Post on 01-Mar-2020
Associazione di Volontariato - pariMpari - C.F. 96071610768 - info@parimpari.it – www.parimpari.it
Il P
roble
m S
olv
ing
I LINCEI PER UNA NUOVA DIDATTICA NELLA SCUOLA: UNA RETE NAZIONALE
Dott. Giuseppe Guarino Dott.ssa Rossella Albano
Associazione
pariMpari ONLUS
INCONTRO DI FORMAZIONE Università degli Studi della Basilicata
Potenza - 16 gennaio 2019
2
Il P
roble
m S
olv
ing
CAPACITA’ DI RISOLVERE
PROBLEMI
3
Il P
roble
m S
olv
ing
Ho 4 gettoni a due facce ognuna riportante una lettera
dell’alfabeto. Le lettere non si ripetono. Quelle in gioco sono
A, E, I, O, P, R, S, V
Ho tirato 4 volte i gettoni e combinando le lettere sulle facce
superiori, ho ottenuto le 4 parole scritte sopra.
Ricostruire
i lati di
ciascun
gettone
4
Il P
roble
m S
olv
ing
Ricostruire
i lati di
ciascun
gettone
Ho 4 gettoni a due facce ognuna riportante una lettera
dell’alfabeto. Le lettere non si ripetono. Quelle in gioco sono
A, E, I, O, P, R, S, V
Ho tirato 4 volte i gettoni e combinando le lettere sulle facce
superiori, ho ottenuto le 4 parole scritte sopra.
5
Il P
roble
m S
olv
ing
Ricostruire
i lati di
ciascun
gettone
SOLUZIONE
I - O
A – E
P – S
R – V
Ho 4 gettoni e in ciascuna delle 2 facce di ognuno è impressa
una diversa lettera: sono in gioco A, E, I, O, P, R, S, V
Ho tirato 4 volte i gettoni e combinando le lettere sulle facce
superiori, ho ottenuto le 4 parole scritte sopra.
6
Il P
roble
m S
olv
ing
Ricostruire
i lati di
ciascun
gettone
Ho 4 gettoni e in ciascuna delle 2 facce di ognuno è impressa
una diversa lettera
Ho tirato 4 volte i gettoni e combinando le lettere sulle facce
superiori, ho ottenuto le 4 parole scritte sopra.
7
Il P
roble
m S
olv
ing
Ricostruire
i lati di
ciascun
gettone
SOLUZIONE
A - U
E - O
M - P
R - S
Ho 4 gettoni e in ciascuna delle 2 facce di ognuno è impressa
una diversa lettera
Ho tirato 4 volte i gettoni e combinando le lettere sulle facce
superiori, ho ottenuto le 4 parole scritte sopra.
8
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gelataio
Un gelataio ambulante vende solo due tipi di coni gelato: da
1 euro e da 1,5 euro.
Un signore si avvicina e senza aggiungere una parola
consegna 2 euro senza dire una parola.
Il gelataio pur non avendo mai
visto prima il signore, capisce
che il signore desidera il cono
da 1 euro e 50.
Perchè?.
Quesiti di Ennio Peres
9
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gelataio
Un gelataio ambulante vende solo due tipi di coni gelato: da
1 euro e da 1,5 euro.
Un signore si avvicina e senza aggiungere una parola
consegna 2 euro senza dire una parola.
Il gelataio pur non avendo mai
visto prima il signore, capisce
che il signore desidera il cono
da 1 euro e 50.
Perchè?.
Probabilmente
ha pagato con
due monete da
1 EURO
10
Il P
roble
m S
olv
ing
L’età del nonno nell’anno 2000
Sapreste dire quanti anni aveva il
nonno nel 2000 sapendo che:
1) è nato nel 20° secolo
2) sommando le cifre del suo anno di nascita si
ottiene un numero divisibile per 4
3) la moglie ha un anno in meno di lui,
sommando le cifre del anno di nascita della
nonna si ottiene un numero divisibile per 4
4) sommando l’età della nonna e quella del
nonno si ottiene un numero maggiore di 100.
