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C 0
C 0
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C 0 C 0
N 1 N 1 N 2 N 2
φ
x y
N 1 N 2 N 3 N 4
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π i
u i θi M i V i
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π
π 14245
π
π = 3 ,1416
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u = N a −→i
N i xa i = [N 1 , N 2 . . . N n ]
a 1a 2
a n
i, j, m, ...etc
u u
u = u(x, y )v(x, y )
a i = uivi
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i N i , N j , N m
= Su = Ba
B = SN
S S
=x
y
z
=∂ ∂x 00 ∂ ∂y∂
∂y∂
∂x
uv
B
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σ0
σ i = D ( − 0) + σ0
σ i =σxσyτ xy
x
y
τ xy=
1E σx − vE σy1E σy −
vE σx
1G γ xy
=1E − vE 0
− vE 1E 0
0 0 1G
σxσy
σxy
a i
b u
q i =
q e1
q e2
q en
bi =bex
bey
V (δi σ)dV + l (δub)dV = i (δ (u )X
i )
V ([a e ]T B T DBa )dV ) + V ([a e ]T (N T i b)dV )) = [ a e ]T q i K i a i + f i = q i
K i = V (B T DB )dV f i = V (N T b)dV
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σ i = E = E dudx
E
V (δ σ)dV = l0 (δub)dx + pi =1 (δu i X i )
l
0 δ EAdudx =
l
0 δubdx +
p
i =1δu i X i
u i ui =u0 + a 1x
u i = N 1a 1 + N 2a 2
u1 = a0 + a1x1 u2 = a0 + a1x2
a 0 a1
a0 = u1 − u 2x1 − x2
a1 = x2u1 − x1u 2
x2x1
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C 0
N i ...N m x2 − x1 = le
x 2
x1
(dN 1dx
δu1)AE (dN 2dx
δu2) −
x 2
x1
[N 1δu 1 + N 2δu 2] = δu1X 1 + δu 2X 2
δu 1 δ 2u2
x 2x 1 ( dN 1dx (EA ) dN 1dx u1 + dN 1dx (EA ) dN 2dx u2)dx − x 2x 1 N 1bdx − X 1 = 0 x 2x 1 ( dN 2dx (EA ) dN 2dx u1 + dN 2dx (EA ) dN 1dx u2)dx − x 2x 1 N 1bdx − X 2 = 0
x 2x 1 (dN 1dx (EA )
dN 1dx ) (
dN 1dx (EA )
dN 2dx )
( dN 2dx (EA )dN 2dx ) (
dN 2dx (EA )
dN 1dx )
dxu1
u2− x 2x 1 N 1N 2 bdx =
X 1
X 2
ki a i + f i = q i
K i = x 2x 1 (dN 1dx (EA )
dN 1dx ) (
dN 1dx (EA )
dN 2dx )
( dN 2dx (EA )dN 2dx ) (
dN 2dx (EA )
dN 1dx )
dx = x 2x 1 (B T i DBi )dx f i = x 2x 1 N 1N 2 bdx
N i = (ξ − ξ 1)(ξ − ξ 2) . . . (ξ − ξ n )(ξ i − ξ 1)(ξ i − ξ 2) . . . (ξ i − ξ n )
N i =n
i =1
( ξ − ξ jξ i − ξ j
)
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C 0
N 1 = (1 − ξ
2 )
N 2 = (1 + ξ
2 )
K i f i
x2 − x1 = le
ξ s = 2(x − x1)(x2 − x1)
− 1
dξ dx
= 2le
B i D i
B i = [∂N 1∂ξ
∗ 2le
, ∂N 2
∂ξ ∗
2le
]
K I = 1− 1(∂N 1∂ξ ∗
2l e
∂N 2∂ξ ∗
2l e
(AE )[∂N 1∂ξ
∗ 2le
, ∂N 2
∂ξ ∗
2le
])(le2
)dξ
