Post on 23-Jun-2015
Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM
Prof.: Daniel Oliveira Veronese
Cônicas
ELIPSE
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
Consideremos no plano dois pontos distintos, F1
e F2, tal que a distância d(F1,F2)=2c. Seja a um número real tal que 2a>2c.
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que:
dá-se o nome de elipse.
Elementos da Elipse Focos: são os pontos F1 e F2 Distância Focal: é a distância 2c entre os focos Centro: é o ponto médio C do seguimento F1 F2 Eixo Maior: é o seguimento A1A2 de comprimento 2a Eixo Menor: é o seguimento B1B2
de comprimento 2b Vértices: são os pontos A1 , A2 , B1 e B2 Excentricidade: é o número e(0<e<1) dado por: e=c/a.
Observações 1) Se mantivermos constante o comprimento
“2a” e variarmos as posições de F1 e F2, a forma da elipse irá variar. Assim, quanto mais próximos os focos estão entre si, tanto mais a forma da elipse se assemelha à da circunferência. Por outro lado, quanto mais afastados estiverem os focos entre si, mais “achatada” será a elipse. Em outras palavras, quanto maior a excentricidade mais achatada será a elipse e, quanto menor a excentricidade, mais próxima a elipse estará de uma circunferência.
2) Se F1 = F2 então c=0 e, neste caso, obtemos uma circunferência de raio “a”.
ObservaçãoEm toda elipse vale a relação:
Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema
1º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos x
Da definição da elipse temos que:
ou seja:
Daí:
Agora, lembrando que:
obtemos:
ou, ainda:
que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
2º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos y
Nesse caso, de modo análago ao caso anterior, concluímos que a equação reduzida da elipse é dada por:
Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema
1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x
Equação da Elipse:
2º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos y
Equação da Elipse:
Exemplos
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