Post on 14-Dec-2014
description
UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVUELEKTROTEHNIČKI FAKULTETODJSEK ZAJEDNIČKIH OSNOVA
ELEKTROMAGNETIKA 1TEORIJA
PROF. DR BOŽIDAR KRSTAJIĆ
ISTOČNO SARAJEVO, FEBRUAR 2013
Elektromagnetika 1
3. Definicija elektromagnetskog polja, izraz za Lorencovu silu.
Elektromagnetsko polje je posebno fizičko stanje sredine u okolini naelektrisanih tijela, pro-vodnika sa strujom i stalnih magneta koje se manifestuje pojavom sile na naelektrisana tijela, provod-nike sa strujom i stalne magnete kada se unesu u polje, kao i pojavom indukovanog polja u tijelima koja se nalaze u polju koje se mijenja u vremenu ili se kreću kroz prostor u kome postoji polje.
Ako u nekom prostoru postoji elektromagnetsko polje, onda ono, na malo probno naelektrisanje koje se kreće u tom prostoru, u opštem slučaju, djeluje silom:
(1.1.1)
Polje u prostoru postoji nezavisno od naelektrisane čestice, ali je za dokaz da polje postoji ova čestica neophodna.
Jednačina (1.1.1) je poznati izraz za Lorencovu silu, u kome su: – vektor jačine električnog polja, – vektor magnetske indukcije (u opštem slučaju funkcije koordinata i vremena) i – brzina relativnog kretanja naelektrisanja u odnosu na posmatrača.
4. Prva Maksvelova jednačina (Faradejev zakon) u integralnom obliku (slučaj statičke ili transformatorske indukcije)?
Prva Maksvelova jednačina predstavlja Faradejev zakon elektromagnetske indukcije. Iz njega slijedi da svako vremenski promjenljivo električno polje stvara vremenski promjenljivo magnet-sko polje i obrnuto:
(1.2.3)
Ako kontura C miruje a vektor magnetske indukcije se mijenja u vremenu (slučaj takozvane statičke ili transformatorske indukcije) promjena fluksa će biti:
(1.2.4)
odnosno Faradejev zakon ima oblik:
(1.2.5)
Vlastimir Hršum 1
t¶¶B
E
Elektromagnetika 1
5. Druga Maksvelova jednačina (Amperov zakon) u integralnom obliku.
Druga Maksvelova jednačina izražava uopšteni Amperov zakon iz koga slijedi da magnetsko polje stvaraju kako kondukcione tako i konvekcione struje i struje dielektričnog pomjeraja:
(1.2.6)
Zbir vektora gustina struja u izrazu (1.2.6) naziva se vektorom gustine ukupne ili totalne struje:
(1.2.7)
Kondukcionu struju obrazuju naelektrisane čestice koje se kreću pod dejstvom električnog polja: (1.2.8)
što predstavlja Omov zakon i u njemu je specifična provodnost sredine, . Konvekcionu struju obrazuju naelektrisane čestice koje se kreću pod dejstvom sila neelektromagnetske prirode.
(1.2.9)Gustina struje dielektričnog pomjeraja sadrži dvije komponente:
(1.2.10)
Prva komponenta predstavlja struju dielektričnog pomjeraja u slobodnom prostoru. Ova struja postoji samo zbog toga što se elektromagnetsko polje mijenja u vremenu. Dakle, nju ne obrazuju naelektrisa-ne čestice u pokretu. Druga komponenta u (1.2.10) je gustina struje polarizacije.
6. Treća Maksvelova jednačina (Gausov zakon) u integralnom obliku.
Treća Maksvelova jednačina ili Gausov zakon polja vektora električne indukcije ima oblik:
(1.2.11)
Ova jednačina pokazuje da električnu indukciju stvaraju slobodna opterećenja, odnosno da je polje vektora izvorno polje. Konvencija je da se izvorima smatraju pozitivna, a ponorima negativna slo-bodna opterećenja. Ova jednačina je poznata pod nazivom zakon o održanju (konzervaciji) magnetskog flksa.
