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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Instituto Politécnico PUC Minas
Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação
Ariane Paula da Rocha Juliana Mariana Macedo Araujo
ELETRÔNICA ANALÓGICA II Projeto Filtro Passa Baixa
Belo Horizonte,
Novembro de 2012
Ariane Paula da Rocha Juliana Mariana Macedo Araujo
ELETRÔNICA ANALÓGICA II Projeto Filtro Passa Baixa
Trabalho apresentado à disciplina Laboratório de Eletrônica Analógica II, do Instituto Politécnico da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Orientador: Paulo José da Costa Cunha
Belo Horizonte, Novembro de 2012
RESUMO
Este relatório consiste em descrever o projeto teórico e montagem de uma de
um filtro passa baixa de 4ª ordem do polinômio de Butterworth.
Baseado nos cálculos realizados especificou-se os valores dos componentes
necessários para montagem do projeto.
O projeto alcançou parcialmente seu objetivo, uma vez que os alguns
resultados condisseram com o esperado, e outros não.
Palavras-Chave: filtro passa baixa, 4ª ordem, polinômios de Butterworth.
ABSTRACT
This report describes the theory and design of an assembly of a lowpass filter
4th order using Butterworth polynomial.
The components were specified by the calculations made using Butterworth
polynomial.
The project achieved its goal partially, since some results were not like
expected.
Keywords: Lowpass filter, 4th order Butterworth polynomials.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Curvas aproximadas e real do módulo do ganho em função da frequência de um filtro passa-baixa, respectivamente
8
Figura 2 – Modulo de transmissão de um filtro real 10
Figura 3 - Filtros passa-baixas Butterworth de ordens 1 a 5 12
Figura 4 – Circuito filtro passa baixa 13
Figura 5 - Circuito normalizado do filtro 15
Figura 6 - Circuito final simulado 17
Figura 7 - Módulo do ganho em função da frequência do filtro simulado 17
Figura 8 – Defasagem do sinal de saída em função da freqüência do filtro simulado
18
Figura 9 - Gráfico da resposta em frequência |Av|(dB) x f(HZ) 20
Figura 10 - Gráfico da defasagem do sinal θ x f(HZ) 21
Figura 11 - Medição do circuito para freqüência de 20Hz 21
Figura 12 - Medição do circuito para freqüência de 2.82kHz 22
Figura 13 - Medição do circuito para freqüência de 50kHz 22
Figura 14 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 240Hz
23
Figura 15 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 2.82kHz
24
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Polinômios de Butterworth para ordens de 1 a 5 12
Tabela 2 – Valores obtidos nos testes do filtro 19
Tabela 3 – Valores obtidos nos testes do filtro 20
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO........................................................................................................ 8
2. FILTRO PASSA BAIXA ........................................................................................ 10
2.1. Filtro de Butterworth...............................................................................................11
3. MEMÓRIAS DE PROJETO .................................................................................. 13
3.1. Requisitos Iniciais do Projeto ................................................................................13
3.2. Memória de Cálculo ...............................................................................................13
4. SIMULAÇÃO ........................................................................................................ 17
5. CUSTO E MATERIAIS UTILIZADOS ................................................................... 19
6. TESTES................................................................................................................ 20
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................. 25
Anexos...................................................................................................................... 28
8
1. INTRODUÇÃO
Filtros são circuitos eletrônicos que permitem ou não a passagem de um sinal.
Os filtros podem ser classificados em passivos e ativos.
Os filtros passivos são constituídos somente por elementos passivos como
resistores, capacitores e indutores. Os filtros ativos são aqueles construídos com
elementos ativos como amplificadores operacionais, válvulas, transistores e alguns
elementos passivos.
Os filtros podem ainda ser classificados como passa alta, passa baixa, passa
faixa ou rejeita faixa. Este trabalho visa aprimorar os conhecimentos de filtros ativos
passa baixa através do projeto e testes em software e protoboard.
Os filtros passa baixa permitem a passagem de freqüências superiores à
freqüência de corte, e atenuam freqüências superiores a esta. A figura 1 mostra as
curvas aproximadas e real do módulo do ganho em função da freqüência de um filtro
passa-baixa.
Figura 1 - Curvas aproximadas e real do módulo do ganho em função da freqüência de um filtro
passa-baixa, respectivamente
Fonte: SILVA, 2007
Para o dimensionamento dos componentes do filtro foi utilizado a dedução da
função de transferência do filtro passa baixa. Feito isto o denominador da função de
transferência foi igualado ao polinômio do filtro de Butterworth.
