Post on 14-Feb-2019
DISPENSA DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (Andrea Albero)
Teorema di Cauchy: {๐ก๐ก๐๐} = [ ๐๐ ] {๐๐}
๏ฟฝ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐
๏ฟฝ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ
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Direzioni principali della tensione e invarianti:
โUna direzione รจ definita principale se lungo tale direzione gli sforzi tangenziali sono nulli: questo accade quando una terna di versori locali ha un asse // allo sforzo totale e gli altri due sono ortogonali ad esso.โ
[ฯn] = tensore idrostatico
[ฯ]-[ฯn] = tensore deviatorico
[ฯ] = tensore degli sforzi generico
{n} = vettore dei coseni direttori di un versore
{๐ก๐ก๐๐} = [๐๐] {๐๐} โ {๐๐}๐๐ {๐ก๐ก๐๐} = {๐๐}๐๐ [๐๐] {๐๐} = [๐๐๐๐] โ {๐ก๐ก๐๐} = [๐๐๐๐] {๐๐}
Dal teorema di Cauchy, sostituendo il primo membro con un prodotto matriciale del tipo {tn} = [ฯn] {n} (intendendo [ฯn] come tensore idrostatico, cioรจ con le componenti della sua traccia tutte uguali in valore a ฯn e tutte le componenti tangenziali tab = 0) sottraendolo ad ambo i membri, ed imponendo la condizione aggiuntiva di normalitร dei coseni direttori dei versori {n} (cioรจ quindi nel complesso si fa il lagrangiano del teorema di Cauchy) si ottiene un sistema di secondo grado, nella cui soluzione si definiscono:
โข Le direzioni principali, date da {n} โข Le tensioni principali, date da {ฯn} โข Gli invarianti scalari della tensione J1, J2 e J3
๏ฟฝ๏ฟฝ[๐๐] โ [๐๐๐๐]๏ฟฝ โ {๐๐} = 0๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2 = 1
ร possibile definire un sotto-sistema lineare omogeneo, in virtรน del fatto che {n} non puรฒ essere uguale a 0:
[๐๐] โ [๐๐๐๐] = 0
Equazione risolutiva del sistema lineare omogeneo:
๐๐๐๐3 โ ๐ฝ๐ฝ1 ๐๐๐๐2 โ ๐ฝ๐ฝ2๐๐๐๐ โ ๐ฝ๐ฝ3 = 0
โข J1 = ฯx + ฯy + ฯz (traccia di [ฯ]) โข J2 = - ฯx ฯy - ฯy ฯz โ ฯx ฯz + txy
2 + txz2
+ tzy 2 (-1 moltipl. i det. dei minori di [ฯ])
โข J3 = ฯx (ฯy ฯz - tzy 2) + ฯy (ฯx ฯz - txz
2) + ฯz (ฯx ฯy - txy2) (det. di [ฯ])
I 3 valori di ฯn sono autovalori del sistema di secondo grado, nonchรฉ le tensioni principali lungo le varie direzioni, e perciรฒ sostituendo tali autovalori nel sistema di secondo grado, si ottengono di volta in volta i coseni direttori di ogni direzione principale.
Da ogni autovalore si ottiene quindi un vettore {n}, composto da nx. ny, e nz, ed in totale si ottengono 3 vettori {n} che mi definiscono le direzioni principali del solido: lungo tali direzioni, le tensioni sono pari a ฯn1, ฯn2 e ฯn3.
[๐๐๐๐] = {๐๐}๐๐ {๐ก๐ก๐๐} = {๐๐}๐๐ [๐๐] {๐๐}
Se:
โข 3 autovalori diversi 1 sola terna di direzioni principali (stato tensionale triassiale) โข 2 autovalori uguali 1 direzione principale e 1 giacitura principale (stato tensionale cilindrico) โข 3 autovalori uguali tutte le direzioni sono principali (stato tensionale sferico)
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Teorema della Divergenza:
๏ฟฝ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ({๐๐}) ๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ{๐๐} ร {๐๐} ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
------------------------------------------------------------------
Sistema staticamente ammissibile:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ = โ๏ฟฝ๐น๐น๐๐๐๐๐น๐น๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐ = ๏ฟฝ๐น๐น๐๐๐๐๐น๐น๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ๐น๐น๐๐๐๐๐น๐น๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ {๐น๐น} ๐๐๐๐๐๐
= ๏ฟฝ๐น๐น๐๐๐น๐น๐๐๐น๐น๐๐๏ฟฝ
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ [๐ก๐ก๐๐]๐ด๐ด
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ [๐๐] ร {๐๐}๐ด๐ด
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ ([๐๐])๐๐
๐๐๐๐ =
= ๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๏ฟฝ
โฃโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ
๐๐๐๐๐น๐น๏ฟฝ โฆโฅโฅโฅโค
๐๐ ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ [๐๐]
๐๐ ร {๐๐} ๐๐๐๐
๏ฟฝ๐น๐น๐๐๐๐๐น๐น๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ {๐ ๐ } ๐๐๐๐๐ด๐ด
= ๏ฟฝ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๏ฟฝ