(1.2.12)
Konačno, sve četiri Maksvelove jednačine u integralnom obliku su:
,
, . (1.2.13)
Vlastimir Hršum 2
Elektromagnetika 1
8. Kako nazivamo prostore u kojima je divE<0, divE>0, divE=0?
9. Maksvelove jednačine u diferencijalnom obliku.
, , . (1.3.7)
15. Jednačina kontinuteta (opšti oblik i oblik za stacionarne struje).
Jednačinu kontinuiteta izvešćemo iz druge Maksvelove jednačine (1.3.3) koristeći se poznatom relaci-jom iz teorije polja:
(1.4.1)
Primjenom teoreme Gaus-Ostrogradskog dobija se odgovarajući integralni oblik:
(1.4.2)
Izvedimo odgovarajući oblik jednačine kontinuiteta za kondukcionu struju:
,
, . (1.4.3)
Odgovarajući integralni oblik je: (1.4.4)
Pošto je divergencija polja gustine kondukcione struje različita od nule zaključujemo da je ovo polje izvorno.
Ako je riječ o stacionarnim strujama vremenski izvod je jednak nuli, pa je:
. (1.4.5)
Vlastimir Hršum 3
Elektromagnetika 1
30. Elektrodni sistemi (jednačine preko potencijalnih i koeficijenata indukcije).
Posmatrajmo linearnu sredinu, u kojoj se nalazi N+1 provodno tijelo. Neka je N tijela opterećeno naelektrisanjima respektivno, a N+1 tijelo je referentno, sa opterećenjem
. Referentno tijelo može biti provodna ravan ili zamišljena provodna sfera u beskonač-nosti ili sferni ili cilindrični provodnik unutar kojeg se nalaze ostale elektrode. Potencijali svakog tije-la (elektrode) u odnosu na referentno tijelo zavisiće od svih opterećenja u sistemu, pa možemo pisati:
(2.3.6)
(2.3.7)
gdje je matrica potencijalnih koeficijenata.:
za = 0, pri m = 1,2,3,……..N; (2.3.8)
za = 0, pri m = 1,2,3,……..N; (2.3.9)
Ako iz (2.3.7) izrazimo opterećenja preko potencijala u odnosu na referentno tijelo, dobijamo:
(2.3.10)
Matrica sadrži koeficijente indukcije, :
za m = 1,2,3,……..N; (2.3.11)
za m = 1,2,3,……..N; (2.3.12)
. (2.3.13)
Vlastimir Hršum 4
Elektromagnetika 1
37. Objasnite polje paralelnih beskonačnih el. osa naelektrisanih sa τ i –τ.
Analizirati elektrostatički sistem dvije beskonačno duge, ravnomjerno podužno naelektrisane ose u homogenom dielektriku. Neka su naelektrisanja jednaka i suprotnog znaka. Pokazati da postoji kružna linija u odnosu na koju su tačke, u kojima ose prodiru ravan crteža, inverzne jedna drugoj i da je ta kružna linija ekvipotencijalna, [ ].
Slika 2.41
Polje u okolini duge naelektrisane niti ima samo radijalnu komponentu. Potencijal u tački M, slika 2.41 dobija se superpozicijom:
. (1)
Očigledno je da konstanta C mora imati vrijednost nula, jer je za , tj. u ravni u odnosu na koju su naelektrisane niti simetrične, potencijal jednak nuli. Iz izraza (1) je očigledno da su jednačine ekvi-potencijalnih linija (polje je planparalelno, odnosno isto u svakoj ravni okomitoj na naelektrisane niti):
, (2)
gdje je k parametar familije ekvipotencijalnih linija. Sa slike 2.41 je očigledno:, , (3)
Uzimajući u obzir (2), dobijamo:
, (4)
Ova jednačina predstavlja familiju kružnica čiji su centri na x-osi, u tačkama:
, (5)
sa poluprečnicima:
. (6)
Vlastimir Hršum 5
Elektromagnetika 1
39. Analizirajte polje 2 beskonačno duga paralelna cilindrična provodna nekoaksijalna plašta na potencijalima φ1, φ2 (slučaj: rastojanje.....)
Neka poluprečnici nekoaksijalnih cilindara budu i a rastojanja njihovih geometrijskih osa d. Neka je rastojanje električnih osa 2a. Pošto su provodni plaštovi ekvipotencijalne površine, to će elek-trične osovine biti međusobno inverzne u odnosu na te površine. Odredimo nepoznate , , a i .
Slika 2.48Za primjer na slici 2.48 očigledno je:
.
;
,
Vlastimir Hršum 6
Elektromagnetika 1
38.
Slika 2.49
Za drugi slučaj, slika 2.49, analogno važi:
Iz (2) slijedi:
;
,
Podužna kapacitivnost nekoaksijalnih provodnih plašteva je:
Vlastimir Hršum 7
Elektromagnetika 1
40. Elektrostatičko polje u homogenom dielektriku.
Označimo sa: – polje u okolini provodnih tijela u vakuumu, – polje indukovanih opterećenja i – rezultantno polje.
