Post on 06-Jul-2018
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
1/56
ECONOMETRIE
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
2/56
Planul cursului1. Introducere
2. Modelul de regresie liniară simplă
3. Modelul de regresie liniară multiplă4. Modele de regresie neliniară
5. Ipoteze statistice: normalitatea erorilor,homoscedasticitatea, necorelarea erorilor,multicoliniaritatea.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
3/56
4. Modele de regresie neliniară4.1. Tipuri de modele
4.2. Modele liniarizabile
4.3. Modele polinomiale
4.4. Modele neliniare multiple
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
4/56
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
5/56
4.2. Modele liniarizabilea. Modele semi-logaritmice
a.1 Modele cu variabila dependentă logaritmată I. Modelul Compound (compus)II. Modelul Growth (de creştere)III. Modelul e%ponen&ial
a.2 Modele cu variabila independentă logaritmată:modelul +ogarithmic.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
6/56
a.1 Modele cu variabila dependentă logaritmată I. Modelul Compound
1.
Forma generală a modelului :
cua&ia se liniarizează prin logaritmare:
ε β β e ! ⋅⋅= 1-
ε β β +⋅+= 1- lnlnln !
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
7/56
arametrii modelului:# - este 'aloarea lui ) pentru (/-. 0ariabila ) are
numai 'alori poziti'e, deci - satis!ace condi&ia - -.# 1 arată 'aria&ia medie procentuală a lui ) la o
'aria&ie absolută a lui ( cu o unitate. eprezintă rata
de cre$tere sau reducere a 'ariabilei ) "n raport cu'ariabila (.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
8/56
Observaţii:# acă 11, atunci legătura dintre cele două 'ariabile
este directă.
# acă -11, atunci legătura dintre cele două'ariabile este indirectă.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
9/56
2. "stimarea parametrilor modeluluie !ace prin M6MM:
istemul de ecua&ii normale:
n1#i # $ln% &bln'blnn ii1 =∑∑
$ln &% &bln' &bln ii2ii ∑∑∑ 1-
∑ = imminei2
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
10/56
( )
& &n
$ln & $ln &nbln
2
i
2
i
iiii1
∑∑
∑∑∑−
−=
( )2
i2i
iii2ii
& &n
$ln & & & $lnbln
∑∑
∑∑∑∑
−
−=
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
11/56
0alorile estima&iilor b $i b1 sunt prezentate "n output#ulCoe**icients, coloana +nstandardi,ed Coe**icients.
-. estarea semni*ica/iei parametrilor
Ipoteze Interpretare
0. ntensitatea legăturii dintre variabile
%emplu: raportul de determina&ie 7 s3uare8.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
12/56
4. "&emplu
9n urma analizei legăturii dintre 'aloarea in'esti&iilor 7miilei8 $i 'aloarea produc&iei 7mil. lei8 "nregistrate pe un
e$antion de 5 !irme, s#au ob&inut următoarele rezultate:
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
13/56
Coefficients
1.139 .039 2.488 29.566 .000
15.175 2.726 5.568 .011
X
(Constant)
B Std. Error
Unstandardized
Coeffiients
Beta
Standardized
Coeffiients
t Si!.
"#e de$endent %aria&'e is 'n().
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
14/56
ezol'are: "cua/ia estimată a legăturii dintre cele douăvariabile este:
+ogaritmnd ecua&ia de mai sus, se ob&ine:
ln;%i/ln15,1/2,=-,13%i
ii
& & 1-5 #1164 #14 $ ⋅=
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
15/56
Interpretare:# 'aloarea parametrului 7 1 arată că la o cre$tere cu omie de lei a in'esti&iilor 7 ! 8, produc&ia 7 8 cre$te "nmedie cu o rată de -,13 sau cu 13?.
2. estarea semni*ica/iei parametrilor
-. "stimarea şi testarea intensită/ii legăturii dintre
variabile
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
16/56
a.1 Modele cu variabila dependentă logaritmatăII. Modelul Growth (de creştere)
@orma generală a modelului:
ε β β +⋅+=
! 1(e
ε β β +⋅+= ! ln1(
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
17/56
II. Modelul Growth (de creştere)
arametrii modelului:
- e β0 este 'aloarea medie a lui pentru !%.
