Post on 11-Jan-2016
description
Elektrostatyka (I)wykład 16
• wstęp elektryczność i magnetyzm– zmierzamy do równań Maxwella
• prawo Kulomba• pole elektryczne: natężenie pola, potencjał• prawo Gaussa (I prawo Maxwella)• pojemność elektryczna – kondensator• ładunek elementarny – doświadczenie Millikana• pole elektryczne w dielektrykach: polaryzacja i wektor przesunięcia
Ładunek elektryczny• wielkość addytywna
• dwa znaki ładunku
• większość ładunku w przyrodzie jest skompensowana (przyciągnie się ładunków o przeciwnych znakach)
• kulomb [C]= [A s] jednostka19
18
1 1.602 10
1 6.242 10
e C
C e
1 kulomb
• niewiele gdy mierzony przepływem prądu
• bardzo dużo gdy nie skompensowany Q=1C
q=1Cr=1m
F=9 109 N
Zjawiska elektryczne
• elektryzowanie się ciał• wyładowania elektryczne• prądy elektryczne
– praca serca– system nerwowy– współczesna energetyka– elektronika
• atom, cząsteczka, chemia
Elektryczność i magnetyzmrównania Maxwella (w próżni)dynamiczny związek pola elektrycznego i magnetycznego
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0
div div
rot rotdt t
Qd d
d dd d dl d
dt dt
E B
B EE B j
E S B S
E l B S B I E S
elektrostatyka
Elektryzowanie się ciałwykorzystujemy odpychanie się ładunków
jednoimiennych
• pocieranie
• indukcja elektrostatyczna
• transport ładunku wraz z naładowanymi cząstkami– atmosfera– generator Van der Graaffa
Prawo Kulomba
20
1
4
rr
rF
Q
qr
F
20
1
4
Q
q rr
F rE
Siła pomiędzy ładunkami
Natężenie pola w punkciewywołane obecnością ładunku, Q.
212
0 28.85187817... 10
C
N m
Ładunek próbny:nie wytwarza pola dla siebie
Dodawanie sił,dodawanie wektorów pola elektrycznegodziałającego na ładunek próbny
ii
F F
Q1
qF1
Siła wypadkowa jest wektorową sumą sił
Natężenie pola w punkciejest sumą pół od poszczególnych ładunków
Q2
F2 F
ii
E E
Wektor pola E jest addytywny
Q1
E1
Natężenie pola w punkciejest sumą pól od poszczególnych ładunków
Q2
E2 E
ii
E E
Pole elektryczne• wokół ładunku• w środku kwadratu• w środku kuli• pole dipola elektrycznego
Dodawanie sił,pole dipola elektrycznego
Q-
F-
Q+
F+
F
d
3
0
24
1rdQ
xEx
3
041
rdQ
xEx
{dQ} – moment dipolowy
Strumień polaPrawo Gaussa
Q
E
Strumień pola E pola
nie zależyod sposobu całkowania
20
1
4
Q
q rr
F rE SE dd E
dS
dSE·dS.= E·dS
Całkowity strumień przez zamkniętą powierzchnięwyznacza całkowity ładunek wewnątrz powierzchni
0
24
QErE
QE 0
Korzystamy zprawa Gaussa
QE 0
• jednorodnie naładowana kula gęstość ładunku, Q/V• powierzchnia kulista powierzchniowa gęstość ładunku, Q/S
• płaszczyzna, kondensator
• długi drut ładunek na jednostkę długości, Q/L
0 1 2 3
E( r) =Q/40r2
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
E( r) =r/300
E
rE
02
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa-Greena
Dywergencja polaw punkcie = źródło pola
S
V
dVdivd ESEdz
dEdy
dE
dxdE
div zyx EE
V
SV
dVdVdivdQ
00
ESE
0Ediv
0Q
dS
SE
Prawo Gaussa - postać różniczkowa
Prawo Gaussa - postać całkowa
pdEdWd rF
Pole elektryczne przy powierzchni metalu
• wewnątrz metalu E=0;
• pole prostopadłe do powierzchni;
• może istnieć przypowierzchniowa gęstość ładunku
• wiatr elektronowy przy ostrzach– duża gęstość, silne pole
E
Siła i praca (energia potencjalna)gradient (potencjału)
siła jest specyficzną pochodną potencjału po położeniu
pdEdWd rF
zyxdEdzFdyFdxFd pzyx ,, rF
rr
rF dd
dEdWd p
dz
zyxdEF
dy
zyxdEF
dx
zyxdEF p
zp
yp
x
,,,,,,
zyxEzyxEd
zyxdEpp
p ,,,,,,
gradr
F
dzd
dyd
dxd
,,grad operator
Natężenie i potencjał pola elektrycznego
dVd rE
dz
zyxdVE
dyzyxdV
Edx
zyxdVE zyx
,,,,,,
zyxVzyxVd
zyxdV,,,,
,, gradr
E
dzd
dyd
dxd
,,grad
q
EV
qpF
ECoulomb
JoulVolt
Rozkład potencjału wokół ładunku punktowego
drdV
rQ
rE 204
1
rQ
rV04
1
zyxV ,,E
0 1 2 3
E( r) =Q/40r2
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
0 1 2 3
V( r) =Q/40rPo
ten
cja
ł po
la (
V=
J/C
)
Odległość (m)
Energia oddziaływania
r
qQrQVrqVE qQQq
041
Rozkład potencjału wokół ładunków - potencjał jest wielkością addytywną
- suma energii oddziaływań z ładunkiem próbnym
q
EV p
q Q1
Q4
Q3
Q2
Q5 i
Qi
i
iiqQq ii
Vqr
QqEE
041
i
QiVV rr
Potencjał pochodzący od:• dwu ładunków• dipola elektrycznego• powierzchni kulistej
Rozkład potencjału kondensator płaski: całkowanie pola elektrycznego.