K I = AE
L 1 − 1− 1 1
f e = ble
2 11
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L (2 ,1) = (ξ − ξ 2)(ξ − ξ 3)(ξ 1 − ξ 2)(ξ 1 − ξ 3) =
ξ (ξ − 1)2
L (2 ,2) = (ξ − ξ 1)(ξ − ξ 3)(ξ 2 − ξ 1)(ξ 2 − ξ 3)
= ξ (ξ + 1)
2
L (2 ,3) = (ξ − ξ 1)(ξ − ξ 2)(ξ 3 − ξ 1)(ξ 3 − ξ 2)
= (1 − ξ 2)
ξ i
x = N 1x1 + N 2x2 + N 3x3 dxdξ
= dN 1
dξ x1 +
dN 2dξ
x2 + dN 3
dξ x3
dxdξ =
2ξ − 12 x1 +
2ξ + 12 x2 − 2ξx 3
dξ dx
= 2
2ξ (x1 + x2 − 2x3) + le
dξ dx
= 2le
1− 1( (ξ − 12 )
2l e
(− 2ξ ) 2l e(ξ + 12 )(
2l e )
AE {(ξ − 12
) 2le
, (− 2ξ ) 2le
, (ξ + 12
)( 2le
)}(le2
))dξ
A E
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K e = (EA
6 )
14 − 16 2− 16 32 − 16
2 − 16 14
f i = 1− 1ξ (ξ − 1)
21 − ξ 2ξ (ξ +1)
2
ble2
dξ
f i =141
ble6
L A I XZ
θ = dwdx
= θy = yd2wdx 2
σ = Eyd2wdx 2
dF i = ( Ey d2w
dx 2 )dA
dM i = ( E d2wdx 2
)y2dA
M i = EI d2wdx 2
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w w C 1
dwdx
C 1
w = α 0 + α 1ξ + α 2ξ 2 + α 3ξ 3
w = α 1 + 2 α 2ξ + 3 α 3ξ 2
w = N 1w1 + Ṅ 1(dwdx
)1 + N 2w2 + Ṅ 2(dwdx
)2
H 1 Ḣ 1 H 2 Ḣ 2 H 3 Ḣ 3 H 4 Ḣ 4
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N 1 N 1
1 − 1 1 − 1
0 1 − 2 3
1 1 1 1
0 1 2 3
α 0
α 1
α 2
α 3
=
1
0
0
0
1 − 1 1 − 1
0 1 − 2 3
1 1 1 1
0 1 2 3
α 0
α 1
α 2
α 3
=
0
1
0
0
1 − 1 1 − 1
0 1 − 2 3
1 1 1 1
0 1 2 3
α 0
α 1
α 2
α 3
=
0
0
1
0
1 − 1 1 − 1
0 1 − 2 3
1 1 1 1
0 1 2 3
α 0
α 1
α 2
α 3
=
0
0
0
1
H i = α0 + α 1ξ + α 2ξ 2 + α 3ξ 3
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N 1 = 14
(2 − 3ξ + ξ 3)
N 1 = 14
(1 − ξ − ξ 2 + ξ 3)
N 2 = 14
(2 + 3 ξ − ξ 3)
N 2 = 14
(− 1 − ξ + ξ 2 + ξ 3)
V B T i DB i dv x
x = 1 − ξ
2 x1 +
1 + ξ 2
x2
dxdξ
= le2
K i = 1− 1 4l2edN 1dξ
dN 1dξ
dN 2dξ
dN 2dξ
EI {dN 1dξ
, dN 1
dξ ,
dN 2dξ
, dN 2
dξ }
le2
dξ
K i =
EI
l2e
12 6le − 12 6le6le 4l2e − 6le 2l2e
− 12 − 6le 12 − 6le6le 2l2e − 6le 4l2e
K (6 x 6)
K T =
AE l e 0 0 −
AE l e 0 0
0 12EI l3e 6EI l2e
0 − 12 EI l 3e 6EI l2e
0 6EI l2e 4EI l e 0 − 6
EI l 2e
2 EI l e
−AE l e 0 0
AE l e 0 0
0 − 12 EI l 3e − 6EI l 2e
0 12EI l3e − 6EI l 2e
0 6EI l2e 2EI l e 0 − 6
EI l 2e
4 EI l e
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K i a i + f e = q f e v N T i qdv
1− 1N 1
N 1
N 2
N 2
qdx =
− ql2
− ql2
12
− ql2
ql 2
12
=
V 1
M 1
V 2
M 2
φ
θ = φ + dwdx
x = dudx
= − zdθdx
γ xz = dwdx
+ dudz
= dwdx
− θ = − φ
φ σx
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σxz