Posmatrajmo sistem naelektrisanih provodnih tijela u vakuumu. Unutar provodnih tijela polje je jednako nuli, a u okolnom prostoru postoji polje . Zamislimo da prostor između provodnih tijela is-punimo homogenim dielektrikom. Dielektrik će se polarizovati pa će se na površinama dielektrika uz površinu provodnih tijela pojaviti površinska vezana naelektrisanja:
. (2.4.1)
Unutar provodnih tijela polje je i dalje jednako nuli. Uukupna raspodjela površinskih naelektrisa-nja (slobodnih i vezanih) na granicama između provodnih tijela i homogenog dielektrika, moraju biti slična ranijoj raspodjeli slobodnih naelektrisanja , te i konfiguracija rezultantnog polja u dielek-triku ostaje ista kao i kad dielektrika nema. Mijenja se samo vrijednost polja u svakoj tački.
Relaciju (2.4.1) možemo napisati u obliku:
(2.4.2)
Opterećenja koja stvaraju polje su puta manja od prethodne gustine slobodnih naelektrisanja , što znači da je rezultantno polje puta manje od polja u vakuumu , tj.:
. (2.4.3)
Nakon množenja sa , iz prethodne jednačine dobijamo:
(2.4.4)
Zaključujemo da se polje vektora neće promijeniti kada se vakuum sa poljem ispuni homoge-nim dielektrikom.
Uzimajući u obzir relacije (1.6.1) i (2.4.3), dobijamo:
, ,
. (2.4.5)
Pošto je polje u homogenom didelektriku puta manje od polja u istoj tački u vakuumu, za-ključujemo da isti odnos mora važiti i za potencijale:
. (2.4.6)
Vlastimir Hršum 8
Elektromagnetika 1
44. Izvedite izraz za kapacitivnost 2-žičnog voda sa podužnim τ1 i –τ2, h1≠h2
49. Odrediti podužnu kapacitivnost koaksijalnog kabla (poluprečnika a i b).
Vlastimir Hršum 9
Elektromagnetika 1
52. Odrediti rješenja Puasonove jednačine u elektrostatici u slučajevima kada je problem jednodimenzionalan i odgovara mu pravougli koordinatni sistem.
Puasonova jednačina u pravouglom Dekartovom ima oblik, respektivno:
(2.7.6)
Pravougli koordinantni sistem. Ako potencijal zavisi samo od -koordinate:
(2.7.9)
(2.7.10)
Ekvipotencijalne površine su ravni Takvo rješenje opisuje polje idealnog pločastog konden-zatora.
53. Odrediti rješenja Puasonove jednačine u elektrostatici u slučajevima kada je problem jednodimenzionalan i odgovara mu sferni koordinatni sistem.
Sferni koordinantni sistem. Ako potencijal zavisi samo od r-koordinate:
, (2.7.14)
. (2.7.15)
ekvipotencijalne površine predstavljaju koncentrične sfere. Ovaj oblik rješenja srećemo u polju naelektrisane lopte, sfernog kondenzatora, itd. U slučajevima kada potencijal zavisi samo od koordinate ,
. (2.7.16)
ekvipotencijalne površine predstavljaju površine koaksijalnih polukonusa od kojih se jedan degeneriše u ravan (za ).
Vlastimir Hršum 10
Elektromagnetika 1
55. Dvije provodne neograničene poluravni sijeku se pod α0 ali se ne dodiruju. Jedna od ravni je na potencijalu 0 a druga na φ0 . Polazeći od Laplasove jednačine, odrediti polje i potencijal između ploča.
Biramo cilindrični koordinantni sistem. Zbog neograničenosti poluravni u i smjeru, biće:
Slika 2.78
, . , .
, , , ,
, .
63. Definicija i jednačine stacionarnog strujnog polja.
Stacionarno strujno polje definišemo kao polje u kome je struja nepromjenljiva u vremenu. Posmatramo nepokretne provodnike i nepokretne provodne sisteme.
(3.1)
(3.2)
Vlastimir Hršum 11
Elektromagnetika 1
64. Osobine stacionarnog strujnog polja (fizikalni smisao gustine naelektrisanja, granični uslovi i zakon prelamanja, slobodna naelektrisanja, Laplasova jednačina, analogija sa elektrostatičkim poljem, pojam tačkastog strujnog izvora).