Q+ Q-
-1 0 1 2
E( r) =0E( r) =0
E( r) =/0
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
-1 0 1 2
V( r) =0
V( r) =V0
V( r) =x /0
Po
ten
cja
ł (V
)Odległość (m)
E
200 QVES
QddEdV p
Rozkład potencjału (całkujemy natężenie) naładowana kula powierzchnia kulista
0 1 2 3
V( r) =V0- r2/6
V( r) =Q/40rP
ote
ncj
ał p
ola
(V
=J/
C)
Odległość (m)
0 1 2 3
E( r) =Q/40r2
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
E( r) =r/30
Jeśli skończona grubość warstwy ładunkowejto ciągła zmiana pola E.Ładujmy ciało od środka!
Rozkład potencjału w metalu
0 1 2 3
V( r) =V0- r2/6
V( r) =Q/40rP
ote
ncj
ał p
ola
(V
=J/
C)
Odległość (m)
0 1 2 3
E( r) =Q/40r2
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
E( r) =r/30
stała wartość potencjału;pole elektryczne znika w objętości;ładunek tylko przy powierzchni;pole elektryczne prostopadłe do powierzchni.
Elektryzowanie ciał – jeszcze raz
• pocieranie o wełnę
• elektryzowanie przez indukcję
• metal w polu elektrycznym
• Van der Graaff
Równanie Poissona
zyxVzyxV ,,,, gradE
dzd
dyd
dxd
,,grad
0 EEdiv Prawo Gaussa - postać różniczkowa
Równanie Poissona0
VVVgraddiv
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dzd
dyd
dxd
dzd
dyd
dxd
div grad
dzdE
dy
dE
dx
dEdiv zyx EE
laplasjan (operator Laplace’a)
dywergencja gradient
Rozwiązanie równania Poissonanaładowana warstwa - jednostki
-1 0 1 2
( x) =0( x) =0
0
Gę
sto
ść ła
du
nku
(C
/m3)
Odległość (m)
EE 0
Warstwa o grubości d=10 nm,koncentracji domieszek n=1018 cm-3
emecmne 3618318 101010
Ce 1910602.11
37
193618
/10602.110602.11010
mCCm
212
0 28.85187817... 10
C
N m
Z prawa Gaussa pole zewnętrzne
CN
mNCmmCd
E 52212
937
0
109/1085.82
1010/10602.12
mV
CmJ
CmNm
CN
E 5555 109109109109
CJ
VNmJ
Rozwiązanie równania Poissonanaładowana warstwa
00
2
0
00
0
2VxE
xxV
ExxE
dxdE
xV
x
x
E
-1 0 1 2
E( r) ==-0d/2
E( r) ==0d/2
E( x) ==x/0
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
-1 0 1 2
V( x) =-dx/20+
+V0
V( x) =+dx/20+
+V0V( x) =
-x2/20+
+dx/20
Po
ten
cja
ł (V
)
Odległość (m)
-1 0 1 2
( x) =0( x) =0
0
Gę
sto
ść ła
du
nku
(C
/m3)
Odległość (m)
EE 0
00
0
0
VxExVExE
dxdE
x
x
E
Rozwiązanie równania Poissonanaładowana warstwa podwójna
00
2
0
00
0
2VxE
xxV
ExxE
dxdE
xV
x
x
E
-1 0 1 2
E( r) =0
E(r)
=-5
0x/ 0
E( r) =0
E(x)
=x/ 0
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
-1 0 1 2
V(x)
=-(
x-1)
2 /2
0
V( x) =const
V( x) =0
V(x)
=5(
x-x 0)
2 /2
0
Po
ten
cja
ł (V
)
Odległość (m)
-1 0 1 2
-50
( x) =0( x) =0
0
Gę
sto
ść ła
du
nku
(C
/m3)
Odległość (m)
E=0E=0 0
00
0
0
VxExVExE
dxdE
x
x
E
Wielkość ładunku elementarnegodoświadczenie Millikana
