Post on 21-Mar-2020
Gymnasium Norf Jgst.12
Facharbeit
im Grundkurs Mathematik
Fraktale Geometrie
Verfasser/in: Walter Wißdorf
Kursleiter/in: Horst Fischer
Abgabetermin: 28.02.2001
Gliederung
1. Einleitung
1.1 Begründung der Themenwahl
1.2.Zielsetzung der Arbeit
1.3.Überblick über den Aufbau der Arbeit
2 Was ist ein Fraktal ?
2.1.Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen
2.1.1. Entstehung durch Iteration
2.1.2. Selbstähnlichkeit
2.1.3. Komplexität
2.1.4. Gebrochene Dimension
2.1.5.Empfindlichkeit auf die Startbedingungen
2.2.Erläuterung der Eigenschaften am Beispiel der Kochschen Kurve
2.3.Die fraktale Dimension und ihre Berechnung
3. Erzeugung von Fraktalen
3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von
Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume)
3.1.1. Der Mangel der Menge Doppelstrich R
3.1.2. die Imaginäre Zahl
3.1.3. Operationsregeln komplexer Zahlen
3.1.4. Doppelstrich C, die Komplexe Ebene
3.1.5. Iterationen in der Komplexen Ebene
3.2.Julia- und Mandelbrotmengen
3.2.1. Die Julia Mengen
3.2.2. Die Mandelbrotmengen (Parameterräume)
4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht ?
4.1.Die Menschen hinter den Bildern
4.1.1. Gaston Julia
4.1.2. Benoit Mandelbrot
4.2.Computer, essentielles Werkzeug.
4.2.1. Ohne Computer keine Fraktale
4.2.2. Entwicklung der Computertechnologie
5. Anwendung von Fraktalen
5.1. Fraktale in der Graphik
5.1.1. Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung natürlicher Fraktale
5.1.2. Fraktale in der Bildkompression
5.2 Physikalische Anwendungen
6. Einordnung der Fraktalen Geometrie in der klassischen Mathematik
7. Schluß
8. Anhang
8.1. Literatur und Quellenverzeichnis
8.2. Bildverzeichnis
8.3 Sonstige Hilfsmittel
8.4 Erklärung
-3-
1. Einleitung
1.1 Begründung der Themen Wahl
Fraktale sind faszinierende Objekte, die einen schon fast
mystischen Charakter haben. Sie sehen kompliziert und
unbegreiflich aus, entstehen aber mit Hilfe einfacher
mathematischer Verfahren. Diese einfache Erzeugung, die hoch
komplexe Ergebnisse hervorbringt ist das, was die fraktale
Geometrie von der klassischen Mathematik abhebt. Objekte wie
die Mandelbrotmenge kennen viele Menschen, doch nur wenige
wissen wie sie entsteht. Dieser Umstand reizt mich und ist
der Grund für meine Themenwahl
1.2 Zielsetzung der Arbeit
Die vorliegende Facharbeit soll eine Einführung in die Welt
der Fraktale und der fraktalen Geometrie ermöglichen. Auf
Grund des gegebenen Umfangs der Arbeit ist es nicht möglich,
auf alle mathematischen Einzelheiten gezielt einzugehen.
Einige Zusammenhänge würden den Umfang deutlich sprengen, wie
zum Beispiel die genaue Herleitung des Hausdorffschen
Dimensionsbegriffs. In solchen Fällen muß eine vereinfachte
Schilderung zur Verständnissicherung genügen. Die Arbeit soll
und kann nur eine oberflächliche Einführung in die fraktale
Geometrie darstellen, die allerdings das Interesse an der
Thematik wecken soll.
1.3 Überblick über den Aufbau der Arbeit
Die Arbeit ist thematisch in vier Kapitel gegliedert: die
Definition eines Fraktals, die Erzeugung von Fraktalen, ein
Exkurs über die Voraussetzungen, die die fraktale Geometrie
möglich gemacht hat, und die Anwendung der fraktalen
Geometrie.
-4-
2. Was ist ein Fraktal?
2.1 Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen
Das Wort „Fraktal“ wurde von Benoit Mandelbrot geprägt und
stammt von „fractus“, was aus dem Lateinischen kommt und
„gebrochen“ bedeutet. Fraktale sind Kurven, Körper oder
Mengen, die mit ihren besonderen Eigenschaften Zusammenhänge
beschreiben, die mit Hilfe der klassischen Geometrie nicht,
oder nur mit großen Schwierigkeiten beschrieben werden
können. Fraktale findet man vor allem in der Natur. Benoit
Mandelbrot eröffnet sein berühmtes Buch: „Die fraktale
Geometrie der Natur“, mit der Feststellung, dass Wolken oder
Berge nicht aus euklidischen Körpern bestehen. Diese Struktu-
ren sind gebrochen, eben Fraktale. Im folgenden werden die
typischen Eigenschaften von Fraktalen näher erläutert:
2.1.1 Iterative Erzeugung
Fraktale entstehen durch Iteration. Iterieren bedeutet
wiederholen, was sich auf eine normalerweise recht einfache
Rechenvorschrift bezieht, die wiederholt durchgeführt wird.
