Estudo dos Poliedros

Enchendo a piscina

A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura.

Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.

18 m

x

Enchendo a piscina

O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros.

V ( L)

x (m)

0 C43.200

0,8

1,8

Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa?E na parte mais funda?

Qual é a capacidade da piscina, em litros?

Em quanto tempo a piscina ficará cheia?

Poliedro: uma forma muito especial

Determinados sólidos tem uma forma muito particular. Observe os sólidos representados a seguir.

A

B C

D

E F

M N

PQ

Definição

Os sólidos apresentados têm algumas característica comuns:

São limitados por polígonos; Cada lado desses polígonos pertence a

exatamente a dois dos polígonos; Dois desses polígonos nunca são coplanares.

Todo sólido que obedece a essas condições é chamado de poliedro.

Elementos de um poliedro

Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.

Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.

Elementos de um poliedro

Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.

Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.

Elementos de um poliedro

A

B C

D

E

F G

H

Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.

Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.

Elementos de um poliedro

Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.

O conjunto de todas as faces de um poliedro é chamado Superfície poliédrica. É a parte externa, visível. É a “casca” do poliedro.

Poliedro convexo e poliedro côncavo

Observe os sólidos representados abaixo.

A

B C

D

E F

Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço.

Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos.

Poliedro convexo e poliedro côncavo

Observe agora o sólido representado abaixo.

M N

PQ

O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes.

Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo.

Classificação dos poliedros

Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de suas faces (F).

octaedro8

icosaedro20heptaedro7

dodecaedro12hexaedro6

decaedro10pentaedro5

eneaedro9tetraedro4

PoliedroFPoliedroF

Veja alguns desses poliedros

Hexaedro (P1)Octaedro (P2)

Eneaedro (P3) Heptaedro (P4)

Relação de Euler

Existe uma relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo.

15710P4

1699P3

1286P2

1268P1

AFVPoliedro

V + F – A = 2

Exemplos

Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem?

V + F – A = 2 ⇒ 6 + F – 12 = 2

⇒ F – 6 = 2

⇒ F = 8

Exemplos

Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadran-gulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices?

Primeiro vamos achar o número de arestas.

9 Faces ⇒7 quadrang.

2 triang.

⇒ A = 7.4 = 28

⇒ A = 2.3 = 6

⇒ 2A = 34 ⇒ A = 17

V + F – A = 2 ⇒ V + 9 – 17 = 2

⇒ V – 8 = 2 ⇒ V = 10

Poliedros regulares

Poliedro regular é todo poliedro em que:

Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si;

De cada vértice, parte o mesmo número de arestas.

Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.

O prisma e suas formas

O prisma e suas formas

Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

Definição

Observe a animação.

r

O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de faces

A

B C

D

EF

A’

B’ C’

D’

E’F’

bases (polígonos congruentes).

faces laterais (paralelogramos).

Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de arestas

A

B C

D

EF

A’

B’ C’

D’

E’F’

arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).

arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

Elementos principais do prisma

h

A

B CD

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Nomenclatura dos prismas

Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrilátero

P. triangulartriângulo

PrismaPolígonos das bases

Veja alguns desses prismas

Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas

Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base.

Dizemos que ele é:

prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases;

prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.

Classificação dos prismas

Prisma triangular reto

Prisma Pentagonal

oblíquo

hh

Prisma regular

Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular.

O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero

⇒

A

B

C

Prisma triangular regular

O prisma é reto e aBase é hexágono regular

⇒

Prisma hexagonal regular

Prisma quadrangulares

Prismas quadrangulares

Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo.

Paralelepípedo

Prismas quadrangulares

Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

Prismas quadrangulares

Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.

Cubo ou hexaedro regular

Estudo do cubo

Estudo do cubo

O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.

a → medida de cada uma das arestasa

aa

a

a

a

Diagonais no cubo

Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.

a → medida de cada uma das arestas

d

D

d → diagonal da face

D → diagonal do cubo

Diagonais no cubo

Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.

a

a

a

d

D

a

d2 = a2 + a2

⇒ d = 2a2

⇒ d = a√2

Diagonais no cubo

Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.

a

a

a

d

Da

D2 = a2 + d2

⇒ D = a2 + 2a2

⇒ D = 3a2

⇒ D = a√3

Área da superfície total do cubo

Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura.

a

aa

a

a

a

a

AT = 6a2

Exemplo

A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo?

