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UBA – DANIEL A. SARTO
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Maestría en Gestión Económica y Financiera de Riesgos 2013
Administración de Carteras con Riesgo
Ejercicios sobre Carteras Óptimas
1. Se supone que la función de utilidad de un inversor puede caracterizarse por U(W) =
ln W, y que el inversor enfrenta un juego donde puede ganar o perder $ 2.000,
teniendo cada resultado una probabilidad del 50%. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar
el inversor para evitar este juego, si su riqueza inicial fuera $5.000? ¿Cuánto estaría
dispuesto a pagar el inversor para evitar este juego, si su riqueza inicial fuera
$1.000.000? ¿Cómo cambiaría la respuesta si su función de utilidad fuese U(W) = -
W-1
? Rtas: 417,42; 2
2. Para el propietario de un inmueble hay una probabilidad del 0,02 de que un huracán
disminuya el valor de su inmueble a $1 durante el próximo año. También hay una
probabilidad del 0,03 de que el huracán lo reduzca a $ 500.000, y una probabilidad
del 0,95 de que el huracán no se presente, en cuyo caso el inmueble valdría
$1.000.000. Una compañía de seguros podría asegurar el inmueble a su valor actual
de mercado. Es decir, que si el huracán ocurriere, la aseguradora pagaría la
diferencia entre $1.000.000 y el valor del inmueble luego de la tormenta. Si la
función de utilidad del propietario del inmueble pudiera caracterizarse por U(W) = ln
W, ¿cuál sería la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar para adquirir un
seguro sobre el inmueble? Rta: 257.033,73
3. En la economía hay dos activos financieros, x e y. La correlación de las
rentabilidades de x e y es -0,4. Las rentabilidades esperadas y los desvíos estándares
son:
Rentabilidad
esperada
Desvío
Estándar
X 20% 20%
Y 15% 25%
¿El activo financiero x domina al y? Si la respuesta fuera afirmativa, ¿por qué
alguien invertiría en y?
¿Cuál sería la tasa de rentabilidad esperada y el desvío estándar de una cartera
compuesta por 60% en x y 40% en y? Rtas: 0,18; 0,12166;
¿Habría algún inversor dispuesto a integrar su cartera mediante la venta en
descubierto del activo y, invirtiendo lo obtenido en x (por ejemplo, empezar
con $ 100, vender en descubierto $ 100 de y y comprar $ 200 de x?
Suponga que el inversor quisiera la cartera compuesta por estos dos activos,
con el menor desvío estándar:
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¿Cuál seria la participación en la cartera del activo x? Rta: 0,58
¿Cuáles serían la rentabilidad esperada y el desvío estándar de la
cartera? Rtas: 0,179; 0,121
4. Considere dos activos financieros, x e y. Ambos activos presentan idénticos desvíos
estándares de sus rentabilidades. La correlación xy de sus rentabilidades es 0,5:
¿Cómo deberían combinarse x e y para crear la cartera de mínima varianza
global? Rta: 0,5
Explique por qué la cartera de mínima varianza no contendría posiciones
vendidas. ¿La respuesta sería diferente si las correlaciones entre x e y fuesen
0,95 o -0,95
Ahora considere los activos A y B, con A= 0,7; B= 0,04 y AB=0,9.
¿Cómo deberían combinarse A y B para formar la cartera de mínima
varianza? Explique brevemente por qué la respuesta es diferente a la
situación anterior. Rta: -0,0535
5. En la economía hay dos activos financieros, A y B. El parámetro de aversión al
riesgo del inversor, A, es 2 Las rentabilidades esperadas y los desvíos estándares
son:
¿Cuál sería la composición en la cartera de mínima varianza global de los
activos A y B, si la correlación entre las rentabilidades de A y B fueran,
sucesivamente, -1, 0 y +1? Rtas para coef de correl 0: 0,719; 0,281
¿Cuál sería la composición en la cartera óptima de los activos A y B, si la
correlación entre las rentabilidades de A y B fueran, sucesivamente, -1, 0 y
+1? Rtas para coef de correl. 0: 0,382; 0,618
Explique brevemente las diferencias entre las respuestas de los dos puntos
anteriores.
Rentabilidad
esperada
Desvío
Estándar
A 15% 25%
B 30% 40%
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6. Hay 30 activos financieros en la economía. Cada uno presenta un desvío estándar de
30%, una rentabilidad esperada del 20% y una correlación con cualquier otro activo
de 0,20:
¿Cuáles serían la rentabilidad esperada y el desvío estándar de una
cartera con iguales participaciones de estos activos? Rtas: 0,20; 0,143
¿Cuál serían la rentabilidad esperada y el desvío estándar de una
cartera consistente en un número infinito de activos financieros
diferentes con los mismos valores de rentabilidades esperadas, desvíos
estándares y correlaciones como los descriptos? Rtas: 0,20; 0,134
7. Los inversores 1 y 2 asignan sus carteras entre acciones, bonos y efectivo. Ambos
inversores presentan una función de utilidad de la forma U(rp) = E(rp) – ½ Ai Var (rp),
pero difieren en el coeficiente de aversión al riesgo Ai. Ambos inversores eligen sus
carteras en forma óptima para maximizar su utilidad. Las rentabilidades esperadas y
los desvíos estándares son:
También sabemos que el inversor 1 presenta una cartera con la siguiente
composición: 50% acciones, 30% bonos y 20% efectivo. El desvío estándar de las
rentabilidades del inversor 1 de la cartera total es 0,1868. El inversor 2, en cambio,
presenta la siguiente asignación: 30% acciones, 18% bonos y 52% efectivo
¿Cuál sería la rentabilidad esperada, E(rp), de la cartera total del inversor 1?
¿Cuál sería el coeficiente de aversión al riesgo del inversor 1, A1? Rta: A1:
1,63
¿Cuál sería la rentabilidad esperada, E(rp), de la cartera total del inversor 2?
¿Cuál sería el desvío estándar de las rentabilidades, p, de la cartera total del
inversor 2? ¿Cuál el coeficiente de aversión al riesgo del inversor 2, A2? Rta:
A2: 2,72
Dada la información anterior, ¿cuál debería ser la correlación de las
rentabilidades entre acciones y bonos? Rta: 0,70
8. Se busca combinar los activos financieros A y B de manera óptima. Las
características de A y B son las siguientes:
Rentabilidad
esperada
Desvío
Estándar
Acciones 15% 30%
Bonos 10% 16%
Efectivo 6% 0%
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La correlación entre las rentabilidades de
los activos financieros A y B es
AB = 0,25, y el coeficiente de aversión al riesgo es de A = 2,0. También hay un activo
financiero libre de riesgo que rinde el 7%.
¿En qué proporción los activos A y B deberían combinarse con el activo libre de
riesgo en la cartera total óptima? Rta: 0,4658
Suponga, en contraste al punto anterior, que se ignora la presencia del activo libre
de riesgo, ¿cómo deberían combinarse A y B en la cartera óptima? Rta: 0,558
¿Cómo combinaría A y B para alcanzar la cartera de mínima varianza? Rta: 0,951
Explique brevemente por qué difieren las proporciones calculadas en los tres
puntos anteriores.
9. Un administrador de carteras de inversión debe asignar el capital de un cliente entre acciones,
bonos de largo plazo y depósitos a plazo fijo con vencimiento dentro de un año. El coeficiente de aversión al riesgo de su cliente es 5. El administrador de carteras prevé tres
escenarios económicos posibles para el próximo año. En el escenario 1, las condiciones
económicas generales serían débiles y las tasas de interés disminuirían. El administrador asigna una probabilidad del 10 por ciento a eses escenario. En el escenario 2 las condiciones
económicas serían razonablemente buenas, pero las tasas de interés aumentarían. El
administrador otorga una probabilidad del 40 por ciento a este escenario. En el escenario 3
las condiciones económicas serían muy favorables y las tasas de interés se mantendrían sin variantes. El administrador otorga una probabilidad del 50 por ciento a este escenario. El
administrador también prevé que las tasas de rentabilidad para cada escenario y para cada
clase de activos serían las siguientes:
Escenario Bonos Acciones Plazo
Fijo
1 14% -20% 5%
2 -4% 11% 5%
3 12% 23% 5%
Dadas las proyecciones realizadas, ¿cómo debería el administrador de carteras asignar los
fondos de su cliente? Rta: 0,045; 1,114; -0,159
Ahora suponga que el administrador efectúa una revisión de sus estimaciones de
probabilidades, asignando 0,5 al escenario 1; 0,4, al escenario 2 y 0,1 al 3. Las estimaciones sobre rentabilidades esperadas para los distintos activos financieros
permanecen iguales. ¿Cómo debería ahora el administrador de carteras asignar los
fondos de su cliente? Rta: 2,75
Rentabilidad
esperada
Desvío
Estándar
A 10% 15%
B 22% 40%