O filtro projetado é um filtro passa-baixa de 4ª ordem. A ordem do filtro é
definida pela quantidade de capacitores utilizados. Para baixas frequências os
capacitores se comportam como chaves abertas, fazendo com que o circuito
funcione como um amplificador. Em altas frequências os capacitores se comportam
9
como um curto fazendo com que a tensão de entrada no amplificador seja muito
pequena, o que impede a passagem de altas frequências.
Para simulação e validação do funcionamento do circuito foi utilizado o
software Proteus e o circuito foi montado em protoboard.
Todo o detalhamento e memória de cálculo estão detalhados neste trabalho.
10
2. FILTRO PASSA BAIXA
Filtro passa baixa é um circuito eletrônico que permite a passagem de
freqüências baixas sofrendo o mínimo de atenuação.
Nesse filtro a freqüência abaixo da freqüência de corte, ou também chamada
de freqüência de passagem, a saída sofrerá a minima atenuação, ou seja, será
praticamente igual à entrada. Na faixa de transição a atenuação apresentará uma
atenuação variável. E para freqüências acima da freqüência de corte, conhecida
como faixa de rejeição, a freqüência sofrerá grandes atenuações.
Figura 2 – Modulo de transmissão de um filtro real
Fonte: UFPR. Filtros ativos
O modulo de transmissão de um filtro real é definida por:
• AMAX: a máxima variação do ganho na faixa de passagem.
• AMIN: a atenuação mínima na faixa de passagem
• fP: freqüência do pólo
• fS: freqüência do zero
11
2.1. Filtro de Butterworth
Várias famílias de filtros podem ser utilizadas no projeto de filtros. Exemplos
de família de filtros são: Butterworth, Chebyshev, Bessel-Thomson, Chebyshev
inverso e Cauer elíptico. "A diferença entre as famílias mais utilizadas dá-se no valor
numérico dos coeficientes dos polinômios em s que definem as suas Funções de
Transferência” (AUGUSTO, 2011). Os coeficientes determinam as características de
cada família.
As funções de aproximação destas famílias tentam se ajustar ao máximo do
filtro ideal, o que na prática é impossível. Nos filtros práticos há uma banda de
transição. Esta banda fica entre a banda de passagem e a banda de rejeição e
quanto maior o seu declive maior é a ordem do filtro, que é determinado pelo
número de pólos do circuito.
Para este projeto utilizou-se o filtro de Butterworth e este será discutido nesta
seção. A resposta em freqüência desta família de filtro é plana, assim não possui
ripple na banda de passagem e se aproxima do zero na banda rejeitada. Além disso
este é o único filtro que mantém o mesmo formato para ordens mais elevadas.
“Para um filtro Butterworth de segunda ordem, a resposta em frequência varia
em −12 dB por oitava, em um filtro de terceira ordem a variação é de −18 dB, e
assim por diante. Os filtros Butterworth possuem uma queda na sua magnitude
como uma função linear com ω”. (Wikipedia, 2012)
A Figura 1 mostra o módulo do ganho em função da frequência para filtros
passa-baixas Butterworth e os polinômios de Butterworth de ordens 1 a 5:
12
Figura 3 - Filtros passa-baixas Butterworth de ordens 1 a 5
Fonte: Wikipedia, 2012
Tabela 1 – Polinômios de Butterworth para ordens de 1 a 5
n Polinômios de Butterworth
1 (S+1)
2 (S2+1,414S+1)
3 (S+1)(S2+S+1)
4 (S2+0,765S+1)(S2+1,848S+1)
5 (S+1)(S2+0,618S+1)(S2+1,618S+1)
Fonte: Dados da pesquisa
13
3. MEMÓRIAS DE PROJETO
A seguir será apresentado o dimensionamento dos componentes do circuito,
bem como sua simulação.
3.1. Requisitos Iniciais do Projeto
• Filtro passa baixa de Butterworth de 4ª ordem;
• Freqüência de corte de 2KHz;
• Ganho de 4;
• Capacitores do filtro com valores iguais.
3.2. Memória de Cálculo
O circuito do filtro passa baixa está mostrado na figura 4.
Figura 4 – Circuito filtro passa baixa
Fonte: Criado pelo autor
14
Para um filtro de passa baixa, sua equação de ganho é definida, por:
1]).1.().(.[
1*
112122121
2+−+++
=RAvoCRRCsRRCCs
AA VOV
Que é da forma:
12
1*
2
2
++
=
wo
sS
wo
sAA VOV
Considerando wo=1, temos que:
1...2
12
++=
sSsAV
Fazendo as quatro considerações abaixo:
1. ZSF: Fator de escalonamento da impedância
2. FSF: Fator de escalonamento de freqüência (2πf)
3. O valor real dos componentes é calculado através de:
ZSFRR *=
FSFZSF
CC
*=
4. Considerando o filtro a ser projetado é de 4º ordem, temos que para p
polinômio de Butterworth de 4ª ordem, os valores da primeira etapa do filtro 2S=
0,765, e da segunda parte é de 2S= 1,848.
Considerando os capacitores C1= C2= 1F, para calcular os cálculos temos
que:
SR *22 = 1ª etapa R2= 0,765
2ª etapa R4= 1,848
15
2
1
1
RR = 1ª etapa R1= 1,307
2ª etapa R3= 0,541
Os valores acima são os valores do circuito normalizado.
Figura 5 - Circuito normalizado do filtro
Fonte: Criado pelo Autor
Para o calculo dos componentes do filtro escalado é necessário calcular
primeiramente o FSF.
fFSF **2 π=
KFSF 2**2 π=
37.12566=FSF
Como o projeto deve conter capacitores iguais, foi fixado um valor comercial
de capacitor de 22nF, e com isso calculado o valor de ZSF, como mostrado abaixo:
FSFZSF
CC
*=
37.12566*
122
ZSFn =
158.3617=ZSF
16
Com esse valor de ZSF é possível calcular os valores dos resistores a serem
utilizados.
ZSFRR *=
158.3617*765,01 =R
126.27671 =R
508.66842 =R
626.47273 =R
882.19564 =R
Como os valores calculados não são comerciais, foram escolhidos resistores
de valores próximos, sendo que os valores utilizados foram:
721 kR =
862 kR =
743 kR =
kR 24 =
O ganho do filtro proposto é 4, para obter tal ganho foi feito com que cada
amplificador tivesse um ganho de 2, fazendo com que a saída do circuito fosse de
ganho 4. Como o circuito é um amplificador não inversor o ganho será:
)1(6
5
R
RAv +=
Para que o ganho fosse 2, foram utilizados resistores iguais de 10k.
21 =VA
4=VA
17
4. SIMULAÇÃO
O filtro passa baixa de 4ª ordem foi simulado no Proteus com os valores
comerciais adquiridos. A simulação do circuito trouxe os resultados esperados para
o filtro.
Figura 6 - Circuito final simulado
Fonte: Criado pelo Autor
Figura 7 - Módulo do ganho em função da frequência do filtro simulado
Fonte: Criado pelo Autor
18
Figura 8 – Defasagem do sinal de saída em função da freqüência do filtro simulado
Fonte: Criado pelo Autor
Pode ser verificado que em uma década (entre 2kHz e 20kHz), a queda no
ganho de tensão foi aproximadamente 80dB e 360º, o que corresponde a 4 pólos,
isso quer dizer que na simulação o circuito funcionou como esperado.
19
5. CUSTO E MATERIAIS UTILIZADOS
Como amplificador operacional do circuito foi selecionado o LM741 pelo fato
de que ele preenche os requisitos para o projeto, principalmente nos requisitos que
se dirigem a freqüência. Alem de que esse amplificador é encontrado com certa
facilidade, e já foi utilizado anteriormente.
Tabela 2 – Custo dos componentes do projeto
Componente Nome no circuito Quantidade
Valor
unitário
Valor
total
Amplificador operacional 741 U1 e U2 2 R$ 0,75 R$ 1,50
Capacitor cerâmico 22nF C1, C2, C3, C4 4 R$ 0,10 R$ 0,40
Resistor 2k ¼ W R4 1 R$ 0,10 R$ 0,10
Resistor 2k7 ¼W R1 1 R$ 0,10 R$ 0,10
Resistor 6k8 ¼W R2 1 R$ 0,10 R$ 0,10
Resistor 4k7 ¼W R3 1 R$ 0,10 R$ 0,10
Resistor 10k ¼W R5, R6, R7, R8 4 R$ 0,10 R$ 0,40
Total R$ 2,70
Fonte: Criado pelo Autor
Além dos componentes citados assim também foram utilizados protoboard,
fios para ligação, multímetro, gerador de sinais e osciloscópio.
20
6. TESTES
O circuito foi montado no protoboard. Foi aplicado na entrada do circuito um
sinal senoidal com amplitude de 2Vpp, foram feitas medições em 9 diferentes
valores de freqüência. Para cada valor de freqüência foi medido o ganho e o
defasamento. A tabela 2 mostra os valores medidos e os seus resultados, a figura 9
mostra o gráfico do modulo do ganho em resposta em freqüência e a figura 10,
mostra a defasagem do sinal de saída.
Tabela 3 – Valores obtidos nos testes do filtro
Frequência Vin Vout 20 2,04 8,16 100 2,04 8,16 200 2,04 8,16 500 2,04 8
1000 2,04 7,5 2000 2,04 7,6
2,82E+03 2,04 5,84 20000 2,04 0,278
5,00E+04 2,04 0,08 Fonte: Criado pelo Autor
Figura 9 - Gráfico da resposta em frequência |Av|(dB) x f(HZ)
Fonte: Criado pelo Autor
21
Figura 10 - Gráfico da defasagem do sinal θ x f(HZ)
Fonte: Criado pelo Autor
Foram feitas obtidas três formas de onda com diferentes valores de
freqüência, a primeira para uma freqüência de 20Hz, a segunda na freqüência de
corte 2.82kHz e a terceira de 50kHz, sendo que o CH1 é a saída do filtro e o CH2 é
entrada.
Figura 11 - Medição do circuito para freqüência de 20Hz
Fonte: Criado pelo Autor utilizando Osciloscópio
Para a freqüência de 20Hz, foi observado o ganho de 4, proposto para o
trabalho, valor esse já esperado, nos cálculos e simulações.
22
Figura 12 - Medição do circuito para freqüência de 2.82kHz
Fonte: Criado pelo Autor utilizando Osciloscópio
A freqüência de corte do circuito é de 2.82kHz, o que pode ser oservado pelo
fato de que a freqüência de corte se da no ponto em que o ganho é igual ao ganho
na faixa de passagem dividido por raiz de 2, como mostrado abaixo.
VVA
A VOCORTEV 83,2
2
4
2===
Figura 13 - Medição do circuito para freqüência de 50kHz
Fonte: Criado pelo Autor utilizando Osciloscópio
Para a freqüência de 50kHz o sinal de saída é praticamente zero, pois para
essa freqüência o circuito já tem praticamente atenuação máxima.
23
Ao aplicar uma onda quadrada na entrada do filtro foi observado que em uma
freqüência muito menor que a freqüência de corte, o sinal o sinal do mesmo modo
como entrou, apenas com o ganho de 4. Conforme a freqüência foi sendo
aumentada a sai começou a ter uma inclinação do sinal, até que na freqüência de
corte é medido na saída uma senoide, isso ocorre, pois na freqüência de corte o
circuito filtra todos os harmônicas de freqüência maior que 2.82kHz do sinal de
entrada, restando apenas a harmônica principal.
Na figura 14 pode ser visto a saída com um sinal de 240Hz, saída essa em
que o sinal de entrada é praticamente igual ao sinal de entrada.
Figura 14 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 240Hz
Fonte: Criado pelo Autor utilizando Osciloscópio
24
Na figura 15 como o sinal de entrada esta na freqüência de corte o que se vê
na saída é uma senoide.
Figura 15 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 2.82kHz
Fonte: Criado pelo Autor utilizando Osciloscópio
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7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O circuito funcionou parcialmente como esperado, pois o filtro foi capaz de
atenuar corretamente as freqüências mais altas que a freqüência de corte, o ganho
também funcionou corretamente. Contudo a freqüência de corte do circuito não foi
igual ao esperado, já que a freqüência de corte encontra de foi de 2.82kHz, e o
desejado era de 2kHz. Essa divergência se deve principalmente aos capacitores
utilizados, pois esses que uma vez eram cerâmicos possuíam uma tolerância
grande, que alterou os parâmetros do circuito.
26
8. CONCLUSÃO
Através da análise dos resultados obtidos verificou-se certa divergência entre o resultado esperado e o resultado obtido. Estas diferenças podem ser explicadas devido à tolerância de componentes, neste caso principalmente dos capacitores, e a aproximação feita para valores comerciais.
Assim a proposta da montagem do filtro foi parcialmente atendido pois houve atenuação para freqüências mais altas que a freqüência de corte e o ganho foi 4 conforme o desejado. A divergência ocorreu na frequência de corte. O filtro projetado “cortou” em 2,82kHz.
Este projeto contribuiu para aprimorar o conhecimento sobre filtros ativos, assim como especificação, projeto e desenvolvimento prático do que foi aprendido em sala de aula.
27
9. BIBLIOGRAFIA
SILVA Clodoaldo. Amplificadores Operacionais como Filtros. Disponível em:
http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/AMPOP/Amp-OP%20IV%20-
%20filtros.pdf. Acesso em 19 nov. 2012
UFPR. Filtros ativos. Disponível em:
http://www.eletrica.ufpr.br/marlio/te054/capitulo5.pdf. Acesso em: 16 nov. 2012
AUGUSTO, José A. Soares. Introdução ao Projeto de Filtros e a Funções de
Aproximação, Lisboa, p. 1, jun 2011.
Filtro Butterworth. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_Butterworth.
Acesso em 19 nov. 2012
28
Anexos
Anexo A – Data Sheet LM741
29