EJERSICIOS Baldor.pdf

Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/Damasorojas8@galeon.com,damasorojas6@gmail.com,joeldama@yahoo.com

EjerciciosResueltosdelAlgebradeBaldor.Consultadoenlasiguientedireccinelectrnicahttp://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm.Definicin:Dosomstrminossonsemejantescuandotienenlasmismasletrasyafectadasporelmismoexponente.Reduccindedostrminossemejantesdelmismosigno

Procedimiento

Para reducir trminos semejantes con elmismo signo se suman loscoeficientes de todos los trminos y se antepone al coeficiente total elmismosignoquecomparten,yacontinuacinseescribelaparteliteral.

Reducir:1.x+2x.Solucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson1y2.Laparteliteraligualentodoslostrminosesx.1+2=3;x+2x=3x.2.8a+9aSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson8y9.Laparteliteraligualentodoslostrminosesa.8+9=17;8a+9a=17a.3.11b+9bSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson11y9.Laparteliteraligualentodoslostrminosesb.11+9=20;11b+9a=20b.4.b5b.Solucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson1y5.Laparteliteraligualentodoslostrminosesb.1+5=6;b5b=6b.5.8mmSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson8y1.Laparteliteraligualentodoslostrminosesm.


8+1=9;8mm=9m.6.9m7mSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson9y7.Laparteliteraligualentodoslostrminosesm.9+7=16;9m7m=16m.


Reduccindedostrminossemejantesdedistintosigno

Procedimiento Para reducir dos trminos semejantes de distinto signo, se halla ladiferencia entre los coeficientesde los trminos, colocando antesde estadiferenciaelsignodelcoeficientemayor(envalorabsoluto)yacontinuacinseescribelaparteliteral.

Nota:dostrminossemejantesconigualcoeficienteydistintosignoseanulan.


Reduccindemsdedostrminossemejantesdesignosdistintos

Procedimiento Para reducirunpolinomio conmsdedos trminos semejantes y con signosdistintos,seprocedeas:1)Sereducenaunsolotrminotodoslospositivos.2)Sereducenaunsolotrminotodoslosnegativos.3) Secalcula ladiferenciaentre loscoeficientesde lostrminoshalladosen losdospasosanteriores.4)Elsignoqueprecederladiferenciahalladaenelpasoanteriorserelquetengaelcoeficientemayorenvalorabsolutodelostrminoshalladosenlospasos(1)y(2).5)Porltimo,seescribelaparteliteral.

Reducir:


ReduccindetrminossemejantesReduccindeunpolinomioquecontengatrminossemejantesdediversasclases

Procedimiento1. Se agrupan los trminos semejantes de cada clase en un mismoparntesis2.Sereducenlostrminossemejantes3.Sedalarespuesta,ordenandoelpolinomioresultanteNota: recordemosque los trminossemejantessonaquellosque tienen lasmismasletrasyafectadasporlosmismosexponentes

Reducirlospolinomiossiguientes:


Productosnotables

a)Cuadradodelasumadedoscantidades

Procedimiento1.Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio2. "Elcuadradode lasumadedoscantidadeses iguala,elcuadradode laprimera cantidad, ms el doble producto de la primera cantidad por lasegunda,mselcuadradodelasegundacantidad"3.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2


b)Cuadradodeladiferenciadedoscantidades

Procedimiento1.Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio2."Elcuadradodeladiferenciadedoscantidadesesiguala,elcuadradodelaprimeracantidad,menoseldobleproductodelaprimeracantidadporlasegunda,mselcuadradodelasegundacantidad"3.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2


c)Productodelasumaporladiferenciadedoscantidades

Procedimiento1. "Elproductode la sumapor ladiferenciadedoscantidadeses igualalcuadradodelminuendomenoselcuadradodelsustraendo"2.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.


d)Cubodeunbinomio

Procedimiento1.Sedesarrollaelparntesis,observandosisetratadelcubo,delasumaoladiferenciadedoscantidades;enelprimercasoseprocedecomoindicaelpaso2,enelsegundocasoseaplicaelenunciadodelpaso3:2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primeracantidadms el triplodel cuadradode laprimerapor la segunda,ms eltriplo de la primera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de lasegunda"3."Elcubodeladiferenciadedoscantidadesesigualalcubodelaprimeracantidadmenoseltriplodelcuadradode laprimeraporlasegunda,mseltriplo de la primera por el cuadrado de la segunda,menos el cubo de lasegunda"4.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.


e)Productodedosbinomiosdelaforma(x+a)(x+b)

Procedimiento1.Eldesarrollodelosparntesisdauntrinomio2. Elprimertrminoserelcuadradodelprimertrminode losparntesis(igualenambos)3. El segundo trmino ser el producto de la suma de los trminosindependientesporelprimertrminocomndelosparntesis4.Eltercertrminoserelproductodelostrminosindependientes


Ejerciciosvarios.


e)Factorcomn

Procedimiento1.Seidentificaelfactorcomn2.Sedividecadatrminodelpolinomioporelfactorcomn3.Seescribeelfactorcomnyacontinuacin,dentrodeunparntesis,loscocienteshalladosenelpasoanterior(cadaunoprecedidodesurespectivosigno)


f)Factorcomnporagrupacindetrminos

Procedimiento1.Seagrupanlostrminosconvenientemente,utilizandoparntesis2.Sesacafactorcomndecadaunodelosparntesis3.Serealizaunasegundafactorizacin(elfactorcomnser,enestecaso,elparntesis

Factorizarodescomponerendosfactores:


g)TrinomiocuadradoperfectoDefinicin :Una cantidadesun cuadradoperfecto cuandoesel resultadodelproductodedosfactoresiguales.