19
18
1 1.602 10
1 6.242 10
e C
C e
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
E
F=mg
F=eE
dobieramy pole Etak aby prędkość v=0
Ładunek kwarków• -1/3 lub +2/3 e• nie ma dowodu ist. swobodnych kwarków
Odchylanie wiązki elektronowejOscyloskop, wyznaczanie ładunku
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
Ev
F=eE Czy ładunek zależy od prędkości?• nie ma dowodu doświadczalnego;• nie, bo atomy obojętneŁadunek i prawo Gaussasą niezmiennikamitransformacji Lorentza
Energia pola elektrycznego kondensator płaski
Q+ Q-
-1 0 1 2
E( r) =0E( r) =0
E( r) =/0
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
-1 0 1 2
V( r) =0
V( r) =V0
V( r) =x /0
Po
ten
cja
ł (V
)
Odległość (m)
E=2
0
00
0
QUE
SQ
E
EdU
p
VESEdQU
Ep2
00
21
22
dVEdEp2
021
Energię elektrostatycznąmożna wyznaczyć całkując
całe pole elektryczne(Uwaga na stałą addytywną,
np. ładunek punktowy. Problem znika gdy Qtot=0)
Gęstość energii jest proporcjonalna dokwadratu natężenia pola
Dielektryki
Q+ Q-
E0=
Ed =p
+++++++++
---------
Polaryzacja ośrodka (pojawienie się uporządkowanych dipoli) jest równoważne pojawieniu się ładunku powierzchniowego
+-
+-
+-+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-+-
+-
+-+-
obszar neutralny,nie daje przyczynku do
strumienia pola elektrycznego
+
Podatność (stała) dielektryczna
Q+ Q-
E0=
Ed =p
+++++++++
---------
Pole pierwotne, E0, wyznaczone jest gęstością ładunku na okładkach kondensatora.
Pole wywołane polaryzacją ośrodka, Ep: • wyznaczone jest gęstością ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka.• jest skierowane przeciwnie do pola pierwotnego.
po
o
pEE
E
0
0
Stała dielektryczna (podatność dielektryczna) jest własnością materiału.
Podatność dielektryczna ciał
Q+ Q-
E0=
Ed =p
+++++++++
---------
po
o
pEE
E
0
0
powietrze 1.0006olej 2.0 – 2.4papier 1-8 – 2.6szkło 5.0 – 16diament 12alkohol etylowy 26woda 81tytanian baru 1 000 – 10 000
Rozkład potencjału kondensator płaski z dielektrykiem
Q+ Q-
-1 0 1 2
E=0Ep( r) =p/0
E=0
E0( r) =0/0
Na
tęże
nie
po
la (
N/C
)
Odległość (m)
-1 0 1 2
V=V0/V=0
V0
V( r) =x /0
Po
ten
cja
ł (V
)Odległość (m)
E
Q+ Q-
E0=
Ed =p
+++++++++
---------
-1 0 1 2
( x) =0( x) =0
Gę
sto
ść ła
du
nku
(C
/m3)
Odległość (m)
Zmniejszona różnica potencjałów przy tej samej gęstości ładunku!!!
Pojemność elektryczna kondensator płaski z dielektrykiem
Q+ Q-
-1 0 1 2
V=V0/V=0
V0
V( r) =x /0
Po
ten
cja
ł (V
)
Odległość (m)
E
Q+ Q-
E0=
Ed =p
+++++++++
---------
VQ
C
dEESE
dEES
dEEQ
Cppp
0
00
0
0
0
VoltCoulomb
Farad
dS
C 0
Pojemność kondensatora z dielektrykiem jest razy większa.
