Post on 07-Apr-2016
DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
Seja ( ) ny f x x
Pela definição da derivada temos que calcular
2( )y f x x
2 2 2
0 0 0 0
( ) (2 )( ) lim lim lim2 lim 2x x x x
x x x x x xf x x x xx x
3( )y f x x
3 3 2 22 2
0 0 0 0
( ) (3 3 )( ) lim lim lim3 lim3 3x x x x
x x x x x x xf x x x x xx x
( ) ny f x x 3 1 2
1
0 0
( ) ( .... )( ) lim limn n n n n
n
x x
x x x nx x nx xf x nxx x
Sabemos da trigonometria que diferença entre dois senos podem ser expressos como
DERIVADA DO SENO
Seja ( )y f x senx
Pela definição da derivada temos que
0 0
22( ) lim limcos( ) 1cos2
2x x
xsen x xf x xx
0
2 ( )cos( )2 2( ) lim
x
x x x x x xsenf x
x
Sabemos da trigonometria que diferença entre dois co-senos podem ser expressos como
DERIVADA DO CO-SENO
Seja ( ) cosy f x x
Pela definição da derivada temos que
0 0
22( ) lim lim ( ) 12
2x x
xsen x xf x sen senxx
0
cos( ) cos( ) limx
x x xf xx
0
2 ( ) ( )2 2( ) lim
x
x x x x x xsen senf x
x
cos cos 2 ( ) ( )2 2p q p qp q sen sen
DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES
( )( )( ) cos( )( )( ) log( ) ln
( )
n
a
x
f x xf x sen xf x xf x tg xf x cot xf x xf x x
f x e
1
22
22
( )( ) cos( )
1( ) seccos1( ) sec
1( ) log
1( )
( )
n
a
x
f x nxf x xf x sen x
f x xx
f x co xsen x
f x ex
f xx
f x e
PROPRIEDADES
( ) ( )( ) ( )
f x ag xdf x dg xadx dx
Teorema. A derivada do produto de uma constante por uma função de x é igual ao produto da constante pela derivada da função; i. e.
Demonstração usando a definição de derivada, temos
0
0
0 0
0
( ) ( ) ( )lim
( ) [ ( ) ( )]lim
( ) [ ( ) ( )]lim lim
( ) [ ( ) ( )]lim
x
x
x x
x
df x f x x f xdx xdf x a g x x g xdx xdf x g x x g xadx xdf x g x x g x dga adx x dx
( ) ( ) ( ) .... ( )( ) ( ) ( ) ( )....
f x g x h x u xdf x dg x dh x du xdx dx dx dx
Teorema. A derivada da soma de um número finito de funções é a soma das derivas das funções; i. e.
Demonstração usando a definição de derivada, temos
0
0
0 0 0
( ) ( ) ( )lim
( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]lim
( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
x x x
df x f x x f xdx xdf x g x x h x x u x x g x h x u xdx xdf x g x x g x h x x h x u x x u xdx x x xdf x dg x dh x du xdx dx dx dx
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
f x u x v xdf x dv x du xu x vdx dx dx
Teorema. A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da 1a. função pela derivada da 2a. função mais o produto da 2a função pela derivada da 1a. função
Demonstração usando a definição de derivada, temos
0 0
0
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
lim lim
lim lim
x x
x
y f x uvy f x x f x u x x v x x u x v xmasu x x u u e v x x v ventaoy u u v v uv uv u v v u v u uvy u v v u v uy u v v u v ux x
y u v v u v ux xyx
0 0 0 0
0 0 0 00
lim lim lim
lim lim lim lim lim
x x x x
x x x xx
u v v u uvx x x
mas u e v nao dependemde xy v u uu v vx x x x
dy dv duu vdx dx dx
2
( ) ( )( ) ;( )
du dvv uu x df x dx dxf xv x dx v
Teorema. A derivada quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo denominador é igual ao quadrado da função dada no denominador e cujo numerador é igual ao produto da função no denominador pela derivada da função no numerador menos o produto da unção no numerador pela derivada da função no denominador
Demonstração:
temos
0 0
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
lim limx x
uy f xv
u x x u xy f x x f xv x x v x
masu x x u u e v x x v ventao
u u u v u u u v v v u u vyv v v v v v v v vv u u v v u u v
y x x xx v v v v v v
v uyx
0 0
0
0 0
0 0 0 00
2
lim lim
( ) lim ( )
lim limlim lim lim lim
lim ( )
0, 0
x x
x
x x
x x x xx
u v v u u vx x x xv v v v v v
u vv uy v u ux x vx v v v v x x
mas u e v nao dependemde x e qdo x vdu dvv udy dx dx
dx v
Teorema. Seja y=f(x)=F(u), sendo u= (x). Se u(x) tem uma derivada, u’(x)= x’ e y=F(u) tem uma derivada Fu’, a derivada f’(x)= Fu’ (u) x’ (x), Ou seja, a derivada de f(x) em relação a x é igual ao produto de derivada de F em relação a u pela derivada de u em relação a x.
