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UNIVERSIDADE DE SO PAULOESCOLA POLITCNICA
NELSON ANTONIO MARTINS PERES
INFLUNCIA DAS VIBRAES DO CABO NA INSTABILIDADE AEROELSTICADE UMA VIGA SIMPLES ESTAIADA.
So Paulo2005
NELSON ANTONIO MARTINS PERES
INFLUNCIA DAS VIBRAES DO CABO NA INSTABILIDADE AEROELSTICADE UMA VIGA SIMPLES ESTAIADA.
Dissertao apresentada EscolaPolitcnica da Universidade de So Paulopara a obteno do ttulo de Mestre emEngenharia.
rea de Concentrao: Engenharia deEstruturasOrientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo NigroMazzilli
So Paulo2005
AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTETRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARAFINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
FICHA CATALOGRFICA
Peres, Nelson Antonio Martins Influncia das vibraes do cabo na instabilidade aeroelsticade uma viga simples estaiada / N.A.M. Peres. -- So Paulo, 2005. 72 p.
Dissertao ( Mestrado ) Escola Politcnica da Universidadede So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas
1. Dinmica das estruturas 2. Pontes estaiadas 3. Drapejamento 4. Vibraes I . Universidade de So Paulo.Escola Politcnica. Departamento de Engenharia deEstruturas II. t
PERES, N. A. M. Influncia das vibraes do cabo na instabilidade aeroelsticade uma viga simples estaiada. 2005. 72 f. Dissertao (Mestrado em EngenhariaCivil) Escola Politcnica, Universidade de So Paulo, So Paulo.
ERRATA
Folha Linha Onde se l Leia-se
8 14 Penzian Penzien
9 13 obter as foras aerodinmicasobter os esforosaerodinmicos
10 14 e 15dobro da do primeiro modoglobal
dobro da do primeiro modo local
15 5De acordo com Morandini(2000), e Mazzilli e Rojas(2005), pode
De acordo com Morandini(2000), pode
23 5As foras modais p1, p2 e p3,decorrentes das forasaplicadas
Os esforos modais p1, p2 e p3,decorrentes dos esforosaplicados
30 11 Foras Aeroelsticas na Viga Esforos Aeroelsticos na Viga
30 13 foras aerodinmicas na viga esforos aerodinmicos na viga
30 14 As fora aerodinmicas Os esforos aerodinmicos52 11 parece ser desprezvel. desprezvel, como esperado.
Na pgina 62, aps o primeiro pargrafo, inserir a tabela abaixo:
0 (graus) U2 (m/s)20,7 58422 18424 9726 7128 6030 5532 5434 5636 6238 7740 11342 281
A meus pais, pelo apoio e imenso
incentivo para a concluso do trabalho.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Carlos Eduardo Nigro Mazzilli, pela pacincia e seu inestimvel apoio nodesenvolvimento dos trabalhos.
Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, pela oportunidade de realizaodo curso de mestrado.
RESUMO
Peres, N. A. M. Influncia das vibraes do cabo na instabilidade aeroelsticade uma viga simples estaiada. 2005. 72 f Dissertao (Mestrado) EscolaPolitcnica, Universidade de So Paulo, 2005.
Esse trabalho consiste na determinao das velocidades crticas do vento e das
amplitudes das vibraes numa estrutura composta por uma viga engastada
suspensa por um estai (cabo), submetida aos efeitos de vento e chuva. Foiconsiderada a deformao no cabo devido ao carregamento do peso prprio e o
acoplamento no-linear das vibraes do cabo e da viga. Trs modos de vibrao
so de especial interesse, chamados de primeiro modo global (flexo da viga evibrao no cabo), primeiro modo local (vibrao no cabo, com flexo na vigadesprezvel) e primeiro modo toro. O modelo foi reduzido a trs graus deliberdade. A modelagem dos carregamentos aerodinmicos aplicados na viga foi
feita segundo procedimentos tradicionais. O carregamento aerodinmico aplicado ao
cabo sob efeito de chuva e vento tambm foi levado em considerao. Para a
reduo do modelo matemtico, os coeficientes de rigidez e de amortecimento
equivalente so definidos e dependem parametricamente da velocidade do vento.
Os termos no-lineares so devidos ao acoplamento das vibraes do cabo e da
viga flexo (no plano do cabo) e tambm aos efeitos aeroelsticos no cabo. Osseguintes regimes instveis so avaliados: o efeito de galope (galloping) no cabo, odrapejamento (flutter) unimodal na toro e o drapejamento (flutter) do modo deflexo da viga em conjunto com vibraes transversais do cabo.
Palavras-chave: vibrao, efeito chuva-vento, drapejamento, viga estaiada, dinmicano-linear
ABSTRACT
Peres, N. A. M. Influence of cable vibrations on the aero-elastic instability of acable-stayed beam. 2005. 72 f Dissertation (Master of Engineering) EscolaPolitcnica, Universidade de So Paulo, 2005.
This paper is concerned with determining wind critical velocities and post-critical
vibration amplitudes in a cable-stayed beam, under wind-rain condition. It is
considered the cable sag due to the dead load plus the non-linear coupling between
the vibration of both the cable and the beam. Three modes are of special interest,
namely the first global mode (beam bending & cable vibration), the first local mode(cable vibration & negligible beam bending) and the first torsion mode. A reducedmathematical model, with three degrees of freedom, is also developed. With regard
to the modelling of the aerodynamic loads applied to the beam, it can be performed
after extension of classical guidelines. The aerodynamic loads applied to the cable
under rain are also taken into account. For the reduced mathematical model,
equivalent damping and stiffness coefficients will be defined, which depend
parametrically on the wind velocity. Non-linear terms appear due to the coupling
between the cable and the beam bending vibrations, and also to the aero-elastic non-
linear effects on the cable. Different unstable regimes are surveyed such as the cable
galloping, the unimodal flutter in torsion and the unimodal flutter with beam bending
and cable vibrations coupled.
Keywords: wind-rain vibration, flutter, cable-stayed beam, non-linear dynamics
SUMRIO
1 INTRODUO 7
2 EQUAES DE MOVIMENTO PARA O SISTEMA CONTNUO E ANLISEMODAL 12
3 REDUO DO MODELO PARA TRS GRAUS DE LIBERDADE 19
4 MTODO DAS MLTIPLAS ESCALAS 36
5 ESTUDO DE CASO 42
6 CONCLUSES 68
REFERNCIAS 70
Introduo 7
1. INTRODUO
A motivao dessa pesquisa nasceu do interesse em compreender as
vibraes transversais de cabos, de grande amplitude (mais de um metro),
observadas em pontes estaiadas por exemplo, na ponte Ben Ahin, na Blgica ,
em condies de vento e chuva moderada. H evidncias de que tais vibraes
esto intimamente ligadas aos filetes de gua formados pela chuva ao longo dos
estais.
Nos projetos de pontes pnseis e estaiadas, a verificao da estruturalevando-se em considerao os efeitos causados por fenmenos aeroelsticos, tais
como o drapejamento e o desprendimento cadenciado de vrtices, passou a serrealizada depois do colapso da Ponte de Tacoma Narrows, em 1940, no Estado de
Washington.
Um dos precursores do estudo do drapejamento na Engenharia Civil foi Bleich(1948) com a publicao de artigos com o estudo de comportamento de perfistreliados usando a Teoria do Aeroflio, desenvolvida anteriormente por Theodorsen
(1935). Theodorsen havia encontrado uma soluo analtica para problemasenvolvendo drapejamento em superfcies de controle de avies.
No Brasil, particularmente em So Paulo, nos ltimos anos tem-se observada
a execuo de alguns projetos de Pontes Estaiadas, como a Ponte sobre o RioPinheiros, que faz parte da linha 5 do Metr de So Paulo, a Ponte Jacu-Pssego,
Introduo 8
em construo sobre o Rio Tiet e a Ponte gua Espraiada, que est em projeto,tambm atravessando o Rio Pinheiros. Outros estados tambm apresentam vrios
projetos e pontes estaiadas j executadas, por exemplo, a ponte sobre o rio Guam,no Par, a ponte Forte-Redinha, que atravessa o rio Pitangi, em Natal, o projeto daponte sobre o rio Sergipe, ligando Aracaj a Barra dos Coqueiros, entre outras.
Figura 1.1 Ponte sobre o rio Guam, Par.(http://www.setran.pa.gov.br/sip/img/alca1007-04.jpg)
A anlise da resposta dinmica em estruturas submetidas ao do vento
fundamental para projetos de pontes estaiadas. Esse trabalho mostra uma versosimplificada do problema de determinar a velocidade crtica do vento e amplitudes de
vibrao ps-crticas, numa viga engastada com apenas um estai (ver Figura 1.2),submetida ao combinada de vento e chuva.
A formulao usada para vibraes no plano foi baseada em Morandini (2000),Clough e Penzian (1993), Goldstein (1964), Lanczos (1970) e ainda Rojas (2005).
Introduo 9
Foi considerada a deformao do cabo devido ao peso prprio e o acoplamento
no-linear das vibraes do cabo e da viga.
A anlise modal apresentada pelas equaes linearizadas de movimento sobre
a configurao de equilbrio. Trs modos de vibrao so de especial interesse,
chamados de primeiro modo global (vibrao no cabo e na viga), primeiro modo local(vibrao no cabo e desprezvel vibrao na viga) e primeiro modo de toro. Umareduo do modelo matemtico para trs graus de liberdade foi desenvolvida,
seguindo orientaes de Rojas (2005) e Gatulli et. al. (2005). O princpio de Hamiltonfoi usado para permitir a projeo dos deslocamentos da viga e do cabo sobre oespao definido pelos trs modos selecionados. A modelagem do carregamento
aerodinmico aplicado viga foi feita segundo metodologia clssica descrita na
bibliografia Miranda (1980), Dowell et al (1985), Simiu e Scanlan (1986). Tambm
necessrio obter as foras aerodinmicas modais associadas aos trs graus de
liberdade, usando-se as funes modais.