- β1 arată 'aria&ia medie procentuală a lui la o'aria&ie absolută a lui ! cu o unitate.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
18/56
"&emplu9n urma analizei legăturii dintre 'aloarea in'esti&iilor7mii lei8 $i 'aloarea produc&iei 7mil. lei8 "nregistrate peun e$antion de 5 !irme, s#au ob&inut următoarelerezultate:
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
19/56
Coefficients
.130 .034 .912 3.843 .031
2.720 .180 15.142 .001
X
(Constant)
B Std. Error
Unstandardized
CoeffiientsBeta
Standardized
Coeffiientst Si!.
"#e de$endent %aria&'e is 'n().
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
20/56
cua&ia estimată a legăturii dintre cele două 'ariabile
este:
+ogaritmnd ecua&ia de mai sus, se ob&ine:ln ! %2#62'.1-!
! 1- #62 #2 ! e
⋅+=
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
21/56
III. Modelul eponen!ial Forma generală a modelului :
cua&ia se liniarizează prin logaritmare:
ε β β ee ! 1 ⋅⋅=
ε β β +⋅+= ! ln ln 1
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
22/56
III. Modelul e%ponen&ial
arametrii modelului:
- β0 este 'aloarea medie a lui pentru !%.
- β1 arată 'aria&ia medie procentuală a lui la o'aria&ie absolută a lui ! cu o unitate.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
23/56
III. Modelul e%ponen&ial
"&emplu
e consideră legătura dintre 'aloarea in'esti&iilor 7mii lei8 $i'aloarea produc&iei 7mil. lei8.
Coefficients
.130 .034 .912 3.843 .03115.175 2.726 5.568 .011
X(Constant)
B Std. Error
Unstandardized
Coeffiients
Beta
Standardized
Coeffiients
t Si!.
"#e de$endent %aria&'e is 'n().
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
24/56
cua&ia estimată:
nterpretare8
+a o cre$tere a in'esti&iilor cu o mie de lei, produc&ia cre$te, "n medie, cu 13?.
! 1- # ! e164 #14 ⋅=
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
25/56
a.2 Modele cu variabila independentă logaritmată
Modelul 9ogarithmic
Forma generală a modelului :
- β0 este 'aloarea medie a lui pentru !%1.
- β1 arată 'aria&ia medie absolută a lui la o'aria&ie procentuală a lui ! cu o unitate.
ε β β +⋅+= ! ln 1
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
26/56
"&emplu
e consideră legătura dintre 'aloarea in'esti&iilor 7miilei8 $i 'aloarea produc&iei 7mil. lei8.
Coefficients
20.535 3.396 .961 6.047 .009
1.799 5.388 .334 .760
'n(X)
(Constant)
B Std. Error
Unstandardized
Coeffiients
Beta
Standardized
Coeffiients
t Si!.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
27/56
cua&ia estimată a legăturii dintre cele două 'ariabile este:
nterpretare8
+a o cre$tere a in'esti&iilor cu 1 ? produc&ia cre$te, "n
medie, cu -,2-535 mil. lei 72-,535A1--8.
! ln4-4 #2655 #1 ! ⋅+−=
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
28/56
b. Modelul de tip putere ( Power ) (log-liniar)
1. Forma generală a modelului :
cua&ia se liniarizează prin logaritmare:
ε β
β e ! ⋅⋅= 1
-
ε β β +⋅+= ! lnlnln 1-
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
29/56
9n modelul putere, parametrul 1 este elasticitatea 'ariabileidependente "n raport cu 'ariabila independentă ! .
B lasticitatea unei 'ariabile "n raport cu o altă 'ariabilă ! reprezintă modi!icarea relati'ă 7procentuală8 a 'ariabilei la
o modi!icare relati'ă 7procentuală8 a lui ! cu o unitate.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
30/56
lasticitatea poate !i determinată prin rela&ia:
!
!
1 !
!