Fizikalni smisao gustine naelektrisanja. Bitna razlika između električnog polja u elektrostatici i stacionarnog električnog polja u provodnoj sredini je u fizikalnom smislu gustine naelektrisanja Ranije smo definisali kao gustinu makroskopski nepokretnih naelektrisanja. U elektrostatičkom po-lju ima upravo takvo značenje. U stacionarnom električnom polju predstavlja gustinu naelektri-sanja koja se kreću. Jedna naelektrisanja u kretanju smjenjuju druga tako da im makroskopska gustina u svakoj tački polja ostane nepromijenjena.
Granični uslovi i zakon prelamanja. Iz jednačine kontinuiteta dobijamo uslov koji moraju zadovoljiti normalne komponente gustine struje na prelazu iz jedne provodne sredine u drugu:
, (3.3)
što se, s obzirom na Omov zakon u diferencijalnom obliku , svodi na uslov:
(3.4)
Računajući cirkulaciju vektora po konturi koja obuhvata razdvojnu površ, dobijamo da su tangencijalne komponente jačine električnog polja jednake:
(3.5)
Slika 3.1 Slika 3.2
Ako sa i označimo uglove koje vektori gustine struje zaklapaju sa normalom na razdvojnu površ i uzmemo u obzir granične uslove (3.4) i (3.5), dolazimo do zakona prelamanja strujnih linija na raz-dvojnoj površi:
(3.6)
Iz zakona prelamanja zaključujemo da u slučajevima kada je vrijedi odnos . Ovo je čest slučaj u praksi. Kada je riječ o uzemljivačima, odnos provodnosti čelika i zemlje je reda , što praktično znači da strujne linije koje dolaze tangentno na površinu uzemljivača u zemlju izlaze pod uglom od , slika 3.2.
Vlastimir Hršum 12
Elektromagnetika 1
Slobodna naelektrisanja u stacionarnom strujnom polju. Kada se Gausov zakon primijeni na površinu koja obuhvata razdvojnu površinu, dobija se: . Obzirom na granični uslov (3.3) i diferencijalni oblik Omovog zakona važiće:
. (3.7)
Ovim izrazom određena je gustina slobodnog površinskog naelektrisanja na razdvojnoj površini dvije provodne sredine različitih provodnosti , koja u opštem slučaju nije jednaka nuli. Ove raspodjele očigledno neće biti ako parametri sredina ispunjavaju uslov: .
Ako pretpostavimo da je provodnik linearan, ali nehomogen, možemo pisati:
(3.8)
U opštem slučaju, ova gustina nije jednaka nuli. Za linearne, homogene sredine pa je gustina slobodnih zapreminskih naelektrisanja jednaka nuli bez obzira na vektor gustine struje .
Primjećujemo da, bez obzira na to što za stacionarno strujno polje važe jednačine: i , one ne mogu biti polazište za analizu polja jer raspodjela slobodnih naelektrisanja zavisi od
raspodjele struje. Kada odredimo raspodjelu struje, iz tih jednačina moguće je odrediti raspodjelu slo-bodnih naelektrisanja.
Laplasova jednačina u stacionarnom strujnom polju. Električno polje stacionarnih struja je potencijalno pa potencijal mora da zadovoljava Laplasovu jednačinu kao u elektrostatičkom polju. Za-to ima smisla pitanje – pod kojim uslovima je moguće dobiti slične slike polja u dielektriku i provod-niku? Odgovor daje teorema jednoznačnosti, prema kojoj potencijalna funkcija u obje sredine ima isti oblik ako zadovoljava Laplasovu jednačinu i iste granične uslove. Prvi uslov je da u dielektriku nema slobodnih naelektrisanja a u provodnoj sredini nema stranog polja . Slične granične uslove do-bijamo iz zakona prelamanja u elektrostatici i strujnim poljima:
. (3.9)
Podrazumijeva se da same granice imaju isti oblik i dimenzije.
Vlastimir Hršum 13
Elektromagnetika 1
Analogija između stacionarnog strujnog i elektrostatičkog polja. Već smo vidjeli da je sta-cionarno strujno polje u dijelu gdje nema izvora opisano istim jednačinama kao i elektrostatičko polje. U prethodnom pasusu odredili smo uslove koje treba zadovoljiti da u provodnoj sredini bude ista sli-ka polja kao u dielektričnoj sredini istog oblika i dimenzija.
Odredimo koje veličine ovih polja su analogne jedna drugoj?