Beispielsweise: . Bei dieser Gleichung wird einex x cn n= +−1
Zahl X mit einer positiven Konstante C addiert und dann das
Ergebnis wieder in die Gleichung eingesetzt. Bei jedem
Iterationsschritt steigt X um C. Um die Vorgabe der unendli-
chen Komplexität zu erfüllen, müßten bei der Generierung
eines Fraktals unendlich viele Iterationen durchgeführt
werden, was praktisch unmöglich ist. Folglich ist jedes
Fraktal nur eine näherungsweise Darstellung des theoretischen
Fraktals, die durch mehr Iterationen genauer gemacht werden
kann.
-5-
2.1.2 Selbstähnlichkeit
Fraktale sind selbstähnlich. Selbstähnlichkeit bedeutet,
dass, egal in welcher Vergrößerung man ein Fraktal betrach-
tet, es immer gleich oder wenigstens ähnlich aussieht. Dieses
wichtige Phänomen entsteht durch die iterative Generierung
von Fraktalen. Ein und dieselbe Vorschrift wird im Idealfall
unendlich oft, ansonsten mehrmals, durchgeführt. Dieses
einfache Prinzip erzeugt oft gleiche oder ähnliche Ergeb-
nisse, auch dann, wenn der Betrachtungsausschnitt kleiner
wird.
2.1.3 Komplexität
Fraktale sind unendlich komplex. Ein Kreis wird bei Betrach-
tung eines unendlich kleinen Ausschnittes zu einer Geraden.
Ein Fraktal hingegen mündet nie in eine euklidische Figur
wie beispielsweise eine Gerade. Egal wie klein der Betrach-
tungsausschnitt auch wird, ein Fraktal behält seine Kom-
plexität bei. Auch hier liegt die Begründung im iterativen
Charakter verborgen: Ein ideales Fraktal ist unendlich oft
iteriert. Jede einzelne Iteration erzeugt ein komplexeres
Bild. Folglich wird man immer, auch wenn der Ausschnitt
unendlich klein ist, noch ein iteratives also ein komplexes
Bild erhalten. Ein weiteres Phänomen von Fraktalen ist die
unendliche Länge dieser Figuren. Fraktale werden durch
Iteration immer komplexer, das ist allerdings auch zwangs-
läufig mit einer Längenzunahme verbunden. Fast alle Fraktale
werden mit jedem Iterationsschritt um einen bestimmten Betrag
länger. Iterieren wir ein Fraktal unendlich oft wird es auch
unendlich lang.
2.1.4 Fraktale sind stark abhängig von den
Startbedingungen
-6-
Durch Iteration gewinnt nach wenigen Schritten auch schon
eine minimale Änderung der Startbedingungen schnell an
Bedeutung. Durch diesen Effekt sind Fraktale enorm abhängig
von den Startbedingungen. Diese starke Abhängigkeit, die mit
dem sogenannten „Schmetterlingseffekt“ verwandt ist, hat eine
tragende Rolle bei der Verknüpfung von Chaostheorie und
fraktaler Geometrie.
2.1.5 Gebrochene Dimension
Der topologische Dimensionsbegriff ist in der Mathematik und
auch im alltäglichen Leben weit verbreitet. Die topologischen
Dimensionen sind geradzahlig. Eine Gerade besitzt die
topologische Dimension 1, weil sie sich nur in einer Richtung
ausbreitet. Eine theoretische ideale Gerade hat keine
Breite. Eine Ebene ist zweidimensional, da sie sich in zwei
Richtungen ausbreitet. Punkte werden auf ihr durch zwei
Koordinaten lokalisiert, bei einer Geraden hingegen reicht
eine einzige. Ein dreidimensionaler Körper, beispielsweise
ein Würfel, besitzt eine weitere Ausbreitungsrichtung. Punkte
haben infolgedessen drei Koordinaten. Fraktale zeichnen sich
nun dadurch aus, das sie keine gerade, topologische sondern
eine gebrochene, fraktale Dimension besitzen. Die Idee und
die mathematischen Grundlagen einer gebrochenen Dimension
stammen von Felix Hausdorff. Die fraktale Dimension ist ein
Maß dafür wie „zerklüftet“ oder „gebrochen“ eine Figur oder
ein Körper ist. Fraktale Dimensionen liegen zwischen Gerade
und Würfel, also zwischen 1 und 3. Besitzt eine Figur eine
Dimension die nahe bei 1 liegt, ist sie fast eine Gerade. Je
zerklüfteter sie wird desto höher wird ihre Dimension, bis
sie bei 2 schließlich unendlich verwinkelt ist und zu einer
Ebene wird. Besitzt eine Figur eine Dimension die zwischen 2
und 3 liegt geht sie in einen Raum über. Beispielsweise
besitzen Wolken eine durchschnittliche Dimension von 2,35,
also befinden sie sich zwischen einer Ebene und einem Raum.
-7-
2.2 Erläuterung der Eigenschaften an der Kochschen Kurve
Die Kochsche Kurve geht auf den Mathematiker Helge von Koch
zurück, der sie 1904 entwickelte.