σx = E x = − zE dθdx
σxz = G(dwdx
− θ)M i = EI dθdx
Q i = GA (dwdx
− θ) = GAγ xz
τ xz = αGγ xz α A∗ = αA
V (δ x + δγ xz τ xz )dV = − l δqdx + ni =1 δ ( dwdx )i M i +n
i =1
δwi Z i
l [δ ( dθdx )EI ( dθdx ) + δ ( dwdx − θ)GA ∗ ( dwdx )]dx
θ w
C 0
w(ξ ) = N 1(ξ )w1 + N 2(ξ )w2 θ(ξ ) = N 1(ξ )θ1 + N 2(ξ )θ2
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w1 θ1 w2 θ2
χ = dθdx
= (δN 1(ξ )
δξ θ1 +
δN 2(ξ )δξ
θ2)dξ dx
γ xy = dwdx
− θ = dθdx
= (δN 1(ξ )
δξ w1 +
δN 2(ξ )δξ
w2)dξ dx
− N 1θ1 − N 2θ2
dξdx =
2l e
χ = B f a γ xz = B c a
B f = [0, 2le
δN 1δξ
, 0, 2le
δN 2δξ
]
B c = [ 2le
δN 1δξ
, − N 1 , 2le
δN 2δξ
, − N 2]
a i = [w1 , θ1 , w2 , θ2]
B f = [0, −1le
, 0, 1le
]
B c = [−1le
, ξ − 1
2 ,
1le
, − ξ − 1
2 ]
[δa e ]T l e [B T f (EI )B f + B T c (GA )B c ]dx (a e ) = − [δa e ]T l e N T (q )dx + [ δa e ]T q e [K ef + K
ec ]a
e − f e = q e
K ef = l e B T f (EI )B f dx K
e
c = l e BT
c (GA∗
)B c dx
f e = − l e N T qdx N = [N 1 , 0, N 2 , 0]
dx = le2 dξ
K f =
1
− 1B T f (EI )B f
le
2 dξ
K g = 1− 1 B T g (EI )B g le2 dξ f e = − 1− 1 N T le2 dξ
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K f
K f = (EI le
)
0 0 0 0
0 1 0 − 1
0 0 0 0
0 − 1 0 1
K c ξ
K c = (GA ∗
l )
1 le2 − 1 le
2
l e2
l2e3 −
l e2
l e2
− 1 − l e2 1 −l e2
l e2
l e2 −
l e2
l2e3
GA ∗
lGA ∗
2 −GA ∗
lGA ∗
2
GA ∗
2 (GA ∗
3 l + EI
l ) −GA ∗
2 (GA ∗
3 l − EI
l )
− GA∗
l −GA ∗
2GA ∗
l −GA ∗
2
GA ∗
2 (GA ∗
3 l − EI
l ) −GA ∗
2 (GA ∗
3 l + EI
l )
w1
θ1
w2
θ2
=
V 1
M 1
P
0
w1 = 0 θ1 = 0 w2
GA ∗
l −GA ∗
2
− GA∗
2 (GA ∗
3 l + EI
l )
w2
θ2=
P
0
w2
θ2=
γ γ + 1
( GA∗
3 l + EI
l ) l2
EI
l 2EI
lEI
P
0
γ = 12EI GA ∗ l 2
w2 = γ γ + 1 ( l
GA ∗ + l3
3EI )P w 2 = l
3
3EI P
ϕ = w2w2
= 3(4λ 2 + 3)4λ 2(λ 2 + 3)
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ϕ λ
ξ = 0
B c = [− 1le
, 12
, 1le
, −12
]
1− 1(− 1l e
12
1l e
12
GA ∗ [− 1le
, 12
, 1le
, −12
])le2
dξ
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K c
K c = (GA ∗
l )
1 le2 − 1 le
2
l e2
l 2e4 −
l e2
l 2e4
− 1 − l e2 1 − l e
2
l e2
l 2e4 −
l e2
l 2e4
K =
GA ∗
l −GA ∗
l
− GA∗
l (GA ∗
4 l + EI
l )
F =( 1GA +
l34EI ) −
l22EI
− l2
2EI ( lEI
ϕ = w2
(w2)eexacta=
3λ 2 + 34λ 2
ϕ λ λ −→ 0 ∞
λ −→ ∞
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z
x − y
x y
u(x, y ) =u(x, y )
v(x, y )
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u(x, y ) v(x, y ) x y
ξ x = ∂u∂x