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐ = [๐ก๐ก๐๐] = [๐๐] ร {๐๐}
Un sistema viene quindi definito staticamente ammissibile quando:
๏ฟฝ[๐๐] ร {๐๐} = โ {๐น๐น}[๐๐] ร {๐๐} = {๐ ๐ }
Sistema cinematicamente ammissibile:
Un sistema composto da una deformazione [ฮต] e uno spostamento [ฮท] si dice cinematicamente ammissibile quando:
12
โ
โโ
โฃโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ
๐๐๐๐๐น๐น๏ฟฝ โฆโฅโฅโฅโค
ร [๐ฃ๐ฃ ๐ฃ๐ฃ ๐ค๐ค] + ๏ฟฝ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ค๐ค๏ฟฝ ร ๏ฟฝ๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝ ๐๐
๐๐๐๐๏ฟฝ ๐๐๐๐๐น๐น๏ฟฝ ๏ฟฝ
โ
โโ
= [๐๐]
Quindi scrivibile come
12
({๐๐} โ {๐๐}๐๐ + {๐๐}{๐๐}๐๐) = [๐๐]
Con
[๐๐] = ๏ฟฝ๐๐๐๐ 1
2 ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ
12
๐พ๐พ๐ง๐ง๐ฆ๐ฆ12
๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ 12
๐พ๐พ๐ง๐ง๐ฆ๐ฆ12
๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ๐ง๐ง12
๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ๐ง๐ง ๐๐๐๐๏ฟฝ ๐๐ {๐๐} = ๏ฟฝ
๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ค๐ค๏ฟฝ
Notare che affinchรฉ un sistema sia cinematicamente ammissibile non sono posti vincoli traslazionali o rotazionali, in quanto sono contributi di moto rigido e pertanto limitati esclusivamente dai vincoli esterni.
Nella definizione della matrice deformativa [ฮต], si puรฒ notare che la traccia costituisce le dilatazioni lineari del solido lungo le tre direzioni, mentre gli altri termini sono gli scorrimenti angolari nei vari piani che il corpo subisce.
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Principio dei Lavori Virtuali (PLV) per corpi deformabili:
Definendo
{๐๐} =
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐๐ {๐๐} =
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
E si abbia un sistema di forze esterne staticamente ammissibile {Fa} , {pa} con tensioni {ฯa}, ed un sistema di spostamenti e deformazioni {ฮตb} , {ฮทb} cinematicamente ammissibile, allora il principio dei valori virtuali, che esprime lโuguaglianza del lavoro delle forze interne con quello delle forze esterne, si puรฒ scrivere
๏ฟฝ {๐๐๐๐}๐๐๐๐
ร {๐๐๐๐} ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ {๐น๐น๐๐}๐๐ ร {๐๐๐๐}๐๐
๐๐๐๐ + ๏ฟฝ {๐ ๐ ๐๐}๐๐ ร {๐๐๐๐}๐ด๐ด
๐๐๐๐
Sancendo di fatto la possibilitร di scrivere il lavoro interno di deformazione come prodotto scalare tra vettore tensione e vettore deformazione.
Per ottenere il caso di corpo rigido, basta porre uguale a 0 il primo termine (deformazioni nulle).
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Teorema di Kirchhoff o di Unicitร della Soluzione:
โUn sistema di sollecitazioni {F} , {p} , {ฮท0} puรฒ generare una sola risposta deformativa/tensionale {ฮทa} , {ฮตa} , {ฯa}.โ
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Teorema di Clapeyron:
โPer un corpo elastico lineare, il lavoro di deformazione compiuto da un sistema di forze {F} , {p} che genera un campo di spostamento staticamente e cinematicamente ammissibile senza effetti dinamici รจ:
12
๏ฟฝ {๐น๐น}๐๐๐๐
{๐๐} ๐๐๐๐ + 12
๏ฟฝ{๐ ๐ }๐๐๐ด๐ด
{๐๐} ๐๐๐๐
Con le rispettive condizioni di calcolo, puรฒ essere applicato ad ogni caso: ad esempio, se si sta trattando la deformazione di una trave, non si hanno forze {p} di superficie e il primo integrale di volume diventa un integrale di linea.
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Teorema di Betti:
โIl lavoro di deformazione compiuto da due sistemi di forze ({F} , {p}) chiamati A e B, applicati in successione A B รจ:
๐ฟ๐ฟ๐๐+๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐
Mentre in successione B A รจ:
๐ฟ๐ฟ๐๐+๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐
Questi due lavori sono uguali solo quando lโultimo termine (cioรจ il lavoro mutuo) รจ identico: questo accade solo se i due sistemi di forza A e B sono energeticamente ortogonali, cosa che avviene quando i sistemi di forze presentano una simmetria interna. Se questo non avviene, allora non si puรฒ ritenere valido il principio di sovrapposizione degli effetti per quanto concerne il lavoro di deformazione.
