Post on 12-Dec-2015
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P - 1Sedes: Lima - Huánuco - Puno
1. En una urna hay 5 bolillas; 3 azules y 2 rojas. Se saca una bolilla de la urna y, sin mirarla, se guarda. A continuación, se vuelve a sacar otra bolilla y esta resultó roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido azul?
A) 12
B) 14
C) 34
D) 25
2. Se les preguntó a 10 personas cuántas veces acudían al dentista durante un año, y los resultados obtenidos fueron 2; 1; 3; 1; 2; 4; 2; 1; 1; 3. Determine la varianza de los datos obtenidos.
A) 1,5 B) 1,3C) 0,8 D) 1
3. El sistema lineal de orden tres
2 2
2
3 2 1
x y z
x y z m
x y z
+ − =− + =+ − = −
tiene conjunto solución S = (x0; y0; 3). Calcule el valor de m.
A) 4115
B) 1541
C) 7 D) 5
4. Sea S un polígono convexo cuyos vértices son
(1; 1), 312;
, 2
52;
, (4; 3) , (5; 2) , y
f(x; y) = mx + ny, m; n ∈ R+.
Quinto grado de secundaria
Tema
P
Si máx f(x; y) con (x; y) ∈ S tiene más de una so-
lución óptima, entonces el valor de
máx f x ym n
( ; )+
es
A) 1. B) 2.
C) 52
. D) 72
.
5. Sea f: R → R+ una función tal que f(x) = ex – 1. Esboce la gráfica de la función g defi-
nida por g(x) = f –1(x +1).
A)
1 X
Y B)
X
Y
C)
1 X
Y D)
1
X
Y
6. De las siguientes proposiciones, indique el valor de verdad.I. Dos rectas perpendiculares a una tercera ne-
cesariamente son paralelas.II. La intersección de dos planos es necesaria-
mente una recta.III. Si dos circunferencias solo tienen un punto
en común, entonces necesariamente son tangentes.
A) FFF B) VVVC) FVV D) FVF
Prueba eliminatoria - Quinto grado de secundaria
Sedes: Lima - Huánuco - PunoP - 2
7. En el laboratorio de la UCH, existe un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH. Si P y Q son puntos medios de AB y AD, respectivamente, además AE = FH, calcule la medida del ángulo diedro que forma el plano determinado por P; Q y G con el plano EFGH.
A) 45º B) 53ºC) 74º D) 60º
8. Se construye un tetraedro con cuatro piezas triangulares de vidrio. Si estos triángulos son equiláteros y el tetraedro obtenido tiene altura 2, calcule el volumen de dicho tetraedro.
A) 1 B) 3C) 2 D) 3
9. Sea P un punto del plano que contiene a la base de un cono de revolución, desde el cual se traza PT una recta tangente a la superficie cónica (T punto de tangencia). Si T es punto medio de la generatriz que la contiene, la menor distancia de P a la circunferencia que limita la base es 2 y PT = 5, calcule la altura del cono sabiendo que el área de la superficie lateral es el doble del área de la base.
A) 3 B) 3 2
C) 3 3 D) 3 6
10. Calcule el volumen de una esfera que es tangente a todas las aristas de un hexaedro regular (cubo) cuya longitud de su arista es 2.
A) 23π
B) 43π
C) 83π
D) 323
π
11. Se muestra una circunferencia con centro O, cuyo diámetro es igual a la longitud del lado del cuadrado ABCD. Calcule la tangente del ángulo COB. Considere al punto T de tangencia.
D C
AT
O
B
A) 12
B) 23
C) 34
D) 43
12. En el gráfico, AB = 6 y la tangente del ángulo ACB es igual a – 3. Calcule CH.
A H B
C
45º
A) 2 B) 3C) 4 D) 5
13. Al simplificar la expresión
sen
sensen
3 3x xx x
x x−−
+coscos
cos ,
se obtiene
A) –1. B) − 12
.
C) 1. D) 12
.
14. ¿Cuántos valores enteros adopta la expresión
312
22sen senx x+ ?
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
Concurso Nacional de Matemática - UCH 2014
P - 3Sedes: Lima - Huánuco - Puno
15. Si f x xx x
x( ) sen
cos= + ++
sensen
3 31 2 2
,
calcule el valor de f56π
.
A) − 12
B) − 32
C) 12
D) 32
16. Halle el equivalente de
424
512
2cos tanπ π− .
A) 212
tanπ
B) senπ12
C) tanπ4
D) secπ3
17. En el triángulo ABC, AB = c; BC = a y
AC a c= −2 42 2 . Si senB a c
a2 2= −
,
calcule tan2B.
A C
B
BA) 2
B) 3
C) 4
D) 5
18. En un triángulo ABC, se cumple la relación 2tanB + tanC = tan2B × tanC Calcule el valor de
tan tan
cot
B AC
+ 2
2
.
A) 2 B) 3
C) 12
D) 32
19. El área de la región triangular ABC es 12 u2. Si
MB = MC y tana = 8, calcule AC2 – AB2.
αC M B
A
A) 4 B) 6C) 8 D) 12
20. De la ecuación trigonométrica 2cos2x - 3sen2x - 3senx - cosx + 3 = 0, donde x ∈ ⟨0; 2p⟩, halle el número de soluciones.
A) 1 B) 2C) 3 D) 4