11
Il P
roble
m S
olv
ing
L’età del nonno nell’anno 2000
Sapreste dire quanti anni aveva il
nonno nel 2000 sapendo che:
1) è nato nel 20° secolo
2) sommando le cifre del suo anno di nascita si
ottiene un numero divisibile per 4
3) la moglie ha un anno in meno di lui,
sommando le cifre del anno di nascita della
nonna si ottiene un numero divisibile per 4
4) sommando l’età della nonna e quella del
nonno si ottiene un numero maggiore di 100.
L’ultima cifra non dovrà solo
cambiare, ma per essere la
somma delle cifre di entrambi
gli anni di nascita divisibile per
4 l’ultima dovrà anche….?
12
Il P
roble
m S
olv
ing
L’età del nonno nell’anno 2000
Sapreste dire quanti anni aveva il
nonno nel 2000 sapendo che:
1) è nato nel 20° secolo
2) sommando le cifre del suo anno di nascita si
ottiene un numero divisibile per 4
3) la moglie ha un anno in meno di lui,
sommando le cifre del anno di nascita della
nonna si ottiene un numero divisibile per 4
4) sommando l’età della nonna e quella del
nonno si ottiene un numero maggiore di 100.
…….necessariamente
essere ZERO
13
Il P
roble
m S
olv
ing
L’età del nonno nell’anno 2000
Sapreste dire quanti anni aveva il
nonno nel 2000 sapendo che:
1) è nato nel 20° secolo
2) sommando le cifre del suo anno di nascita si
ottiene un numero divisibile per 4
3) la moglie ha un anno in meno di lui,
sommando le cifre del anno di nascita della
nonna si ottiene un numero divisibile per 4
4) sommando l’età della nonna e quella del
nonno si ottiene un numero maggiore di 100.
14
Il P
roble
m S
olv
ing
Etichette sbagliate
Abbiamo tre contenitori, in uno ci sono solo
arance, in uno solo mele e nell’altro arance e
mele (misto).
Il fruttivendolo ha sicuramente sbagliato a
scrivere le etichette su tutti e tre i contenitori.
Siamo in grado di poter rettificare le etichette
prendendo un solo frutto da uno solo dei
contenitori a nostra scelta?
MELE ARANCE MISTO
15
Il P
roble
m S
olv
ing
Etichette sbagliate
Rappresentiamo le possibili situazioni prelevando un
solo frutto da uno solo dei contenitori on un grafo
arancia
mela
arancia
misto
mela
arancia
mela
misto
ARANCE
misto misto
mela
arancia
mela
arancia
MISTO MELE
16
Il P
roble
m S
olv
ing
Etichette sbagliate
Rappresentiamo le possibili situazioni prelevando un
solo frutto da uno solo dei contenitori on un grafo
arancia
mela
arancia
misto
mela
arancia
mela
misto
ARANCE
misto misto
mela
arancia
mela
arancia
MISTO MELE
17
Il P
roble
m S
olv
ing Giochi Matematici
18
Il P
roble
m S
olv
ing
Quesito di Vincenzo Nardozza
Nello spogliatoio di un centro sportivo ci sono 100
armadietti, tutti chiusi; i 100 ragazzi che lo frequentano
fanno un gioco: il primo apre tutti gli
armadietti, il secondo richiude gli armadietti 2,4,6 etc, il
terzo opera sugli armadietti 3,6,9,. . . chiudendo quelli
aperti e aprendo quelli chiusi, il quarto sugli armadietti
4,8,12,. . . allo stesso modo e così via.
Dopo che ha agito il 100mo ragazzo, quali
armadietti sono rimasti aperti?