Rimane invece sempre applicabile (in caso di materiale elastico lineare) per gli spostamenti, per le deformazioni e per le tensioni.โ
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Legame costitutivo elastico:
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโก
1๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
0 0 0
โ๐๐๐ธ๐ธ
1๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
0 0 0
โ๐๐๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
1๐ธ๐ธ
0 0 0
0 0 01๐บ๐บ
0 0
0 0 0 01๐บ๐บ
0
0 0 0 0 01๐บ๐บโฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
Cioรจ in forma compatta
{๐๐} = [๐ป๐ป]โ1 {๐๐}
La relazione inversa รจ scrivibile invece come:
12๐บ๐บ
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโก
1 โ ๐๐1 โ 2๐๐
๐๐1 โ 2๐๐
๐๐1 โ 2๐๐
0 0 0๐๐
1 โ 2๐๐1 โ ๐๐
1 โ 2๐๐๐๐
1 โ 2๐๐0 0 0
๐๐1 โ 2๐๐
๐๐1 โ 2๐๐
1 โ ๐๐1 โ 2๐๐
0 0 0
0 0 012
0 0
0 0 0 012
0
0 0 0 0 012โฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐บ๐บ = ๐ธ๐ธ
2 ( 1 + ๐๐ )
๐ธ๐ธ > 0
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐: โ 1 < ๐๐ <12
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐: 0 < ๐๐ <12
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Equazioni Cardinali della Statica:
๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ฃ๐ฃ๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐: ๏ฟฝ{๐ญ๐ญ} = ๐๐ โ {๐น๐น} = ๐๐
๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ฃ๐ฃ๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐: ๏ฟฝ{๐๐} โ {๐ญ๐ญ} = ๐๐ โ {๐ด๐ด} = ๐๐
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Solido & Ipotesi di De Saint-Venant:
Solido: โUn solido di Saint-Venant รจ una volume cilindrico, con un asse rettilineo Z, i cui punti costituiscono ciascuno il baricentro di una sezione ortogonale a tale asse. La sua sezione รจ costante ed รจ costituito da un materiale elastico, lineare, isotropo ed omogeneo.โ
Ipotesi: โA sufficiente distanza da ciascuna base del solido di Saint-Venant, lo stato deformativo e tensionale dipende soltanto dalla risultante {R} delle forze agenti sulla base medesima e dal momento risultante {M} delle forze rispetto al baricentro di tale base.โ
Applicabilitร : affinchรฉ la teoria di De Saint-Venant sia valida, il solido deve possedere una snellezza sufficiente a far valere tale trattazione. In genere, si ritiene soddisfatta quando la dimensione Z รจ almeno nellโordine di 5 volte superiore alle altre dimensioni.
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Problema di De Saint-Venant:
Il problema di Saint-Venant รจ un caso particolare del problema elastico: le equazioni necessarie a risolverlo sono le:
โข Equazioni Statiche [๐๐] ร {๐๐} = โ {๐น๐น}
โข Equazioni Cinematiche
12
({๐๐} โ {๐๐}๐๐ + {๐๐}{๐๐}๐๐) = [๐๐]
โข Equazioni Costitutive
{๐๐} = [๐ป๐ป]โ1 {๐๐}
โข Ipotesi semplificative e Condizioni al Contorno:
Il solido รจ sollecitato solo sulle basi esclusivamente da forze di superficie. Le condizioni al contorno sono quindi:
๐ต๐ต๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐: ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ = 0, ๐๐๐๐ = 1
๏ฟฝ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๏ฟฝ ๏ฟฝ001๏ฟฝ
๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐: ๐๐๐๐ = 0, ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ = 1
๏ฟฝ000๏ฟฝ = ๏ฟฝ
๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๏ฟฝ ๏ฟฝ110๏ฟฝ
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Legame fra Spostamenti e Tensioni, Curvatura e Rotazioni
Il legame costitutivo elastico, applicato ad un sistema cinematicamente ammissibile, dร luogo ad una correlazione diretta fra spostamenti e tensioni applicate: per rendere piรน facilmente enunciabile tale relazione, si scriverร in termini di vettori spostamento e vettori tensione (anche se in realtร sono tensori):
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐
0 0
0๐๐๐๐๐๐
0
0 0๐๐๐๐๐น๐น
๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐
0
๐๐๐๐๐น๐น
0๐๐๐๐๐๐
0๐๐๐๐๐น๐น
๐๐๐๐๐๐โฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ค๐ค๏ฟฝ =
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโก
1๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
0 0 0
โ๐๐๐ธ๐ธ
1๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
0 0 0
โ๐๐๐ธ๐ธ
โ๐๐๐ธ๐ธ
1๐ธ๐ธ
0 0 0
0 0 01๐บ๐บ
0 0
0 0 0 01๐บ๐บ
0
0 0 0 0 01๐บ๐บโฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
------------------------------------------------------------------
Sforzo Normale centrato, eccentrico, Flessione Retta, Deviata, Presso-Tenso-Flessione
Centro di sollecitazione โCโ: punto in cui se applico uno sforzo normale N ottengo ad uno stato di sollecitazione composto da N, Mx e My. ร anche possibile data una terna sollecitante trovare il centro di sollecitazione. La sua distanza dal baricentro G รจ espressa da ex ed ey:
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ = โ
๐๐๐๐
๐๐
Sforzo Normale Centrato:
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ = 0
Flessione Retta (solo Mx , ma potrebbe essere anche solo My con gli opportuni cambi di variabile e indice):
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ = 0
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
Flessione Deviata (cioรจ somma di due flessioni rette):
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ = 0
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
Presso-Tenso-Flessione Deviata (somma di flessione deviata e uno sforzo normale centrato: il tutto corrisponde complessivamente ad uno sforzo normale eccentrico):
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
Equazione di Navier:
๐๐ = ๐๐๐๐
+ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐๐ฅ๐ฅ
+ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐ฝ๐ฝ๐๐๐ฅ๐ฅ
Per piccoli spostamenti di un solido di Saint-Venant (condizione che si considera soddisfatta quando il solido di De Saint-Venant รจ sufficientemente snello) e sotto lโipotesi di conservazione delle sezioni piane, si ha:
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐๐๐น๐น = ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐๐น๐น
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐๐๐น๐น = ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐๐น๐น
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐
Dove:
โข ๐๐๐๐ รจ lโangolo di rotazione del punto dovuto ad un momento ๐๐๐๐ (e viceversa per la rotaz. Y) โข ๐๐๐๐ รจ la curvatura prodotta dalla flessione ๐๐๐๐(e viceversa per la rotaz. Y)
Si puรฒ facilmente applicare anche a un ๐๐๐๐ quanto detto sopra.
