Post on 10-Jan-2016
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Examen partiel #2
• Mardi le 9 novembre de 19h30 à 21h20
• Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon.
• Matière de l'examen:- Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2.- Notes de cours (guide d'études): sections 6 à 10.- Devoirs: 5 à 8.
• Déterminants:– définition;– propriétés;– règle de Cramer;– calcul de l’inverse d’une matrice;– aire et volume;– transformations linéaires.
Rappel...
Aujourd’hui
• Valeurs propres et vecteurs propres.– Définitions;– Propriétés;– Équations aux différences;– Équation caractéristique;– Matrices similaires;– Applications aux systèmes dynamiques.
10. Valeurs propres etvecteurs propres
Avu vAu
Définition: Vecteur propre
Un vecteur propre d’une matrice An n est un vecteur non nul x tel que
Ax = x
pour un scalaire quelconque.
Définition: Valeur propre
Un scalaire est appelé une valeur propre de A s’il existe une solution non triviale x du système Ax = x; un tel x est appelé vecteur propre correspondant à .
Matlab: eig
x = eig(A): x est un vecteur colonne contenant les valeurs propres de A.
[U V] = eig(A): U est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et V est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A.
Équation (A - I)x = 0
• L’ensemble de toutes les solutions est le noyau de la matrice (A - I).
• C’est donc un sous-espace de Rn.
• On appelle ce sous-espace l’espace propre correspondant à .
Valeurs propres d’une matrice triangulaire
Soit A une matrice triangulaire. Alors les valeurs propres de A sont les éléments de la diagonale principale de A.
Suite du théorème des matrices inversibles
Soit A une matrice n n. Alors A est inversible si et seulement si
Le nombre 0 n’est pas une valeur propre de A.
Vecteurs propres correspondants à des valeurs
propres distinctes
Si v1,...,vr sont des vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes 1,...,r d’une matrice A n n, alors l’ensemble {v1,...,vr} est linéairement indépendant.
Équations aux différences
• Équations représentant des systèmes dynamiques.
• Équation du premier ordre:
xk+1= A xk, k = 0,1,2,...
L’équation caractéristique
• L’équation caractéristique est une équation scalaire à une inconnue nous permettant de calculer les valeurs propres.
Propriétés des déterminants
• Soit A et B des matrices n n.
a. A est réversible si et seulement si det A 0.
b. det AB = (det A)(det B).
c. det AT = det A.
Propriétés des déterminants (suite)
d. Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.
Propriétés des déterminants (suite)
e.
- Une opération de remplacement d’une ligne de A ne change pas le déterminant.
- Un échange de deux ligne change le signe du déterminant.
- La multiplication d’une ligne par un scalaire multiplie le déterminant par le même scalaire.
Définition: équation caractéristique
• (A - I)x = 0 a une solution non triviale si et seulement si A - I est non inversible(théorème sur les matrices inversibles).
• A - I est non inversible si et seulement sidet(A - I) = 0.
Définition: équation caractéristique (suite)
• Ceci nous amène donc à définir l’équation caractéristique de A.
det(A - I) = 0
Définition: matrice similaire
Si A et B sont des matrices similaires, alors A est similaire à B s’il existe une matrice réversible P telle que P-1AP = B ou, de manière équivalente, A = PBP-1.
Matrice similaire (suite)
Si on remplace P-1 par Q on a Q-1BQ = A. B est donc similaire à A, et nous disons simplement que A et B sont similaires.
Théorème: Matrices similaires et valeurs propres
Si A et B, des matrices n n, sont similaires, alors elles ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).
Prochain cours...
• Diagonalisation et transformations linéaires.