1
! .i* mod :
.i* mod : " ⋅=
⋅
⋅
== ∆
∆
∆
∆
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
31/56
2. "stimarea parametrilor modelului
rin M6MM
n1,i 1- =∑∑ # $ln% &lnb'blnn ii
$ln &ln% )
&(lnb'
&lnbln
iiii ∑∑∑
2
1-
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
32/56
. !estarea semni"i#aţiei parametrilor
$. %&emplu
9n urma prelucrării datelor pri'ind 'aloarea produc&iei industriale 7mil. lei8 $i ni'elul
in'esti&iilor nete din industrie 7mii lei8 "n omnia,"n perioada 1>>-#2-1-, s#au ob&inut următoarelerezultate:
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
33/56
Coefficients
*960 *012 *999 79*735 *000
1*603 *143 11*204 *000
'n(X)
(Constant)
B Std. Error
Unstandardized
Coeffiients
Beta
Standardized
Coeffiients
t Si!.
"#e de$endent %aria&'e is 'n().
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
34/56
Model Summary
*999 *998 *998 *116
+ + S,-are
d/-sted
+ S,-are
Std. Error of
t#e Esti0ate
"#e inde$endent %aria&'e is X.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
35/56
ANOVA
86*240 1 86*240 6357*625 *000
*190 14 *014
86*429 15
+e!ression
+esid-a'
"ota'
S- of S,-ares df ean S,-are Si!.
"#e inde$endent %aria&'e is X.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
36/56
e,olvare8
1. "cua/ia estimată a modelului putere este:
rin logaritmare se ob&ine:
5;( #( ! ! ;(- #1 ⋅=
! ln5; #062 # ! ln5; #;- #1ln ln ! ⋅+=⋅+=
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
37/56
Interpretare:
roduc&ia industrială cre$te "n medie cu -,>C?, la o cre$terecu 1? a in'esti&iilor nete "n industrie.
anta dreptei 7parametrul 18 reprezintă elasticitatea 7 " 8in'esti&iilor "n raport cu produc&ia.
2. estarea semni*ica/iei parametrilor
-.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
38/56
4.3. Modele polinomialea. Modelul parabolic: cel mai simplu model polinomial este
modelul parabolic 7=uadratic8.
+a ni'elul e$antionului:
ε β β β +⋅+⋅+=2
21- ! !
221 ! ! b ! bb ⋅+⋅+=
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
39/56
9n economie, modelul polinomial este !olosit pentrudescrierea rela&iei dintre costul unitar $i produc&ia realizată:costul unitar scade concomitent cu cre$terea produc&iei pnă
la un ni'el optim al produc&iei, după care, dacă produc&iacontinuă să crească, "ncepe să crească $i costul unitar.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
40/56
%emplu
.40.0030.0020.0010.00 9.008.007.006.005.004.003.002.00Productia
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
41/56
%emplu 9n studiul legăturii dintre costul unitar $i produc&ia
unui bun 7sute bucă&i8, "nregistrate pentru une$antion de !irme, s#au ob&inut următoarele rezultate:
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
42/56
%emplu
Coefficients
25.795 3.895 5.322 6.623 .000
2.114 .351 4.842 6.026 .001
89.041 9.231 9.646 .000
rod-tia
rod-tia 2
(Constant)
B Std. Error
Unstandardized
CoeffiientsBeta
Standardized
Coeffiientst Si!.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
43/56
%empluModel Summary
.941 .886 .853 4.484
+ + S,-are
d/-sted
+ S,-are
Std. Error of
t#e Estiate
"#e inde$endent %aria&'e is rod-tia.
ANOVA
1091.326 2 545.663 27.133 .001
140.774 7 20.111
1232.100 9
+e!ression
+esid-a'
"ota'
S- of
S,-ares df ean S,-are Si!.
"#e inde$endent %aria&'e is rod-tia.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
44/56
Interpretare: 2o, deci legătura de tip parabolic admite un punct de
minim.