Slika 3.3
Posmatrajmo provodno tijelo u homogenoj sredini provodnosti . Neka se tom tijelu pomoću tankog izolovanog provodnika dovodi struja , slika 3.3 a). Iz jednačine kontinuiteta slijedi:
.
Ako je površina dobijamo:
(3.10)
Kada isto tijelo posmatramo u dielektričnoj sredini iz treće Maksvelove jednačine, slijedi:
(3.11)
Očigledno je da su sledeće veličine dualne jedna drugoj:
i (3.12)
Pretpostavimo da su potencijalne funkcije jednake u stacionarnom strujnom i elektrostatič-kom polju. Tada će ekvipotencijalne površine i linije vektora u provodnoj sredini i u dielektriku biti jednake. Isti oblik će imati i linije vektora električne indukcije i gustine struje . Veličina (gusti-na linija) ovih vektora biće jednaka ako su konstante i brojno jednake. Ako ove karakteristike ni-su međusobno brojno jednake, gustina linija vektora biće onoliko puta veća od gustine linija vek-tora koliko je puta apsolutna dielektrična propustljivost veće od specifične provodnosti .
Tačkasti strujni izvor. Pod tačkastim strujnim izvorom podrazumijevaćemo sferu veoma malih dimenzija kojoj se dovodi struja veoma tankim izolovanim provodnikom i iz koje je vektor gu-stine struje radijalan u odnosu na njen centar.
Vlastimir Hršum 14
Elektromagnetika 1
75. Magnetski vektor-potencijal.
Na početku prethodnog poglavlja pokazali smo da stacionarno magnetsko polje određuju jednačine:
i (4.1.1)
Iz prve jednačine u (4.1.1), zaključujemo da se magnetska indukcija može predstaviti kao rotor ne-ke vektorske funkcije. Iz vektorske analize je poznato da je Zato možemo pisati:
(4.2.1)
je je vektor funkcija koordinata. Pokažimo da vektor zadovoljava Amperov zakon. Pomnožimo jednačinu sa permeabilnošću i uzmimo u obzir (4.2.1):
(4.2.2)
Poznato je da se izraz na lijevoj strani može razviti na sledeći način:
(4.2.3)
U poslednjoj jednačini možemo proizvoljno izabrati. Ako se mijenja divergencija vektora, onda se mijenja samo njegova potencijalna komponenta, a njen rotor je uvijek jednak nuli. Pošto nas inte-resuje samo rotor vektora , zaključujemo da možemo nametnuti uslov:
(4.2.4)
Iz jednakosti (4.2.2) i (4.2.3) konačno slijedi:
(4.2.5)
Jednačina (4.2.5) je Puasonova vektorska jednačina. U oblastima bez struje vrijedi Laplasova vektor-ska jednačina Svaku od ovih jednačina moguće je razložiti na tri skalarne jednačine:
(4.2.6)
Analogno rješenju za potencijal u elektrostatici, za bilo koju od navedenih komponenti važi:
, (i = x, y, z)
odnosno,
(4.2.7)
Rastojanje R u poslednjem izrazu predstavlja rastojanje elementa zapremine dV od tačke u kojoj
određujemo vektor ,
Vlastimir Hršum 15
Elektromagnetika 1
Slika 4.2 Smjer i pravac vektora
Vektor nazivamo magnetski vektor-potencijal. U polju jednosmjernih struja ovaj vektor je jedno-značno određen iz i
80. Modifikovana teorema lika u ravnom feromagnetnom ogledalu
Posmatrajmo slučaj pravolinijskog provodnika sa strujom I koji je paralelan razdvojnoj površini dva homogena magnetika. Neka se provodnik nalazi u magnetiku propustljivosti . Druga sredina neka ima propustljivost , slika 4.20 a).
Slika 4.20
Vlastimir Hršum 16
Elektromagnetika 1
Pokažimo da se polje koje postoji u stvarnim uslovima može odrediti kao superpozicija polja koja se dobijaju iz uslova prikazanih na slici 4.20 b) i c). Uzmimo na graničnoj površini proizvoljnu tačku. Prema slici 4.20 d), normalna i tangencijalna komponenta vektora iznose:
Za slučaj prikazan na slici 4.20 e) analogno imamo:
Granični uslovi koje treba zadovoljiti su: i Konačno se dobija:
(4.8.1)
Dakle, ako struje i odaberemo prema (4.8.1), polje u tačkama koje pripadaju sredini “1” odre-đujemo na način prikazan na slici 4.20 b), a za tačke iz sredine “2” na način prikazan na slici 4.20 c).