Para a reduo do modelo matemtico, so definidos coeficientes equivalentes
de amortecimento e rigidez aerodinmica, que dependem parametricamente da
velocidade do vento.
Termos no lineares aparecem, tanto devido ao acoplamento entre as vibraes
do cabo e da viga (em flexo), como devido aos efeitos aerodinmicos no-linearesno cabo.
Diversos regimes instveis so estudados, como o efeito de galope no cabo, o
drapejamento unimodal de toro na viga e o drapejamento unimodal devido svibraes no cabo acopladas s vibraes da viga em flexo.
O objetivo da dissertao o desenvolvimento de uma metodologia para anliseda instabilidade aeroelstica em vigas estaiadas, bem como da determinao das
Introduo 10
amplitudes de vibrao ps-crticas. O estudo de caso, propositadamente, considera
geometria favorvel ao aparecimento das instabilidades aeroelsticas descritas.
Para tanto, foi adotada uma seo transversal geometricamente semelhante da
ponte de Tacoma Narrows. Como vantagem adicional dessa escolha de geometria
da seo transversal, os coeficientes aerodinmicos de Scanlan e Simiu (1986)resultam conhecidos. Para outras sees transversais da viga estaiada, caso no
correspondam a geometrias para as quais se conheam os coeficientes
aeroelsticos, necessrio obt-los a partir de ensaios em tnel de vento.
Como se sabe Gattulli et al (2005), Rojas (2005) , o acoplamento no-
linear entre as vibraes transversais do cabo e da viga em flexo fica bastante
potencializado quando h ressonncia interna entre o primeiro modo global e o
primeiro modo local. Devido s no-linearidades quadrticas presentes nas
equaes de movimento, tal ressonncia interna se manifesta quando a freqncia
do primeiro modo global aproximadamente igual ao dobro da do primeiro modo
global, como se ver.
lc
lb
d
xc
xb y c
Figura 1.2. Configurao de referncia do problema proposto
Introduo 11
A Figura 1.2 introduz a seguinte notao: lb o comprimento da viga, lc o
comprimento do cabo, xc a coordenada do cabo e xb da viga, yc o deslocamento
transversal da configurao de equilbrio do cabo (catenria), o ngulo de
inclinao da corda do cabo com respeito vertical e d a flecha esttica mxima do
cabo.
O Captulo 2 mostra a formulao da equao de movimento para o sistema
contnuo e sua anlise modal. No terceiro captulo se aborda a reduo do modelo
para 3 graus de liberdade. neste captulo que os efeitos aeroelsticos no cabo ena viga so discutidos. O Captulo 4 mostra a soluo da equao do modelo
reduzido pelo mtodo das mltiplas escalas, e um estudo de caso realizado no
Captulo 5.
Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 12
2. EQUAES DE MOVIMENTO PARA O SISTEMA CONTNUO EANLISE MODAL
A viga estaiada da Figura 2.1 abaixo considerada, submetida a aes de
chuva e vento. O vento presumido ortogonal ao plano da estrutura.
lc
lb
d
xc
xb y c
Figura 2.1 Viga simples estaiada, na configurao de referncia C0
Os deslocamentos axiais da viga e do cabo contidos no plano da estrutura
so representados na Figura 2.2, a partir da configurao de equilbrio (referncia)C0, caracterizando a configurao atual C1, a qual j indica as coordenadas
Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 13
generalizadas modais que sero utilizadas oportunamente, quando se tratar da
reduo do modelo a trs graus de liberdade.
q2
q1q3
Figura 2.2 - Configurao atual C1
Alm dos parmetros geomtricos j mencionados na Figura 2.1, aqui seacrescentam: D o dimetro do cabo, B a largura da seo transversal da viga, mc e
mb as massas por unidade de comprimento, respectivamente para o cabo e para a
viga; pc e pb so respectivamente os carregamentos transversais do cabo e da viga
devidos chuva e ao vento. EcAc, EbIb e GbIt so a rigidez axial do cabo, a rigidez
flexo da viga e a rigidez da viga toro, respectivamente; e H o empuxo no
cabo, que a componente, ao longo da corda, da fora axial do cabo, na
configurao esttica de equilbrio C0.
Adota-se, tanto para a viga como para o cabo, uma descrio aproximada daconfigurao de equilbrio esttico. Portanto, as seguintes suposies so feitas:
Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 14
sob a hiptese da pequena relao da flecha-vo do cabo
101
cld
,
assume-se que cdxds ;
HsT )(0 , onde )(0 sT a fora de trao inicial no cabo e H acomponente da trao inicial segundo a corda do cabo;
a configurao de equilbrio esttico da viga em balano se confundecom a configurao da estrutura indeformada;
o cabo e a viga so considerados meios homogneos e contnuos, queobedecem relao linear tenso-deformao (lei de Hooke);
a rigidez flexo e ao cisalhamento, bem como a fora inerciallongitudinal do cabo, so desprezveis;
o alongamento axial e a no-linearidade geomtrica da viga sodesprezveis.
As equaes de movimento que governam o sistema sero obtidasobedecendo a essas hipteses.
A curva da catenria do cabo na configurao de equilbrio pode ser
aproximada pela parbola abaixo, para a coordenada xc, definida ao longo da corda
do cabo.
=
2
4c
c
c
c
c lx
lxdy (2.01)
Rojas (2005) mostra que a flecha esttica d dada por:
Hglmd cc8
sen2 = (2.02)
Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 15
A configurao atual C1 caracterizada pelos deslocamentos dinmicos
axiais e transversais do cabo ),( tsuc e ),( tsc respectivamente, para a coordenada
curvilnea s definida ao longo do cabo num instante de tempo t e pelo deslocamento
transversal da viga ),( txbb , para a coordenada xb definida ao longo do eixo da viga.
De acordo com Morandini (2000), e Mazzilli e Rojas (2005), pode sermostrado que as equaes de movimento para o sistema contnuo so:
Para o cabo:
( ) 0= eAEum cccc && (2.03)
[ ] )()( ccccccccc pHyeAEm &&& =++ (2.04)onde as derivadas com relao abscissa xc so indicadas por aspas e as
derivadas temporais por ponto, e )( ccp & a fora aeroelstica no cabo e pode ser
obtida conforme proposto em Xu e Wang (2003), sendo desenvolvida no Captulo 3.O alongamento e do cabo dado por:
c
l
ccc
cc
bc dxyll
ttetxe
c
++==0
2'
211
cos),0()(),( (2.05)
Para a viga, considerando a teoria linear de Bernoulli-Euler:
),,( &&&& bblVbzbbbb pIEm =+ (2.06)
onde ),,( &&bbp pode ser obtido segundo o procedimento descrito em
Miranda (1980), Dowell et al (1985), e Simiu e Scanlan (1986).As condies de contorno essenciais so:
0cos),0(),0( =+ tsintu cc (2.07)
),0(),0(cos),0( tsinttu bcc =+ (2.08)
0),( =tlu cc (2.09)
Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 16
0),( =tlcc (2.10)
0),( =tlbb (2.11)
0),( = tlbb (2.12)
Finalmente, as condies de contorno naturais so:
[ ]{ } 0),0(),0()0(),0(cos),0(),0( =+++ sintHtyteAEteAEtIE cccccccbzbb (2.13)0),0( = tb (2.14)
Para a rotao da viga ),( ts devido toro, a equao de movimento
linearizada dada por:
),,(
&&&& bb
pG = (2.15)
onde p significa o torque induzido pelo vento, e a condio de contorno
essencial a seguinte:
0),( =tlb (2.16)
ANLISE MODAL
O primeiro modo de vibrao global 1b (flexo da viga) e 1c (vibrao do
cabo), e o primeiro modo local 2b (flexo da viga desprezvel) e 2c (vibrao do
cabo) foram pormenorizadamente discutidos em Gattulli et al (2005) e Mazzilli eRojas (2005), sendo apenas apresentados aqui os resultados obtidos:
)()cos(cosh2coshcos1
)()cos(cosh2coshcos1)cosh(
21)cos(
21)(
xsinhsinhsinsinhsin
xsinsinhsinsinhsin
xxx
bbbbb
bbbb
bbbbb
bbbbbbbi
++
+++=
i=1,2 (2.17)
Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 17
( )[ ][ ])cos()()cot()0(
)cos()(tan18)(2
22
xxsinsin
xxsineld
HAE
x
cccb
cc
cc
cc
cic
=
(
, com i=1,2 (2.18)
sendo:
+
=
12
tan21
2tan
214cot)0(
2
2
2
c
cc
c
cc
b ld
sine
( (2.19)
Na equao (2.19), foi introduzido o parmetro de Irvine , igual a:
HAE
ld ccc
8= (2.20)
Nas equaes (2.17) e (2.18), ]1,0[x representa a coordenada axial
normalizada com relao ao comprimento da viga ou ao comprimento do cabo e b
encontrado resolvendo-se a seguinte equao caracterstica transcendental:
[ ]
+
=
+
sinsin
AEH
sinsinhAElIE
e
sinsin
sinld
bb
ccbbbb
bbb
ccb
zbb
b
b
bc
222
3
2
2
2
cot)cosh()()()cos()cosh()cos(1
)0(12tan24cos(
(2.21)
onde:
=
=
b
c
b
zbb
b
c
ccb
zbbcc
m
m
Hl
IE
m
m
AEl
IE
H
AE22
(2.22)
Uma vez que b tenha sido calculado por meio de (2.21), para um certo
modo, a freqncia natural correspondente pode ser determinada e, tambm, c ,
usado na expresso (2.17) e (2.18).
