2. Estática de fluidos

Para un fluido en reposo:

nσ p

n

Esfuerzo en un fluido

El fluido dentro del volumen V se encuentra encerrado por una superficie S. Enun punto sobre la superficie, donde la normal unitaria que apunta hacia fuera es n, el esfuerzo es .

Presión en un fluido estático.

Ley de Pascal: La presión en un punto dentro de un fluido es isotrópica.

VS

dVpdS pnpresión de fuerza

n

dV

Presión en un fluido en un campo gravitatorio

0g p

0g VV

dVdVp

0gn VS

dVdSp

Ecuación fundamental de la hidrostática

Forma diferencial:

Forma integral:

R·gR·gR·g 21 P P P 21

C

Fluido dC

1

2

constante constante, si , 0 PP

0d· d·p-

0d·p-

12

2

1

2

1

2

1

gR·gR·g

cR·gc

cg

12

Integral de línea entre dos puntos dentro de un fluido

Medición de la presión

Determinación de la presión atmosférica (El barómetro)

Diagrama de un barómetro de mercurio. Las alturas del fluido se miden en ladirección positiva de z, la aceleración gravitatoria es hacia abajo y los puntos 1 y 2 Identifican las superficies libres de la columna de mercurio y el depósito, respectivamente

pA + rmgzA = pB + rmgzB

pA = pvapor = 0pB = patm

patm = mg(zA – zB) = mgh

z

g

El manómetro

m

c

3

2

1

Manómetro de tubo en forma de U que se utiliza para medir la presión de un fluidoen un recipiente.

g

z

Abierto

Pa + mgz1 = P2 + mgz2

P2 + cgz2 = P3 + cgz3

P3 = Pa + mg(z1-z2) + cg(z2-z3)

Sumando:h

Si c << m:

P3 = Pa + mg(z1-z2) = Pa + mgh

Fuerza de presión sobre una superficie sólida

Sólido

Fluido R

dS

n

O

S

dSpnfp

Fuerza de presión del fluido sobre la superficie sólida

S

dSpnRT

Momento de la fuerza de presión sobre la superficie sólida

S

0

TTfRT

nRnRnRR

pcp

cp

dSpdSpdSp-

:presión de centro delalrededor fuerza de momento del Cálculo

SSScp

TfR pcp

n

S

x

y

Fuerza de presión sobre una superficie plana

Sólido

Rs

dS

O

x’

z’

y’

x ix + y iy

pa (Presión sobre la superficie del fluido)

Rc (centroide de S)

c

Rs = Rc + x ix + y iy

Rs es el vector posición de un punto sobre la superficie plana.

S

dSS

1sc RR

La fuerza de presión por unidad de área que actúa sobre un elemento dS dela superficie S de un sólido es pn, donde n es la normal unitaria que apunta hacia afuera del fluido. Rs es el vector de posición del elemento de superficie dS medidodesde el origen O del sistema de coordenadas.

S

xy

S

2yy

S

2xx

c

yyyxyxcp

c

xyyxxxcp

xydSI ,dSyI ,dSxI :donde

Sp

IgIgy

Sp

IgIgx

)Sp( c nfp

Fuerza de presión sobre una superficie plana

Cálculo del centro de presión: Rcp × fp = T

Donde:pc es la presión en el centroide de la superficie plana.S es el área de la superficie plana

Centroides y momentos de inercia

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Fuerzas de presión sobre cuerpos sumergidos en fluidos

Principio de Arquímides

Sólido

Fluido

n

O

Rg

Rb

V

w

S

dVdSp gnfb

Fuerza de boyamiento

Fuerza gravitacional

V

s dVg

V

dVV

1RRg

Centro de gravedad del sólido con densidad s ctte.

V

b dVV

1RR

Centro de carena del sólido si la densidad w del fluido es ctte.

dV

R

g

.desplazado fluido den volume

del peso al igual es sumergido sólido objetoun sobre

boyamiento de fuerza La :Arquímides de Principio dV-

:Entonces

ca)hidrostáti (Condición dV-

Gauss) de teoremael (Aplicando dVp

dSp

V

w

V

w

V

S

gf

g

nf

b

b

Si la densidad del fluido y g son constantes, obtenemos: Vw gfb

El momento de la fuerza de boyamiento sobre el sólido es:

¡EUREKA!

bbb

b

fRT

fRgRgRT

V

VdSdS bbw

SS

w

Equilibrio estable

Equilibrio estático

0FRFRFR

0F FF

extextggbb

extgb

BG

M

ao

x

y

b

c

d

e

f

B’

o’f’

b’

dx

dS = x tan() dx

aofocbacde

sub

SSSsub

Vsub

dSdSdSV

L

dVV

1

RRR

RRB'

a’

c’

0 si , 0y

ydSydSVL

y

ydSydSydSVL

y

aofocb

aofocbacde

SSsub

SSSsub

B

B

B'

L

o

sub

S

2

subac

2

sub

ocaosub

SSsub

SSSsub

IV

tan

dSxV

tanLdxtanx

V

1

dxtanxxdxtanxxV

L

xdSxdS0V

L

xdSxdSxdSV

Lx

'a'acc

aofocb

aofocbacde

B'

sub

0MB

'B

VI

Ltan

x

Si LMB > 0 entonces el sistema es dinámicamente estable.

Fluidos estratificados

Equilibrio estático en fluidos estratificados

quedirección misma

la tener debe reposoen adoestratific fluidoun de densidad la de gradiente El , 0

:equilibrio decondición siguiente la obtenemos constante, doConsideran

0P

0P-

ca,hidrostátiecuación la de rotacional el Tomemos

g

g

g

gg

g

Cálculo de la presión en un fluido estratificado

z

0z

0 dzzgpzp

gdz

dp

0·g·p-

:es adoestratific fluidoun para cohidrostáti equilibrio deecuación la entonces , g eaS

zzz

z

iii

ig

z

zo

o dzzT

1Rg

exppzp

gRTp

dzdp

RT,p perfecto, gasun comooatmosféric aire el doConsideran

Atmósfera isotérmica, T=T0

0

0o zz

RTg

exppzp

La atmósfera normal

1i,idT

dz

R

g

i

i1i,i

i

i1i,iT

zzdzdT

T

pzp

Para un gas ideal

Estabilidad atmosférica

p

s

s

c

g

dz

zdT

gp

dz

zdp

pdz

zd

0dz

zd

Tensión superficial y capilaridad

El líquido se eleva en un tubo capilar a una posición de equilibrio que estádeterminada por el equilibrio de la fuerza de tensión superficial y la de gravedad,las cuales actúan sobre una columna de fluido que presenta la elevación en susuperficie.

Bibliografía

[1] JAMES A. FAY. Mecánica de Fluidos. Compañía editorial continental, S.A. Primera edición. México. 1996.

[2] WHITE, Frank. Fluid Mechanics. Fourth edition. McGraw-Hill. 2004.

[3] L. D. LANDAU, E. M. LIFSHITZ. Fluid Mechanics. Second edition. (Volume 6 of course of Theoretical Physics). Pergamon Press. 1987.