dxdu
dudFFxfy
xeuFxuuFxfy
xu
xu
)(
)(),(,)(
Demonstração: para o acréscimo x , temos os acréscimos correspondentes às funções
)(),()()(),(
uuFyxxxuuFyxu
Além disso, quando x 0, u 0 e y 0. Por hipótese, temos também
dudy
uy
x
0lim
DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS
Pelo teorema do limite, podemos escrever,
0,0 xcom
dudy
uy
xux
xxx
xxxxx
Fdxd
dudy
dxdy
xy
edxd
xu
masxu
xu
dudy
xy
xu
xu
dudy
xy
uududyy
0
00
00000
lim
0limlim
limlimlimlimlim
Exemplos
22
3
3
)1(313
1),()1(
xudxdu
dudF
dxdyuy
xucomuFyxy
xxsenxudxdu
dudF
dxdyuy
senxucomuFyxseny
cos2cos2
),(2
2
)cos(22)cos(
),(
)(
2
2
2
xxxudxdu
dudF
dxdy
useny
xucomuFy
xseny
xu
u
x
eedxdu
dudF
dxdyey
xucomuFyey
)1(
),(
xx
xu
dxdu
dudF
dxdyuy
xucomuFyxy
1)(ln313
ln),()(ln
22
3
3
xxx
xuv
dxdu
dudv
dvdF
dxdy
vsenyxxueuuvvcomvFy
xseny
1)(ln3])cos[(ln13cos
ln)()(),(
])[(ln
232
3
3
DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITAUma função implícita, y=f(x), é aquela que satisfaz a uma equação da forma F(x,y)=0. Exemplos:
22
22
222 0
xry
xry
ryx
Note que nem sempre é possível resolver a equação para y, como no primeiro caso. Podemos, entretanto calcular a derivada usando a regra da função composta.
041
senyxy
026 xyy
yxy
yyxryx
0220222
yy
yyy
senyxy
cos411
1
0cos4111
041
162
0216
0
5
5
26
yxy
xyyy
xyy
DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSASToda funções crescente, ou decrescente, admite uma função inversa. I. e., dado y=f(x) é possível determinar a função que expressa x em função de y, ou x= (y).
Teorema: Se a função y=f(x0 admite uma inversa, x=(y), cuja derivada ’(y), em um ponto dado é diferente de zero, então a função y=f(x) possui no ponto x correspondente uma derivada f’(x) igual ao inverso da ’(y), I.e:
3
3
)(
)(
yyx
xxfy
yyyxxexfy x
0ln)()(
)(1)(
)()(
yxf
yxxfy
Demonstração: Se por hipótese:
)()( yxxfy
derivando a segunda expressão em relação a x, usando a regra da cadeia,temos:
yy
dxdf
dxdfyyy
yx
x
(1
)()(1
)(
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS
2
2
222
1
1cos11cos
11cos
cos1
xyy
xy
xyseny
masy
y
senyxarcsenxy
2
2
222
1
111
1cos1
1cosarccos
xsenyy
xseny
xyysen
masseny
y
yxxy
y=arc senx y=arc cosx
2
2 2
2 2
1sec
sec 11 1
1 1
y arctg xx tg y
yy
mas
y tg y
ytg y x
y=arc tgx
2
2 2
2 2
1cos
sec 11 1
1 1
y arccot xx cot y
yec y
mas
co y cot y
ycot y x
y=arc cotx
FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICAFunção Paramétrica
Sejam duas funções da variável t (o tempo, por exemplo), x=(t)e y=(t). Se x e y representam as coordenadas de um ponto no plano, a cada instante t, teremos um ponto no plano. Quando t varia no intervalo, T1<t<T2, o ponto (x,y) descreve uma curva no plano. As funções dadas são chamadas de equação paramétrica desta curva. E t é o parâmetro.
x(t1) x(t2) x
y
(x(t),y(t))y(t1)
y(t2)
( )( )
x ty t
2
0
20
0
2
( )2
2 ( )
hh
h
h
xx v t tv
ty y g
g xy yv
x v g y y
x
y
(x(t),y(t))
Lançamento horizontal
vh
y0
DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA
( )y x
Dadas as formas paramétricas, x=(t) e y=(t), de uma curva, isto é, as equações paramétricas da função y de x, é possível calcular a derivada dessa função, yx’.
Se a função x=(t) admite uma inversa, isto é, podemos expressar t como uma função de x, t=(x), então a função y=(t), pode ser expressa como
Temos então uma função composta. Podemos aplicar a regra da derivada:
( )
,1
1 t
t
x t x
t
x t xt t
y t t x
d dy tdt dx
mas peloteormada funçaoinversaddxentao
d dy tdt dx
2
0
20
2
2
( )2
hh
h
xh
xx v t tv
ty y g
g xy yv
gxyv
2
0
2
2
hh
xh h
xx v t tv
ty y g
dygt gxdty dx v v
dt
Lançamento horizontal