42
bb
zbbb lm
IE = (2.23)
Equaes de movimento para o sistema contnuo e anlise modal 18
sinb
c
2
= (2.24)
O primeiro modo de toro 3b , de acordo com Thomson (1973) ,
simplesmente:
2)1(
3x
sinb
= ]1,0[x (2.25)
com freqncia natural igual a:
b
b
b
Gl
23
= (2.26)
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 19
3. REDUO DO MODELO PARA TRS GRAUS DE LIBERDADE
O modelo reduzido, desprezando-se a vibrao da viga no modo local,
obtido a partir da mudana de variveis indicada abaixo, usando-se as coordenadas
generalizadas modais q1(t), q2(t) e q3(t):
)()()()(),( 2211 tqxtqxtx ccc += (3.01)
)()(),( 11 tqxtx bb = (3.02)
)()(),( 33 tqxtx b= (3.03)
Onde cj e bj referem-se ao modo j no domnio do cabo ou da viga,
respectivamente, e )(tq j s correspondentes coordenadas modais. usual
normalizar as funes modais de acordo com:
)(),(max)()(
xx
xx
cjbj
cjcj
= (3.04)
)(),(max)()(
xx
xx
cjbj
bjbj
= (3.05)
O princpio de Hamilton usado para se obter a equao de movimento do
modelo reduzido:
[ ] ( ) 021
2
1
11=++
dtWWdtVTt
tbc
t
ttotal (3.06)
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 20
Onde T1 a energia cintica e 1totalV a energia potencial total na configurao
atual C1 (Figura 2.2)
+++=bc b l
btbl l
bbbcccc dxIdxmdxumT22
2122
211
21)( &&&& (3.07)
cbbl
bccl
ccc
lc
lbtb
l lbbzbbccctotaltotal
Hudxgmdxugmdxgm
dxIGdxIEdxeAEHeVV
bcc
bc b
+
++++=
cossen
)( 2212
''
212
2101
(3.08)
Substituindo as equaes (3.01), (3.02) e (3.03) nas equaes (3.06), (3.07) e(3.08), chega-se equao de movimento do modelo, em trs graus de liberdade,truncando-se nas no-linearidades de ordem superior s quadrticas, conforme
indicado abaixo:
12212221112
211111
211111 2 pqqqqqqq =+++++ &&& (3.09)
22222221212
212112
222222 2 pqqqqqqq =+++++ &&& (3.10)
33233333 2 pqqq =++ &&& (3.11)
Os coeficientes dos termos no-lineares de (3.09) e (3.10) podem serdeterminados a partir de Rojas (2005), notando-se que neste trabalho as equaesde movimento estavam normalizadas para as variveis espaciais e tambm para o
tempo. Da a necessidade de redefinir ditos coeficientes para escrever as equaes
de movimento na forma no-normalizada, como convm ao presente estudo.
Portanto, definem-se:
12
21
111 clb = (3.12)
13
21
112 clc = (3.13)
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 21
142
21
122 cll
c
b = (3.14)
222
21
211 cll
b
c = (3.15)
23
21
212 clb = (3.16)
24
21
222 clc = (3.17)
Os coeficientes ijc , de acordo com Rojas (2005), so:
+=
HAE
mdxxdxxxy
ld
dxxc cc
c
cc
c
cb
211
1
0
21
1
012
1
0
211
12 23
)(')(')('
)('cossen)0(
(3.18)
+
+
+
=
HAE
m
dxdxxxy
dxxxdxxxy
ld
dxx
dxxx
c cc
c
cc
ccc
c
cb
ccb
211
1
0
21
1
02
1
021
1
01
2
1
0
212
1
0211
131
')(')('
)(')(')(')('2
)('cossen)0(
)(')('cossen)0(2
(3.19)
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 22
+
+
+
=
HAE
m
dxxxdxxxy
dxxdxxxy
ld
dxxx
dxx
c cc
c
ccc
cc
c
ccb
cb
211
2
1
01
1
02
1
0
22
1
01
2
2
1
012
1
0
221
141
)(')(')(')('
)(')(')('21
)(')('cossen)0(
)('cossen)0(21
(3.20)
+
+
+
=
HAE
m
dxxdxxxy
dxxxdxxxy
ld
dxx
dxxx
c cc
c
cc
ccc
c
cb
ccb
212
1
0
21
1
02
2
1
01
1
01
2
1
0
212
2
1
011
221
)(')(')('21
)(')(')(')('
)('cossen)0(21
)(')('cossen)0(
(3.21)
+
+
+
=
HAE
m
dxxxdxxxy
dxxdxxxy
ld
dxxx
dxx
c cc
c
ccc
cc
c
ccb
cb
212
2
1
01
1
02
1
0
22
1
01
2
2
1
012
1
0
221
231
)(')(')(')('2
)(')(')('
)(')('cossen)0(2
)('cossen)0(
(3.22)
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 23
+=
HAE
mdxxdxxxy
ld
dxxc cc
c
cc
c
cb
212
1
0
22
1
022
1
0
222
24 23
)(')(')('
)('cossen)0(
(3.23)
e ainda:
+=1
0
21
31
0
211 sen dx
m
mdxm bc
bc (3.24)
=1
0
222 dxm c (3.25)
As foras modais p1, p2 e p3, decorrentes das foras aplicadas no cabo e na
viga, podem ser escritas como:
+=1
01
11
1
01
111 sen dxpM
ldxpMlp bbbccc (3.26)
=1
02
222 dxpM
lp cc
c desprezando-se o termo que depende de 2b (3.27)
=1
03
333 dxpM
lp bb (3.28)
As massas modais M11, M22 e M33 so:
( )sen
111
mlmM cc= (3.29)
( ) 222 mlmM cc= (3.30)
=1
0
2333 dxIlM btbb (3.31)
Onde b a massa especfica do material de que a barra composta e tI o
momento de inrcia toro da seo transversal da viga.
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 24
3.1. Foras Aeroelsticas no cabo
Para a obteno das foras aerodinmicas atuantes no estai, decorrentes da
condio de vento-chuva, generalizou-se a metodologia proposta por Xu e Wang
(2003).Esses pesquisadores realizaram um estudo analtico para explicar e simular o
fenmeno de vibrao no cabo induzido pelo efeito vento-chuva, fenmeno este
observado em instrumentaes de estruturas existentes e simulaes em tneis de
vento. Baseados em conhecimentos aerodinmicos, em dinmica das estruturas e
em alguns resultados obtidos de simulaes, eles desenvolveram um modelo
analtico para o problema, considerando o efeito do vento sobre o filete de gua
formado no cabo pela chuva, e a influncia da movimentao do filete na vibrao
do cabo.
O modelo analtico foi ento aplicado a alguns modelos de cabos testados em
tnel de vento, tanto para um filete artificial fixo (segundo uma geratriz do cabo),quanto para um filete de gua em movimento, testado em tnel de chuva e vento.
Hikami & Shiraishi [1988] realizaram medies em campo dos cabos
estaiados da ponte Meikonishi em Nagoya, no Japo, submetidos a esforos
devidos ao vento com e sem chuva. Eles verificaram que, naquela ponte, os cabos
apresentavam vibraes com pequenas amplitudes quando submetidos apenas ao
vento, mas, na presena de vento e chuva, tinham amplitudes de vibrao
excessivas. Eles ento efetuaram uma srie de testes em tnel de vento com efeitos
de chuva simulados e concluram que o filete de gua formado ao longo da
superfcie superior do cabo pelo efeito de chuva com a presena do vento alterava
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 25
substancialmente as propriedades aerodinmicas da seo transversal do cabo,
resultando em vibraes excessivas.
Bosdogianni e Oliver [1996] compararam resultados obtidos em tneis de
vento para cabos com o filete de gua em movimento com os resultados obtidos
para o cabo com o filete fixo. Concluram que era a presena do filete em uma
particular posio do cabo, e no o movimento do filete de gua que causava as
instabilidades no cabo. Portanto, aqui ser considerado o filete em posio fixa, ao
longo do tempo.
Xu & Wang modelaram o cabo como um cilindro rgido com inclinao
uniforme para representar um segmento do cabo estaiado. A inclinao do cilindro
indicada por (90-). O cilindro suposto apoiado por molas nas extremidades. A
considerao do cabo como um cilindro rgido, ao invs de um cabo real, deve-se ao
fato que Xu & Wang usaram, no seu trabalho, estudos e resultados de testes em
tneis de vento de vrios autores com esta configurao.
Supe-se que o filete de gua se desenvolva segundo uma geratriz do cabo
deformado, de forma a ocupar, em todas as sees transversais do cabo, a mesma
posio. Efeitos de turbulncia e axiais no so considerados.
A posio esttica do filete devido ao vento definida pelo ngulo 0.
x
y z
Vento U
cabo
Figura 3.1 Direo do vento no cabo
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 26
U
A
ACabo
Corte A
SustentaoArraste
U
Urel
0
cc
Figura 3.2 Posio do filete e velocidade do vento, relativa ao filete, quando o caboest em movimento transversal
A fora no cabo, por unidade de comprimento :
( ) ( )[ ]*sen*cos2
2
DLrelac CCDUp += (3.32)
onde CL e CD so os coeficientes de sustentao e de arrasto do cabo,
respectivamente, e a a massa especfica do ar. Os coeficientes de arrasto e
sustentao, medidos em tneis de vento, so geralmente fornecidos em funo do
ngulo de ataque , relativamente ao filete, dado pela expresso:
0* = (3.33)
O ngulo *, que mede a inclinao da velocidade relativa do ventorelU , pode
ser escrito como:
Uc &=* (3.34)
A velocidade relativa relU do vento com respeito ao cilindro :
222 1
+=+=U
UUU ccrel
&
&
(3.35)
Os coeficientes de arrasto e sustentao foram obtidos por Gu et al (2000),para o cabo de seo circular com filete fixo, conforme indica a Figura 3.3. Esses
coeficientes podem ser escritos como expanses da srie de Taylor:
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 27
( ) 332210 62 AAAACL +++= (3.36)
( ) 332210 62 BBBBCD +++= (3.37)
onde os coeficientes Ai e Bi so os coeficientes da expanso em sries de
Taylor das equaes que fornecem os valores dos coeficientes de sustentao e de
arrasto respectivamente.