Momento limite di una sezione: รจ unโapplicazione dellโequazione di Navier, ed รจ definito come il prodotto di una tensione limite moltiplicato il modulo di resistenza della sezione stessa: questo permette di capire direttamente dal momento sollecitante (se vale il principio di sovrapposizione degli effetti) il comportamento della sezione sotto quella sollecitazione:
Momento elastico limite: ๐๐๐๐๐๐,๐๐ = ๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐๐
Momento ultimo limite: ๐๐๐๐๐๐,๐๐ = ๐๐๐ข๐ข,๐๐ = ๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐๐
Il modulo di resistenza elastico รจ definito come quanto scritto prima, cioรจ รจ il rapporto fra il momento dโinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico รจ definito come la somma dei momenti statici rispetto allโasse interessato.
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Torsione
La torsione รจ una sollecitazione che tende a far ruotare una sezione attorno al proprio asse: รจ causata da unโeccentricitร del taglio rispetto al centro di torsione. ร possibile, dato che รจ energeticamente ortogonale al taglio, trattare le due sollecitazioni separatamente e sommarne gli effetti.
Si definisce:
โข ฯ = funzione di ingobbamento (รจ una costante nel caso di torsione primaria, come quella che viene trattata di seguito, mentre รจ variabile nel caso di torsione secondaria o di Vlasov-Timoshenko; รจ una funzione armonica, cioรจ ha il laplaciano nullo)
โข (xc, yc) = coordinate del centro di taglio
In particolare si ha (C = contorno della sezione):
๐๐๐๐ = โ1๐๐
๏ฟฝ๐๐ ๐๐๐๐๐ถ๐ถ
๐๐๐๐ = โ1๐๐
๏ฟฝ๐๐ ๐๐๐๐๐ถ๐ถ
Si definisce inoltre lโangolo unitario di torsione, cioรจ lโangolo di le sezioni terminali della trave (solido snello) ruotano relativamente:
๐๐ = ๐๐๐๐
๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก
Dove It รจ il fattore di rigidezza torsionale, al piรน uguale al momento dโinerzia polare della sezione (caso di sezione circolare):
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๏ฟฝ(๐๐2 + ๐๐2 + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ด๐ด
) ๐๐๐๐
La tensione agente sulla sezione รจ:
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐
โ (๐๐ โ ๐๐๐๐)๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐
+ (๐๐ โ ๐๐๐๐)๏ฟฝ
La trattazione generale perรฒ risulta complessa da applicare, e la torsione risulta un parametro particolarmente importante nelle sezioni sottili, pertanto si fa riferimento a due tipologie di casi per la torsione: le sezioni aperte e le sezioni sottili chiuse.
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Torsione nelle sezioni aperte
โข Circolare:
๐๐ = ๐๐๐๐
๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐ ๐ ๐ 4
2
๐๐ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐
โข Rettangolare (A= ab):
๐๐ = ๐๐๐๐
๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ฝ๐ฝ ๐ ๐ ๐ธ๐ธ3
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐
a/b 1 1.5 2 3 10 โ ฮฒ 0.141 0.196 0.229 0.263 0.312 1/3
Sezione composta da piรน rettangoli:
Si un nuovo coefficiente di rigidezza torsionale complessivo e un coefficiente di ripartizione torsionale:
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ .๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐ผ๐ผ๐ก๐กโฒ = ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
Ogni rettangolo incassa una quota di Mz pari a
๐๐๐๐โฒ = ๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ก๐กโฒ
Dopodichรฉ, si tratta ogni rettangolo singolarmente, sicuri che la rotazione ฮธ di tutta la sezione รจ uguale per ogni rettangolo.
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Torsione nelle sezioni sottili chiuse:
La trattazione della torsione nelle sezioni sottili chiuse si basa sullโanalogia idrodinamica, e cioรจ che le tensioni torsionali sono come un flusso la cui portata รจ costante in ogni tratto della sezione: ne consegue, che a spessori maggiori corrisponderanno tensioni torsionali minori e viceversa:
๐๐๐๐๐ ๐ (๐๐) โ ๐ธ๐ธ(๐๐) = ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐
In particolare, รจ valida la formula di Bredt:
๐๐๐๐๐ ๐ = ๐๐๐๐
2 โ ฮฉ โ ๐ธ๐ธ(๐๐)
Dove ฮฉ รจ lโarea della linea media del profilo sottile.