ξ y = ∂v∂y
γ xy = ∂v∂x
+ ∂u∂y
γ xz = γ yz = 0
ξ z σz
ξ z σz ξ z
ξ = [ξ x , ξ y , γ xy ]T
τ xz
τ yz
ξ z σz
σ = [σx , σy , σ z ]T
σz = 0 ξ z = 0 γ xz = γ yz = 0
σ = Dξ
D
D =
d11 d12 0
d21 d22 0
0 0 d33
d12 = d21
d11 = d22 = E 1− v 2 d11 = d22 = E (1 − v )
(1+ v )(1 − 2v )
d12 = d21 = vE 1− v 2 d12 = d21 = ( E 1− v 2 )(
v1− v )
d33 = E 2(1+ v ) d33 = E
2(1+ v ) = G
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E v
D = 11− vxy vyx
vx vxy E x 0
vyx E y E y 0
0 0 (1 − vxy vyx )Gxy
D = 1ad − bc
aE x bE x 0
cE y dE y 0
0 0 (ad − bc)Gxy
1Gxy
= 1 + vyx
E x+
1 + vxyE y
a = 1 − vyz vzy b = vxy + vxz vzy
c = vyx + vyz vzx d = 1 − vxz vzx
E yE x
= vxyvyx
E yE x
= bc
x y θ x y
(P − U )u = x
(P − U )uort = y
xcos (θ) + ysen (θ) = x
− xsen (θ) + ycos (θ) = y
u v
u = ucos (θ) + vsen (θ)
v = − ucos (θ) + vcos (θ)
ε = dudx
εx = ∂u∂x
= ∂u∂x
∂x∂x
+ ∂u∂y
∂y∂x
εy = ∂v∂y =
∂v∂x
∂x∂y +
∂v∂x
∂x∂y
γ xy = ∂u∂y
+ ∂v∂x
= ∂v∂x
∂x∂x
+ ∂v∂y
∂y∂x
+ ∂u∂x
∂x∂y
+ ∂u∂x
∂x∂y
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εx = εx cos2(θ) + γ xy sen (θ)cos (θ) + εy sen 2(θ)
εy = εx sen 2(θ) − γ xy sen (θ)cos (θ) + εy cos 2(θ)
γ xy = εx − 2cos (θ)sen (θ) + εy 2cos (θ)sen (θ) + γ xy (cos2(θ) − sen 2(θ))
εxε
yεxy=
cos 2(θ) sen 2(θ) sen (θ)cos (θ)
sen 2(θ) cos2(θ) − sen (θ)cos (θ)
− 2sen (θ)cos (θ) 2sen (θ)cos (θ) cos2(θ) − sen 2(θ)
εxεy
γ xy
ε = T ε
x y
x y
σ = T T σ
σ = D ε
D
σ = T T D T ε = Dε
D = T T D T
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dij
ε εe
σ = Dε e = D (ε − ε0)
N : 1, 2, 3 (i , j ,k )
x1 , y1 x 2 , y2 x3 , y3 (i , j ,k )
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u = N 1u1 + N 2u2 + N 3u3 v = N 1v1 + N 2v2 + N 3v3
(u i , vi ) N i i
u v
u = uv = N 1 0 N 2 0 N 3 0
0 N 1 0 N 2 0 N 3
u1v1u2v2u3v3
u = N i a e
u = uv
N = [N 1 , N 2 , N 3] N i = N i 0
0 N i
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i
a e =a e1a e2a e3
a ei = uivi
i N ae N i aei
u = α 1 + α 2x + α 3y v = α 4 + α 5x + α 6y
u1 = α 1 + α 2x 1 + α 3y1 u2 = α 1 + α 2x 2 + α 3y2 u3 = α 1 + α 2x 3 + α 3y3
u = 12A
[(a 1 + b1x + c1y)u 1 + ( a 2 + b2x + c2y)u 2 + ( a 3 + b3x + c3y)u3]
N i = 12A
(a i + bi x + ci y)
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εx = ∂N 1
∂x u1 +
∂N 2∂x
u2 + ∂N 3
∂x u3
εy = ∂N 1
∂y v1 +
∂N 2∂y
v2 + ∂N 3
∂y v3
γ xy = ∂u∂y
+ ∂v∂x
= ∂N 1
∂y u1 +
∂N 1∂x
v1 + ∂N 2
∂y u2 +