Figura 3.3. Valores dos coeficientes de sustentao e arrasto em funo do ngulo
de ataque , Gu et al (2000).
Abaixo segue o grfico de uma curva mdia ajustada para os coeficientes de
sustentao e arrasto ao longo de toda a faixa de variao do ngulo de ataque .
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 28
Curva Ajustada dos Coeficientes de Sustentao (CL) e Arrasto (CD)
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5
ngulo de Ataque (radianos)
Valo
res
de CL
e
CD
Coeficientes de Sustentao
Coeficientes de Arrasto
Figura 3.4. Curva de 3 grau melhor ajustada dos coeficientes de sustentao earrasto
Coeficientes Ai e BiA0 A1 A2 A3
-0,58 0,51 7,88 14,7
B0 B1 B2 B31,3 -0,47 -2,2 -3,18
Tabela 3.1 - Coeficientes Ai e Bi
A tangente curva do coeficiente de sustentao muda de sinal ao redor do
valor 43o (aproximadamente -0,75 radianos) do ngulo de ataque . Portanto, para
melhor ajuste e, conseqentemente, determinar os valores Ai e Bi, as curvas podemser separadas, de acordo com a necessidade, em dois trechos.
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 29
Curva Ajustada dos Coeficientes de Sustentao (CL) e Arrasto (CD)
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5
Angulo de ataque (radianos)
Coef
icie
nte
s de
Su
sten
o
CL e
Arr
asto
CD
Coeficientes de Arrasto
Coeficientes de Sustentao
Figura 3.5. Curvas de 3 grau dos coeficientes de sustentao e arrasto, melhorajustadas, em dois trechos, para ngulo de ataque menor ou maior que 0,75
radianos
Os valores dos coeficientes Ai e Bi passam a valer:
Coeficientes Ai e BiA0 A1 A2 A3
-3,4 -11,14 -19,76 -15,35 -0,75radB0 B1 B2 B3
1,24 -0,72 0,137 10,27
Tabela 3.2 - Coeficientes Ai e Bi para ngulo de ataque menor ou maior que 0,75
radianos
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 30
Substituindo as equaes (3.33) a (3.37) na equao (3.32), e truncando ostermos de ordem superior quadrtica, temos:
22102
222 ca
caa
c
DDUDUp && ++= (3.38)
Na Figura 3.3, de onde se extraem os valores dos coeficientes DC e LC , o
sentido do vetor deslocamento do cabo, conforme adotado por Gu et al (2000), est
oposto ao adotado neste trabalho. Os coeficientes i , j contemplando esse acerto
de sinais, so:
303
2020100 6
121 AAAA += (3.39)
303
202010
2030211 6
121
21 BBBBAAA +++= (3.40)
203021
30303
20220102 2
1121
21
41
21
21
21 BBBAAAAAA ++++= (3.41)
3.2. Foras Aeroelsticas na Viga
De acordo com Miranda (2000), Dowell (1985), e Simiu e Scanlan (1986), asforas aerodinmicas na viga introduzem um acoplamento linear entre a flexo e a
toro na viga. As fora aerodinmicas bp e p na viga so:
&& 2132
222LBULBULBUp abaab ++= (3.42)
&& 2132
222MBUMBUMBUp abaa ++= (3.43)
onde os valores de L1, L2, L3, M1, M2 e M3 , so funes do nmero de
Strouhal , com UB
= , e dependem dos coeficientes de drapejamento obtidos em
tnel de vento *1H , *2H , *3H , *1A , *2A e *3A :
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 31
*
11 HL = (3.44)*
22 HBL = (3.45)*
32
3 HL = (3.46)*
11 ABM = (3.47)*
22
2 ABM = (3.48)*
32
3 ABM = (3.49)
A Figura 3.6 apresenta as propriedades aerodinmicas para algumas sees
transversais de pontes.
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 32
Figura 3.6: Curvas dos coeficientes de drapejamento em funo de B
U
, onde
2
= , para as sees transversais indicadas acima (Simiu e Scanlan, 1978).
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 33
Estes coeficientes devem ser multiplicados por 2 para se adequarem
notao utilizada neste trabalho, conforme observa Butkeraitis (2002).
3.3 Equao de Movimento reduzida
Substituindo as equaes (3.38), (3.42) e (3.43) nas equaes (3.09) a (3.11)e reordenando termos, vem:
2212221112
2111110
22122
21112211113131
213132121111
qqqqpq
qqqqqqqqq&&&&
&&&&&
+++=
++++++++ (3.50)
2222221212
2121120
22222
21212212112
222221212
qqqqpq
qqqqqqq&&&&
&&&&
+++=
++++++ (3.51)
( ) 0333233331313 =++++ qqqq &&&& (3.52)Note-se que o parmetro de escala , com 0
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 34
333333 2 = (3.61)onde j , j=1,3, so os amortecimentos estruturais. Ainda:
dxLMBUl
bbba
3
1
013
11
2
13 )(sen2 = (3.62)
dxLM
BUlb
ba
=1
0
211
1111 )(sen2
(3.63)
dxLM
BUlbb
ba
=1
0312
1113 )(sen2
(3.64)
dxMMBUl
bba
=1
0
233
33
2
33 2 (3.65)
dxMM
BUlbb
ba
=1
0311
3331 2
(3.66)
dxMM
BUlb
ba
=1
0
232
3333 2
(3.67)
=1
01
11
02
10 2dx
MDUl
cca (3.68)
=1
0
21
11
111 2
dxMDUl
cca (3.69)
=1
021
11
112 2
dxMDUl
ccca (3.70)
=1
0
31
11
2111 2
dxMDl
cca (3.71)
=1
02
21
11
2112 2
dxM
Dlcc
ca (3.72)
=1
0
221
11
2122 2
dxM
Dlcc
ca (3.73)
Reduo do modelo para trs graus de liberdade 35
=1
02
22
02
20 2dx
MDUl
cca (3.74)
=1
021
22
121 2
dxMDUl
ccca (3.75)
=1
0
22
22
122 2
dxMDUl
cca (3.76)
==1
0112
22
112
21
22
2211 2
MMdx
MDl
ccca (3.77)
==1
0122
22
11221
22
2212 2
MMdx
MDl
ccca (3.78)
=1
0
32
22
2222 2 cc
ca dxM
Dl (3.79)
Mtodo das mltiplas escalas 36
4. MTODO DAS MLTIPLAS ESCALAS
Existem muitos mtodos analticos para obteno de solues aproximadas
de sistemas de equaes diferenciais no-lineares, como (3.50)-(3.52), tais como, omtodo da expanso direta, o mtodo de Lindstedt-Poincar, o mtodo das mltiplas
escalas, o mtodo do balano harmnico etc.
Para a soluo do problema desse trabalho, ser utilizado o mtodo das
mltiplas escalas por apresentar um procedimento robusto e simples como idia,
embora trabalhoso como implementao. Apresenta a vantagem de garantir
convergncia uniforme no tempo para sistemas com no-linearidades fracas.
A principal idia do mtodo considerar uma expanso assinttica de um
parmetro de perturbao , com 10
Mtodo das mltiplas escalas 37
( ) 222102210221022
...)(...]...][[ +++=++++++= DDDDDDDDDdtd
( ) ...)2()2( 21202102022
++++= DDDDDDdtd
(4.03)
com:
( ),kn
kkn T
D
= k,n = 1,2,3... (4.04)
A soluo do sistema (3.50)-(3.52) ser, pois, pesquisada na forma:
),,(),,(),,( 21033210222101 TTTqTTTqTTTqq iiii ++= (4.05)
oportuno lembrar que o problema em questo tem trs graus de liberdade,q1, q2 e q3, sendo que q1 se refere ao modo global de flexo da viga e vibrao
transversal do estai, q2 ao modo local de vibrao transversal do estai e q3 ao modo
de toro da viga, conforme indicado na Figura 1.2.
Fazendo as derivadas em relao a t, vem:
...)...)(( 332212210 iiii qqqDDDq ++++=&
...123
213
112
303
202
10 iiiiiii qDqDqDqDqDqDq +++++=&(4.06)
Derivando novamente, temos:
...))...](2()2([( 33221212021020 iiii qqqDDDDDDq +++++=&&
...)2()2()2(
12120
3210
3110
23
20
32
20
21
20
i
iiiiii
qDDD
qDDqDDqDqDqDq
+
+++++=
&& (4.07)
Equao de ordem :
Substituindo as equaes (4.06) e (4.07) em (3.50) a (3.52) e isolando ostermos de ordem , temos:
Mtodo das mltiplas escalas 38
cceApqpqqD Ti ++==+ 01121
10111011
2111
20
(4.08)
cceApqpqqD Ti ++==+ 02222
20212021
2221
20
(4.09)
cceAqqqD Ti +==+ 03331312331
20 0
(4.10)
Equao de ordem 2 :
( ) ( )( )( )2210122
2101101122
1101112211222111112
21111
31133101321012110111110122112
20 2
qD
qDqDqDqqqq
qqDqDqDqDDqqD
+
+++
=+
(4.11)
( ) ( )( ) ( )221022221011021221102112212222111212
2112112102211021211022
2222
20 2
qDqDqDqDq
qqqqDqDqDDqqD
+++
=+ (4.12)
333331033110313110332333
20 2 qqDqDqDDqqD =+ (4.13)
Para favorecer o acoplamento dos termos no-lineares quadrticos, ser
considerado o caso em que a freqncia natural do segundo modo de vibrao
aproximadamente duas vezes a freqncia do primeiro modo, e ambos com
freqncias bem diferentes da do terceiro modo.
