiaciónenpaquetesdiscretosocuantos,conenergías,quesonmúltiplosdelaenergía
E=hfdondehesunaconstanteyfesla
frequenciadelaradiación.
h=6.62x10‐34JoulesecSurgeasíunanuevaconstantefundamentaldelanaturaleza,quedeterminadóndecobran
relevancialosfenómenosaescalamicroscópica.
EfectofotoeléctricoRatificaelconceptode“cuanto”quesurgeenlateoríadePlanck
Solución
Prediccióndelateoríaclásica
Conelelectromagnetísmoclásiconoeraposibleexplicarlaexistenciadeunafrecuenciaumbralnilaemisióncuasi‐instantáneadelosfotoelectrones.
TeoríadeEinstein(1905)• Laluzestácompuestaporpartículasllamadasfotones• AsíunfotónalinteractuarconelelectróntieneunaEnergíaE=hf.ProductodeestainteracciónlaenergíafinaldelelectrónseráEk=hf–φ, dondeφeslafuncióntrabajodelmetal.Dadoqueeleventoesunacolisión,laemisiónesinstantaneaylageneracióndefotoelectronesesunoaunoconrespectoalosfotonesincidentes.
OtrasevidenciasdelosfotonesLaprolongadaexposiciónarayosUVgenerancáncerdepiel(MELANOMA)dadoquelaenergíadelosfotonesUV(~1eV)estáenelordendelaunionesquímicaenlasmoléculasdenuestroADN;noasíladesucelularRF(~0.06meV)Nuestroojodetectacoloresgraciasaquefotonesdedistintasenergíasdisparanreaccionesquímicasdiferentesenlascélulasdenuestraretina.
LaluzesunaONDÍCULACuriosidadesacercadeladualidaddelaluz
ONDÍCULA
Evolucióndenuestroconocimientoacercadelanaturalezadelaluz
TeoríacorpusculardeNewton(1704)
Modelocorpuscular
FenómenosdeInterferenciaydifraccióndeLuznopodíanser
explicadosporelmodelocorpuscular.
TeoríaondulatoriaHuygens,Young,Fresnel,
Arago(1790)
TeoríadeEF(Fotón)Einstein(1905)
Louis V. de Broglie presenta su tesis doctoral en 1923, en la que sugiere que las partículas con masa deberían tener propiedades ondulatorias similares a la luz.
La longitud de onda para las ondas de materia se conoce como longitud de onda piloto de de Broglie
Silaluzpuedeactuarcomounapartícula(Fotón).¿Porquéno
podránlaspartículasdemateriacomportarsetambién
comoondas?
¿SeránONDÍCULASlaspartículasdemateria?HipótesisdedeBroglie
Longitud de onda piloto de de Broglie
Constante de Planck
Momento de la partícula
Nuestroconocimientotradicionaldepartículareferenciaaalgoqueestá“LOCALIZADO”‐confinadoenelespacioconunaposiciónyunmomentodefinido.
Partícula Onda
Nuestroconocimientotradicionaldeunaondaestárelacionadoconalgo“DE‐LOCALIZADO”‐dispersoenelespacioyeltiempo
¿Cómopodríamosrepresentartantoaunaondacomoaunapartícula?
Paquetedeonda
SobrelasondasylaspartículasConceptosypaquetedeonda
Las velocidades de las ondas individuales que se superponen para formar elpaquete deondas sondiferentes demodoque el paquete, comoun todo, tieneunavelocidaddiferentealadesuscomponentes.• Velocidadde fase (Vf): La velocidada laque la fasede laonda sepropagaenelespacio.• Velocidad de grupo (Vg): La velocidad a la que la envolvente del paquete deondassepropaga.
Vg =dωdk
=d(ω )d(k)
=dEdP
=ddP
P2
2m⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=Pm
= Vp
PaquetesdeondaVelocidaddefaseygrupo
• LasdesigualdadesdeHeisenbergsonunaconsecuenciaimportantedeladualidadonda‐partículadelamateriaylaradiaciónyesinherenteasunaturalezacuántica.• Unadelasdesigualdadespostula,quelaposiciónyelmomentodeunobjetonoestándefinidosconexactitudsimultáneamente.