Sie entsteht in drei Schritten: Der erste Schritt ist eine
Strecke, die die willkürliche Länge l besitzt. Diese Strecke,
trägt den Namen Initiator. Dann wird ein gleichseitiges
Dreieck mit der Seitenlänge in der Mitte angefügt, dasl3
das ursprüngliche Teilstück der Strecke ersetzt. Dieser
Schritt heißt Erzeuger oder Konstruktor. Bei jedem Itera-
tionsschritt werden die Strecken der vorangegangenen Figur
durch den jeweils verkleinerten Konstruktor ersetzt. Das
Ergebnis ist die Kochsche Kurve. Bei jeder Iteration wird sie
um ein Drittel länger als sie bei der vorhergegangenen
Iterationsstufe war. Durch eine Änderung am Initiator, indem
man ihn durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt, entsteht
die Kochsche Schneeflocke. Sie ist geschlossen und schließt
eine definierte Fläche ein. Trotzdem ist sie unendlich lang,
da sie bei jeder Iteration länger wird und im Idealfall
unendlich oft iteriert wurde. Weiterhin ist sie selbstähnlich
-8-
InitiatorNach 2Iterationen
Nach 5Iterationen
und komplex. Betrachtet man nur einen Ausschnitt, egal wie
klein, so ist er komplex und nicht von anderen Vergrösse-
rungsstufen zu unterscheiden. Durch die Komplexität ist auch
zu erklären, warum die Koch-Kurve an keiner Stelle eine
Ableitung besitzt. Man kann an keiner Stelle eine Tangente
anlegen, da sie an jeder Stelle gebrochen ist.
(Bild 2,3,4:
Die Kochsche Schneeflocke in
verschiedenen Iterationsstufen )
2.3. Die fraktale Dimension und ihre Berechnung
Es gibt viele Methoden zur Berechnung der fraktalen Dimensi-
on, doch sind sie oft hoch kompliziert und nur auf ein
bestimmtes Fraktal anwendbar. Eine der einfachsten Varianten
basiert auf der sogenannten Hausdorff Dimension. Die genaue
Einführung in diese Theorie allerdings würde den Rahmen
dieser Arbeit sprengen. Man betrachtet zunächst bekannte
Objekte der topologischen Dimension 1, 2 und 3, zum Beispiel
Strecke, Ebene oder Kubus. Nun teilt man diese Objekte
regelmäßig in N gleichgroße Teile. Um einen der N gleichen
Teile einer Strecke zu erhalten, muß man sie selbst mit rN
=1
skalieren. Analog dazu muß man um eins von N Teilquadraten zu
erhalten das Ausgangsquadrat mit und Quadrate mit rN
=1
rN
=1
2
skalieren. Daraus ergibt sich ein Potenzgesetz: Nr D=1
Bei diesem Ausdruck ist D die Dimension des Objekts.
-9-
Formt man den Ausdruck um, so kann man D durch
berechnen.DN
r
=log
log1
Auch für die Kochsche Kurve gilt dieses Potenzgesetz. Jedes
Segment der Kurve besteht aus 4 Teilsegmenten, die durch eine
Skalierung mit dem Faktor aus einem vorhergegangenen13
Segment entsteht. Die Dimension der Kochschen Kurve berechnet
sich daher folgendermaßen: . Diese DimensionD = =loglog
,43
1 26
deutet auf die relative Nähe zu einer Geraden hin. Die
Kochsche Kurve ist im Vergleich zu anderen Fraktalen wenig
verzweigt.
3. Erzeugung von Fraktalen
Im folgenden möchte ich auf die Erzeugung der beiden bekann-
testen Fraktale, die Julia- und Mandelbrotmengen, eingehen.
3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von
Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume)
3.1.1 Der Mangel der Menge Doppelstrich R
Eine quadratische Gleichung vom Typ (mit a,bax bx c2 0+ + =
Element aus Doppelstrich R und a ungleich 0), ist in
Doppelstrich R, also der Menge der reellen Zahlen, normaler-
weise lösbar. Es gibt jedoch auch quadratische Gleichungen,
die nicht lösbar sind, wie z.B. , weil Quadrate reellerx2 1= −
Zahlen nie negativ sind. Allerdings besitzt 4x = 5 in der
Menge der ganzen Zahlen auch keine Lösung. Durch die Er-
weiterung von den ganzen auf die rationalen Zahlen wird die
Gleichung lösbar. Die Frage liegt nahe, ob Doppelstrich R
nicht auch derart erweitert werden kann, dass sämtliche
quadratische Gleichungen lösbar werden.
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3.1.2 Die imaginäre Einheit und Imaginärzahlen
Leonard Euler (1707-1783) war einer der Ersten, der sich mit
dem Problem der nicht definierten quadratischen Gleichungen
befasste. Er führte eine neue „Zahl“ ein: i. Diese Zahl
sollte die Lösung für die Gleichung sein, folglichx2 1= −
gilt: . I wird als „imaginäre Einheit“ bezeichnet.i2 1= −
Durch Verknüpfung mittels Multiplikation entstehen aus
reellen Zahlen b und der imaginären Einheit i Imaginärzahlen
bi. Die Operationsregeln sind sie gleichen, als ob i eine
durch eine Variable vertretene reelle Zahl wäre. Zum Bei-
spiel: 2i + 3i = 5i. Die imaginäre Zahl hat es möglich
gemacht, dass die Gleichung lösbar wird. x a2 = −
3.1.3 Komplexe Zahlen
Löst man mit Hilfe der imaginären Zahl gemischte quadratische
Gleichungen, kommt es zu Summen aus reellen und imaginären
Zahlen.