AT = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3

d = a√2 ⇒ d = 3√2

D = a√3 ⇒ D = 3√3

O cubo como unidade de volume

Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.

V = 1 u3

1 u1 u

1 u1 u

Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida.

O cubo como unidade de volume

Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.

V = 1 u3

1 u1 u

1 u1 u

Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3.

Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.

Volume

O volume de um sólido qualquer, numa certa unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido.

Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos abaixo?

V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3

Volume do cubo

Analise as três figuras a seguir.

a = 1 uV = 1 u3

a = 2 u a = 3 uV = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3

De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é

V = a3

Exemplo

Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área da superfície total e o volume desse cubo?

D = a√3 ⇒ a√3 = 6 ⇒ a = √3

6 ⇒ a = 2√3 m

AT = 6a2 ⇒ AT = 6.(2√3)2 ⇒ AT = 72 m2

V = a3 ⇒ V = (2√3)3 ⇒ V = 24√3 m3

Estudo do Paralelepípedo retângulo

Estudo do paralelepípedo retângulo

O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.

a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.

ac

b

Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

b

a

Diagonal do paralelepípedo

Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.

d → diagonal da face inferior

D → diagonal do paralelepípedo

c

d

D

b

a

Cálculo da diagonal do paralelepípedo

Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo.

c D

d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2

d

D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2

Exemplo

O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?

D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2

⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160

⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

Área da superfície total do paralelepípedo

Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.

ac

b

a

b

c

ab

ab

ac

ac

bc bc

AT = 2ab + 2ac + 2bc

AT = 2(ab + ac + bc)

Exemplo

A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?

As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.

AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248

⇒ ab + ac + bc = 124

:(2)

⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124

⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124

⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2

Exemplo

A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?

Logo a = 4, b = 6 e c = 10.

D = √42 + 62 + 102

D = √16 + 36 + 100

D = √152

D = 2√38

Volume do paralelepípedo retângulo

Analise as duas figuras a seguir.

cubo unitárioV = 1 u3

V = 5.3.4 = 60 u3

5 u3 u

4 u

De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por

V = a.b.c

Observação

Podemos interpretar o volume de um paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir.

V = abc

V = AB.h

ab

c

A = ab

= (ab)c = (área da base) . (altura relativa)

Exemplos

Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros?

A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela.

V = abc = 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m3

Sabemos que 1 m3 = 1 000 dm3 e que 1 L = 1 dm3.

V = 2 400 dm3 = 2 400 L

Exemplos

Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?

Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz.

Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.

Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.

Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.

V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V

Concluímos que o volume aumenta 40,4%.

Estudo geral do prisma

Estudo geral do prisma

Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que

As arestas laterais são alturas;

As faces laterais são retângulos;

A

B

C

Áreas no prisma

No prisma as áreas.

Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;

Área da base (AB) – Área do polígono da base;

Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases

AT = AL + 2AB

Exemplo

A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.

3

5

64

AL = 3.6 + 4.6 + 5.6

AL = 18 + 24 + 30 = 72

AB = (3.4)/2 = 6

AT = AL + 2.AB

AT = 72 + 2.6 = 84

Exemplo

Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.

x

6

A = 24√3 ⇒

23x2√3

= 24√3

⇒ x2 = 16

⇒ x = 4

Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24

AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 144 m2

Princípio de Cavalieri

Princípio de Cavalieri

Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.

Princípio de Cavalieri

Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano , se

Todos têm a mesma altura; Todo plano paralelo a e que corte os sólidos

determina, em todos eles, seções planas de mesma área;

Então os sólidos têm o mesmo volume.

Princípio de Cavalieri

A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.

Volume do prisma

Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.

V = AB.h

h

60º

Exemplos

As bases de um prisma oblíquo são retângulos cujos lados medem 5 cm e 4 cm. Suas arestas laterais medem 6 cm e formam, com o plano da base, ângulo de 60º. Achar o volume do prisma.

6

4

5

Exemplos

O volume de um prisma hexagonal regular é igual a 486 cm3, e sua altura é igual ao apótema da base. Calcular sua área total.

L

h