ΔxΔpx ≥h2π
ΔEΔt ≥h2π
Posición/momento Energía/tiempo
Posición/momentoyEnergía/tiemposeconocenconelnombredevariablesconjugadas
DosconsecuenciasimportantesdelasdesigualdadesdeHeisenbergson:
• Latrayectoriadeunaparticulanoestábiendefinidaeneldominiocuántico• Laincertezaesinherentealdominiocuánticoynadatienequeverconlainteracciónconlosinstrumentosdemediciónolaintervencióndelobservador
DesigualdadesdeHeisenbergVelocidaddefaseygrupo
InterferenciadedoblerendijaTrabajandoconpartículasyondas
Ondas
PartículasEsperamosquelaspartículaspasenporlarendija(1)ó(2).Observamosasiunpatrónquesecorreponde
conlasumadelasfigurasdedifracción
PatróndeInterferenciadeelectrones
Sisemideladistribucióndeeletronessobreunasuperficiedetectoraconformepasaeltiempo,seobservaunpatróndeinterferencia.Estoindicaqueloselectronesnopudieronhaberpasadopor(1)opor(2)tallosuponemosparaunapartículasinoquedebieronpasarpor(1)y(2).
La hipótesis de de Broglie se cumple.
¡¡Los electrones son ondículas!!
EstofuéverificadoporDavidsson&GermerdelosBellLabs(1926)
Debemosbuscarunaecuaciónparamodelarladinámicadelasondículas
F=ma comoconsecuenciadelasdesigualdadesdeHeisenberg
• Latrayectoriadeunaparticulanoestábiendefinidaeneldominiocuántico
Pues
¿Entonces?
Ecuacióndeondaclásica
∂2E(x,t)∂x2
= εoµo∂2E(x,t)
∂t 2
Ecuación de Onda Simetrías
∂∂(−x)
∂∂(−x)
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ∂2
∂x2x -x
Inversión espacial (reflexión)
t -t ∂∂(−t)
∂∂(−t)
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ∂2
∂t 2
Inversión temporal
Soluciones
E(x,t) = Sen(kx −ωt)E(x,t) = Cos(kx −ωt)E(x,t) = ei(kx−ω t )
ω (k) = kcRelaciondedispersión
E =P2
2m+V (x)
Energía de una partícula en 1D
Enbuscadeunaecuaciónquedescribaladinámicadelasondículas
ω =2k2
2m+V (x)
ψ (x,t) = exp i(kx −ωt) i∂ψ ∂t
−2 ∂2ψ
∂x2Solución
Ecuación de Schrödinger en 1D
E = ωPlanck
p = hλ = k
De Broglie
ψ (x,t) Función compleja de variable real que representa el estado de la ondícula
LaecuacióndeSchrödingerdependientedetAlgunoscomentarios
• LaecuacióndeSchrödingerdependientedeltiempodescribeladinámicadeunaondícula,norelativista(estoesconmasaenreposononulayvelocidadmuchomenorquec)
• Laec.deSchrödingerdependientedeltiempoesunaecuacióndiferencialaderivadasparcialesenxyt.Adiferenciadelaecuacióndeondaclásica,esdeprimerordeneneltiempo.Enestesentidosecorrespondeconlaformadeunaecuacióndeltipodedifusiónquemodelaunprocesoirreversible.
• Sussolucionessonfuncionescomplejasdevariablerealadiferenciadelascorrespondientesalaecuacióndeondaclásicadondelaparterealeimaginariasonsoluciones.Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las podemos medir directamente).
Solución
Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del un punto x en un tiempo t es igual a
Ψ(x,t)
2δx δ x→0⎯ →⎯⎯
x=a
b
∑ Ψ(x,t)2dx
a
b
∫
Ψ(x,t)
2δx
Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?
RecordemosqueenlasOEM:elnúmerodefotonesporunidaddevolumenesproporcionalalaenergíaelectromagnéticaporunidaddevolúmen,porlotanto,acuadradodelaintensidaddelcampoelectromagnético.