19
Il P
roble
m S
olv
ing
Quesito di Vincenzo Nardozza
RICORDIAMO LA FORMULA CHE
ESPRIME IL NUMERO DEI
DIVISORI DI UN DATO NUMERO:
Esempio: 28 è divisibile per 1, 2, 4, 7, 14, 28
Infatti esso si scrive come 2^2 * 7^1 da cui si
ricava: d(28) = (2+1)*(1+1) = 6
20
Il P
roble
m S
olv
ing
Esempio: 28 è divisibile per 1, 2, 4, 7, 14, 28
Infatti esso si scrive come 2^2 * 7^1 da cui si
ricava: d(28) = (2+1)*(1+1) = 6
RICORDIAMO LA FORMULA CHE
ESPRIME IL NUMERO DEI
DIVISORI DI UN DATO NUMERO:
L’armadietto n.28 rimarrà
chiuso, perché l’alunno n.1
apre, il n.2 chiude, ……,
l’alunno n.28 chiude….quindi?
21
Il P
roble
m S
olv
ing
Il numero d(N) deve essere necessariamente
dispari pertanto ogni esponente “ei” deve
essere pari e quindi
il numero N deve essere un quadrato
Esempio: armadietto 36 = 2^2*3^2 da
cui d(36)=9 infatti esso è divisibile per
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. L’alunno
n.36 riaprirà l’armadietto
22
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
Inseriamo nel contenitore 12 caramelle e un
peperoncino. Nel nostro caso utilizzeremo 12
quadratini con due colori.
In un contenitore sono vi sono
un certo numero di caramelle (o
cioccolate) e un peperoncino.
A turno due giocatori pescano
dal contenitore 1 o 2 o 3
caramelle. L’ultimo che pesca il
peperoncino ha perso.
23
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
Inseriamo nel contenitore 12 caramelle e un
peperoncino. Nel nostro caso utilizzeremo 12
quadratini con due colori.
SE SI CONOSCE LA
STRATEGIA DI GIOCO,
COLUI CHE INIZIA
HA PERSO
24
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
SE SI CONOSCE LA STRATEGIA DI GIOCO,
COLUI CHE INIZIA HA PERSO
Proviamo a disporre le pedine in modo differente e
vediamo se la strategia di gioco è più chiara
25
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del
peperoncino piccante
26
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del
peperoncino piccante
STARTEGIA VINCENTE
Se il giocatore 2 prenderà un
certo numero x di tessere, allora
i giocatore 1 prenderà un
numero di tessere pari al
complementare di x rispetto a 4
27
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
Inseriamo nel contenitore 12 caramelle e un
peperoncino. Nel nostro caso utilizzeremo 13
quadratini di legno bicolore.
In un contenitore sono vi sono un certo numero di
caramelle (o cioccolate) e un peperoncino.
A turno due giocatori pescano dal contenitore 1 o 2 o
3 caramelle. L’ultimo che pesca il peperoncino ha
perso.
E SE
CONSIDERIAMO 13
CARAMELLE e UN
PEPERONCINO?
28
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
SE SI CONOSCE LA STRATEGIA DI GIOCO,
COLUI CHE INIZIA HA VINTO
Proviamo a disporre le pedine in modo differente e
vediamo se la strategia di gioco è più chiara
Qual è la mossa vincente del
primo giocatore?
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
SE SI CONOSCE LA STRATEGIA DI GIOCO,
COLUI CHE INIZIA HA PERSO
Proviamo a disporre le pedine in modo differente e
vediamo se la strategia di gioco è più chiara
E SE NE
CONSIDERIAMO
14, 15, 16 …
QUAL’E’ LA REGOLA
GENERALE?