+= 12 2 (4.14)
onde chamado de parmetro de sintonia (ou inversamente, de-tuning).As equaes de solvabilidade, que so responsveis pela eliminao dos termos
seculares, so:
Mtodo das mltiplas escalas 39
( )
02
2
121
10111
122111212112122
201121111111
11
=
Ap
eAAeAAApAiADi TiTi
(4.15)
( )0
22
1
1
21
21211
222
2022222
1
10212
212112222212
=
Ti
Ti
eA
ApApeAAiADi
(4.16)
( ) 02 3333333313 = AAiADi (4.17)Definem-se, por convenincia:
= jji
jj aeaAj ,,
21 (4.18)
112 2 T += (4.19)
Substituindo (4.18) e (4.19) em (4.15) a (4.17) e separando as partes reais eimaginrias, as seguintes equaes diferenciais ordinrias aparecem:
( ) ( ) 0sen41
2 21112211121111
111 =+++
aaaaD (4.20)
( ) ( ) 0cos41
2111221112121
101111111 =+ aaa
pDa (4.21)
( ) ( ) 0sen41
221211
212112
222212 =+++
aaaD (4.22)
( ) ( ) 02
cos41
221
1021222
2022221211
212112122 =
++ app
aDa
(4.23)
( ) 02 3
333313 =+ aaD
133
2303
Teaa
= (4.24)
( ) 02 333
3133 = aDa 1
3
33303 2
T
+= (4.25)
Aqui, 1a a amplitude do modo global, 2a a amplitude do modo local, 3a a
amplitude do modo de toro na viga e i os respectivos ngulos de fase, variveis
Mtodo das mltiplas escalas 40
com o tempo, os quais implicam modificaes nas freqncias modais no caso de
regime no-linear.
Drapejamento (Flutter) unimodal por toro
Da equao (4.24) pode-se perceber que, caso o coeficiente aerodinmico da
seo transversal da viga *2A seja positivo, e a velocidade do vento seja maior que:
= 1
0
23
*
32
3333*3
)(
4
dxUBMl
MU
bba
(4.26)
a amplitude 3a crescer indefinidamente, ao menos nesse modelo linear
para a toro, pois nesse caso, 33 torna-se negativo. Note que (4.26) uma
equao implcita em *3U .
Galope do Estai
A soluo no trivial 02 a , com 01 =a , possvel nas equaes (4.20) a
(4.23), fazendo 022 = . Neste caso, a velocidade crtica do vento deve ser igual a:
= 1
0
221
2222*2
4
dxDl
MUcca
(4.27)
Note que (4.27) tambm uma equao implcita em *2U .
Mtodo das mltiplas escalas 41
Drapejamento (Flutter) unimodal com vibrao no cabo e na viga por flexo
As solues no triviais 02 a e 01 a so possveis nas equaes (4.20) a
(4.23), caso o coeficiente aerodinmico da seo transversal da viga *1H seja
positivo e a velocidade do vento esteja entre os seguintes valores:
( ) ( )*2*1*2*1 ,max,min UUUUU
Estudo de caso 42
5. ESTUDO DE CASO
Este captulo ocupa-se do estudo do comportamento aeroelstico da viga
simples estaiada da Figura 1.2, submetida a aes de vento e chuva, especialmente
no que tange caracterizao da velocidade crtica do vento, para cada um dos
fenmenos de instabilidade aeroelstica estudados, bem como das amplitudes
modais ps-crticas para o caso de drapejamento (flutter) por flexo da viga evibraes do estai. A seo transversal da viga mostrada na Figura 5.1. Foi
escolhida, propositadamente, com forma geometricamente similar seo da Ponte
de Tacoma Narrows, para favorecer as instabilidades dinmicas e, assim, ensejar apossibilidade de aplicao da anlise do Captulo 4.
4.65
24.18
1.86
0.12
0.12
0.12
Figura 5.1 Seo transversal da viga a ser estudada (dimenses em cm)
As demais propriedades geomtricas e mecnicas dos elementos estruturais
esto indicadas na Tabela 5.1.
Estudo de caso 43
Elemento Propriedades Smbolo Valor Unidade
Cabo Densidade c 7827 Kg/m
Massa por unidade de comprimento mc 0,0978 Kg/m
Mdulo de elasticidade Ec 2,386.1011 N/m
Dimetro D 5,06.10-04 m
rea da seo transversal Ac 2,011.10-07 mComprimento da corda do cabo lc 2,061 m
Empuxo H 109,952 N
ngulo entre a corda e o eixo vertical 1,326 radFlecha da catenria d 4,494.10-03 m
Viga Densidade equivalente (*) b 22431 Kg/mMassa equivalente por unidade de
comprimentomb 10,408 Kg/m
Mdulo de elasticidade Eb 1,690.1011 N/m
Mdulo de cisalhamento Gb 6,76.1010 N/m
Momento de inrcia a flexo Izb 3,390.10-08 m4
Momento de inrcia a toro It 2,250.10-10 m4
rea da seo transversal Ab 4,640.10-04 mLargura da base B 2,418.10-01 m
Comprimento lb 2 m
(*) Levando em considerao massas concentradas ao longo da viga, ento b
bb A
m=
Tabela 5.1 Parmetros fsicos da viga estaiada
A densidade do ar 3/293,1 mkga = .
Estudo de caso 44
Os valores dos coeficientes aerodinmicos devidos a vento e chuva no cabo,
de acordo com as equaes (3.39) a (3.41), so:
0 1 2
o43 -0,189290 1,166557 5,28837
Curva Mdia -0,0626638 0,286640 0,0663996
Tabela 5.2 Valores de i em funo do ngulo de ataque do vento
Recorda-se que 0* = ; mas Uc &=* , na conveno da Figura 3.3.
Como a velocidade c& inverte de sinal durante a vibrao, para se saber que
domnio da Tabela 5.2 utilizar, deve-se verificar se c& maior ou menor que
)750492,0( 0 U . Portanto, quando c& for menor que )750492,0( 0 U , ter
valores estritamente maiores que o43 . Nesse caso, usa-se i para valores
o43> . Para valores de c& maiores que )750492,0( 0 U , ter valores ora
maiores, ora menores que o43 . Nesse caso, de forma simplificada sero usados os
valores de i para a curva mdia.
Uma vez escolhidos os valores de i e determinada a resposta dinmica para
o cabo, conforme visto no Captulo 3, poder-se- verificar se a escolha feita foi
adequada ou no, bastando para isto estimar o mdulo da velocidade do cabo no
meio do vo, de acordo com a seguinte expresso, que decorre de (3.05):
=
x
xccdxa
05,0222&
Estudo de caso 45
e verificar se este valor menor ou maior que )750492,0( 0 U .
Os valores das freqncias naturais de vibrao, para os dois primeiros
modos, conforme Rojas (2005), so:
rad/s 26,1371 = ( 2,110951 =b ; 1,606931 =c ); e
rad/s 51,458 2 = ( 2,961942 =b ; 3,163702 =c ).
Os valores de 1 e 2 esto efetivamente, neste estudo de caso, prximos da
condio de ressonncia interna 1:2. As funes modais correspondentes a cada
freqncia so dadas nas expresses (2.17) e (2.18). Alm disso, o valor doparmetro de de-tuning :
16,82 12 ==
, arbitrando-se 0,10= .
Os grficos das funes modais so dados abaixo, sendo que as abscissas
correspondem aos eixos da viga ou da corda do cabo, sendo tais abscissas
normalizadas em relao aos respectivos comprimentos.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 5.2 Funo modal 1b
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Estudo de caso 46
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
-3
Figura 5.3 Funo modal 2b
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 5.4 Funo modal 1c
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Estudo de caso 47
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figura 5.5 Funo modal 2c
Para o modo de toro, a freqncia natural muito maior que 1 e 2 . A
partir de (2.26), rad/s1363,453 = . A funo modal dada em (2.25).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 5.6 Funo modal 3b
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Estudo de caso 48
Para esse estudo de caso, todas as taxas modais de amortecimento so
arbitradas com 0,0005 =i , 3,2,1=i . Para os dois primeiros modos, estes valores,bastante baixos, coincidem com os adotados por Gattulli et al (2002) em seu estudoanaltico-experimental. Posteriormente, ser investigada a influncia da taxa de
amortecimento nas velocidades crticas do vento e na resposta ps-crtica.
Abaixo seguem os valores das integrais auxiliares que dependem das funes
modais:
402409,01
01 =
dxb 259834,01
0
21 =
dxb 347041,01
031 =
dxbb
00445255,01
02 =
dxb5
1
0
22 10.82782,2
=
dxb
=1
0
23 5,0dxb
=1
01 406952,0dxc 247279,0
1
0
21 =
dxc 173055,01
0
31 =
dxc
=1
02 634680,0dxc 498400,0
1
0
22 =
dxc 423019,01
0
32 =
dxc
248510,01
021 =
dxcc 127697,01
02
21 =
dxcc 192272,01
0
221 =
dxcc
A partir das equaes (3.29) a (3.31) e das integrais acima, os valores dasmassas modais so:
kgM 29766,511 = ; kgM 100460,022 = ; 2633 10.04698,5 mkgM = .
A tabela abaixo mostra os valores dos coeficientes aerodinmicos do cabo,
para valores de ngulo de ataque o43 e para todos os valores de
(mdia), supondo-se que o ngulo 0 que define a posio do filete de gua de
chuva vale 32. Note que alguns coeficientes variam de acordo com a velocidade do
vento U ou U2.
Estudo de caso 49
-43 Mdia
10 9,61822.10-06 U 2 -9,80357.10-06 U 2 -3,24543.10-06 U 2
11 4,31523.10-05 U 3,67119.10-05 U 9,02063.10-06 U12 4,33671.10-05 U 3,68946.10-05 U 9,06554.10-06 U111 -1,11477.10-04 1,16471.10-04 1,46239.10-06
112 -8,22585.10-05 8,59439.10-05 1,07909.10-06
122 -1,23856.10-04 1,29405.10-04 1,62478.10-06
20 7,91034.10-04 U 2 -8,06278.10-04 U 2 -2,66915.10-04 U 2
21 2,28691.10-03 U 1,94559.10-03 U 4,78061.10-04 U22 4,58653.10-03 U 3,90199.10-03 U 9,58776.10-04 U211 -4,33780.10-03 4,53215.10-03 5,69047.10-05
212 -6,53139.10-03 6,82401.10-03 8,56808.10-05
222 -1,43697.10-02 1,50136.10-02 1,88507.10-04
Tabela 5.3 Coeficientes aerodinmicos do cabo, para a condio de vento-chuva
Para o clculo dos coeficientes aerodinmicos na viga, usam-se as curvas da
Figura 3.6, adotando-se a seo similar da ponte de Tacoma Narrows (Figura 5.1).O grfico abaixo apresenta as curvas dos coeficientes de drapejamento, com
a adequao para este trabalho, isto , com o valor dos coeficientes multiplicados
por 2. As curvas *1A e *3A no apresentam interesse.
Estudo de caso 50
Coeficientes de Drapejamento na viga
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U/ B
H1H2H3A2
Figura 5.7 Coeficientes de drapejamento da viga, em funo de B
U
, onde
2
= ,
para a seo da Figura 5.1.
13 2,04810.10-02U L333 3,09737.1004U M311 1,53344.10-02U L113 2,04810.10-02U L231 2,14983.1004U M133 3,09737.1004U M2
Tabela 5.4 Coeficientes aerodinmicos, devidos ao vento, relativos viga.
Finalmente, os coeficientes de rigidez no-lineares, determinados a partir de
Rojas (2005), so indicados abaixo:
Estudo de caso 51
c12 2,19c13 1,47c22 37,5c23 389c24 -23,7111 748112 487211 1,32.104
212 1,33.105
222 -7,86.103
Tabela 5.5 Coeficientes no lineares de rigidez
Clculo da velocidade crtica do vento para o drapejamento (flutter) unimodalde toro na viga.
A partir da equao (4.26) e com a ajuda da Figura 5.7, calcula-se o valor davelocidade crtica do vento U3, atravs de iteraes:
U A2 (3) (3) M2 (3) U3105 -0,00976 0,1185 -6,8E-05 -0,65113 6,05E-05 0,1103 3,91E-07 113131 0,0231 0,09498 0,000128 0,34
Tabela 5.6 Clculo iterativo de U3
Portanto, resulta U3=113 m/s.
Clculo da velocidade crtica do vento para o galope do estai:
A partir de (4.27), a velocidade crtica U2 resulta igual a 55m/s.
Estudo de caso 52
Clculo da velocidade crtica do vento para o drapejamento (flutter) unimodalde flexo, com vibraes do cabo
A partir de (4.29), a velocidade crtica U1 pode ser determinada por iterao.
U H1 (1) (1) L1 U18,5 -0,227 0,7435 -0,1688 -10,38,7 0,266 0,7271 0,1933 8,79 1,053 0,7022 0,7394 2,3
Tabela 5.7 Clculo iterativo de U1
Portanto, resulta U1 = 8,7 m/s.
A influncia das vibraes do cabo na velocidade crtica do vento U1 parece
ser desprezvel.
No entanto, muito importante para limitar as amplitudes ps-crticas tanto no
cabo quanto na viga, como pode ser visto atravs das equaes (4.31) e (4.32). Atabela abaixo mostra as amplitudes do primeiro e segundo modo, determinadas na
zona de velocidades de vento ps-crticas. Para tanto, a curva de *1H teve que ser
extrapolada para velocidades de vento acima de 9,5 m/s. A Figura 5.8 mostra o
grfico de *1H extrapolado. desejvel que esses resultados sejam validados
experimentalmente, o que foge ao escopo dessa dissertao.
Estudo de caso 53
H 1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
Velocidades do vento (m/s)
Coe
fice
nte
a
ero
din
mic
o H
1
Figura 5.8 Grfico da extrapolao dos valores de *1H
Coincidentemente, para 1=26,137 rad/s, o valor de B aproximadamente 1,portanto o eixo das abscissas pode ser confundido com o da prpria velocidade dovento U.
U (m/s) *1H (1) A2 (3) L1 M2 (3) a2 (m) a1 (m)8,7 0,27 -0,01 0,193 -0,020 0,13 0,039 1,05 -0,01 0,739 -0,020 0,12 0,03
9,5 2,36 -0,01 1,571 -0,020 0,10 0,0210 3,59 -0,01 2,271 -0,020 0,10 0,01
10,5 4,75 -0,01 2,861 -0,020 0,10 0,0111 5,85 -0,01 3,359 -0,020 0,11 0,01
11,5 6,88 -0,01 3,781 -0,020 0,11 0,0112 7,86 -0,01 4,138 -0,020 0,12 0,01
12,5 8,79 -0,01 4,444 -0,020 0,13 0,0113 9,66 -0,01 4,698 -0,020 0,13 0,01
13,5 10,48 -0,01 4,904 -0,020 0,14 0,0114 11,23 -0,01 5,069 -0,020 0,14 0,01
14,5 11,93 -0,02 5,199 -0,020 0,15 0,0115 12,58 -0,02 5,300 -0,020 0,16 0,01
15,5 13,18 -0,02 5,375 -0,020 0,16 0,0116 13,74 -0,02 5,428 -0,020 0,17 0,01
16,5 14,26 -0,02 5,462 -0,020 0,17 0,0117 14,74 -0,02 5,479 -0,020 0,17 0,01
Continua
Estudo de caso 54
ContinuaoU (m/s) *1H (1) A2 (3) L1 M2 (3) a2 (m) a1 (m)
17,5 15,18 -0,02 5,482 -0,020 0,18 0,0118 15,58 -0,02 5,471 -0,020 0,18 0,01
18,5 15,95 -0,02 5,450 -0,020 0,19 0,0119 16,29 -0,02 5,418 -0,020 0,19 0,01
19,5 16,59 -0,02 5,377 -0,020 0,19 0,0120 16,86 -0,02 5,328 -0,020 0,19 0,01
20,5 17,10 -0,02 5,272 -0,020 0,20 0,0121 17,31 -0,02 5,209 -0,020 0,20 0,01
21,5 17,49 -0,02 5,141 -0,020 0,20 0,0122 17,64 -0,02 5,067 -0,020 0,20 0,01
22,5 17,76 -0,02 4,988 -0,020 0,20 0,0123 17,85 -0,02 4,905 -0,020 0,20 0,01
23,5 17,91 -0,02 4,818 -0,020 0,20 0,01Tabela 5.8 Amplitudes modais ps-crticas.
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Velocidade do vento (m/s)
Am
plitu
des
mod
ais
(m)
a 1 0 = 32
a 2 0 = 32
Figura 5.9: Amplitudes modais ps-crticas a1(U) e a2(U).
Estudo de caso 55
Influncia do ngulo do filete 0 nas amplitudes ps-crticas de vibrao.
At agora, havia sido adotado o ngulo 0 de 32, conforme sugerido no
trabalho de Xu e Wang (2003).
Por meio das equaes (3.39) a (3.41) os coeficientes i podem ser
calculados para diferentes valores de 0. Verifica-se que, para valores
compreendidos entre 20 e 44, 1 positivo e, portanto, existem valores de U2, isto
, de velocidade crtica para galope do estai.
As tabelas abaixo mostram a variao das amplitudes de vibrao segundo a
variao do ngulo 0. Note-se que, de posse do valor das amplitudes, pode-se
determinar o valor do ngulo de ataque do vento, o qual permite verificar os valores
adotados para i.