∂N 2∂x
v2 + ∂N 3
∂y u3 +
∂N 3∂x
v3
ε =
∂u∂x∂v∂y
∂v∂x +
∂u∂y
=
∂N 1∂x 0
∂N 2∂x 0
∂N 3∂x 0
0 ∂N 1∂y 0 ∂N 2
∂y 0 ∂N 3
∂y∂N 1∂y
∂N 1∂x
∂N 2∂y
∂N 2∂x
∂N 3∂y
∂N 3∂x
u1v1u2v2u3v3
ε = Ba e B = [B 1 , B 2 , B 3]
B i =
∂N i∂x 0
0 ∂N i∂y
∂N i∂y
∂N i∂x
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B B i
B = 12A
b1 0 b2 0 b3 0
0 c1 0 c2 0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
B i = 12A
bi 0
0 ci
ci bi
σ = Dε = DBae
σ = D (ε − ε0) + σ0 = DBa e − Dε 0 + σ0
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A δεT σtdA = A e δu T btdA + l e δu T tds + 3i =1 δu i U i +3
i =1
δvi V i
δu i δvi U i V i
A e
δε T σtdA −
A e
δu T btdA −
δuT ttds = [δa e ]T q e
δa e = [δu 1 , δv1 , δu 2 , δv2 , δu 3 , δv3]T q e = [U 1 , V 1 , U 2 , V 2 , U 3 , V 3]
δu T = [δa T ]N T δε T = [δa T ]B T
δa T
[δa e ]T [ A e B T σtdA − A e N T btdA − l e N T tdS ] = [δa e ]T q e A e B T σtdA − A e N T btdA − l e N T tds = q e
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σ
[ A e B T DBtdA ]a e − A e B T Dε 0 tdA + A e B T σ0 tdA − A e N T btdA − l e N T tds = q e K e a e − f e = q e
K e =
A
eB T DBtdA
f e = f eε + f eσ + f
eb + f
et
f (e )ε = A e B T Dε 0 tdA f (e )σ = − A ( e ) B T σ0 tdA
f (e )b =
A e
N T btdA
f (e )t = l e N T tds
e
q (e )i = P j
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J =
∂x∂ξ
∂y∂ξ
∂z∂ξ
∂x∂η
∂y∂η
∂z∂η
∂x∂ζ
∂y∂ζ
∂z∂ζ
x = a 0 + a 1ξ = [1, ξ ]
a 0
a 1
ξ
ξ a
P a = u
a = A− 1
ux e1
x e2=
1 − 1
1 1
a 0
a 1
[1, ξ ]1 − 1
1 1
− 1 x e1
x e2
[N 1 , N 2]x e1
x e2
N 1 = 1 − ξ
2
N 2 = 1 + ξ
2
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u =2
a =1
N a (ξ )u a e
C 0
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(m = 1)
L e
∂x∂ξ
= dxdξ
=dN 1dξ
, dN 2
dξ xe1x e2
=− 12
, 12
= xe2 − x e1
2 =
Le2
C 0
u e0 = c0 + c1xea
u =2a =1 N a (ξ )u
ea
u =2
a =1N a (ξ )u ea
u =2
a =1
N a (ξ )(c0 + c1x ea )
u = 2
a =1
N a (ξ ) c0 + 2
a =1
N a (ξ )x ea c1
2
a =1
N a (ξ ) = N 1(ξ ) + N 2(ξ ) = 12
(1 − ξ ) + 12
(1 + ξ ) = 1
2
a =1(ξ ) = 1
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x y
x(ξ, η) = a0 + a1ξ + a 2η + a 3ξη = 1 ξ η ξη
a 0
a 1
a 2
a 3
y(ξ, η) = β 0 + β 1ξ + β 2η + β 3ξη = 1 ξ η ξη
β 0
β 1
β 2
β 3
x(ξ a , ηa , a 0 , · · · )
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a ξ a ηa
{x ea } =
x e1
x e2
x e3
x e4
=
1 − 1 − 1 +1
1 +1 − 1 − 1
1 +1 +1 +1
1 − 1 +1 − 1
