Post on 02-May-2015
Come può essere disposta
una retta in un piano in
cui sia assegnato un
R.C.O.?
Esiste uno strumento
che permetta, dall’
equazione della retta, di
stabilirne la posizione
rispetto al semiasse
positivo delle ascisse?
Partiamo con un esempio
• Determiniamo l’ equazione della retta passante per i punti A(1,1) e B(2,3) applicando la formula che permette di ricavare l’ equazione della retta passante per due punti
AB
A
AB
A
yy
yy
-xx
xx
Sostituendo le coordinate dei punti si ottiene
131y
121x
AB:
Sviluppando i calcoli si ottiene l’ equazione 2x-y-1=0
L’ equazione della retta espressa nella forma 2x-y-1=0 è denominata implicita. In alternativa esiste un’ altra modalità detta esplicita perché essa si ottiene da quella implicita esplicitando la y in funzione della x
Esprimiamo l’ equazione in forma diversa ricavando la y. Otteniamoy=2x-1Questa è detta forma esplicita dell’ equazione della retta.
• Nell’ equazione y=2x-1 chiamiamo 2 coefficiente angolare della retta e -1 ordinata all’ origine della retta Cosa rappresentano 2 e -1?
Consideriamo due punti della retta per esempio A(1,1) e B(2,3). Calcoliamo il rapporto tra le differenze delle ordinate e delle ascisse dei punti:
1213 2
Cioè 2 rappresenta il rapporto tra gli incrementi che la y e la x dei punti della retta subiscono quando passano da A a B. Se consideriamo altri due punti della retta il rapporto cambia?Consideriamo ad esempio i punti C(-1, -3) e D(3,5)
2
Abbiamo ottenuto di nuovo 2. Questo numero è invariante comunque si scelgano due punti della retta
48
3153
-xx
yy
DC
DC
E il numero -1 cosa
rappresenta?
Osserviamo il grafico della retta
(2,3)
(1,1)
1213
xxyy
mAB
AB 2
-1 è l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate
x
y
Osserviamo che la retta in questo caso forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo acuto
Come è disposta nel piano una retta con coefficiente angolare negativo?
Consideriamo ora la retta y=-2x+3 e due suoi punti: A(-2,7)e B (1,1) .Il rapporto tra gli incrementi delle ordinate e delle ascisse è
3-6
1-2-1-7
-xx
yy
BA
BA -2<0
x
y
L’ angolo è ottuso
Più in generale:
Consideriamo una retta in posizione
generica nel piano rispetto al
riferimento cartesiano ortogonale
di equazione è ax+by+c=0
Come sappiamo la sua equazione ax+by+c=0 dove a, b, c, sono rispettivamente pari a:
BA yya
AB xxb
BABA xyyxc
Se b 0 l’equazione ax+by+c=0, può scriversi: by=-ax-c,e dividendo ambedue i membri per b, otteniamo
l’ equazione (*) diventa
Postoe
L’ equazione y=mx+q è detta equazione esplicita della retta
y=mx+q
è detto ordinata all’ origine della retta
è detto coefficiente angolare della retta
cq=-b
Quale è il significato di m?
• Essendo a=yB-yA e b=xA-xB, risulta
B A ABB A
con x xy -yx -x
yx
m=
m rappresenta cioè il rapporto tra le ordinate e le ascisse di due qualunque punti della retta
cioè il coefficiente angolare m della
retta passante per i punti A(xA,yA) e
B(xB,yB) è uguale al rapporto degli
incrementi che le ordinate e le
ascisse dei punti subiscono
passando da A a B.
Tale rapporto è invariante per ogni
coppia di punti presi a piacere sulla
retta r .
Se m>0 la
retta a forma
col semiasse
positivo delle
ascisse un
angolo acuto
Angolo acuto
In particolare
Se m<0 la retta
a forma col
semiasse
positivo delle
ascisse un
angolo ottuso Angolo acutoAngolo ottuso
Cosa succede se b=0, cioè se xA=xB?
Se b=0 , essendo
non si può determinare il valore di m.
BA
BA
xxyy
m
E se m=0?
In tal caso l’equazione y=mx+q diventa y=q e questa rappresenta una retta parallela all’ asse delle ascisse
y=qq
In quale punto una retta di equazione y=mx+q interseca l’asse delle ordinate?
• Ricordiamo che tutti e soli i punti dell’ asse delle ordinate hanno ascissa nulla. Vediamo cosa succede nell’ equazione della retta se x=0
qq0my
Ecco quindi che il numero q rappresenta l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate