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Econometria

1. O Paradigma da Econometria19/8

Econometria: Paradigma

� Fundamentos teóricos� Microeconometria e macroeconometria� Modelagem comportamental: otimização, oferta de

trabalho, equações de demanda, etc.

� Fundamentos estatísticos� Elementos matemáticos� Construção do ‘Modelo’ – o modelo

econométrico

Porque usar econometria?

� Entender a covariância� Entender as relações:

� Estimar quantidades de interesse, comoelasticidades

� Predição de resultados de interesse� Controlar resultados futuros tendo em vista o

conhecimento de relações

� Inexistência de dados experimentais(experimentos controlados) em economia

� Necessidade de usar dados não experimentais, ou melhor, dados observados para se fazerinferências.

� Testar a teoria econômica com dados darealidade.

� A análise empírica usa dados para estimarrelações entre variáveis.

� Um modelo econômico formal pode ser testado.

� Econometria pode ser utilizada para avaliarprogramas de políticas públicas e para fazerprevisões.

Mensuração como observação

População MensuraçãoTeoria

Características das escolhascomportamentais

Inferência

População Mensuração

EconometriaCaracterísticas das escolhascomportamentais

Passos para uma análise

econométrica

� Formulação da questão de interesse� Formulação das hipóteses: construção de um modelo

econômico formal (equações que descrevem umarelação)

� Construção do modelo econométrico (parametrização)� Definir forma funcional;� Quantificar variáveis do modelo;� Formular hipóteses sobre os parâmetros do modelo

� Aplicação: Existe relação entre investimento e capital de estoque?

Inferência Clássica

Econometria

Inferência imprecisa sobrea população inteira –teoria de amostragem, teoria assintótica

Inferência Bayesiana

Econometria

Inferência exata sobre umaamostra – densidade posterior

Estrutura dos dados

� Mecanismos de observação� Passivo, não experimental� Ativo, experimental� Os chamados ‘experimentos naturais’

� Tipos de dados� Cross section� Séries de tempo� Dados em painel/longitudinais

Modelos Econométricos

� Lineares; estáticos e dinâmicos� Escolhas discretas� Dados censurados ou truncados� Modelos estruturais ou sistemas de

equações.

Métodos de estimação

� Mínimos Quadrados – OLS, GLS, LAD, quantílica� Máxima Verossimilhança

� Máxima Verossimilhança Formal� Máxima Verossimilhança Simulada

� Variáveis instrumentais e GMM (Método de Momentos Generalizados)

� Estimação Bayesiana – Cadeia de Markov, Monte Carlo

A Questão da Causalidade

� Estabelecer relações entre variáveis não é suficiente para a análise econômica.

� Usualmente, o interesse está na causalidadeentre as variáveis: “se aumenta a taxa de juros, o crescimento econômico cai?”

� Para encontrarmos o efeito causal, outrasvariáveis devem estar constantes – o chamado“efeito ceteris paribus”

� É difícil estabelecer causalidade!!

Exemplo: Retornos Educação

� Modelo de capital humano: mais educaçãofaz com que as pessoas obtenhamrendimentos mais elevados.

� Simplificando, seria esta equação:

ueducY ++= 10 ββ

Exemplo:

� A estimativa de b1, é o retorno daescolaridade, mas pode ser considerada um efeito causal?

� Tudo depende do termo de erro, u, queinclui outros fatores que afetam o rendimento.

� Fatores não observados e observadospodem estar presentes neste termos de erro.

Econometria

1. Alguns tópicos importantes de Álgebra Linear

Operações básicas de vetores

� Adição� Suponha dois vetores x e y com n componentes

� Multiplicação escalar� x é um vetor com n componentes, α é um escalar.

� Multiplicação

Independência de vetores

� Considere os seguintes m vetores de dimensãon:

� Podemos escrevê-los da seguinte forma{x1, x2, . . . , xm}

Independência de vetores

� O conjunto de m vetores é dito independentese nenhum deles pode ser escrito como umacombinação linear dos demais.

� Se {x1,x2,…,xm} são vetores independentes nãoexiste um conjunto de escalares diferentes de zero {a1, a2, . . . ,am} tais que:

a1x1 + a2x2 + . . . + amxm = 0

Ortogonalidade

� Dois vetores x e y são ortogonais se e somentese:

x'y = 0

� Isto implica que o ângulo formado entre estesdois vetores tem coseno igual a zero.

Base de um espaço vetorial

� Um conjunto de vetores {x1,…,xm} que sãoindependentes formam um espaço vetorial V de dimensão m.

� Por exemplo, se m = 3

Base de um espaço vetorial

� Os três vetores podem ser usados paraconstruir qualquer vetor no espaço R3.

� Qualquer vetor de dimensão M pode ser construído como uma combinação linear dos vetores x1,x2,…xm se estes vetores sãoindependentes.

� Um conjunto de m vetores que forma um espaço V de dimensão m constitui a base desteespaço.

� O tamanho da norma de um vetor x é definido como:

� Dois vetores são ditos ortonormais se e somente se:

( ) ( ) 212

12 'xxxx i == ∑

Matrizes: operações

� Adição: as matrizes devem ter a mesma dimensão.

� Propriedades da Adição

Se A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn, a, b escalares:

1. A = B sss aij = bij para todo i, j 2. C = A ± B sss cij = aij ± bij para todo i, j 3. aA = [a×aij]mxn4. a(A + B) = aA + aB 5. aA + bA = (a + b)A 6. A ± B = B ± A (lei comutativa) 7. A ± (B ± C) = (A ± B) ± C (lei associativa)

� Multiplicação: � Se A é uma matriz mxn e B uma matriz nxm (o número de

colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B):

� Exemplo:

� Propriedades da Multiplicação

1. A(B + C) = AB + AC 2. (A + B)C = AC + BC 3. AB = 0 ≠ A = 0 ou B = 0 4. AB = AC ≠ B = C5. AB ≠ BA na maioria dos casos

Matrizes: determinantes

� Matriz 2×2:

21122211 aaaaA −=

� Matriz 3×3:

( )( ) ( )22132312311332331221

3223332211

bbbbbbbbbb

bbbbbB

−+−−−−=

Determinantes: interpretação

geométrica

� Exemplo:

Matrizes: transposta

� Se a matriz A é mxn, sua transposta, A', será nxm, i.e., se A = [aij] então A' = [aji].

� Exemplo:

Matrizes: transposta

� Propriedades:

1. (A + B)' = A' + B‘

2. (AB)' = B'A‘

3. Uma matriz A tal que A’A=A é dita matriz idempotente

Matrizes: posto

� Seja A uma matriz mxn. O posto de A é dado pelamaior ordem possível das submatrizes quadradas de A, com determinantes diferentes de zero.

� O posto da linha de A é o maior número de linhaslinearmente independentes.

� Se todas as linhas de A forem linearmenteindependentes, A tem posto cheio (full row rank).

� De forma similar, o posto da coluna de A é o maiornúmero de colunas linearmente independentes.

Matrizes: posto

� Exemplo:

� Para cada submatriz de ordem 4 (existem 5), o determinante é zero. Para cada submatriz de ordem 3 (há 40), o determinantetambém é zero. Mas, para a matriz abaixo, o determinante não é nulo, logo, o posto é 2.

−−−

−−

072537

141915111

31det ≠=

Matrizes: posto

� Exemplo:

� A matriz A tem determinante igual a zero (3a. linha igual a 2a. linha multiplicada por -3).

� Posto de A = 2

−−−=

−=−−=++−=++

Matrizes: posto

� Propriedades:

1. Posto da linha = posto da coluna

2. ρ(AB) ≤ ρ(A) e ρ(B)

3. ρ(A) + ρ(A') = ρ(AA') = ρ(A'A)

4. ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B)

5. se |Amxm| = 0 logo ρ(A) < m

Matrizes: inversa

� Considere uma matriz A quadrada, se a inversa de A existir, será única:

� Cofator: quando os elementos da i-ésima linha e da j-ésima colunada matriz A são removidos, o determinante da sub-matriz quadradaque permanece é chamado de “first minor” (primeiro menor) de A e denominado |Aij|. O determinante afetado pelo sinal (-1)i+j é chamado de cofator de aij:

∆ij =(-1)i+j |Aij|

Matrizes: inversa

� Exemplo:

Matrizes: inversa

� Se a Matriz A é não singular, sua inversa é dada por:

� Onde [Aij]' é a matriz dos cofatores transposta: matriz adjunta de A.

Matrizes: inversa

Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2009

� Exemplo:

|A| = (-1)2(1)(0-6) + (-1)3(4)(10 + 2) + (-1)4(1)(6 - 0) = (-6) - (48) + 6 = - 48

Matrizes: inversa

Matrizes: inversa Matrizes: inversa

� Propriedades:

1. Se |A|≠0 As linhas de A são linearmente independentesAs colunas de A são linearmente independentes

2. (AB)-1 = B-1A-1

Matrizes: traço

� Traço de A =

� Propriedades:

1. Tr (kA) = k Tr(A), onde k é um escalar2. Tr (AB) = Tr (BA)3. Tr (In) = n

Transformações lineares

� Transformação de um vetor no subespaço Rn em um vetor no subespaço Rm

� Na notação matricial: Y = AX , onde X e Y são vetores de ordem n e m, respectivamente, e, A é uma matriz de dimensão mxn.

� Exemplo:

� A projeta o vetor X tridimensional,em um plano bidimensional.

ECONOMETRIA – CONCEITOS BÁSICOS E MQO

S y' y y' X ' X ' y ' X ' X

S y' X

' X ' y

' X ' X

X ' y .2 X ' Xb X ' X b 0

2 X ' y 2 X ' X b 0

X ' y X ' X b

b X ' X 1 X ' yDanielle Carusi Machado - UFF - Econometria

2/2010

Econometria

1. Exemplo da técnica MQO2. Hipóteses do Modelo de RLM3. Ajuste do Modelo4. Modelo Restrito

Econometria

1. Exemplo da técnica MQO

MQO Resíduos

Resíduos MQO MQO

M = I- X(X’X) -1X’

Econometria

1. Exemplo da técnica MQO2. Hipóteses do Modelo de RLM

Hipóteses do modelo

� Linearidade significa ser linear nos parâmetros.