a0
a1
a2
a3
= Aa i
{x ea } =
ye1
ye2
ye3
ye4
=
1 − 1 − 1 +1
1 +1 − 1 − 1
1 +1 +1 +1
1 − 1 +1 − 1
β 0
β 1
β 2
β 3
= Aβ i
a i = A− 1{x ea }
β i = A− 1{yea }
x = 1 ξ η ηξ a i
x = 1 ξ η ηξ A − 1{x i }
x = N 1 N 2 N 3 N 4 {x i }
N 1 = 14
(1 − ξ )(1 − η)
N 2 = 14
(1 + ξ )(1 − η)
N 3 = 14
(1 + ξ )(1 + η)
N 4 = 14
(1 − ξ )(1 + η)
C 0
C 0
(n ) ξ 0 · · · ξ n f
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(ξ ) (n − 1)
P (ξ ) = f (ξ 1)L n − 1,1(ξ ) + · · · + f (ξ n )Ln − 1,n (ξ )
Ln − 1,k (ξ ) =n
i =1
(ξ − ξ i )(ξ k − ξ i )
u =n
a =1 N a (ξ )u ae
N a (ξ ) = Ln − 1,a (ξ )
•
•
u =n
a =1N a (ξ )u a
e
N 1 = L1,1 = (ξ − ξ 2)(ξ 1 − ξ 2)
= (1 − ξ )
2
N 2 = L1,2 = (ξ − ξ 1)(ξ 2 − ξ 1)
= (1 + ξ )
2
•
•
u =n
a =1
N a (ξ )u ea
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N 1 = L2,1 = (ξ − ξ 2)(ξ − ξ 3)(ξ 1 − ξ 2)(ξ 1 − ξ 3)
= (ξ − 1)(ξ − 0)(− 1 − 1)(− 1 − 0)
= 12
ξ (ξ − 1)
N 2 = L2,2 = (ξ − ξ 1)(ξ − ξ 3)(ξ 2 − ξ 1)(ξ 2 − ξ 3)
= (ξ + 1)( ξ − 0)(+1 + 1)(+1 − 0)
= 12
ξ (ξ + 1)
N 3 = L2,3 = (ξ − ξ 1)(ξ − ξ 2)(ξ 3 − ξ 1)(ξ 3 − ξ 2)
= (ξ + 1)( ξ − 1)(+0 + 1)(+0 − 1)
= 1(1 − ξ 2)
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(n +1) ξ (m + 1) η
N a (ξ, η) = Ln,b (ξ )xL m,c (η)
•
•
u =n
a =1
N a (ξ, τ )u ea
ξ η
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L(ξ ) L(η)
N 1 = L1,1(ξ )xL 1,1(η) = 12(1 − ξ ) 1
2(η − 1) = 1
4(1 − ξ )(1 − η)
N 2 = L1,2(ξ )xL 1,1(η) = 12
(ξ + 1)12
(η − 1) = 14
(1 + ξ )(1 − η)
N 3 = L1,2(ξ )xL 1,2(η) = 12
(ξ + 1)12
(η + 1) = 14
(1 + ξ )(1 + η)
N 4 = L1,1(ξ )xL 1,2(η) = 12
(1 − ξ )12
(η + 1) = 14
(1 − ξ )(1 + η)
•
N 1
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N 2
•
u =n
a =1
N a (ξ, η)u ea
ξ η
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N 3
N 4
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L(ξ ) L(η)
N 1(ξ, η) = L2,1(ξ )xL 2,1(η) = 12
(ξ )(ξ − 1)12
(η)(η − 1) = 14
(ξη)(ξ − 1)(η − 1)
N 2(ξ, η) = L2,2(ξ )xL 2,1(η) = 12
(ξ )(ξ + 1)12
(η)(η − 1) = 14
(ξη)(ξ + 1)( η − 1)
N 3(ξ, η) = L2,2(ξ )xL 2,2(η) = 12
(ξ )(ξ + 1)12
(η)(η + 1) = 14
(ξη)(ξ + 1)( η + 1)
N 4(ξ, η) = L2,1(ξ )xL 2,2(η) = 12(ξ )(ξ − 1) 12(η)(η + 1) = 14(ξη)(ξ − 1)(η + 1)
N 5(ξ, η) = L2,3(ξ )xL 2,1(η) = (1 − ξ 2)12
(η)(1 − η) = 12
(1 − ξ 2)(η)(1 − η)
N 6(ξ, η) = L2,2(ξ )xL 2 ,3(η) = (1 − η2)12
(ξ )(1 + ξ ) = 12
(1 − η2)(ξ )(1 + ξ )
N 7(ξ, η) = L2,3(ξ )xL 2,2(η) = (1 − ξ 2)12
(η)(1 + η) = 12
(1 − ξ 2)(η)(1 + η)
N 8(ξ, η) = L2,1(ξ )xL 2 ,3(η) = (1 − η2)12
(ξ )(1 − ξ ) = 12
(1 − η2)(ξ )(1 − ξ )
N 9(ξ, η) = L2,3(ξ )xL 2,3(η) = (1 − ξ 2)(1 − η2) = (1 − ξ 2)(1 − η2)
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ξ η
N 5(ξ, η) = L1,2(ξ )xL 2,3(η)
N 5(ξ, η) = 12
(1 + ξ )(1 − η2)
N 5(ξ, η) = 0 j = 1 , 2, 3, 41 j = 6
N 1 = N 2 = 0
N 2 = N 3 = 12
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N 5
N 1 = 14
(1 − ξ )(1 − η)
N 2 = N 2 − 12
N 5
N 2 = 14
(1 + ξ )(1 − η) − 14
(1 + ξ )(1 − η2)N 2 = 14
(1 + ξ )η(η − 1)
N 3 = N 3 + 1
2N 5
N 3 = 14
(1 + ξ )(1 + η) − 14
(1 + ξ )(1 − η2)
N 3 = 14
(1 + ξ )η(η + 1)
N 4 = 14
(1 + η)(1 − ξ )
C 0
r = A 1A s = A 2
A t = A 3
A 0 ≤ r, s, t ≤ 1
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r + s + t = 1
x = N 1x e1 + N 2x e2 + N 3x e3 y = N 1ye1 + N 2ye2 + N 3ye3
N 1 = r N 2 = s N 3 = t
u = N 1u1e + N 2u2 e + N 3u3 e
t
t = 1 − r − s
J =
∂x∂r
∂y∂r
∂x∂s
∂y∂s
L I − 1,I (r ) =I
i =1( r − r ir I − r i
) I = 1
1 I = 1
a
N a (r,s,t ) = T i (r )T j (s )T k (t)
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N 1 = T 2(r ) × T 1(s) × T 1(t) = r − r ir 2 − r 1 = r
N 2 = T 1(r ) × T 2(s) × T 1(t) = s − s1s2 − s1
= s
N 3 = T 1(r ) × T 1(s) × T 2(t ) = s − s 1s2 − s 1
= t
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N 1(r,s,t ) = T 3(r ) × T 1(s) × T 1(t) = (r − r 1)( r − r 2)(r 3 − r 1)( r 3 − r 2)
= r (2r − 1)
N 2(r,s,t ) = T 3(s) × T 1(r ) × T 1(t ) = (s − s1)(s − s 2)(s3 − s1)(s3 − s2)
= s(2s − 1)
N 3(r,s,t ) = T 3(t) × T 1(r ) × T 1(s) = (t − t1)( t − t2)(t3 − t1)( t3 − t 2)
= t(2t − 1)
N 4(r,s,t ) = T 2(s) × T 2(r ) × T 1(t) = s − 00,5 − 0
× r − 00,5 − 0
× 1 = 4 rs
N 5(r,s,t ) = T 2(s ) × T 2(s) × T 1(r ) = s − 0
0,5 − 0
× t − 0
0,5 − 0
× 1 = 4 st
N 6(r,s,t ) = T 2(r ) × T 2(t) × T 1(r ) = r − 00,5 − 0
× t − 00,5 − 0
× 1 = 4 rt
x y
K ij = D A e xm yn dA K ij = Dc n +1 am +1 − (− b)m +1
m!n !(m + n + 2)!
−→
K ij = D(2a )m +1 (2b)n +1
(m + 1)( n + 1) −→
m n
K f x y
K ij = T T K ij T f i = T T f i
T =cos (xx ) cos(xy )
cos (yx cos (yy )
xx
x
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(r,s,t )
∂ (r,s,t )∂x
= ∂N 1
∂r∂r∂x
+ ∂N 1
∂s∂s∂x
+ ∂N 1
∂t∂t∂x
∂ (r,s,t )∂x =
bi
2Ae
∂ (r,s,t )∂y =
ci
2Ae
A e r k s l tm dA = 2Ae k! × l! × m !(2 + k + l + m )! l ( e ) r k s l ds = le k! × l!(1 + k + l)!