Procedimiento1.Seordenaeltrinomio2.Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos3.Sehallaeldobleproductodelasracesobtenidasenelpasoanterior4.Sielproductohalladoenelpasoanterioresigualalsegundotrminodeltrinomioysielprimeroytercertrminostienen igualsigno,setratadeuntrinomiocuadradoperfectoyseFactorizarcomotal.5. Se escribe dentro de un parntesis las races cuadradas del primer ytercertrmino,separadasporelsignodelsegundotrmino,yelparntesiselevadoalcuadrado.


h)Diferenciadecuadradosperfectos

Procedimiento1.Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo2.Seabrendosparntesis3.Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,delasraceshalladasenelpaso1.


i)Diferenciadecuadradosperfectos(casoespecial)

Procedimiento1.Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo2.Seabrendosparntesis3.Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,delasraceshalladasenelpaso1.4.Sereduce,sieselcaso


j)Trinomiocuadradoperfectoydiferenciadecuadradosperfectos (combinacindeestosdoscasos)

Procedimiento1.Seidentificaeltrinomiocuadradoperfecto(olos...)2.Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfecto3.Sefactorizaladiferenciadecuadradosresultante4.Sereduce,sieselcaso


k)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin

Procedimiento1.Seordenaeltrinomio2.Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos3.Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundotrminodeltrinomio5. Se suma o resta, segn el caso, la cantidad necesaria para crear elsegundotrminodeltrinomiocuadradoperfecto6. Se restao se suma lamisma cantidadque se sumoo restoenelpasoanterior,paraqueelvalordelaexpresinnosealtere


l)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin

Factorizarunasumadedoscuadrados

Procedimiento1.Seextraelarazcuadradadeambostrminos2.Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior3.Sesumayserestaelproductohalladoenelpasoanterior4.Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectoasformado5.Sefactorizaladiferenciadecuadrados


Procedimiento1.Seordenaeltrinomio2. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir unbinomio3.Sesacalarazcuadradadelprimertrminodeltrinomio,estarazserelprimertrminodecadaunodelosparntesis4. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundosignodeltrinomio5. Seaplica la "leyde los signos"alproductode los signosdel segundoytercer trminosdel trinomio;ste serelsignoque separeelbinomiodelsegundoparntesis6. Si lossignosson iguales,sebuscandosnmeroscuyasumasea igualalcoeficientedel segundo trminodel trinomioy cuyoproducto sea igualaltercertrminodeltrinomio7. Si lossignossondiferentes,sebuscandosnmeroscuyadiferenciaseaigualalcoeficientedel segundo trminodel trinomioy cuyoproducto seaigualaltercertrminodeltrinomio8.Elmayordelosnmeroshalladosenunodelospasosanterioresserelsegundo trmino del primer parntesis, elmenor de los nmeros ser elsegundotrminodelsegundoparntesis9. Si el tercer trmino esunnmeromuy grande sedescompone en susfactoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlospasos7y8


Casosespeciales


Procedimiento

ParaFactorizarestaclasedetrinomiossellevaalaforma ysefactoriza1.Semultiplicaydivideeltrinomioporelcoeficientedelprimertrmino,estoespora2.Seescribeeltrinomiodeunaformaadecuada(delaformax2+bx+c)3.Seabrendosparntesis,encadaunodeloscualesseescribirunbinomio4. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primertrminodecadaunodelosparntesis5.Elsignoqueseparealbinomiodelprimerparntesisserelsegundosignodeltrinomio6.Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoytercertrminosdeltrinomio;steserelsignoquesepareelbinomiodelsegundoparntesis7 Silossignossoniguales,sebuscandosnmeroscuyasumaseaigualalcoeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertrminodeltrinomio8 Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual alcoeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductosea igualaltercertrminodeltrinomio9. Elmayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundotrmino del primer parntesis, elmenor de los nmeros ser el segundo trmino delsegundoparntesis10.Sieltercertrminoesunnmeromuygrandesedescomponeensusfactoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlospasos7y811.Sefactorizanlosparntesisquetenganfactorcomn12.Sesimplifica


Factorizarunaexpresinqueeselcubodeunbinomio

ProcedimientoEldesarrollodelcubodeunbinomioes:

Enestaclasedeejerciciossenosdaunaexpresincomoelmiembroderechode lasidentidadesanteriores,esdeciruncuadrinomio;ydebemosconstatarsisetratadeuncubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresionesanteriores);paralocualdebemosproceder:1.Seordenaelcuadrinomioenformadescendenteoascendenterespectoaunaletra2.Seextraelarazcbicadelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomio3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivonegativopositivonegativo4. Se triplicael cuadradode la raz cbicadelprimer trminopor la raz cbicadelcuartotrminoysecomparaconelsegundotrminodelcuadrinomiodado5. Se triplica la razcbicadelprimer trminoporelcuadradode la razcbicadelcuartotrminoysecomparaconeltercertrminodelcuadrinomiodado6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata deldesarrollodelcubodeunbinomioysefactorizacomotal:dentrodeunparntesisseescribenlasracescbicasdelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomioyseparadasporelsignomsoporelsignomenos,segnelcaso;yseelevaalcuboelparntesis7. Si lasdoscomparacioneshechasen lospasos4y5sonnegativas,nosetratadeldesarrollodelcubodeunbinomioynosepuedefactorizarcomotal


Sumaodiferenciadecubosperfectos

Procedimiento1.Seabrendosparntesis2.Enelprimerparntesisseescribelasumaoladiferencia,segnelcaso,delasracescbicasdelosdostrminos3.Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos(siesunasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproductodelaprimerarazporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz

Descomponerendosfactores:


Casosespeciales

Procedimiento1.Seabrendosparntesis2. Enelprimerparntesisseescribe lasumao ladiferencia,segnelcaso,de lasracescbicasdelosdostrminos3.Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos(siesunasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproductodelaprimerarazporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz


Combinacindecasosdefactores

Descomposicindeunaexpresinalgebraicaentresfactores

Procedimiento1.Sesacaelfactorcomn2.Sefactorizalaexpresinresultante,aplicandoelmtododefactorizacinrequerido por la forma del polinomio (estudiados en los diez casos defactorizacin:Ejercicios89a110)


Descomponerentresfactores:


Descomposicindeunaexpresinalgebraicaencuatrofactores


Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin P r o c e d i m i e n t o

Recordemos que "un polinomio entero y racional en x, que se anula para x = a, es divisible por x - a" (Corolario del Teorema del residuo) 1. Sacamos los divisores del trmino independiente 2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x - a 4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "Divisin sinttica"


Ejerciciosvariossobreladescomposicinenfactores


ParacualquierpolinomioquetengaracesenterassepuedeaplicarlaregladeRuffini:Decirqueunpolinomiotienesracesenterasesencontrarvaloresdexnmerosenterosquealsustituirlosenelpolinomionosdacero.

Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado , tiene cuatro racesenteras,,, , ,sefactoriza

Perocmoseobtienenlasraces?,porlaregladeRuffini

Ejemplo:Factorizar 4 16 12

SeaplicalaregladeRuffini,probandolosdivisoresdeltrminoindependiente,enestecasode12.Oseaquesepruebacon1,1,2,2,3,3,4,4,6,6,12y12

Probemosconuno

Secopianloscoeficientesdelpolinomio:

1 4 1 16 12

Yseescribeenunasegundalneaelnmerouno

1 4 1 16 121

Elprimercoeficientesecopiaabajoenunaterceralnea

1 4 1 16 121 1

Semultiplicaesecoeficiente,uno(1),porelnmeroqueestamosprobando,enestecasotambinuno(1),oseaunoporuno=uno(1).Esteunoseescribedebajodelsiguientecoeficiente,oseadel4

1 4 1 16 121 1 1

Sesuma4+1=3

1 4 1 16 121 1 1 3


Semultiplica3por1=3yseescribedebajodelsiguientecoeficiente,1

1 4 1 16 121 1 3 1 3

Sesuma31=4yassucesivamente

1 4 1 16 121 1 3 4 12 1 3 4 12 0Comovemos laltimasumahadadocero.EsoquieredecirqueunoesunarazdelpolinomioyquenossirveparaFactorizar.

Sihubieradadodistintodecerohabraqueseguirprobandolosdemsdivisoresde12.

Loscoeficientesquehanquedadoenlaltimafila,enrealidadsonloscoeficientesdelcocientededividirelpolinomioentrex1,ylaltimasumaeselrestodedichadivisin.

Siescribimoslarelacinfundamentaldeunadivisinentera,oseaque

Dividendo=DivisorxCociente+Resto

4 16 12 1 3 4 12

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay queintentarseguirfactorizando,denuevoporlaregladeRuffini.

Aplicandosucesivasvecesestareglaqueda:

1 4 1 16 121 1 3 4 12 1 3 4 12 02 2 2 12 1 1 6 02 2 6 1 3 0

Comolasracesson,1,2y2yelltimococienteesx3

Lafactorizacinfinales: 4 16 12 1 2 2 3

Sienlassucesivaspruebasnoencontramosningnrestocero,quieredecirqueelpolinomionosepuedefactorizardentrodelosnmerosreales.


Cocientedeladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentrelasumaoladiferenciadelascantidades

Procedimiento1.Factorizamosladiferenciadecuadradosenelnumerador2.Simplificamos.


Cocientede lasumaodiferenciade loscubosdedoscantidadesentre lasumaodiferenciadelascantidades

Procedimiento1. Factorizamos la diferencia o la suma, segn el caso, de cubos en elnumerador2.Simplificamos.


DmasoRojasNoviembre2007

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