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Porf. Rodrigo de Alvarenga Rosa 23/03/2012
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1Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosarodrigoalvarengarosa@gmail.com(27) 9941-3300
Estrada de RodagemCurvas Concordância Horizontal
Circular
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Histórico
• No início do transporte rodoviário, as rodovias proporcionavam maior liberdade no deslocamento dos veículos– Tinham pouco tráfego– Os veículos trafegavam em baixa velocidade– Eram sem pavimentação e os veículos podiam invadir a
contramão
• Por isso problemas de traçado (geometria) não eram tão preocupantes
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Histórico
• Na década de 30 houve grande incremento na construção de rodovias
• Começam as rodovias pavimentadas
• A velocidade dos veículos também aumenta
• Neste momento, passa a ser preocupante a atuação da força centrífuga.
• Necessidade de superelevação e superlargura.– Sobretudo o estudo da superelevação.
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Geometria
• A força atua bem no início da curva circular
• Ou seja, no PC (ponto onde termina a tangente e inicia a curva circular)
• Assim, é interessante que o plano de rolamento já esteja modificado neste ponto
• É impossível modificar o traçado em um ponto– Iria gerar um degrau na pista
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Geometria
• Modificar o plano de rolamento antes do PC– Teria uma tangente com uma inclinação para um dos
lados sem ter a força centrífuga atuando– Poderia gerar um tombamento do veículo e desconforto
para os passageiros
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Geometria
• Iniciar a modificação após o PC– No PC já existe a força centrífuga, porém ainda não
existe plenamente a superelevação– Assim, esta situação também ocasiona desconforto aos
passageiros e risco de derrapagem ao veículo por falta da compensação da superelevação total
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Geometria
• Introduzir uma nova curva entre a tangente e o início da curva simples.– Essa é a melhor opção encontrada– Ao fim da tangente, no início da curva de transição, (TE)
inicia-se a superelevação e gradualmente chega-se ao máximo no ponto EC (espiral - arco circular) que é o início da curva circular que demanda toda superelevação
– O mesmo ocorre quando do término da curva circular CE (curva circular - espiral) que vai perdendo a superelevação até chegar a tangente (ET) sem superelevação
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Geometria
• Esta curva de transição deve em cada ponto ao longo do arco proporcionar uma aceleração centrífuga em harmonia com a superelevação da via.
• Tem-se uma distribuição da superelevação proporcional ao desenvolvimento da curva de transição desde o seu início.
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Geometria
• As melhores curvas são as denominados radiodes que provêm da relação:
ll
ρρ =d
d
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Geometria
• Clotoide ou espiral de Cornu ou de Van Leben ou curva de Euler:
• Leminiscata de Bernouilli
• Curva elástica
• A mais usada pelos órgãos brasileiros, DNIT, é a clotoide.
)1
(ρ
f=l
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Concordância com curva circular
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Concordância com curva circular
D
Sentido deestaqueamento
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Concordância com curva circular
• O prolongamento das duas tangentes contíguas a uma curva de concordância se encontram em ponto denominado ponto de intercessão PI
• A distância entre o PI e o PC e a distância entre o PI e o PT são denominadas tangente externa T.
• No PI, o prolongamento de uma tangente externa forma um ângulo de deflexão denominado .∆
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Concordância com curva circular
• Os sucessivos PI de uma diretriz formam uma poligonal.
• Nesta poligonal cada lado mede a soma tangente da diretrizcom as tangentes externas de cada curva adjacente.
• Os raios externos do arco de círculo, normais às tangentes, onde tocam o PC e o PT, formam o ângulo central AC
• O ângulo central é o mesmo do ângulo de deflexão .∆
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Concordância com curva circular
• O arco de círculo da curva de concordância é definido por:• Raio - R• Ângulo central - AC• Extensão ou Desenvolvimento entre o PC e PT - D
• O segmento PIM entre o arco de círculo é o afastamento E.