30
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
SE SI CONOSCE LA STRATEGIA DI GIOCO,
COLUI CHE INIZIA HA PERSO
Proviamo a disporre le pedine in modo differente e
vediamo se la strategia di gioco è più chiara
VALE LA REGOLA:
31
Il P
roble
m S
olv
ing
Il Gioco del peperoncino piccante
Chi propone il gioco non inizia per primo:
Chi propone il gioco inizia per primo:
32
Il P
roble
m S
olv
ing Saltelli numerici
Ideato dall’associazione pariMpari
33
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
34
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
Griglia con riferimenti cartesiani Regole:
•Scegliere una riga su cui giocare
•Disporre le tessere in ordine decrescente lasciando una
cella vuota sulla destra
•Spostare e/o saltare le tessere in modo da ottenere un
ordinamento crescente
•Si può saltare solo una tessera alla volta
35
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
1 2 3 4 1 3 4 2
ESEMPIO
Posizioniamoci su riga 4
SI
1 2 3 4 NO
1 3 4 2 1 3 4 2 SI
1 3 4 2 SI 1 3 4 2
1 3 4 2 1 2 3 4 SI
36
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
3 4 5 6 2
ESEMPIO
Posizioniamoci su riga 6
1 6
4 3 2 1 5 6 6
Effettuando dei saltelli o
degli spostamenti nel
rispetto delle regole viste in
precedenza, bisogna
raggiungere lo scopo
37
Il P
roble
m S
olv
ing
1 2 SALTELLI NUMERICI
-- - - - NUMERO PARI DI TESSERE
38
Il P
roble
m S
olv
ing
3 MOSSE
1 2 SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO PARI DI TESSERE
39
Il P
roble
m S
olv
ing
1 2 3 4
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO PARI DI TESSERE
40
Il P
roble
m S
olv
ing
1 2 3 4
10 MOSSE
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO PARI DI TESSERE
41
Il P
roble
m S
olv
ing
1 2 3 4 5 6
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO PARI DI TESSERE
42
Il P
roble
m S
olv
ing
21 MOSSE
5 6 1 2 3 4
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO PARI DI TESSERE
43
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO PARI DI TESSERE
Numero
Tessere Numero
MOSSE gap gap
2 3
4 10 7
6 21 11 4
8 36 15 4
10 55 19 4
12 78 23 4
14 105 27 4
16 136 31 4
18 171 35 4
20 210 39 4
22 253 43 4
Nella Tabella
notiamo una certa
struttura ricorsiva
44
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
TOT 21 MOSSE
Ricerca di un
metodo risolutivo
ottimale
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
3 mosse
4 mosse
1 2 3 4 5 6 3 mosse
1 2 3 4 5 6 4 mosse
45
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
3 mosse
4 mosse
1 2 3 4 5 6 Tot 21 mosse
1 2 3 5 6 4
1 2 3 5 6 4
Analizziamo le mosse in relazione al numero di pezzi = n
Blocco 2 (n+1) mosse
46
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
TOT 21 MOSSE
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Blocco 1 (n+1) mosse
Osservazione: in ogni blocco il numero 1 avanza di 2 posizioni
47
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
1 2 3 4 5 6
1 2 3 5 6 4
1 2 3 5 6 4
I blocchi sono 3 cioè n/2 Ogni blocco ha n+1 mosse
Blocco 3 (n+1) mosse
TOTALE MOSSE
n(n+1)/2
MOSSE TOTALI
48
Il P
roble
m S
olv
ing
3
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO DISPARI DI TESSERE 1 2
49
Il P
roble
m S
olv
ing
3
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO DISPARI DI TESSERE 1 2
5 MOSSE
50
Il P
roble
m S
olv
ing
3
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO DISPARI DI TESSERE
1 2 5 4
51
Il P
roble
m S
olv
ing
3
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO DISPARI DI TESSERE
1 2 5 4 16 MOSSE
52
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI -- - - -
NUMERO DISPARI DI TESSERE Numero
Tessere Numero
MOSSE gap gap
3 5
5 16 11
7 31 15 4
9 50 19 4
11 73 23 4
13 100 27 4
15 131 31 4
17 166 35 4
19 205 39 4
21 248 43 4
23 295 47 4
Nella Tabella
notiamo una certa
struttura ricorsiva
53
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
TOT 16 MOSSE
Ricerca di un metodo
risolutivo ottimale
1 2 3 4 5 3 mosse
3 mosse
3 mosse
2 mosse
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Appena il numero 1 si colloca in testa, l’ultima tessera resta fissa, perché dopo con un salto si troverà in posizione.