Así la probabilidad total de encontrar a la partícula entre dos posiciones a y b es
a b
|Ψ|2
x
δx
Max Born
InterpretacióndelafuncióndeondaInterpretacióndeBorn
Ψ
2= Ψ*Ψ
ConservacióndelflujodeprobabilidadOtraspropiedadesinteresantes
∇ ⋅ J = −∂ρ ∂t
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que éstas son complejas entonces:
Si es solución, , su conjugada compleja, también lo es.
(1) (2)
Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |Ψ(x,t)|2, simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por Ψ* y (2) por Ψ.
ρ =|ψ (x,t) |2
J = −i2m
ψ * ∂ψ∂x
−ψ ∂ψ *
∂x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Pantalla
detectora
Flujoincidentedepartículascoherentes,oluz
d sinθ
D
θ
y Ψ1
Ψ2
Ψ = Ψ1 +Ψ2
Ψ
2= Ψ1
2+ Ψ2
2+Ψ
1
*Ψ2 +Ψ1Ψ 2
*
Términocorrespondientealas“partículas”usuales
Términodeinterferencia
Reintrerpretando la interferencia de doble rendija
LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoDerivación
Si el potencial es independiente del tiempo i∂Ψ∂t
= −
2
2m∂2Ψ∂x2 +V (x)Ψ
Elladoizquierdodelaecuaciónsóloinvolucralavariación Ψ con t.
ElladoderechosóloinvolucralavariacióndeΨconx.
Proponemos asi una solución donde x y t son independientes Ψ(x,t) =ψ (x)T (t)
Sustituyendo:
V x,t( ) =V (x)
−
2
2m∂2
∂x2 ψ (x)T (t)⎡⎣ ⎤⎦ +V (x)ψ (x)T (t) = i ∂∂t
ψ (x)T (t)⎡⎣ ⎤⎦
∂2
∂x2 ψ (x)T (t)⎡⎣ ⎤⎦ = T (t) d 2ψdx2
−
2
2mT d 2ψ
dx2 +V (x)ψT = iψ dTdt
Lasecuacionessonaderivadastotales
−
2
2m1ψ
d 2ψdx2 +V (x) = i 1
TdTdt
DividiendoambosmiembrosporψT
NotequeelladoizquierdodelaEc(3)dependesólodex,mientrasqueelderechosólodependedet.DadoqueestoesciertoparatodoxytambosmiembrosdebeserigualesaunaconstanteA.Así
−
2
2mT d 2ψ
dx2 +V (x)ψT = iψ dTdt
i 1
TdTdt
= A −
2
2m1ψ
d 2ψdx2 +V (x) = A
(3)
Dacuentadelaevolucióntemporal
Determinaladependenciaespacial
LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoContinuación
T (t) = ae− iEt /
i 1
TdTdt
= A
dTdt
= −iA
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
T
T (t) = ae− iAt /
i 1
TdTdt
= A −
2
2m1ψ
d 2ψdx2 +V (x) = A
• Estonosdicequelaenergíacontrolalaevolucióntemporaldelsistema.• NotequeT(t)nodependeexplícitamentedeV(x).Sídependeimplícitamentedadoqueelpotencialcomomuestra(3)determinalosvaloresposibledeE.
(4) (5)
LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoEvolucióntemporal
−
2
2md2ψdx2 +V (x)ψ = Eψ
UsandoqueA=EenlaEc(5):
EcuacióndeSchrödingerindependientedeltiempo(ESIT)
Note que la densidad de probabilidad no depende
del tiempo
P x,t( ) = ψ x,t( ) 2=ψ *(x)e+ iEt /ψ (x)e− iEt /
=ψ *(x)ψ (x) = ψ (x)2
Ψ(x,t) =ψ (x)T (t) =ψ (x)e− iEt / LasolucióndelaEcuacióndeSchrödingerdependientedeltiemposeescribecomo:
Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.
LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoDerivacióndelaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempo
P2
2m+V (x)
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ψ = Eψ Hψ = Eψ
Movimientodeunpartículaclásicaenunpotencial1DZonasclásicamentepermitidasyprohibidas
V(x)
X
E1
X1 X2
Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0
Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)
Puntos de retorno clásico
E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)
V(x)
X
Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0
Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)
E2
X1 X2 X3 X4 X5 X6
E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)
Movimientodeunpartículaclásicaenunpotencial1DZonasclásicamentepermitidasyprohibidascontinuación