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Concordância com curva circular
• Pode-se deduzir:
• Tangente externa:
• Afastamento:
• Desenvolvimento:
)2
(tanAC
RT =
)1)2
(sec( −= ACRE
180
Π= RACD
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Exemplo - Concordância com curva circular• Faça a locação por estaqueamento das curvas 1 e 2
conforme a diretriz a seguir.
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A deflexão é igual ao Ângulo central
PC1 PT1
AC1
T1
D
Exemplo - Concordância com curva circular
• Estratégia de abordagem
O
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Exemplo - Concordância com curva circular
mAC
RTo
90,42)2
401224(tan200)
2(tan
"'1
11 ===
mRACD o 51,84180
200401224180
"'111 =Π=Π=
mRACD o 25,143180
250504932180
"'222 =Π=Π=
mAC
RTo
65,73)2
504932(tan250)
2(tan
"'2
22 ===
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Com os valores das tangentes externas e do desenvolvimento, pode-se calcular os comprimentos das tangentes.
mmTPIPC 07,11407,9190,4297,1330 111 +==−=−−=mmDPCPT 58,15858,17551,8407,91111 +==+=+=
mm
TTPIPIPTPC
52,181252,258
)65,7390,4249,199(58,175)( 212112
+==−−+=−−−+=
mmDPCPT 77,12077,40125,14352,258222 +==+=+=
( ) mmTPFPIPTPF 24,192324,479)65,7312,151(77,401222 +==−+=−−+=
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Exemplo - Concordância com curva circular• Manual de Serviços de consultoria para estudos e projetos rodoviários, DNER, 1978, v.2
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Exemplo - Concordância com curva circular• Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme
a diretriz a seguir, e supondo que se queira manter os dois raios iguais, pergunta-se:• Qual o maior raio possível?• Qual o maior raio possível para manter um trecho em
tangente entre o ponto 1 e o ponto 2 de 80 metros?
AC1 = 40o
AC2 = 28o
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Exemplo - Concordância com curva circular• Resolução letra a)• A tangente da curva aumenta proporcionalmente ao raio.• O maior raio possível será quando ocorrer a maior tangente
no espaço disponível, 720,0m, ou seja, .
AC1 = 40o
AC2 = 28o
21 PCPT =
1T
72021 =+ TT
2T21 PCPT =
1PC2PT
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Exemplo - Concordância com curva circular
AC1 = 40o
AC2 = 28o
2
40tan1 RT =
1T
72021 =+ TT
2T21 PCPT =
1PC2PT
72021 =+ TT
2
28tan2 RT =
72014tan20tan =+ RR
Lembre-se do enunciado: os dois raios são iguais
mR 98,173.1=
• Resolução letra a)
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Exemplo - Concordância com curva circular• Resolução letra b)
AC1 = 40o
AC2 = 28o
1T7208021 =++ TT
2T
2PC1PC2PT
80
1PT
2
40tan1 RT =
72080 21 =++ TT
2
28tan2 RT =
72014tan8020tan =++ RR
Lembre-se do enunciado: os dois raios são iguais
mR 54,043.1=
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Grau de Curva
• O grau de uma curva Gc para um determinada corda c é o ângulo central que corresponde à corda considerada.
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Grau de Curva
• Traçando a bissetriz, e pegando o triângulo retângulo OPM, estabelece-se a relação:
• O grau de uma curva para uma dada corda c é uma forma alternativa de definir a geometria de uma curva circular.
R
c
R
MPGsen c 2)
2( ==
)2
(2R
csenarcGc =
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Corda de uma curva
• A corda é determinada pelo raio da curva conforme tabela do DNIT
Raios de Curva (R) Corda Máxima (c)
R <= 100,00m 5,00m
100,00m < R <= 600,00m 10,00m
R > 600,00m 20,00m
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Concordância com curva circular
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Exemplo - Grau da curva• Qual é o grau da curva da curva 1?
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Exemplo - Grau da curva• Qual é o grau da curva da curva 1?
