Post on 29-May-2020
ELASTİK DALGA YAYINIMI
(7. Ders - 2016)
Prof.Dr. Eşref YALÇINKAYA
Geçtiğimiz ders; Yansıyan ve iletilen dalgalar Yansıma (R) ve İletme katsayıları (T) Enerjinin ve frekansın korunması, genlik ve
dalga boylarındaki değişim Bu derste; Elastisite teorisi Gerilme ve bileşenleri Deformasyon ve bileşenleri
2 E.YALÇINKAYA
Önceki bölümlerde bir ip üzerinde Newton’ın hareket denklemini uygulayarak, deforme edilen ipin yayılan dalgalara neden olduğunu bulmuştuk. Benzer şekilde deformasyona uğrayan katı yer küre, yayılan sismik dalgalara neden olur. Bu bölümde, elastik ortamda gerilme-deformasyon ilişkilerini kullanarak yer küre içinde yayılan dalga özelliklerini belirlemeye çalışacağız.
ELASTİSİTE TEORİSİ Stress – Strain
Gerilme - Deformasyon
3 E.YALÇINKAYA
Hooke Kanunu
εσ E=Gerilme Elastik
parametre
Deformasyon
4 E.YALÇINKAYA
Gerilme (stress) ve Bileşenleri Gerilme ; S alanı üzerine etkiyen F kuvvetinin bu alan bölümü şeklinde tanımlanır. Gerilme, kuvvetin şiddeti olarak düşünülebilir (sivri uçlu bir çekiç ve düz yüzeyli bir çekiç ile bir kaya parçalamayı düşünün). Gerilmenin matematiksel tanımı :
barPascalm
newtonSF 5
2 10−====σ
Gerilme vektörel bir büyüklüktür, yani genliği ve yönü vardır. Yatayda ve düşeyde bileşenlerine ayrılabilir.
5 E.YALÇINKAYA
Bir hacim elemanı yüzeyleri üzerinde gerilme dokuz bileşeni olan tensör ile tanımlanır :
z
y
x
zzσ
yzσxzσ
zxσ
xxσ yxσ
zyσ
yyσxyσ
6 E.YALÇINKAYA
Cisim içinde herhangi bir O noktasına etkiyen gerilme dokuz bileşeni olan bir tensördür ;
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σσσσσσσσσ
σ =
Gerilme bileşenlerinin hepsi birbirinden bağımsız değildirler. Herhangi bir hareket söz konusu olmadığından küp denge konumundadır, dolayısı ile kübe etkiyen kuvvetlerin denge halinde olması gerekir.
7 E.YALÇINKAYA
Örneğin kübü, merkezinden geçen ve z eksenine paralel bir eksen etrafında döndürmeye çalışan gerilmeleri göz önüne alırsak (σxy, σyx) küp denge durumunda olduğuna göre eşit olmaları gerekir :
z
y
x
xyσyxσ
yxxy σσ =
8 E.YALÇINKAYA
Benzer şekilde x ve y eksenlerine paralel olan dönme eksenlerine göre momentlerin toplamını sıfır yaparsak;
zxxz
zyyz
σσ
σσ
=
=
Bu sebeple, daha önce tanımladığımız 9 gerilme bileşeninden sadece altısı birbirinden bağımsızdır.
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
σσσσσσσσσ
σ =
9 E.YALÇINKAYA
Kübün yüzeylerine dik olan σxx, σyy ve σzz gerilmeleri normal gerilmeler olarak bilinirler ve pozitif iseler çekme gerilmeleri, negatif iseler basınç gerilmeleri olarak adlandırılırlar.
zzσ
yyσ
xxσ
Diğer bileşenler σxy, σyx, σyz, σzy, σzx ve σxz kayma gerilmeleri olarak adlandırılırlar.
10 E.YALÇINKAYA
yyσ−
zzσ−
xxσ−
Kayma gerilmelerinin tümünün sıfır olması ve σxx, σyy ve σzz gerilmelerinin birbirine eşit ve negatif olması hali “hidrostatik basınç” olarak bilinir.
11 E.YALÇINKAYA
Deformasyon (strain) ve Bileşenleri Bir cismin birim miktarında gerilmeye karşı meydana gelen şekil ve hacim değişmesine strain (birim deformasyon veya yamulma) denir. Strain, bir noktanın komşu noktalara göre yer değiştirme miktarının, başlangıçtaki yeri ile referans noktası arasındaki uzaklığa bölümü şeklinde tanımlanabilir.
12 E.YALÇINKAYA
δu
δx
xu
xx δδε =
δ x → 0 durumunda ;
xu
xx ∂∂
=ε
zwyv
zz
yy
∂∂
=
∂∂
=
ε
εz
x
Hacimsel deformasyon;
13 E.YALÇINKAYA
zvyvxu
zz
yy
xx
∂∂
≡
∂∂
≡
∂∂
≡
ε
ε
ε x
y
z Uzunluktaki değişim miktarları ;
Pozitif işaretli iseler “genleşme” Negatif işaretli iseler “sıkışma”
14 E.YALÇINKAYA
δu
δz
δw δx
θ2
θ1
ψ
212θθψπγ +=−=xz
Kayma (shear) deformasyonu;
)(tan 11 açıçılarküçükçokxw θδδθ ⇒=
)(tan 22 açıçılarküçükçokzu θδδθ ⇒=
)(21
21
21 θθεγ +== xzxz
)(21
zu
xw
xz ∂∂
+∂∂
=ε
boyutlar → 0 durumunda ;
zx
15 E.YALÇINKAYA
)(21
)(21
)(21
zv
yw
xw
zu
xv
yu
zyyz
xzzx
yxxy
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
εε
εε
εε
Kayma deformasyonları ;
A D
B C
C’
D’
B’
z
y
16 E.YALÇINKAYA
)(21
)(21
)(21
yu
xv
xw
zu
yw
zv
z
y
x
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
θ
θ
θ
Dönme deformasyonları ;
A D
BC
C’
D’
B’
z
y
17 E.YALÇINKAYA
Böylece, bir nokta için
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ,,,,,,,,
gibi dokuz büyüklük bilinirse komşu noktaların rölatif yerdeğiştirmeleri hesaplanabilir. Deformasyon katsayıları aşağıdaki gibi tanımlayalım :
zvyvxu
zz
yy
xx
∂∂
≡
∂∂
≡
∂∂
≡
ε
ε
ε
)(21
)(21
)(21
zv
yw
xw
zu
xv
yu
zyyz
xzzx
yxxy
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
εε
εε
εε
)(21
)(21
)(21
yu
xv
xw
zu
yw
zv
z
y
x
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
θ
θ
θ
18 E.YALÇINKAYA
Bu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (εxx, εyy, εzz) 2. Şekil değişimi (εxy, εyx, εxz, εzx, εyz, εzy) 3. Dönme (θx, θy, θz)
A D
BC
C’
D’
B’
A D
B C
C’
D’
B’
19 E.YALÇINKAYA
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεεεεεεε
ε =
zw
zv
yw
zu
xw
yw
zv
yv
yu
xv
xw
zu
xv
yu
xu
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
21
21
21
21
21
21
ε
20 E.YALÇINKAYA
Dilatasyon Dilatasyon; birim hacime tekabül eden hacim artmasıdır;
VV
V
∆=∆
→0lim
zw
yv
xu
zzyyxx
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆
++=∆ εεε
21 E.YALÇINKAYA
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεεεεεεε
ε =
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σσσσσσσσσ
σ =
STRESS STRAIN
εσ E=Hooke Kanunu
22 E.YALÇINKAYA