Beispielsweise:
x xxx
x ix i x i
2
2
2
12 25 06 36 526 16
6 46 4 6 4
− + =
− = −
− = −− = ±= + ∨ = −
( )( )
Die beiden Lösungen setzen sich jeweils aus einem reellen und
einem imaginären Teil zusammen. Zahlen der Form a+bi mit a,b
Element aus Doppelstrich R werden als komplexe Zahlen
(Doppelstrich C ) bezeichnet. Dabei nennt man a Realteil und
b Imaginärteil. Sie werden entweder in der Form (a,b) oder in
der Form a+bi geschrieben. Komplexe Zahlen, die sich nur im
Vorzeichen unterscheiden, nennt man konjugiert zueinander.
-11-
( ) *( ) *( ) *( )
*:
3 4 1 5 3 1 5 4 1 5
3 15 4 20 3 11 2023 11
1
2
2
+ − = − + − =
− + − = − + =
= −
i i i i ii i i ii
Hinweis i
( ) *( ) *( ) *( )
( , ) *( , ) ( , )
a bi c di a c di bi c diac adi cbi bd ac bd adi cbiodera b c d ac bd ad cb
+ + = + + + =+ + − = − + +
= − +
( , ) *( , ) ( , ) ( , )a b a b aa bb ab ab a b ab= − + = −2 2 2
Die Konjugierte von z=a+bi wird als bezeichnet. (z a bi= − zwird als „z quer“ gelesen.) Manchmal findet man auch z* (z
Stern) anstatt .z
3.1.4 Operationsregeln komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen folgen den der reellen Zahlen ähnlichen aber
nicht gleichen Rechenregeln. Bei der Addition und Subtraktion
werden der reelle Anteil und der imaginäre Anteil getrennt
addiert oder subtrahiert. Als allgemeiner Ausdruck formu-
liert: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d). Beispiel: (2,5) + (1,-7) =
(3,-2). Die Subtraktion erfolgt analog. Wenn wir die kom-
plexen Zahlen (3,4) und (1,-5) multiplizieren wollen,
bedienen wir uns des Distributivgesetzes:
Als allgemeiner Ausdruck formuliert lautet die Multiplika-
tionsregel:
Die Quadrierung funktioniert analog zur Multiplikation:
3.1.5 Die Gausssche Zahlenebene
Reelle Zahlen kann man auf einer Geraden, dem Zahlenstrahl,
anordnen, somit sind reelle Zahlen eindimensional. Zwischen
-12-
Bild 5
zwei reellen Zahlen liegen jeweils unendlich viele weitere
Zahlen. Komplexe Zahlen hingegen können nicht auf einer
Geraden angeordnet werden. Sie bestehen aus zwei Komponenten,
sie sind zweidimensional, folglich kann man komplexe Zahlen
auf einer Ebene anordnen. Auf dieser sogenannten Gaussschen
Zahlenebene erhält der Imaginärteil die X-Achse und der
Realanteil wird auf der Y-Achse aufgetragen. Eine komplexe
Zahl kann nun als Punkt in diesem Koordinatensystem dar-
gestellt werden.
Rechts ist die komplexe
Zahl 1+3i (1;3) in der
Gaussschen Zahlenebene
dargestellt.
3.1.6 Iterationen in der Zahlenebene
Um die bekannten Fraktale, die Mandelbrot und Juliamengen, zu
verstehen, muß man betrachten was passiert, wenn man komplexe
Zahlen quadratisch iteriert. Zunächst möchte ich die Iterati-
on reeller Zahlen betrachten: In die Iterationsvorschrift,
„Ein Element der Folge (an+1) wird gebildet, indem man das
vorangegangene Element (an) quadriert“, also kurz:a an n+ =12
wird 2 eingesetzt. Als Ergebnis kommt schon nach wenigen
Iterationen ein sehr hoher Wert heraus, die Folge läuft
schnell gegen +unendlich. Setzen wir in die gleiche Vor-
schrift 0,5 ein, so strebt sie gegen 0. Bei 1 bleibt das
Ergebnis konstant. Zahlen, die diese Bedingung erfüllen,
nennt man Fixzahlen. Weiterhin existieren Vorfixzahlen, also
Werte welche schon nach einigen Iterationen einen Fixpunkt
liefern, etwa -1. Schon nach einer Quadrierung erhält man 1,
-13-
also einen Fixpunkt. Wenn man nun die eindimensionale Menge
der reellen Zahlen verläßt und sich die Zahlenebene ansieht,
so fallen einige Analogien auf.
Die Zahl 2+3i wird fortlaufend quadriert:
Element 1 2 3 4
Wert (2;3) (-5;12) (-119;-120) (-239;28560)Die Folge wächst rapide an, sie strebt gegen unendlich.
Als zweites Beispiel wird die komplexe Zahl 0,2+0,3i iteriert
Element 1 2 3
Wert (0,2;0,3) (-0,05;0,12) (-0,0119;-0,012)Diese Folge strebt gegen Null.
Als letztes Beispiel wird 0,707+0,707i betrachtet
Element 1 2 3 4 n
Wert (0,707;0,707) (0;1) (-1;0) (1;0) (1;0)Diese Zahl ist eine Vorfixzahl , die scheinbar zufällig
ausgewählt wurde. Man kann jedoch eine Begründung finden,
warum gerade diese Zahl eine Vorfixzahl ist. Komplexe Zahlen
kann man in der Zahlenebene auch als Vektor auffassen. Die
Länge dieses Vektors lässt sich mit Hilfe des Satzes des
Pythagoras ermitteln. Die Länge beträgt: , L ist dieL dx dy2 2 2= +
Länge des Vektors, dx und dy die Komponenten in x bzw. y
Richtung. Diese Komponenten stellen in der Zahlenebene aber
die reellen und imaginären Anteile dar. Also ergibt sich:
und damit L=1. Alle Zahlen derenL2 2 20 707 0 707 0 5 0 5 1= + ≈ + =, , , ,Betrag, welcher der Vektorenlänge entspricht, größer 1 ist,
streben bei Iteration gegen unendlich. Zahlen mit einem
Betrag kleiner 1 ergeben eine Folge gegen 0 und Zahlen mit
einem Betrag von genau 1 sind Fix oder Vorfixpunkte. Wenn man
dieses Ergebnis graphisch aufbereitet ergibt sich folgendes
Bild:
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Bild 6 Grafische Zusammenfassung
Die Darstellung nennt sich Fluchtzeitalgorhytmus. Sämtliche
Punkte des Bildes wurden in die Iterationsvorschrift einge-
setzt. Die Farbmarkierungen werden in dieser Darstellung nach
dem Verhalten der Punkte gewählt. Die Punkte deren Iteration
gegen 0 strebt und sämtliche Fix- und Vorfixpunkte werden
schwarz markiert. Alle anderen hier in verschiedenen Blautö-
nen markierten Punkte streben mit verschiedenen Geschwindig-
keiten gegen unendlich, wobei die Farbe für die Geschwindig-
keit steht mit der sie sich gegen unendlich bewegen. Der
Ursprung der Zahlenebene liegt im Mittelpunkt des Kreises.
Der Kreis hat einen Radius von 1.
3.2 Julia und Mandelbrotmengen (Parameterräume)
3.2.1 Die Juliamengen
Im Allgemeinen folgen Juliamengen der Iterationsvorschrift
. C ist eine komplexe Konstante, die bei jedera a cn n+ = +12
Iteration addiert wird. Im vorangegangenen Kapitel war diese
Konstante 0 und das Ergebnis war die einfachste aller
denkbaren Juliamengen. Verändert man c so erhält man ver-
schiedenste Gebilde. Diese sehr viel komplexeren Mengen haben
alle typischen fraktalen Eigenschaften. Sie sind selb-
stähnlich, haben eine fraktale Dimension, sind unendlich
komplex und stark abhängig von den Startbedingungen. Zur
-15-
1Nach ihrem Entdecker: Benoit Mandelbrot
Bild 7:Juliamenge C=-0,7+0,15i
Bild 8:Juliamenge C=-0,85+0,25i
Mandelbrot - Menge aaaaa
1
2
3
4
n
=
= + ⟨ + ⟩ = +
= − + + ⟨ + ⟩ = − += − − + ⟨ + ⟩ = − −= ∞
00 2 3 2 32 3 2 2 3 2 3 3 15
216 90 2 3 214 87
2
2 2
i ii i i
i i i* *
Julia - Menge mit c = -0,32 - 0,043iaaaaa
1
2
3
4
n
= += − + − ⟨ − ⟩ = − += − −= − += ∞
2 35 12 0 32 0 043 5 32 11 957114 987 127 2662974 709 29267 823
ii i i
ii
, , , ,, ,
, ,
Veranschaulichung zwei Beispiele:
3.3.2 Mandelbrotmengen (Parameterräume)
Die Mandelbrotmenge1 wird nach der gleichen
Iterationsvorschrift erzeugt wie ihre Juliamenge: .a a cn n+ = +12
Der Unterschied besteht in den Startwerten a1 und der
Additionskonstante c. Bei der Juliamenge wird als Startwert
ein Punkt in der Zahlenebene eingesetzt und c ist eine
Konstante, die vor der Berechnung der Juliamenge bestimmt
wird. Bei der Mandelbrotmenge ist der Startwert immer 0+0i.
C ist keine Konstante, sondern die Koordinate des aktuellen
Punktes, an dem sich die Berechnung befindet. Eine Beispiel-
rechnung, um den Unterschied zwischen Julia und Mandel-
brotmenge zu visualisieren: (die Additionskonstante ist
jeweils in spitze Klammern gesetzt)
-16-
Bild 9: Mandelbrotmenge
Führen wir den Fluchtzeital-
g o r h y t m u s f ü r d i e
Rechenvorschrift der Mandel-
brotmenge aus, so erhalten wir
folgendes Bild:
Diese allgemein auch „Apfelmännchen“ genannte Figur ist die
Mandelbrotmenge der Juliamenge mit der Vorschrift: .a a cn n+ = +12
Man kann auch andere Polynome als Vorschrift für die Erzeu-
gung solcher Mengen benutzen. Mit dem Begriff „Mandel-
brotmenge“ ist strenggenommen nur das Iterationsverfahren
gemeint, also dass der Startwert immer 0 und der jeweilige
Punkt die Additionskonstante ist. Meistens findet man den
Begriff Mandelbrotmenge aber für die häufigste ihrer Art,
nämlich dem Apfelmännchen. Im folgenden wird der Begriff
auch so verwendet werden. Es gibt enge Zusammenhänge zwischen
Julia- und Mandelbrotmengen. Die Mandelbrotmenge ist der
Parameterraum der Juliamengen. In der Vorschrift für Mandel-
brotmengen fließt der aktuelle Punkt als Additionsparameter
in die Berechnung mit ein, folglich stellt die Mandel-
brotmenge (M) dar was passiert, wenn C über die Zahlenebene
wandert. Für jeden Punkt der Mandelbrotmenge lässt sich eine
zugehörige Juliamenge (J) berechnen, die immer anders
aussehen wird. Weiterhin kann man anhand der Position des
Punktes in M auf das Aussehen von J schließen. Liegt der
betrachtete Punkt innerhalb der Mandelbrotmenge, so ist die
Juliamenge immer zusammenhängend. Liegt er in einem der
„Haare“ von M, so wird auch J eine Dendritenform, also eine
-17-
baumähnliche Form, besitzen. Liegt c in einer der Miniaturko-
pien von M in den „Haaren“ von M, so wird J eine Dendriten-
form haben, allerdings mit Kopien derjenigen Juliamengen aus
dem korrespondierenden Hauptteil von M behaftet. In dieser
Art und Weise ließen sich noch viele Beziehungen zwischen der
Mandelbrotmenge und Juliamengen aufzeigen.
4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht?
Die fraktale Geometrie ist ein im Vergleich sehr junger Zweig
der Mathematik. Dafür lassen sich eine Reihe von Gründen
aufzeigen.
4.1 Die Menschen hinter den Fraktalen
4.1.1 Gaston Julia
Gaston Maurice Julia wurde am 3. Februar 1893 in Algerien
geboren. Als Soldat im I. Weltkrieg verlor er seine Nase bei
einem Vorstoß der französischen Front. Er unterzog sich
mehrmals schmerzhaften Operationen, dennoch mußte er sein
ganzes Leben einen Lederstreifen über dem Gesicht tragen.
Während seiner langen Lazarettaufenthalte trieb er seine
mathematischen Arbeiten voran. Im Alter von 25 Jahren
veröffentlichte er seine bekannteste Arbeit, die „Abhandlung
über die Iteration von Funktionen“, welche heute eine
Grundlage des Wissens über Fraktale darstellt. Julia wurde
mit dem Preis der französischen Wissenschaftsakademie
ausgezeichnet und in Berlin wurden 1925 wissenschaftliche
Seminare zu seinem Werk abgehalten. Dennoch gerieten Julia
und seine Arbeiten in Vergessenheit, bis sie von Benoit
Mandelbrot in den siebziger Jahren wiederentdeckt wurden.
4.1.2 Benoit Mandelbrot
Benoit B. Mandelbrot wurde 1924 in Warschau geboren und
-18-
emigrierte nach Frankreich, wo ihn sein Onkel Szolem Mandel-
brot, der Mathematikprofessor am College de France war,
unterrichtete. 1947 erwarb Benoit ein Diplom an der Ecole
Polytechnique in Paris, 1948 wechselte er zum California
Institute of Technology, wo er an Luftturbulenzen hinter Jets
arbeitete. In der Folgezeit war er bei einigen Instituten
angestellt, darunter die Yale Fakultät und die Natural
Academy of Science. Er erhielt viele Ehrendoktorate und
Auszeichnungen. Er arbeitete in den siebziger Jahren bei IBM
und danach im T.J. Watson Research Center, wo er Leiter der
Computergraphikabteilung war. Dort kam ihm zufällig die Idee
der natürlichen Fraktale als er eine Hügelkette betrachtete.
Er untersuchte iterative Prozesse und Julias Ergebnisse auf
Computern und entdeckte wiederum zufällig die nach ihm
benannte fraktale Menge, die Mandelbrotmenge. 1977 schrieb er
sein erstes Buch: „Die fraktale Geometrie der Natur“. Benoit
Mandelbrot und Gaston Julia verdanken wir heute den größten
Teil unseres Wissens über Fraktale.
4.2 Der Computer, essentielles Werkzeug
Ohne den Computer gäbe es keine fraktale Geometrie in der
heutigen Form. Im folgenden möchte ich aufzeigen warum dies
so ist.