Estudo de caso 56
0 = 20,7o 0 = 22 0 = 24U2 = 584m/s U2 = 184 m/s U2 = 97 m/sU (m/s)
a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)8,5 0,057286 0,057943 0,0588279 0,0404 0,1309 0,0391 0,1288 0,0374 0,1261
9,5 0,0192 0,1018 0,0188 0,1013 0,0182 0,100810 0,0151 0,1005 0,0147 0,1002 0,0143 0,1000
10,5 0,0133 0,1034 0,0130 0,1032 0,0127 0,103011 0,0125 0,1080 0,0122 0,1079 0,0118 0,1077
11,5 0,0120 0,1135 0,0118 0,1134 0,0114 0,113312 0,0118 0,1195 0,0116 0,1194 0,0112 0,1194
12,5 0,0117 0,1258 0,0115 0,1258 0,0111 0,125713 0,0117 0,1321 0,0114 0,1321 0,0111 0,1321
13,5 0,0118 0,1383 0,0115 0,1383 0,0111 0,138314 0,0119 0,1442 0,0115 0,1442 0,0111 0,1443
14,5 0,0119 0,1499 0,0116 0,1499 0,0112 0,150015 0,0120 0,1553 0,0117 0,1553 0,0112 0,1554
15,5 0,0121 0,1604 0,0118 0,1605 0,0113 0,160516 0,0122 0,1652 0,0119 0,1653 0,0113 0,1653
16,5 0,0123 0,1698 0,0119 0,1698 0,0114 0,169817 0,0124 0,1740 0,0120 0,1740 0,0115 0,1740
17,5 0,0125 0,1779 0,0121 0,1779 0,0115 0,178018 0,0126 0,1815 0,0121 0,1815 0,0115 0,1816
18,5 0,0127 0,1848 0,0122 0,1848 0,0116 0,184919 0,0127 0,1878 0,0122 0,1878 0,0116 0,1879
19,5 0,0128 0,1905 0,0123 0,1906 0,0116 0,190720 0,0128 0,1930 0,0123 0,1930 0,0116 0,1931
20,5 0,0129 0,1951 0,0124 0,1952 0,0117 0,195321 0,0129 0,1970 0,0124 0,1971 0,0117 0,1972
21,5 0,0129 0,1986 0,0124 0,1987 0,0116 0,198822 0,0130 0,2000 0,0124 0,2000 0,0116 0,2002
22,5 0,0130 0,2011 0,0124 0,2011 0,0116 0,201323 0,0130 0,2019 0,0124 0,2019 0,0116 0,2021
23,5 0,0130 0,2024 0,0124 0,2025 0,0116 0,2026Continua
Estudo de caso 57
Continuao
0 = 26o 0 = 28 o 0 = 30 oU2 = 71m/s U2 = 60m/s U2 = 55m/sU (m/s)
a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)8,5 0,05954 0,060068 0,0603989 0,0361 0,1242 0,0352 0,1229 0,0348 0,1222
9,5 0,0178 0,1004 0,0175 0,1001 0,0173 0,100010 0,0140 0,0998 0,0137 0,0997 0,0136 0,0996
10,5 0,0124 0,1029 0,0122 0,1029 0,0120 0,102911 0,0116 0,1077 0,0114 0,1077 0,0112 0,1077
11,5 0,0111 0,1133 0,0109 0,1133 0,0108 0,113412 0,0109 0,1194 0,0107 0,1194 0,0106 0,1195
12,5 0,0108 0,1258 0,0106 0,1258 0,0104 0,125913 0,0107 0,1321 0,0105 0,1322 0,0104 0,1322
13,5 0,0107 0,1383 0,0105 0,1384 0,0104 0,138514 0,0108 0,1443 0,0105 0,1444 0,0104 0,1444
14,5 0,0108 0,1500 0,0105 0,1501 0,0104 0,150215 0,0108 0,1554 0,0106 0,1555 0,0104 0,1556
15,5 0,0109 0,1606 0,0106 0,1606 0,0104 0,160716 0,0109 0,1654 0,0106 0,1655 0,0105 0,1656
16,5 0,0110 0,1699 0,0107 0,1700 0,0105 0,170117 0,0110 0,1741 0,0107 0,1742 0,0105 0,1743
17,5 0,0110 0,1780 0,0107 0,1781 0,0105 0,178318 0,0111 0,1817 0,0107 0,1818 0,0105 0,1819
18,5 0,0111 0,1850 0,0107 0,1851 0,0105 0,185219 0,0111 0,1880 0,0107 0,1881 0,0105 0,1883
19,5 0,0111 0,1908 0,0107 0,1909 0,0105 0,191020 0,0111 0,1932 0,0107 0,1934 0,0104 0,1935
20,5 0,0111 0,1954 0,0107 0,1956 0,0104 0,195721 0,0111 0,1973 0,0106 0,1975 0,0104 0,1976
21,5 0,0110 0,1990 0,0106 0,1991 0,0103 0,199322 0,0110 0,2003 0,0105 0,2005 0,0103 0,2006
22,5 0,0110 0,2014 0,0105 0,2016 0,0102 0,201823 0,0109 0,2022 0,0104 0,2024 0,0101 0,2026
23,5 0,0109 0,2028 0,0104 0,2030 0,0101 0,2032Continua
Estudo de caso 58
Continuao 0 = 32o 0 = 34o 0 = 36o
U2 = 54m/s U2 = 56 m/s U2 = 62 m/sU (m/s)a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)
8,5 0,06052 0,060431 0,0601329 0,0346 0,1220 0,0349 0,1225 0,0356 0,1236
9,5 0,0173 0,1000 0,0174 0,1002 0,0176 0,100610 0,0136 0,0997 0,0137 0,0998 0,0139 0,1001
10,5 0,0120 0,1030 0,0121 0,1031 0,0123 0,103311 0,0112 0,1078 0,0113 0,1079 0,0114 0,1081
11,5 0,0108 0,1134 0,0108 0,1136 0,0110 0,113712 0,0105 0,1196 0,0106 0,1197 0,0108 0,1198
12,5 0,0104 0,1259 0,0105 0,1261 0,0107 0,126213 0,0104 0,1323 0,0104 0,1325 0,0106 0,1326
13,5 0,0103 0,1386 0,0104 0,1387 0,0106 0,138814 0,0103 0,1446 0,0104 0,1447 0,0106 0,1448
14,5 0,0104 0,1503 0,0104 0,1504 0,0106 0,150615 0,0104 0,1557 0,0105 0,1558 0,0107 0,1560
15,5 0,0104 0,1609 0,0105 0,1610 0,0107 0,161116 0,0104 0,1657 0,0105 0,1658 0,0107 0,1660
16,5 0,0104 0,1702 0,0105 0,1704 0,0108 0,170517 0,0104 0,1745 0,0105 0,1746 0,0108 0,1748
17,5 0,0105 0,1784 0,0106 0,1786 0,0108 0,178718 0,0104 0,1820 0,0106 0,1822 0,0108 0,1824
18,5 0,0104 0,1854 0,0106 0,1855 0,0108 0,185719 0,0104 0,1884 0,0105 0,1886 0,0108 0,1888
19,5 0,0104 0,1912 0,0105 0,1914 0,0108 0,191620 0,0104 0,1937 0,0105 0,1939 0,0108 0,1940
20,5 0,0103 0,1959 0,0105 0,1961 0,0108 0,196321 0,0103 0,1978 0,0104 0,1980 0,0108 0,1982
21,5 0,0103 0,1995 0,0104 0,1997 0,0107 0,199922 0,0102 0,2008 0,0103 0,2010 0,0107 0,2013
22,5 0,0101 0,2020 0,0103 0,2022 0,0107 0,202423 0,0101 0,2028 0,0102 0,2030 0,0106 0,2032
23,5 0,0100 0,2034 0,0102 0,2036 0,0106 0,2038Continua
Estudo de caso 59
Continuao 0 = 38o 0 = 40o 0 = 42o
U2 = 77m/s U2 = 113 m/s U2 = 281 m/sU (m/s)a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m) a1 (m) a2 (m)
8,5 0,059626 0,058924 0,0580379 0,0366 0,1253 0,0381 0,1277 0,0401 0,1309
9,5 0,0180 0,1010 0,0185 0,1017 0,0192 0,102510 0,0141 0,1004 0,0145 0,1008 0,0150 0,1013
10,5 0,0125 0,1035 0,0129 0,1039 0,0133 0,104211 0,0117 0,1083 0,0120 0,1086 0,0125 0,1089
11,5 0,0113 0,1139 0,0116 0,1142 0,0120 0,114412 0,0110 0,1200 0,0114 0,1202 0,0118 0,1205
12,5 0,0109 0,1264 0,0113 0,1266 0,0117 0,126813 0,0109 0,1328 0,0112 0,1330 0,0117 0,1332
13,5 0,0109 0,1390 0,0113 0,1392 0,0117 0,139414 0,0109 0,1450 0,0113 0,1452 0,0118 0,1454
14,5 0,0110 0,1507 0,0114 0,1509 0,0119 0,151115 0,0110 0,1562 0,0114 0,1563 0,0120 0,1565
15,5 0,0110 0,1613 0,0115 0,1615 0,0121 0,161716 0,0111 0,1662 0,0116 0,1663 0,0121 0,1665
16,5 0,0111 0,1707 0,0116 0,1709 0,0122 0,171117 0,0112 0,1749 0,0117 0,1751 0,0123 0,1753
17,5 0,0112 0,1789 0,0117 0,1791 0,0124 0,179318 0,0112 0,1825 0,0118 0,1827 0,0125 0,1829
18,5 0,0113 0,1859 0,0118 0,1861 0,0125 0,186319 0,0113 0,1890 0,0119 0,1892 0,0126 0,1894
719,5 0,0113 0,1917 0,0119 0,1919 0,0126 0,192220 0,0113 0,1942 0,0119 0,1945 0,0127 0,1947
20,5 0,0113 0,1965 0,0119 0,1967 0,0127 0,196921 0,0113 0,1984 0,0120 0,1986 0,0128 0,1989
21,5 0,0113 0,2001 0,0120 0,2003 0,0128 0,200522 0,0112 0,2015 0,0120 0,2017 0,0128 0,2020
22,5 0,0112 0,2026 0,0120 0,2029 0,0128 0,203123 0,0112 0,2035 0,0119 0,2037 0,0128 0,2040
23,5 0,0111 0,2041 0,0119 0,2043 0,0128 0,2046
Tabela 5.9 Valores das amplitudes modais com a variao do ngulo 0
Estudo de caso 60
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0 5 10 15 20 25
Velocidade do vento (m/s)
Ampl
itude
m
oda
l (m)
=20,7
=22
=24
=26
=28
=30
=32
=34
=36
=38
=40
=42
=42,7
Curvas de a 1
Figura 5.10 - Valores das amplitudes modais a1 com a variao do ngulo 0
0
1,5 3
4,5 6
7,5 9
10,5
12
13,5
15
16,5
18
19,5
21
22,5
=20,7 =26 =32 =38
=42,6
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
Ampl
itude
s M
odai
s (m
)
Velocidade do
vento (m/s)
Ang.
filete
=20,7=22=24=26=28=30=32=34=36=38=40=42=42,6
Curvas de a 1
Figura 5.11 - Valores das amplitudes modais a1 com a variao da velocidade dovento e do ngulo 0
Estudo de caso 61
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 5 10 15 20 25
Velocidade do vento (m/s)
Ampl
itude
m
oda
l
=20,7=22=24=26=28=30=32=34=36=38=40=42=42,6=43,1
Curvas de a 2
Figura 5.12 - Valores das amplitudes modais a2 com a variao do ngulo 0
0
1,5 3
4,5 6
7,5 9
10,5
12
13,5
15
16,5
18
19,5
21
22,5
=20,7 =26 =32 =38
=42,6
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Ampl
itude
m
oda
l
Velocidade do
vento (m/s)
Ang. f
ilete
=20,7=22=24=26=28=30=32=34=36=38=40=42=42,6=43,1
Curvas de a 2
Figura 5.13 - Valores das amplitudes modais a2 com a variao da velocidade dovento e do ngulo 0
Estudo de caso 62
Os valores da amplitude a2 no se alteram significativamente com a
mudana do ngulo do filete. Note-se que a variao do ngulo do filete altera
tambm muito pouco o valor de a1. Entretanto, quando 0 vale 32, temos o menor
valor para a velocidade crtica do galope do estai (U2), justificando a adoo destengulo para problemas sujeitos a ao de vento e chuva, conforme sugerido por Xue Wang (2003).