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θi
(u) (w)
u w
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ν
u = u(r, s )w(r, s )
u w θ
γ rθ γ zθ
εr = ∂u∂r εz =
∂w∂z γ rz =
∂u∂z +
∂w∂r
εr εz σrz
r + u εθ
εθ = 2π (r + u)
2πr =
ur
ε =
εr
εz
εθ
σrz
=
∂u∂r
∂w
∂z
ur
∂u∂z +
∂w∂r
σ = {σr , σ z , σ θ , τ rz }
σr, σ
z, σ
θ γ
rz
σ = D (ε − ε0) + σ0
D = E
(1 + ν )(1 − 2ν )
1 − ν ν ν 0
ν 1 − ν ν 0
ν ν 1 − ν 0
0 0 0 1− 2ν 2
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dV = ( rdθ )dr.dz = rdθdA
A 2π0 δε T σrdθdA = A 2π0 δu T brdθdA + 2π0 δu T brdθds + i 2π0 δu T i q i r i dθ
b =br
bz t =
t r
t z q i =
q ri
q zi
θ
2π A δε T σdA = 2π A δu T brdA + 2 π l δu T rds + 2 π i δa T i q i r i 2π
q i
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u =u
w=
N 1 × u1 N 2 × u2 N 3 × u3
N 1 × w1 N 2 × w2 N 3 × w3
N = [N 1 , N 2 , N 3] =N 1 0 N 2 0 N 3 0
0 N 1 0 N 2 0 N 3
a e =
a1
a2
a3
= [u1, w1, u 2, w2, u 3, w3]T
N i
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ε =3
i =1
∂N i∂r 0
0 ∂N i∂z
N ir 0
∂N i∂z
∂N i∂r
u i
wi= [B 1 , B 2 , B 3]
a 1
a 2
a 3
= Ba e
B i
N ir
B i
B i = 12A
bi 0
0 ci
(a i + bi r + c i z )r 0
ci bi
σ =3
i =1
B i Da (e ) − Dε 0 + σ0
εθ = ur
00 εθ
εθ = εr εθ εr
K e a e − f e = q e
K (e )ij = 2 π
A ( e )
B T i DB j rdrdz
K eij
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f e = 2 π A N T brdA + 2 π l e N T trds + 2 π A B T Dε 0rdA − 2π A e B T σ0rdA f eb
f et f eε f eσ
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•
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•
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•u i = K
− 1D F i
•
•
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•
F y 1 Mz 1 F y 2
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••
• m4
•
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•
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•
θ2
θ3
•
•
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F x 1 F y 1 Mz 1 F x 4 F y 4
Mz 4
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(x, y )
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[ , ]
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θi
M zz
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θi
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π i
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K 11 , K 12 , K 21 , K 22
π =
1 2 3
a 1 d
b 2 e
c 3 f
1 4 4
2 5 5
3 6 6
→
K T {π i [i, n ], π i [ j, n ]} ← K ni [i, j ]
←− K nij π(i, n ) π( j, n )
[K ]
π i
π i
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π i
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K i =
AE L 0 0 −
AE L 0 0
0 12EI L 3 6EI L 2 0 − 12
EI L 3 6
EI L 2
0 6EI L 2 4EI L 0 − 6
EI L 2 2
EI L
− AE L 0 0 AE
L 0 0
0 − 12 EI L 3 − 6EI L 2 0 12
EI L 3 − 6
EI L 2
0 6EI L 2 2EI L 0 − 6
EI L 2 4
EI L
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T =
cos (θ) sen (θ) 0 0 0 0
− sen (θ) cos(θ) 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos(θ) sen (θ) 0
0 0 0 − sen (θ) cos(θ) 0
0 0 0 0 0 1
K g = T T K i T
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θ1 , v1 , u 1 , θ2 , v2 , u 2
ug = N 1u 1 + N 2v1 + N 3θ1 + N 4u 2 + N 5v2 + N 6θ2
N 1(x, l ) = 1 − xl
N 2(x, l ) = 2(xl )3 − 3(
xl )2 + 1
N 3(x, l ) = x(1 − x
l )2
N 4(x, l ) = xl
N 5(x, l ) = 3(xl )2 − 2(
xl )3
N 6(x, l ) = −x2
l (1 −
xl )
K − 1D × F i = u i
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u i = T u i
K i (T u i ) = F
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u i = N 1(u 1) + N 2(v1) + N 3(θ1) + N 4(u2) + N 5(v2) + N 6(θ3) + R i (x, l )
θi = ∂N 1
∂x (u1) +
∂N 2∂x
(v1) + ∂N 3
∂x (θ1) +
∂N 4∂x
(u2) + ∂N 5
∂x (v2) +
∂N 6∂x
(θ2) + R i (x, l )
M i = EI ∂ 2u∂x 2
= ∂ 2N 1
∂x 2 (u 1) +
∂ 2N 2∂x 2
(v1) + ∂ 2N 3
∂x 2 (θ1) +
∂ 2N 4∂x 2
(u2) + ∂ 2N 5
∂x 2 (v2) +
∂ 2N 6∂x 2
(θ2) + R i (x, l )
V i = EI ∂ 3u∂x 3
= ∂ 3N 1
∂x 3 (u1) +
∂ 3N 2∂x 3
(v1) + ∂ 3N 3
∂x 3 (θ1) +
∂ 3N 4∂x 3
(u2) + ∂ 3N 5
∂x 3 (v2) +
∂ 3N 6∂x 3
(θ2) + R i (x, l )
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π i
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•
• πi
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u i , θ i , M i , V i•
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