89. Kada se unutrašnja induktivnost provodnika u odnosu na spoljašnju može zanemariti? Kada se površinski efekat ne može zanemariti, struja u provodniku je lokalizovana uz površinu
provodnika, zbog čega se polje unutar provodnika može zanemariti, te se i unutrašnja induktivnost u odnosu na spoljašnju može zanemariti.
90. Energija kvazistacionarnog magnetnog polja.
U linearnim sredinama gustina energije lokalizovane u magnetskom polju iznosi . Ukupna energija unutar neke oblasti V iznosi:
(5.4.1)
,
. (5.4.2)Izraz za energiju, uzimajući u obzir teoremu Gaus-Ostrogradskog, dobija oblik:
(5.4.3)
Vlastimir Hršum 17
Elektromagnetika 1
Ako obuhvatimo čitav prostor, površina S postaje površina koja raste sa pri čemu podintegralna
funkcija opada sa , tako da će drugi integral težiti nuli. Iz (5.4.3) konačno dobijamo:
. (5.4.4)
Zapremina V obuhvata čitav prostor, ali se računanje energije svodi na računanje integrala po oblasti-ma u kojima je .
U slučaju tankog provodnika, izraz (5.4.4) može se napisati u sljedećem obliku:
(5.4.5)
Ako u sistemu ima N tankih strujnih kontura, energija magnetskog polja će biti:
.
92. Induktivnost dvožičnog voda
Posmatrajmo sistem veoma dugih paralelnih provodnika kružnog poprečnog presjeka, polu-prečnika a, sa strujama i međuosovinskim rastojanjem d, slika 5.4.
Slika 5.4
U primjeru 4.1 izveli smo izraze za magnetski vektor-potencijal usamljenog provodnika kružnog pre-sjeka:
, za , (5.5.1)
, za . (5.5.2)
Vlastimir Hršum 18
Elektromagnetika 1
Uzimajući ove izraze u obzir, ukupni magnetski vektor-potencijal za tačke presjeka prvog provodnika će biti:
. (5.5.3)
Odredimo energiju magnetskog polja posmatranog sistema koristeći izraz (5.4.4):
. (5.5.4)
Postavimo cilindrični koordinantni sistem u centar presjeka prvog provodnika, sa osom z u pravcu ose provodnika. Tada možemo pisati:
, ,
.
Izraz za magnetski vektor potencijal (5.5.3) dobija oblik:
. (5.5.5)
Pošto magnetski vektor-potencijal i gustina struje u ovakvom koordinantnom sistemu imaju samo z-komponente važi:
, . (5.5.6)
Uvrštavanjem izraza za i u izraz za energiju i prilagođavanjem elemenata zapremine pojedinim sabircima za energiju oba provodnika dobijamo:
Posljednji integral u ovom izrazu je jednak nuli obzirom na odnos pa se za energiju dobija:
. (5.5.7)
Konačno, tražena induktivnost voda je:
(5.5.8)
Vlastimir Hršum 19
Elektromagnetika 1
91. Odrediti uzajamnu energiju dvije strujne konture.
Neka imamo dva strujna kruga sa strujama i . Ukupno polje koje stvaraju ove struje jednako je zbiru polja pojedinih struja. Ukupna energija polja je tada:
(5.4.7)
Prva dva sabirka predstavljaju sopstvenu energiju magnetskog polja posmatranih strujnih kontura, dok je treći sabirak njihova uzajamna energija:
(5.4.8)
Sličnim transformacijama ovaj izraz se dovodi na oblik:
(5.4.9)
51. Odrediti rješenja Puasonove jednačine u elektrostatici u slučajevima kada je problem jednodimenzionalan i odgovara mu cilindrični koordinatni sistem.
Puasonova jednačina u cilindričnom sistemu, ima oblik:
(2.7.7)
Cilindrični koordinantni sistem. Ako potencijal zavisi samo od -koordinate:
(2.7.11)
(2.7.12)
Ekvipotencijalne površine predstavljaju koaksijalne cilindre.U slučajevima kada potencijal zavisi samo od koordinate ,
. (2.7.13)
ekvipotencijalne površine imaju oblik ravni koje prolaze kroz -osu, ali se ne sijeku. Puasonova jednačina u sfernom koordinantnom sistemu, ima oblik:
. (2.7.8)
Vlastimir Hršum 20