La formula
๐๐ = ๐๐๐๐
๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก
ร ancora valida, ma IT ha una formulazione generale indipendente dalla funzione di ingobbamento:
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = 4 ฮฉ2
โฎ 1๐ธ๐ธ(๐๐) ๐๐๐๐ฮฉ
Dove il denominatore del secondo termine รจ il perimetro della linea media pesata sullo spessore: pertanto, se lo spessore varia, lโintegrale di linea sarร la somma delle varie lunghezze divise ciascuna per il rispettivo spessore.
Si ha infatti che se lo spessore รจ costante
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = 4 ฮฉ2 ๐ธ๐ธ๐๐
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Torsione nelle sezioni sottili chiuse con parti aperte:
La trattazione รจ analoga a quelle giร viste:
โข Si scompone il momento torcente totale Mz in due parti, Mz1 in Mz2 in: la parte 1 verrร assorbita dalla parte scatolare mentre la parte 2 dalle parti aperte.
โข Si impone la congruenza angolare
๏ฟฝ๐๐ = ๐๐1 = ๐๐2 = ๐๐๐๐1
๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก1 =
๐๐๐๐2
๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก2๐๐๐๐1 + ๐๐๐๐2 = ๐๐๐๐
Dopodichรฉ si risolve ciascuna parte (1 e 2) separatamente, ottenendo risultati congruenti.
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Torsione nelle sezioni sottili chiuse pluriconnesse:
In sostanza, non cambia nulla da una sezione sottile chiusa normale, se nonchรฉ bisogna identificare il verso di rotazione della sezione ed imporre โlโuguaglianza delle portateโ (intese come tensioni torsionali lungo la linea ortogonale alla linea media) in analogia con lโidrodinamica: cioรจ, il fluire delle portate attraverso tutte le parti della sezione deve essere in equilibrio. Queste equazioni aggiuntive consentono di calcolare la torsione in ogni parte della sezione.
Bisogna fare perรฒ particolare attenzione: infatti, una volta definito il verso delle tensioni, in ogni parte singolarmente connessa bisogna far sรฌ che le tensioni fluiscano in maniera coerente, e se il flusso delle tensioni in una zona รจ contrario rispetto a quello definito, allora anche le tensioni saranno di verso opposto in quel punto.
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Taglio Retto e Deviato
Il taglio si compone di: sforzo di taglio T, tensione di taglio ฯ e scorrimenti ฮณ.
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐น๐น
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐น๐น
La tensione di taglio in genere varia specialmente nella direzione del taglio, ma anche ortogonalmente ad esso: questโultima variazione perรฒ spesso viene trascurata se non si hanno solidi compatti, e viene trascurata, approssimando il valore sulla corda della sezione ortogonale alla direzione del taglio al valore medio lungo tale corda, considerandolo di fatto costante. Questo รจ ciรฒ che approssima la formula di Jourawski:
๐๐๐๐๐ ๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ด๐ดโฒ
๐ผ๐ผ๐๐ ๐ธ๐ธ
Dove Sxaโ รจ il momento statico di una parte della sezione tagliata dalla corda, mentre b รจ la lunghezza della
corda e Ix รจ il momento dโinerzia rispetto ad un asse baricentrico parallelo alla corda. In genere tale formula รจ valida solo per sezioni sottili: negli altri casi infatti si sottostima troppo la tensione di taglio massima e si ricorre ad altri modelli semplificati, come il traliccio di Ritter-Mรถrsch per il cls.
Gli scorrimenti invece valgono:
๐พ๐พ๐๐ = ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
Dove tx รจ il fattore di taglio retto.
Taglio Deviato
Se si ha taglio deviato (cioรจ composizione di sollecitazioni taglianti Tx e Ty) bisogna considerare sia nella formula di Jourawski che negli scorrimenti angolari:
๐๐๐๐๐ ๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ด๐ดโฒ
๐ผ๐ผ๐๐ ๐ธ๐ธ+
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ด๐ดโฒ
๐ผ๐ผ๐๐ ๐ธ๐ธ
๐พ๐พ๐๐ = ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
+ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
๐พ๐พ๐๐ = ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
+ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
Dove in piรน alla trattazione retta txy รจ il fattore mutuo, che viene dal teorema di Betti.
Per le sezioni piรน comuni, il fattore mutuo di taglio รจ uguale a 0: infatti, se la sezione presenta almeno un asse di simmetria, esso si annulla.
I fattori di taglio retto invece non si annullano mai, e dipendono unicamente dalla geometria della sezione:
Tipo di sezione Fattore di taglio retto Rettangolare 6
5
Circolare 10
9
Circolare cava sottile 2
Doppio T oppure Scatolare โ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
Espressioni complete (โต = ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐)
๐ก๐ก๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐2
๏ฟฝ๐๐๐๐2
๐ธ๐ธโต ๐๐๐๐
๐ก๐ก๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐2
๏ฟฝ๐๐๐๐2
๐ธ๐ธโต ๐๐๐๐
๐ก๐ก๐๐๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ธ๐ธโต
๐๐๐๐
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Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant tridimensionale โ Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momenti distribuiti (flettenti (x,y) e torcenti(z)) sulla trave
โฃโขโขโขโขโก๐พ๐พ๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐น๐น
0 0 0 โ1 0
0๐๐๐๐๐น๐น
0 1 0 0
0 0๐๐๐๐๐น๐น
0 0 0
0 0 0๐๐๐๐๐น๐น
0 0
0 0 0 0๐๐๐๐๐น๐น
0
0 0 0 0 0๐๐๐๐๐น๐นโฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ค๐ค๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โฆโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐น๐น
0 0 0 0 0
0๐๐๐๐๐น๐น
0 0 0 0
0 0๐๐๐๐๐น๐น
0 0 0
0 โ1 0๐๐๐๐๐น๐น
0 0
1 0 0 0๐๐๐๐๐น๐น
0
0 0 0 0 0๐๐๐๐๐น๐นโฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
+
โฃโขโขโขโขโก๐ธ๐ธ๐๐๐ธ๐ธ๐๐๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโก000000โฆโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก๐พ๐พ๐๐๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โฆโฅโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโขโก๐ก๐ก๐๐๐บ๐บ ๐๐
๐ก๐ก๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
0 0 0 0๐ก๐ก๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
๐ก๐ก๐๐๐บ๐บ ๐๐
0 0 0 0
0 01๐ธ๐ธ๐๐
0 0 0
0 0 01๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐๐
0 0
0 0 0 01๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐๐
0
0 0 0 0 01๐บ๐บ๐ผ๐ผ๐ก๐กโฆ
โฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
Energia di deformazione (se presente asse di simmetria -> fattore mutuo = 0 -> valido Princ. Sovrapp. Eff.)
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
= ๐๐๐๐
๏ฟฝ๐ก๐ก๐๐๐บ๐บ ๐๐
๐๐๐๐2 + ๐ก๐ก๐๐๐บ๐บ ๐๐
๐๐๐๐2 +2 ๐ก๐ก๐๐๐บ๐บ ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐ +1๐ธ๐ธ๐๐
๐๐2 +1๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐๐2 +
1๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐๐2 +
1๐บ๐บ๐ผ๐ผ๐ก๐ก
๐๐๐๐2 ๏ฟฝ
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Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant โ Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momento distribuito flettente sulla trave
๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ =
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐น๐น
0 1
0๐๐๐๐๐น๐น
0
0 0๐๐๐๐๐น๐นโฆโฅโฅโฅโฅโค
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃ๐ค๐ค๐๐๐๐๏ฟฝ
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐น๐น
0 0
0๐๐๐๐๐น๐น
0
โ1 0๐๐๐๐๐น๐นโฆโฅโฅโฅโฅโค
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ+ ๏ฟฝ๐ธ๐ธ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๏ฟฝ = ๏ฟฝ
000๏ฟฝ
๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ =
โฃโขโขโขโขโก๐ก๐ก๐๐๐บ๐บ ๐๐
0 0
01๐ธ๐ธ๐๐
0
0 01๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ
-----------------------------------------------------------------
Problema della trave (asse curvilineo z) alla De Saint-Venant โ Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momento distribuito flettente sulla trave
๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ =
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐น๐น
โ1๐๐
1
1๐๐
๐๐๐๐๐น๐น
0
0 0๐๐๐๐๐น๐นโฆโฅโฅโฅโฅโค
๏ฟฝ๐ฃ๐ฃ๐ค๐ค๐๐๐๐๏ฟฝ
โฃโขโขโขโขโก๐๐๐๐๐น๐น
1๐๐
0
1๐๐
๐๐๐๐๐น๐น
0
โ1 0๐๐๐๐๐น๐นโฆโฅโฅโฅโฅโค
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ+ ๏ฟฝ๐ธ๐ธ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๏ฟฝ = ๏ฟฝ
000๏ฟฝ
๏ฟฝ๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝ =
โฃโขโขโขโขโก๐ก๐ก๐๐๐บ๐บ ๐๐
0 0
01๐ธ๐ธ๐๐
0
0 01๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐๐โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ
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Equazione Differenziale della Linea Elastica (travi ad asse rettilineo):
Lโequazione della linea elastica si puรฒ ritenere valida quando si tratta una trave ad asse rettilineo.
v= freccia verticale, cioรจ abbassamento verticale di un punto
A rigore, si ha una freccia dovuta sia alle sollecitazioni taglianti e una freccia dovuta alle sollecitazioni flettenti: tuttavia, le prime sono proporzionali alla lunghezza della trave, mentre le seconde sono proporzionali alla terza o quarta potenza della lunghezza; pertanto, la freccia totale puรฒ essere approssimata a quella dovuta ai momenti flettenti (ipotesi semplificativa di Eulero).
Freccia (reale)
๐ฃ๐ฃ๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐ = ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก + ๐ฃ๐ฃ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก
Taglio (che verrร trascurato, perchรฉ utilizziamo la trattazione di Eulero-Bernoulli, nella trave di Timoshenko non viene trascurato):
๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐ = ๐พ๐พ๐๐ ๐๐๐น๐น
Equazione approssimata (no taglio)
Momento Flettente:
๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐ = โ๐๐๐๐ ๐๐๐น๐น โ ๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐
๐๐๐น๐น2= โ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐น๐น
= โ๐๐๐๐ = โ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ โ
๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
Cioรจ lโequazione che regge il legame costitutivo e la congruenza, trascurando lโapporto del taglio.
Scrivendo lโequazione di equilibrio alla traslazione e rotazione di un concio elementare di una trave semplicemente appoggiata e caricata con un carico distribuito q=costante (almeno su dz) e un carico assiale p si ha:
โฉโชโชโจ
โชโชโง๏ฟฝ๐น๐น๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ = 0
๏ฟฝ๐น๐น๐๐ โ ๐๐(๐น๐น) โ ๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ โ ๐๐(๐น๐น) โ ๐๐๐๐(๐น๐น) = 0
๏ฟฝ๐๐๐๐ โ โ๐๐(๐น๐น) โ ๐๐(๐น๐น)๐๐๐น๐น โ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ + ๐ธ๐ธ๐๐๐น๐น2
2+ ๐๐(๐น๐น) + ๐๐๐๐(๐น๐น) = 0
โ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ โ
๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
Risolvendo il sistema (si trascurano gli infinitesimi di grado superiore al primo), si ottiene lโequazione di Eulero:
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ โ๐๐4๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น4
+ ๐๐ โ ๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
โ ๐ธ๐ธ(๐น๐น) = 0
Si รจ ottenuta lโequazione della linea elastica con effetti del secondโordine. Si hanno quindi piรน tipologie di equazioni della linea elastica:
๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐:
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ โ๐๐4๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น4
+ ๐๐ โ ๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
โ ๐ธ๐ธ(๐น๐น) = 0
๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐:
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ โ๐๐4๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น4
โ ๐ธ๐ธ(๐น๐น) = 0
๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐:
๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
= โ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐
Per ottenere la freccia totale di un sistema statico, รจ sufficiente integrare una delle equazioni sopra scritte: in base al problema che si ha in oggetto, si usa la prima (che รจ sempre corretta) o la seconda (solo se non si hanno carichi assiali rilevanti).
In ogni caso, conviene sempre riferirsi ad un equazione differenziale di secondo grado: quindi si tende a sostituire la derivata quarta con la derivata seconda del momento, e sostituire il termine N/(E Iz) con ฮฑ se si considerano gli effetti del secondo ordine, oppure utilizzare il legame costitutivo-congruenza se non si considerano gli effetti del secondโordine:
๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐:
๐๐2๐๐๐๐
๐๐๐น๐น2+ ๐ผ๐ผ
๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
โ๐ธ๐ธ(๐น๐น)๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐
= 0
La soluzione di questโequazione ha una forma del tipo:
๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = ๐๐ cos(๐ผ๐ผ๐น๐น) + ๐ต๐ต sin(๐ผ๐ผ๐น๐น) + ๐๐๐๐
Dove xp รจ una soluzione particolare. In genere ha una forma del tipo
๐๐๐๐ = ๐ถ๐ถ๐น๐น + ๐ท๐ท + ๐ธ๐ธ โ ๐ธ๐ธ(๐น๐น)
Se q=costante, la freccia assume la forma
๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = ๐๐ cos(๐ผ๐ผ๐น๐น) + ๐ต๐ต sin(๐ผ๐ผ๐น๐น) + ๐ถ๐ถ๐น๐น + ๐ท๐ท + ๐ธ๐ธ๐น๐น2
2๐๐
Il valore delle costanti รจ determinato dalle condizioni al contorno. ร necessario arrivare fino alla derivata quarta per determinare tutte le costanti A, B, C, D, E.
Nei casi notevoli, la freccia รจ definita come Forza / Rigidezza: una volta calcolata la freccia infatti, si ottiene una funzione freccia che dipende solo dalla forza applicata. Gli abbassamenti del caso quindi dipendono unicamente da questa, essendo la rigidezza definita dalle caratteristiche geometriche della trave e dalle condizioni al contorno.
Risoluzione di un equazione differenziale di 2ยฐ grado omogenea:
๐ ๐ ๐๐2๐ฃ๐ฃ(๐น๐น)๐๐๐น๐น2
+ ๐ธ๐ธ ๐๐๐ฃ๐ฃ(๐น๐น)๐๐๐น๐น
+ ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = 0
โข Scrivo il polinomio caratteristico (cioรจ sostituisco i differenziali con una variabile dello stesso ordine)
๐ ๐ ๐๐2 + ๐ธ๐ธ ๐๐ + ๐ ๐ = 0
โข Trovo le radici del polinomio caratteristico โข In base a quante radici reali ha ho delle soluzioni standard dellโequazione differenziale di secondo
grado:
RADICI REALI
DELTA RADICI SOLUZIONE DELLโEQUAZ. DIFF.
2 distinte > 0 ฮป 1 โ ฮป2 ๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = ๐ถ๐ถ1๐๐๐๐1 + ๐ถ๐ถ2๐๐๐๐2 2
coincidenti = 0 ฮป 1 = ฮป2 ๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = (๐ถ๐ถ1+ ๐ถ๐ถ2)๐๐๐๐
nessuna < 0 ฮป 1,2 = ฮฑ ยฑ iฮฒ ๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐(๐ถ๐ถ1 cos(๐ฝ๐ฝ๐น๐น) + ๐ถ๐ถ2 sin(๐ฝ๐ฝ๐น๐น))
Per trovare la freccia in un punto, quindi, basta risolvere lโomogenea associata alla rispettiva equazione della linea elastica e, aggiungere la curvatura alla soluzione omogenea. Questo corrisponde ad una traslazione della soluzione dellโequazione differenziale.
Risoluzione di un equazione differenziale di 1ยฐ grado omogenea:
๐๐๐ฃ๐ฃ(๐น๐น)๐๐๐น๐น
+ ๐ ๐ (๐น๐น) โ ๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = ๐ธ๐ธ(๐น๐น)
โข Moltiplico ambo i membri per una funzione ๐๐โ๐ด๐ด(๐๐)
Dove A(z) รจ una primitiva di a(z)
โข Raggruppo tutto nella forma ๏ฟฝ๐๐โ๐ด๐ด(๐๐) โ ๐ฃ๐ฃ(๐น๐น)๏ฟฝ
๐๐๐น๐น= ๐๐โ๐ด๐ด(๐๐) ๐ธ๐ธ(๐น๐น)
โข Integro e scrivo la costante C
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Criterio di resistenza di Von Mises (materiali duttili):
La tensione ideale massima di Von Mises deve essere inferiore a quella ammissibile:
๐๐๐ ๐ ๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ + 3๐๐๐๐๐๐2 + 3๐๐๐๐๐๐2 + 3๐๐๐๐๐๐2 โค ๐๐๐๐๐๐๐๐
In genere, รจ utilizzato soprattutto per lโacciaio, e si pone ๐๐๐๐ = 0, pertanto il criterio diventa
๐๐๐ ๐ ๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ + 3๐๐๐๐๐๐2 โค ๐๐๐๐๐๐๐๐
-----------------------------------------------------------------
Criterio di resistenza di Mohr-Coulomb (materiali fragili):
I cerchi di Mohr che caratterizzano la sollecitazione del solido devono essere al piรน tangenti alla retta:
|๐๐๐๐๐๐๐๐| = ๐ ๐ โ ๐๐ tan(๐๐)
Dove ๐๐ รจ lโangolo di attrito interno, c รจ la coesione e ฯ รจ la tensione normale sul piano. In realtร รจ possibile anche sostituire la retta con una funzione piรน complicata ed attendibile (criterio di Coulomb).
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Teorema Statico dellโanalisi limite: La struttura non perviene al collasso sotto un sistema di carichi in corrispondenza del quale esista
un insieme di azioni interne in equilibrio con i carichi ed allโinterno del dominio di ammissibilitร .
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Teorema Cinematico dellโanalisi limite: La struttura certamente collassa sotto un sistema di carichi a cui รจ associata una potenza esterna
piรน grande della potenza dissipata in corrispondenza ad un potenziale meccanismo di collasso.
Riassunto formule generali:
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐ด๐ด
๐๐๐๐ โ 0
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ = โ
๐๐๐๐
๐๐
Jourawski:
๐๐๐๐๐ ๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ด๐ดโฒ
๐ผ๐ผ๐๐ ๐ธ๐ธ+
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ด๐ดโฒ
๐ผ๐ผ๐๐ ๐ธ๐ธ
๐พ๐พ๐๐ = ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
+ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
๐พ๐พ๐๐ = ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
+ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐บ๐บ ๐๐
Torsione Sez. Rettangolare:
๐๐ = ๐๐๐๐
๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ฝ๐ฝ ๐ ๐ ๐ธ๐ธ3
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐
๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐
a/b 1 1.5 2 3 10 โ ฮฒ 0.141 0.196 0.229 0.263 0.312 1/3
๐ฟ๐ฟ๐๐๐ฟ๐ฟ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก๐ฃ๐ฃ๐ก๐ก๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐ (๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐)
โ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐ โ
๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐ฃ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐โฒ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ (๐ ๐ ๐๐๐๐รจ ๐ผ๐ผ โ 0):
๐๐2๐๐๐๐
๐๐๐น๐น2+ ๐ผ๐ผ
๐๐2๐ฃ๐ฃ๐๐๐น๐น2
โ๐ธ๐ธ(๐น๐น)๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐
= 0
๐ผ๐ผ = ๐๐๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐๐
Se q=costante
๐ฃ๐ฃ(๐น๐น) = ๐๐ cos(๐ผ๐ผ๐น๐น) + ๐ต๐ต sin(๐ผ๐ผ๐น๐น) + ๐ถ๐ถ๐น๐น + ๐ท๐ท + ๐ธ๐ธ๐น๐น2
2๐๐
Momento elastico limite: ๐๐๐๐๐๐,๐๐ = ๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐๐
Momento ultimo limite: ๐๐๐๐๐๐,๐๐ = ๐๐๐ข๐ข,๐๐ = ๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐๐
Il modulo di resistenza elastico รจ definito come quanto scritto prima, cioรจ รจ il rapporto fra il momento dโinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico รจ definito come la somma dei momenti statici rispetto allโasse interessato.
Criterio di Von Mises
๐๐๐ ๐ ๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ + 3๐๐๐๐๐๐2 + 3๐๐๐๐๐๐2 + 3๐๐๐๐๐๐2 โค ๐๐๐๐๐๐๐๐
Criterio di Mohr-Coulomb
|๐๐๐๐๐๐๐๐| = ๐ ๐ โ ๐๐ tan(๐๐)