Sensibilidade da resposta em funo da variao das taxas de amortecimento.
Variando-se o amortecimento do primeiro modo global (1), a tabela abaixo mostraos valores da velocidade crtica U1 e das amplitudes modais em funo da
velocidade de vento U.
1= 0,0005 1= 0,001 1= 0,005 1= 0,01U1 = 8,7 m/s U1 = 8,8 m/s U1 = 9,63 m/s U1 = 10,8 m/sU (m/s)
a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m)8 - - - - - - - -9 0,0346 0,122 0,0538 0,153 - - - -
10 0,0136 0,100 0,0141 0,099 0,0303 0,116 - -11 0,0112 0,108 0,0114 0,106 0,0137 0,099 0,0598 0,16412 0,0105 0,120 0,0106 0,118 0,0113 0,106 0,0153 0,09913 0,0104 0,132 0,0103 0,130 0,0105 0,116 0,0118 0,10214 0,0103 0,145 0,0103 0,142 0,0102 0,126 0,0107 0,10915 0,0104 0,156 0,0103 0,153 0,0101 0,136 0,0102 0,11716 0,0104 0,166 0,0104 0,163 0,0101 0,145 0,0099 0,12517 0,0104 0,174 0,0104 0,172 0,0101 0,153 0,0098 0,13218 0,0104 0,182 0,0104 0,180 0,0100 0,161 0,0097 0,13819 0,0104 0,188 0,0104 0,186 0,0100 0,167 0,0096 0,14420 0,0104 0,194 0,0103 0,191 0,0100 0,172 0,0096 0,148
Tabela 5.10 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do primeiro modo
Estudo de caso 63
Nota-se que a resposta dinmica sensvel s variaes do amortecimento
do primeiro modo. Tanto os valores das amplitudes modais, quanto a velocidade
crtica se alteraram com a mudana da taxa de amortecimento. As Figuras 5.14 e
5.15 ilustram melhor, qualitativamente, estas diferenas.
Amplitudes Modais - Variao do amortecimento da viga a flexo
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 5 10 15 20 25
Velocidade do Vento (m/s)
Ampl
itude
s M
odai
s (m
) a1 x1=0,0005a1 x1=0,001a1 x1=0,005a1 x1=0,01a2 x1=0,0005a2 x1=0,001a2 x1=0,005a2 x1=0,01
Figura 5.14 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do primeiro modo
Estudo de caso 64
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
a1 x1=0,0005
a1 x1=0,005
a2 x1=0,0005
a2 x1=0,0050
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
Ampl
itude
s M
odai
s (m
)
Velocidade do Vento (m/s)
Amplitudes Modais - Variao do amortecimento da viga a flexo
a1 x1=0,0005a1 x1=0,001a1 x1=0,005a1 x1=0,01a2 x1=0,0005a2 x1=0,001a2 x1=0,005a2 x1=0,01
Figura 5.15 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do primeiro modo
Variando-se o amortecimento do segundo modo, a tabela abaixo mostra os
valores da velocidade crtica U2 e das amplitudes modais em funo da velocidade
de vento U.
2 = 0,0005 2 = 0,001 2 = 0,005 2 = 0,01U2 = 54 m/s U2 = 107 m/s U1 = 537 m/s U1 = 1070 m/sU (m/s)
a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m)8 0 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,0009 0,0346 0,122 0,0971 0,231 0,0000 0,000 0,0000 0,000
10 0,0136 0,100 0,0220 0,108 0,1920 0,406 0,0000 0,00011 0,0112 0,108 0,0175 0,112 0,0634 0,174 0,7871 1,51612 0,0105 0,120 0,0163 0,122 0,0483 0,154 0,1309 0,29413 0,0104 0,132 0,0160 0,134 0,0436 0,155 0,0881 0,22114 0,0103 0,145 0,0160 0,146 0,0419 0,161 0,0749 0,202
Continua
Estudo de caso 65
Continuao2 = 0,0005 2 = 0,001 2 = 0,005 2 = 0,01U2 = 54 m/s U2 = 107 m/s U1 = 537 m/s U1 = 1070 m/sU (m/s)
a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m) a1(m) a2(m)15 0,0104 0,156 0,0162 0,157 0,0414 0,169 0,0693 0,19916 0,0104 0,166 0,0163 0,167 0,0413 0,177 0,0666 0,20017 0,0104 0,174 0,0165 0,175 0,0415 0,184 0,0653 0,20318 0,0104 0,182 0,0166 0,183 0,0417 0,191 0,0646 0,20719 0,0104 0,188 0,0167 0,189 0,0420 0,196 0,0643 0,21120 0,0104 0,194 0,0168 0,194 0,0422 0,201 0,0642 0,214
Tabela 5.11 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do segundo modo
Neste caso, os valores das amplitudes modais se alteraram mais
significativamente com a mudana do amortecimento do segundo modo. Portanto,
deve-se tomar particular cuidado na definio desse parmetro. Os grficos abaixo
ilustram a Tabela 5.11.
Amplitudes Modais - Variao do amortecimento do cabo
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20 25
Velocidade do Vento (m/s)
Ampl
itude
s M
odai
s (m
) a1 x1=0,0005a1 x1=0,001a1 x1=0,005a1 x1=0,01a2 x1=0,0005a2 x1=0,001a2 x1=0,005a2 x1=0,01
Figura 5.16 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do segundo modo
Estudo de caso 66
Figura 5.17 Amplitudes modais, variando-se o amortecimento do segundo modo
A velocidade crtica U3 (drapejamento unimodal por toro) foi pouco
modificada pela variao da taxa de amortecimento 3, como mostra a tabela abaixo.
3 U3 (m/s)0,0005 112,80,001 112,80,005 113,20,01 113,7
Tabela 5.12 Velocidade crtica U3 em funo de 3
Clculo numrico usando-se a implementao no programa Matlab 6.05, do
mtodo numrico de Runge-Kuta de 4 ordem.
Dos resultados obtidos a partir do programa Matlab, usando-se o mtodo de
Runge-Kuta de 4 ordem, conseguiu-se apenas extrair que, a partir de uma certa
Estudo de caso 67
velocidade de vento, de 8,8 m/s, o sistema no se estabilizou, confirmando a
velocidade crtica U1, para o ngulo do filete de gua no cabo igual a 32, calculado
por meio do mtodo das mltiplas escalas. Ser necessria uma investigao mais
cuidadosa usando-se, eventualmente, outros mtodos numricos para a
determinao dos valores das amplitudes modais ps-crticas, o que no escopo
desse trabalho.
Concluso 68
6. CONCLUSES
Esse texto faz uma sntese dos trabalhos de Butkeraitis (2002), que trata doscarregamentos aeroelsticos na viga, de Rojas (2005), sobre o acoplamento entrecabo e viga, com dois graus de liberdade, e de Xu e Wang (2003), que trata doscarregamentos aerodinmicos no cabo, alm de adicionar um grau de liberdade,
referente toro da viga.
Na modelagem dos carregamentos aerodinmicos do cabo, devido chuva e
vento, Xu e Wang (2003) utilizaram um cilndrico rgido reto. No presente trabalho, aformulao foi estendida para um cabo de configurao inicial parablica.
A respeito do acoplamento estai-viga, pode-se observar que o cabo,
submetido a esforos oriundos de vento e chuva, ao vibrar rouba energia cintica
da viga, ajudando a mesma a atenuar suas vibraes, devido ao acoplamento nolinear.
O mtodo das mltiplas escalas, apesar das fortes no linearidades
constatadas, foi utilizado e foram obtidas respostas aparentemente satisfatrias, a
julgar por evidncias encontradas na literatura. Teria sido interessante realizar umacomparao com outros mtodos, por exemplo, mtodos numricos, o que poder
ser realizado em trabalhos futuros.
Concluso 69
A determinao das amplitudes e velocidades crticas, variando-se o ngulo
do filete de gua na seo do cabo, confirmou o ngulo de 32, que estava sugerido,
mas no explicado em Xu e Wang.
A variao das taxas de amortecimento estruturais indica uma forte
sensibilidade na resposta dinmica, principalmente na determinao da velocidade
crtica do vento e amplitudes modais ps-crticas no cabo.
A escolha do perfil aerodinamicamente desfavorvel foi feita
propositadamente para intensificar a resposta dinmica da viga estaiada. O perfil se
assemelha ao da ponte de Tacoma Narrows, por esse motivo foi possvel a
utilizao dos coeficientes aerodinmicos determinados por Simiu e Scanlan (1986),porm, devido ordem de grandeza das velocidades de vento relevantes, foi
necessrio efetuar a extrapolao do grfico de *1H . evidente que esta
extrapolao carece de verificao experimental, o que tambm fica como sugesto
para trabalhos futuros.
As dimenses da seo foram definidas de tal forma que puderam ser
utilizados os mesmos valores dos coeficientes dos termos no-lineares do trabalho
de Rojas (2005), para simplificao do trabalho ora realizado. Prope-se, tambm,para trabalhos futuros, variar a geometria da estrutura de forma mais livre, ficando
implcito o reclculo dos coeficientes dos termos no lineares e novos coeficientes
aerodinmicos.
Outra sugesto para continuidade da pesquisa a anlise de uma viga com
dois planos de estaiamento, favorecendo o acoplamento total entre as vibraes do
cabo e da viga, tanto em flexo quanto em toro.
Referncias 70
REFERNCIAS
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