• Pela tabela, deve-se usar corda igual a 10,00m, pois o raio é 200,00m
Raios de Curva (R)Corda Máxima
(c)
R <= 100,00m 5,00m
100,00m < R <= 600,00m 10,00m
R > 600,00m 20,00m
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Exemplo - Grau da curva• Pela fórmula:
• Pode-se dizer que a curva tem raio de 200,00m ou que tem grau
"'10 5451286509,2)
2002
10(2)
2(2 oosenarc
R
csenarcG ====
"'10 54512oG =
"'10 54512oG =
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Demarcação da curva em campo• A demarcação da curva em campo é denominada Locação
do eixo.
• Para demarcar os trechos em tangente, é relativamente fácil.• Consiste basicamente na medida de ângulos e de
distâncias ao longo de alinhamentos retos
• Para demarcar os trechos em curvas é mais complexo• Não dá para demarcar diretamente a curva no terreno
com auxílio de algum compasso• Nem se conseguem visadas curvas ou marcação de
distâncias curvas com os recursos da topográfia
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Locação por deflexões acumuladas
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Locação por deflexões acumuladas
• Na figura anterior, com o teodolito posicionado na tangente de referências, mede-se o ângulo de deflexão e as distâncias até o pontos.
• Isso demarcará o ponto de cada corda.
• Dá um precisão razoável nas locações reais, se respeitada a tabela anterior de limite da corda em função do raio
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Deflexões de uma curva circular
• A deflexão dc de uma curva circular, para uma corda c, é ângulo formado entre essa corda e a tangente à curva em uma das extremidades da corda.
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Deflexões de uma curva circular
• A deflexão é um ângulo orientado com origem na tangente• No caso da figura uma deflexão à direita
• Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz perpendicular à corda, o ângulo de deflexão resulta sempre igual à metade do ângulo central correspondente à corda.
• Em projeto geométrico, dentro dos limites de raios e comprimento de corda apresentados na tabela, é permitido confundir o comprimento de uma corda com o comprimento do arco da curva correspondente.
cc Gd2
1=
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Exemplo - Grau da curva• Qual a deflexão adotada para a curva 1?
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Exemplo - Grau da curva• Qual a deflexão adotada para a curva 1?
"'10 54512
2
1
2
1 ocGd ==
"'10 54'512oG =Do exemplo anterior:
"'10 57251od =
Essa é a deflexão para fins de projeto e locação para uma curva de R=200,00m e uma corda de 10,00m
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Deflexão por metro
• Na locação de uma curva circular pode haver a necessidade de determinar valores de deflexão da curva para arcos fracionários (não coincidentes com 5, 10 e 20 m).
• Sendo dc a deflexão para uma corda c, o valor da deflexão por metro é dada por:
c
dd c
m =c
Gd c
m 2=
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• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
Exemplo - Grau da curva
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Exemplo - Grau da curva• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
10
57251""'
10o
m c
dd ==
Do exemplo anterior:"'
10 57251od =
Essa é a deflexão de um metro para fins de projeto e locação para uma curva de R=200,00m e uma corda de 10,00m
"'36080omd =
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Métodos de locação
• Usa-se o processo de deflexões acumuladas.
• Posiciona-se o teodolito no PC e toma-se a direção da tangente como referência ou origem para contagem das deflexões.
• Dois métodos podem ser adotados• Estaca fracionária;• Estaca inteira.