� Identificação: Só existe um único conjunto de parâmetros que produz E[y|x].

� Média condicional zero

� Forma da matriz de variância covariância

� Hipóteses sobre a distribuição de probabilidade.

Linearidade do Modelo

� f(x1,x2,…,xK,β1,β2,…βK) = x1β1 + x2β2 + … + xKβK

� Notação: x1β1 + x2β2 + … + xKβK = x′β′β′β′β.

� E[y|x] = β1*1 + β2*x2 + … + βK*xK. (β1*1 = intercepto).

Linearidade

� Modelo linear simples, E[y|x]=x’β� Modelo Quadrático: E[y|x]= α + β1x + β2x2

� Modelo Loglinear, E[lny|lnx]= α + Σk lnxkβk

� Modelo Semilog, E[y|x]= α + Σk lnxkβk

� Modelo Translog: E[lny|lnx]= α + Σk lnxkβk

+ (1/2) Σk Σl δkl lnxk lnxl

Todos modelos são lineares e existe um infinito número de variações de modelos lineares.

Linearidade

� Linearidade significa ser linear nos parâmetros, não nas variáveis

� E[y|x] = β1 f1(…) + β2 f2(…) + … + βK fK(…). fk() pode ser qq função dos dados.

� Exemplos:� Logs� Variáveis Dummy� Funções quadráticas, interações, etc.

Unicidade da média condicional

A relação da média condicional pode ser válida para qualquer conjunto de n observações, i = 1,…,n. Se n ≥ K E[y1|x] = x1′β′β′β′βE[y2|x] = x2′β′β′β′β…E[yn|x] = xn′β′β′β′β

Para todas n observações temos que : E[y|X] = Xββββ = Eββββ.

Unicidade de E[y|X]

Suponha que exista um γγγγ ≠ ββββ que produz o mesmo valor esperado,

E[y|X] = Xγγγγ = Eγγγγ.Se δδδδ = ββββ - γγγγ. Temos que:

Xδδδδ = Xββββ - Xγγγγ = Eββββ - Eγγγγ = 0.

Isto é possível? X é uma matriz n×K.

O que significa Xδδδδ = 0? Por hipótese, isto não é possível.Hipótese de ‘posto cheio’ – hipótese de ‘identificação’.

Podemos ‘estimar’ ββββ com n ≥ K .

Dependência Linear

� Exemplo:x = [i , renda não trabalho, renda do trabalho, renda total]

Não existe dependência linear: Nenhuma variável pode ser escrita como uma função linear de outras variáveis do modelo. Condição de identificação. A teoria não necessariamente elimina a possibilidade de dependência linear, contudo, é importante para fazer a estimação possível.y = β1 + β2N + β3S + β4T + ε, onde T = N+S. y = β1 + (β2+a)N + (β3+a)S + (β4-a)T + ε para qualquer a,

= γ1 + γ2N + γ3S + γ4T + ε. � O que está sendo estimado…?� Não eliminamos a possibilidade de dependência não linear. Ex:

x e x2.

Média condicional zero

O y observado é igual a E[y|x] + variável aleatória. y = E[y|x] + ε (distúrbio)

� Existe alguma informação sobre ε em x? Ou seja, algum movimento em x dá informação sobre ε? Caso sim, não especificamos corretamente a média condicional, a função ‘E[y|x]’ não é a média condicional (não é a regressão populacional)

� Existe informação sobre ε em outras variáveis. Se E[ε|x] ≠ 0 segue que Cov[ε,x] ≠ 0.

� Violação da hipótese de ‘independência’

Média condicional zero

� E[ε|todos dados em X] = 0 � E[εεεε|X] = 0 é mais forte que E[εi | xi] = 0

� O segundo diz que o conhecimento de xi não dá nenhuma informação sobre a média de εi.

� O primeiro diz que nenhum xj dá informação sobre o valor esperado de εI.

� “nenhuma informação” é similar a nenhuma correlação.

Homocedasticidade e não

Autocorrelação

� Var[εεεε|X] = σ2I.

� Var[εεεε] = σ2I? Prova: Var[εεεε] = E[Var[εεεε|X]] + Var[E[εεεε|X]].

Distribuição Normal de ε

� Usada para facilitar as derivações de estatísticas de testes em amostras finitas.

� Derivação das distribuições exatas das estatísticas t, F.

O Modelo Linear

� y = Xββββ+ε, N observações, K colunas em X, incluindo a coluna de um.� Hipóteses sobre X� Hipóteses sobre ε|X� E[ε|X]=0, E[ε]=0 and Cov[ε,x]=0

� Regressão?� Se E[y|X] = Xββββ� Aproximação: projeção linear.

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