6oordonatele punctului de minim arată ni'elul produc&ieioptim pentru care costul unitar este minim. Dbscisa acestui
punct este:
#b1A2b2/25,A4,22/C,11. entru o produc&ie de C11 bucă&idin produsul D, costul este minim.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
45/56
b. Modelul cubic
9n economie acest model este !olosit pentru descrierearela&iei dintre costul total $i 'aloarea produc&iei.
entru acest tip de legătură se poate determina punctul dein!le%iune al curbei, prin anularea deri'atei de ordinul 2 in(.
ε β β β β +⋅+⋅+⋅+= 332
21- ! ! !
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
46/56
40200 220000150001000050000PIBloc
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
47/56
Coefficients
2*931 *071 1*197 41*218 *000
3*9E007 *000 *361 4*932 *000
7*73E014 *000 *165 . .
3962*660 11506*083 *344 *737
B
B 2
B 3
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoeffiients
Beta
StandardizedCoeffiients
t Si!.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
48/56
4.4. Modele de regresie neliniară multiplă.Modelul puterea. >orma generală a modelului:
cua&ia se liniarizează prin logaritmare:
ε β β β β e ! ! ! p21 p21 ⋅⋅⋅⋅⋅=
ε β β β β +⋅++⋅+⋅+= p p2211 ! ln ! ln ! lnln ln
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
49/56
nterpretare8
parametrul β0 este ni'elul mediu al lui atunci cnd ! i%1.
parametrii 7 i reprezintă elasticitatea 'ariabilei dependente "n raport cu 'ariabilele independente ! i.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
50/56
b. "&emplu din economie
# !unc&ia de produc&ie de tip 6obb#ouglas.
b.1. Pre,entarea modelului
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
51/56
unde:
?ariabilele modelului sunt:
este produc&ia !inală sau output#ulE
! 1 sunt !ondurile !i%e, capitalul sau input#ulE
! 2 este !or&a de muncă 7input8.Coe*icien/ii modelului:
β0 este ni'elul mediu al produc&iei 7) cnd ! i%1.
ε β β β e ! ! ⋅⋅⋅= 21 21-
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
52/56
7 1 este elasticitatea par&ială a produc&iei "n raport cu !ondurile!i%e sau !actorul capital.
7 2 este elasticitatea par&ială a produc&iei "n raport cu !or&a demuncă.
(7 1' 7 2 ) este elasticitatea totală a produc&iei "n raport cu cei doi
!actori. Dceastă 'aloare poartă numele de randament de scară.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
53/56
nterpretare8
(7 1' 7 2 )@18 un spor al !actorilor de produc&ie generează ocre$tere a output#ului dar "ntr#o propor&ie mai mică 7proces de
produc&ie cu randament de scară descrescător8E (7 1A ' 7 2 )B18 un spor al !actorilor de produc&ie generează o
cre$tere a output#ului dar "ntr#o propor&ie mai mare 7procesde produc&ie cu randament de scară crescător8E
(7 1A ' 7 2 ) %18 sporul !actorilor de produc&ie genereazăcre$terea output#ului "n aceea$i propor&ie 7randament de scarăconstant8.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
54/56
b.'. %&emplu numeri#
ă presupunem că, "n urma prelucrării datelor pri'ind'aloarea input#urilor 7 9, !or&a de muncăE , 'aloareacapitalului !i%8 $i a output#urilor ob&inute "ntr#un anumit
domeniu de acti'itate 7 , 'aloarea produc&iei8, s#au ob&inuturmătoarele rezultate:
sFuare/-,G
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
55/56
nterpretare8
# pentru perioada analizată, dacă se consideră constantă'aloarea capitalului !i% 7 8, atunci o cre$tere cu un procent ani'elului 'ariabilei 9 duce la cre$terea medie cu 1,35? a'alorii produc&iei ob&inute.
# pentru perioada analizată, dacă se consideră constantă'aloarea !or&ei de muncă 7 98, atunci o cre$tere cu un procenta 'alorii capitalului !i% 7 ) duce la cre$terea medie cu -,C3?
a 'alorii produc&iei ob&inute.
8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara
56/56
# suma elasticită&ilor par&iale este egală cu 1,>G ceea ce aratăcă, "n perioada analizată, procesul de produc&ie s#acaracterizat printr#un randament de scară crescător.
# G