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Métodos de locação
• Estaca fracionária• São marcados a partir do PC, as cordas;• Isto resulta em locação de pontos com estacas
fracionárias;
• Estaca inteira• A partir do PC marca-se uma corda que chegue na
primeira estaca inteira• Isto resulta em locação de pontos com estacas inteiras
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Métodos de Estaca fracionária
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Métodos de Estaca fracionária
• Os pontos X, Y e Z correspondem a estacas inteiras de 10,00m
• Corda de 10m, corda considerada igual ao arco• X = 5 + 1,07m; Y= 5 + 11,07m e Z= 6 + 1,07m• Deflexões
• Em X (corda cx, ângulo central = G10): • dx=1/2 G10 =d10
• Em Y (corda cy, ângulo central = 2 G10): • dy=1/2 2 G10 = 2 d10 = dx + d10
• Em Z (corda cz, ângulo central = 3 G10): • dz=1/2 3 G10 = 3 d10 = dy + d10
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Métodos de Estaca fracionária
• Na curva circular simples, as deflexões correspondentes a arcos sucessivos são cumulativos
• Sem necessidade de determinar as cordas cy e cz
• Têm-se, então:• dx = 1º25’57”• dy = 1º25’57” + 1º25’57” = 2º51’54”• dz = 2º51’54” + 1º25’57” = 4º17’51”
• Ai é só usar o teodolito e a trena!
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Métodos de locação
• Ângulo de deflexão fracionados não ocasionam nenhum problema aos cálculos das concordâncias em curvas.
• No entanto, para a utilização prática com teodolitos, podem ocorrer erro e acumulo de erro na hora de lançar as cordas no terreno.
• Assim, em vez de se usar deflexões com valores fracionados, usam-se raios com valores fracionados que deem deflexões inteiras.
)(2 cdsen
cR =
)2
(2 cGsen
cR =
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Exemplo - Raio Fracionário• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1
fosse inteira?
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Exemplo - Raio Fracionário• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1
fosse inteira?
Do exemplo anterior:"'
10 00201od =
msen
Ro
88,214)00201(2
10"'
==
Um valor inteiro para a deflexão pode ser:
Então o raio será:
"'10 57251od =
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Exemplo - Grau da curva• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
10
00201 "'10
o
m c
dd ==
Do exemplo anterior:"'
10 00201od =
Essa é a deflexão de um metro para fins de projeto e locação para uma curva de R=214,88m e uma corda de 10,00m
"'00080omd =
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Exercício 01 - Concordância com curva circular
• No projeto de uma curva circular sabe-se que o PI está na estaca 148 + 5,60, a deflexão é 22º36’ e o raio é 600,0 metros. Assim, deseja-se calcular:• O comprimento das tangentes• O desenvolvimento• O grau da curva• As estacas do PC e do PT
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Exercício 02 - Concordância com curva circular
• Faça a locação da curva por estaca fracionária do exercício anterior, supondo a rodovia com esta única curva.• Lance em uma tabela cada estaca (começando pelo PC),
sua deflexão simples e a deflexão acumulada• Supondo ainda uma tangente de 900,00m a partir do PT da
curva, qual seria a estaca do PF da rodovia?
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Exercício 03 - Concordância com curva circular
• Para o traçado abaixo com curvas circulares, determinar qual a estaca do PC de cada curva, a estaca do PT de cada curva e o ponto final.
R1 = 1.200,0 mDeflexão: 46º
R2 = 1.600,0 mDeflexão: 30º
PP=0
PF
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Exercício 04 - Concordância com curva circular
• Calcule a distância entre os PIs da curva 1 e da curva 2 da poligonal abaixo.
Curva 1Deflexão: 36º
Curva 2Deflexão: 48º
PP
PF
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Exemplo 05 - Raio Fracionário• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1
e da curva 2 fossem inteiras?• Com os novos raios fracionários recalcule os PCs, PTs e o
PF para a poligonal abaixo.• Qual a diferença total de comprimento da estrada
projetada com raios fracionários da calculadacom raios inteiros?
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Exercício 06 - Cálculo de Superlargura e Superelevação
• Em um projeto, tem-se uma curva com duas faixas, com raio de 200,00m, em relevo ondulado, na classe III do DNIT. Considerando veículo tipo CO e largura de faixa igual a 3,40m. Deseja-se saber qual o valor de superlargura e da superelevação a ser adotado.
Obs.: Calcule o raio mínimo pela tabela e pela fórmula.