Łączenie kondensatorówRównoległe:
ii
ii
ii
ii
ii
i
CU
CU
UQ
C
UCQ
CUQQ
UU
i i
i i
ii
i iii
i
CQC
Q
QU
C
CQ
U
CQUU
11
1
1
i
iCC
Szeregowo:
i iCC
11
Q1
Q2
Q3C3
C2
C1
UU
U1 U2 U3
C1 C2 C3
Łączenie kondensatorów
321
21123 C
CC
CCC
21
2112
2112
111CC
CCC
CCC C1 C2
C3
UCC
CCQ
U
UCC
CCQ
U
UCC
CCUCQQQUCQ
UUUUU
21
1
2
22
21
2
1
11
21
2112211233
213
Pojemność elektryczna kula w ośrodku dielektrycznym
RVQ
C 04
0 1 2 3
V( r) =V0- r2/6
V( r) =Q/40r
Po
ten
cja
ł po
la (
V=
J/C
)
Odległość (m)
Mechanizm polaryzacji dielektryków +-
+-
+-+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-+-
+-
+-+-+
moment dipolowy może być indukowany polem
elektrycznym
+E0=
E0 +
- -
-
pole polaryzacji może pochodzić od uporządkowania
istniejących dipoli. +--
OH 2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
=50-10 000polaryzacja indukowana
Po
lary
zacj
a d
iele
ktry
czn
a
Pole elektryczne (kV/m)
polaryzacja orientacyjna
=2-10
+
Wektor przesunięcia (indukcji), D.
Q+ Q-
E0=
Ep =p
+++++++++
---------
00
00
p
pEEE
Dwie szkoły:1. Jak dotychczas uwzględniamy wszystkie
ładunki, również te powierzchniowe, indukowane w dielektryku.• musimy znać ładunek
powierzchniowy• strumień pola E wyznacza Q0-Qp
2. Wprowadzamy wektor D i odpowiadający mu strumień D by móc wyznaczać prawdziwe, a nie indukowane ładunki
po
o
pEEE
0
0
ED 0
00000
0000
EEE
EEE
EED pp
p
Prawo Gaussa dla dielektryków.
Q+ Q-
E0=
Ep =p
+++++++++
---------
po
o
pEEE
0
0
ED 0
00000
0000
EEE
EEE
EED pp
p
QdSD Strumień wektora przesunięcia (indukcji elektrycznej) wyznacza
wartość ładunku swobodnego (bez ładunku indukowanego na powierzchni dielektryka)
212
0 28.85187817... 10
C
N m
mV
CN
EmC
D 2
Wektor polaryzacji, P.
Q+ Q-
E0=
Ep =p
+++++++++
---------
ED 0
QdSD
Wektor polaryzacji – przyczynek do wektora
przesunięcia pochodzący od polaryzacji dielektryka.
p
pp
E
EEE
00
00
00
PED 0
Przyczynek do wektora przesunięcia pochodzący od wszystkich ładunków.
Wektor przesunięcia pochodzi od ładunków
swobodnych.
Tylko ładunki swobodne
Wektor polaryzacji, P.
Q+ Q-
E0=
Ep =p
+++++++++
---------
Wektor polaryzacji – przyczynek do wektora
przesunięcia pochodzący od polaryzacji dielektryka.
mV
CN
EmQ
DP 2
pE 00
PED 0
V
p
V
P
VQd
dSQd
P ii
totp
Wektor polaryzacji – moment dipolowy na jednostkę objętości
Energia pola elektrycznego uogólnienie dla dielektryka
Q+ Q-
E=2
0
00
0
QUE
SQ
E
EdU
p
VESEd
Ep2
021
2
dVEdEp2
021
20
00
0
QUE
SQ
E
EdU
p
VESEd
Ep2
021
2
EDdVdEp 021
Siła Lorentza
q q F E v×Bsiła elektrostatyczna,pole elektryczne, E,
od innych ładunków elektrycznych
pole magnetyczne, B,od poruszających się ładunków elektrycznych,
czyli od prądów elektrycznych
poruszający się ładunek
Elektrostatykanauka o ładunkach w spoczynku
Warunki brzegowe na granicy dielektryka.
0E0Ep =p
+++++++++
---------
ED 0
QdSDSkładowa prostopadła
wektora D jest ciągła (bo nie ma ładunków
swobodnych) PED 0
Składowa styczna wektora E jest ciągła, bo całka
okrężna znika (praca) Znika poza ośrodkiem
Ep
D0
P
Dp
Warunki brzegowe na granicy dielektryka. ED 0
Składowa prostopadła wektora D jest ciągła
PED 0Składowa styczna wektora
E jest ciągła. Znika poza ośrodkiem
00
000
00
000
00
00
yyydy
dy
dy
xxxdx
dx
dx
dd
EDEEED
EDDDED
EDED
00
000
00
00
yyydy
xx
oxd
x
EDED
EDD
E
0E0Ep =p
+++++++++
---------
Ep
D0
P
Dp