4.2.1 Ohne Computer keine Fraktale
Der Computer ist das Werkzeug, das Fraktale Geometrie
ermöglicht hat. Gaston Julia entwickelte zwar schon zu Anfang
des 20. Jahrhunderts Theorien über iterative Funktionen,
jedoch hat er nie eine Juliamenge gesehen. Um eine ver-
wertbare Juliamenge zu erzeugen, sind eine Vielzahl von
Berechnungen notwendig. Ein Beispiel: Man möchte eine
willkürliche Juliamenge berechnen. Um eine hinreichende
Genauigkeit zu gewährleisten, führt man 100 Iterationen
-19-
durch. Das heißt also 100 mal die gleiche Rechnung ( )a a cn n+ = +12
und das mit Zahlen, die bei jedem Schritt extremer werden.
Aber dann wurde nur ein Punkt der Juliamenge errechnet. Das
Ziel ist allerdings eine vollständige Juliamenge. Bei der
noch relativ geringen Auflösung von 300*200 Bildpunkten kommt
man so auf 6 Millionen Rechenschritte. Diese Flut an nötigen
Rechnungen kann kein Mensch im Kopf lösen, auch dann nicht,
wenn ein Mensch in bestimmten Fällen, z.B. bei einem Fix-
punkt, die Berechnung vorzeitig abbrechen kann. Die einzige
Möglichkeit, solch eine Aufgabe zu lösen, ist der Computer.
Hier ist dies mit einem im Vergleich geringen Aufwand
verbunden, denn programmtechnisch ist die Berechnung einer
Juliamenge kein schwieriges Problem denn die Rechenvorschrift
ist ja immer die gleiche. Die Entwicklung programmgesteuerter
Rechenmaschinen, nämlich der Computer, war nötig, denn ohne
sie wäre die heutige fraktale Geometrie nicht möglich.
4.2.2 Entwicklung der Computertechnologie
Die Computertechnologie macht enorme Fortschritte. Jedes
halbe Jahr wird eine neue Prozessorgeneration für Personal
Computer entwickelt. Durchschnittlich alle zwei Jahre
verdoppelt sich die Rechenleistung von PC‘s. Für die Ma-
thematik und speziell für die fraktale Geometrie bedeutet
das, dass immer komplizierte und aufwendigere Aufgaben gelöst
werden können. Immer genauere Fraktale in immer größeren
Auflösungen können berechnet werden. Auch kann man komplexere
Iterationsvorschriften verwenden, die einen enormen Rechen-
aufwand erfordern, was die Berechnung früher nicht im
vernünftigen zeitlichen Rahmen ermöglichte.
5 Anwendung von Fraktalen
Fraktale sind rein theoretische Figuren, doch das ist ein
-20-
idealer Kreis auch. Diesen benötigt man jedoch für eine ganze
Reihe von Anwendungen. Die fraktale Geometrie setzt dort an
wo die klassische Geometrie versagt und zwar im Bereich des
irregulären und gebrochenen. Im folgenden möchte ich auf die
Anwendungen der fraktalen Geometrie eingehen.
5.1 Fraktale in der Graphik
5.1.1 Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung
natürlicher Fraktale
Ein Großteil natürlicher Strukturen sind Fraktale, zum
Beispiel: Bäume, Wolken oder Berge. Möchte man solche
Strukturen graphisch darstellen, bieten sich künstliche
Fraktale, also die fraktale Geometrie, an. Es ist fast
unmöglich die Form einer Wolke mit herkömmlichem Mitteln zu
beschreiben. Bedient man sich jedoch der fraktalen Geometrie
und kennt man die ungefähre fraktale Dimension, so ist es ein
leichtes Strukturen zu erzeugen, die den natürlichen sehr
ähnlich sind. Die Wolken auf der Fernsehwetterkarte bei-
spielsweise werden fraktal modelliert.
5.1.2 Fraktale in der Bildkompression
Die Kompression, also die Datenreduktion, von Bilddaten ist
ein weiteres Anwendungsfeld in dem Fraktale zum Einsatz
kommen. Betrachtet man ein Bild als regelmäßige Anordnung von
Pixeln (Bildpunkte), so muß man sie alle auch speichern um
das Bild wiedergeben zu können. Um Speicher zu sparen, muß
man sich lokale Bildzusammenhänge zu Nutze machen. Oftmals
sind benachbarte Pixel in Farbe und Sättigung ähnlich, was
genutzt werden kann, um das Bild zu komprimieren. Man teilt
das Bild in rechteckige Abschnitte (regions) auf, überprüft
ob Ähnlichkeiten bestehen und nutzt diese gegebenenfalls zur
Kompression. Ein großer schwarzer Bereich, der aus vielen
Pixeln besteht, kann man beispielsweise auch als eine
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zusammenhängende Fläche beschreiben. Es gibt aber auch eine
völlig andere Möglichkeit die auf fraktaler Geometrie beruht.
Oft bestehen zwischen verschiedenen Teilen des Bildes
Ähnlichkeitszusammenhänge. Ein Wandteil kommt an verschiede-
nen Stellen mehrmals vor, ein Felsstück gleicht einem anderen
an anderer Stelle. Die fraktale Bildkompression setzt diese
Beziehungen nun in eine mathematische Beschreibung des Bildes
durch Transformationen um. Dazu teilt man das Bild zweimal in
Segmente auf, in sogenannte „Range Regions“ die dem Bild-
inhalt angepasst werden und sich auch überlappen dürfen, und
in regelmäßige, recheckige „Domain Regions“ in der gewünsch-
ten Auflösung. Nun sucht man für jede „Domain Region“ eine
„Range Region“ die größer ist und durch affine Transformation
in die „Domain Region“ abgebildet werden kann (kontraktive
Transformation). Der Inhalt muß gleich oder sehr ähnlich
sein. Hat man dies für alle „Domain Regions“ durchgeführt,
ist das Bild fraktal beschrieben. Die wenigen Parameter, die
dann noch zur Rekonstruktion des Bildes nötig sind, ergeben
die Informationsersparnis im vergleich zum unkomprimierten
Bild.
5.2 Physikalische Anwendungen
Die fraktale Geometrie kann auch für physikalische Anwendun-
gen genutzt werden. Viele Systeme wachsen in einer fraktalen
Art und Weise: Kupfer in einer Kupfersulfat Elektrolyse,
Bäume oder Gewitterblitze, sie sind alle stark verzweigt und
selbstähnlich. Sie sind Fraktale und lassen sich durch die
fraktale Geometrie ideal beschreiben. Turbulente, hydrodyna-
mische Systeme sind ein weiteres typisches Einsatzfeld der
fraktalen Geometrie.
6 Einordnung der Fraktalen Geometrie in die
klassische Mathematik
Die fraktale Geometrie ist ein noch sehr junger Zweig der
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Mathematik. Sie kann nicht auf Jahrhunderte voller Entwick-
lung und neuen Theorien zurückblicken, daher gibt es in ihr
noch viel zu entdecken. Sie setzt Computer als wichtigstes
Werkzeug ein, folglich wirkt sich jede Weiterentwicklung in
der Computertechnologie auch auf die fraktale Geometrie aus.
Sie deckt Zusammenhänge ab und ermöglicht Problemlösungen,
die mit klassischen Mitteln kaum realisierbar waren. Früher
nicht beschreibbare natürliche Strukturen wurden mathematisch
fassbar. Fraktale Geometrie ersetzt die klassische Mathematik
nicht, aber sie ergänzt sie an den Stellen wo die klassischen
Ansätze versagen.
7. Schluß
Die fraktale Geometrie eröffnet neue Wege um Problemstel-
lungen zu lösen. Sie ist zu einem wichtigen Instrument
geworden um Zusammenhänge die sonst nicht, oder nur mit
allergrößten Schwierigkeiten beschrieben werden könnten
greifbar zu machen. Es wäre sinnvoll diesen faszinierenden
Zweig der Mathematik auch in der Sekundarstufe II einzuführen
und zu erläutern. Die Möglichkeiten der fraktalen Geometrie
sind enorm und wurden erst ansatzweise ausgeschöpft. Die
fraktale Geometrie ist eine ideale Möglichkeit, um Informa-
tik, Mathematik und die klassischen Naturwissenschaften zu
verknüpfen.
8. Anhang
8.1 Literatur und Quellenverzeichnis
Halling H. / Möller R. (1995):Mathematik fürs Auge - Eine
Einführung in die Welt der Fraktale, Heidelberg, Berlin,
Spektrum, Akad. Verl.
Herford P. / Klotz A.(1997): Ornamente und Fraktale, Wies-
baden, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsges.
Kenneth J. Falconer (1990): Fraktale Geometrie - Mathemati-
sche Grundlagen und Anwendungen, Oxford, Spektrum, Akad.
Verl.
Fernkurs Fraktale Geometrie
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http://www.informatik.fernuni-hagen.de/import/pi2/Fraktale/
Komplexe Zahlen - Iteration
Http://www.tohuwabohu.org/docs/iteration.html
Komplexe Zahlen - Was ist das ?
Http://www.tohuwabohu.org/docs/komplzahl.html
Was sind komplexe Zahlen?
Http://www.hh.schule.de/hhs/info11-33/bio-babs/entsteh.htm
8.2 Bildverzeichnis
Bild 1: http://www.informatik.fernuni-hagen.de/import/pi2/
fraktale/koch.jpg
Bild 2,3,4: http://belgarath.esg-guetersloh.mediapoint.de/
uforum/physik-lk-12-1997-1998/fraktale/kochkur_1,2,3.jpg
Bild 5: Corel Qattro Pro
Bild 6,7,8: Fractal Extreme v.1.20
Bild 9: Fractal Explorer v 1.21
8.3 Verzeichnis sonstiger Hilfsmittel
Fraktalprogramme:
Fractal eXtreme v.1.20, Cygnus Software 1997,
Fractal Explorer v.1.21, A. Sirotinsky, O. Fedorenko,
1997-2000, Kiev,
Sonstiges:
Bertelsmann Lexikodisc, Disc 2, Technik und Natur,
Bertelsmann Lexikon Verlag GmbH, Gütersloh 1999
8.4 Erklärung
Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe
angefertigt und nur die im Literatur- und Quellenverzeich-
nis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
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Ort, Datum Unterschrift