54
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
TOT 16 MOSSE
1 2 3 4 5 3 mosse
2 mosse 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
I numeri DISPARI
vanno in posizione
I numeri PARI
vanno in posizione
Analizziamo le mosse in relazione al numero di pezzi = n
FASE FINALE
55
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
TOT 16 MOSSE
Ricerca di un metodo
risolutivo ottimale
1 2 3 4 5
Blocco 1 Totale (n+1) mosse
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Blocco 2 Totale (n+1) -1 mosse
In definitiva per portare l’1 in posizione occorrono (n-1)(n+1)/2 - 1 mosse
I blocchi sono 2 cioè (n-1)/2
56
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI
MOSSE TOTALI
1 2 3 4 5 n-2 si muovono.
Testa e coda restano fissi
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
In definitiva: (n-1)(n+1)/2 - 1 + (n-2) + (n-1)/2 =
n(n+1)/2 + (n–4)
FASE FINALE
(n-1)/2 numeri pari saltano.
La
Pal
est
ra d
i Arc
him
ede
Le relazioni ricorsive sono un valido strumento per lo studio di una
serie di problemi diversi e sono presenti in diversi giochi.
Esempio:
Supponiamo che un operaio guadagni 10 euro al giorno.
Quanti euro possiederà l’operaio dopo 20 giorni?
Se an è la quantità di euro in possesso al giorno n si avrà:
an = an-1 +10 dove 10 è la costante c.
Si otterrà che per ogni n intero positivo: an = a0 +10n dove an è la
quota in possesso nel giorno in cui si inizia l’osservazione.
La
Pal
est
ra d
i Arc
him
ede
Carl Friedrich Gauss, uno dei più grandi matematici della storia, all'età di
otto anni risolse questo problema che gli sottopose il maestro per tenerlo
occupato , per i numero fino a 100.
In pochi secondi diede la soluzione = 5050. Gauss notò che:
1 2 3 4 ... 50 51 ... 99 100 +
100 99 98 97 ... 51 52 ... 2 1
------------------------------------------------- =
101 101 101 101 101 101 101 101
Quindi la somma delle 100 coppie vale 100101 = 10100
Dividendo per due abbiamo la somma cercata.
La somma dei primi 100 numeri è 100101/2.
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4… .+𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑛
𝑖=1
S(n) = S(n-1)+n e S(n) = n(n+1)/2 = è la formula chiusa
S(n) = n(n+1)/2
La
Pal
est
ra d
i Arc
him
ede
S(n) = 2+4+6+……+2n =
= 2(1+2+3+…+n)=2(n(n+1))/2 = n(n+1)
2𝑖 = 2 + 4 + 6 + ⋯+ 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
𝑛
𝑖=1
S(n) = 1+3+5+……+(2n-1) =
=(2-1)+(4-1)+(6-1)+…+(2n-1)=(2+4+6..+2n)-1(n)=
= n(n+1)-n = 𝑛2+n-n = 𝑛2
2𝑖 − 1 = 1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2𝑛
𝑖=1
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI Formule Ricorsive
NUMERO PARI DI TESSERE
Num
Tess Num
Mosse gap gap
a1 2 3
a2 4 10 7
a3 6 21 11 4
a4 8 36 15 4
a5 10 55 19 4
a6 12 78 23 4
a7 14 105 27 4
a8 16 136 31 4
a9 18 171 35 4
a10 20 210 39 4
a11 22 253 43 4
60
Formula Attesa
n(n+1)/2
Il P
roble
m S
olv
ing
SALTELLI NUMERICI Formule Ricorsive
NUMERO DISPARI DI TESSERE
Num
Tess Num
Mosse gap gap
a1 3 5
a2 5 16 11
a3 7 31 15 4
a4 9 50 19 4
a5 11 73 23 4
a6 13 100 27 4
a7 15 131 31 4
a8 17 166 35 4
a9 19 205 39 4
a10 21 248 43 4
a11 23 295 47 4
61
Formula Attesa
n(n+1)/2+(n-4)
La
Pal
est
ra d
i Arc
him
ede
Molti insegnanti sprecano il loro tempo facendo domande che mirano a scoprire ciò che lo studente non sa mentre la vera arte dell'interrogare è quella di scoprire ciò che lo studente sa, o è in grado di imparare. Albert Einstein
62