DERETDERET

Deret ialah rangkaian Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun bilangan yang tersusun secara teratur dan secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Deret terdiri dari tertentu. Deret terdiri dari deret hitung, deret ukur, dan deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni.deret harmoni.

DERET HITUNGDERET HITUNG Deret hitung ialah deret yang Deret hitung ialah deret yang

perubahan suku-sukunya perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan berdasarkan penjumlahan terhadap suatu bilangan tertentu.terhadap suatu bilangan tertentu.

Suku ke-n dari Deret HitungSuku ke-n dari Deret Hitung

bnaU n )1( KeteranganKeterangana : suku pertama atau Una : suku pertama atau Unb : pembedab : pembedan : indeks sukun : indeks suku

Contoh SoalContoh Soal : :

UU11 = 7 = 7UU22 = 12 = 12UU33 = 17 = 17UU4 4 = 22= 22UU55 = 27 = 27UU6 6 = 32= 32Dari soal diatas UDari soal diatas U1010 dan dan UU23 23 adalah…adalah…

JawabJawab : : UU2323 = a + (n-1)b = a + (n-1)b

= 7 + (23-1)5= 7 + (23-1)5= 7 + 110= 7 + 110= 117= 117

UU1010 = a + (n-1)b= a + (n-1)b

= 7 + (10-1)5= 7 + (10-1)5= 7 + 45= 7 + 45= 52= 52

Deret HitungDeret Hitung

Jumlah n sukuJumlah n suku

Untuk menghitung jumlah sebuahUntuk menghitung jumlah sebuah deret deret hitungsampai dengan suku tertentu n, hitungsampai dengan suku tertentu n, terdapat empatrumus yang dapat terdapat empatrumus yang dapat digunakan yaitu:digunakan yaitu:

n

in UnUUUiS

1

...21

n

in UiS

1

Deret HitungDeret Hitung

nn

n

n

UanS

bnanS

bnnnaS

2

)1(22

)1(2

Contoh SoalContoh Soal : :

Dari contoh soal pada Dari contoh soal pada suku suku keke--nn, maka, maka SS1010 adalah… adalah…

Jawab :Jawab :

295)527(5

)7(2

10

10

1010

S

SS

DERET UKURDERET UKUR

Deret ukur adalah deret yang Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.sebuah bilangan tertentu.

Suku ke n dari deret ukurSuku ke n dari deret ukur a : suku a : suku pertama pertama p : penggandap : pengganda

1 nn apU

Contoh SoalContoh Soal : :UU11 = 5= 5 ; ; UU2 2 = 10= 10 ; ; UU3 3 = 20= 20 ; ;UU4 4 = 40= 40 ; ; UU55 = 80 = 80 ; ; UU66 = 160 = 160(Penggandanya adalah 2)(Penggandanya adalah 2)Dari soal diatas UDari soal diatas U1010 adalah…adalah…Jawab : Jawab :

UU1010 = (5)(2)= (5)(2)10-110-1

= (5)(2)= (5)(2)99

= (5)(512)= (5)(512)= 2560= 2560

Jumlah n sukuJumlah n suku

ppaSn

n

1

)1(

KeteranganKeterangan : :SSnn = Jumlah n suku= Jumlah n sukuaa = Suku pertama= Suku pertamap p = Pengganda= Penggandan n = index suku = index suku

Contoh SoalContoh Soal : :UU11 = 512 = 512 ; ; UU22 = 256 = 256 ; ; UU33 = 128 = 128 ; ;

UU44 = 64 = 64 ; ; UU55 = 32 = 32 ; ; UU66 = 16 = 16

(Penggandanya adalah = 0.5)(Penggandanya adalah = 0.5)Dari soal diatas JDari soal diatas J1010 adalah… adalah…

Jawab :Jawab :

10235,0

)1024/1023(5125,01

)5,01(512

10

10

10

10

S

S

S

Penerapan Dalam EkonomiPenerapan Dalam Ekonomi

Jika perkembangan variabel-Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan variabel tertentu dalam kegiatan misalnya produksi, biaya, misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan pendapatan, penggunaan tenaga kerja, penanaman modal tenaga kerja, penanaman modal berpola seperti deret hitung, berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan menganalisis perkembangan variabeltertentu yang berpola variabeltertentu yang berpola seperti deret hitung.seperti deret hitung.

1.1. Model Perkembangan UsahaModel Perkembangan Usaha

Contoh SoalContoh Soal : : Perusaahaan genteng menghasilkan Perusaahaan genteng menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah produksinya konstan, berapa buah yang telah dihasilkan pada bulan ke-yang telah dihasilkan pada bulan ke-5 Berapa buah yang telah dihasilkan 5 Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?sampai dengan bulan tersebut?

JawabJawab : : a = 3000a = 3000 b = 500b = 500 n = 5n = 5U5 = 3.000 + ( 5-1 ) 500U5 = 3.000 + ( 5-1 ) 500

= 5000= 5000S5 = 5/2 (3.000 + 5.000)S5 = 5/2 (3.000 + 5.000)

= 20.000= 20.000

2.2. Model Bunga MajemukModel Bunga MajemukModel bunga majemuk merupakan Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam penerapan deret ukur dalam simpan-pinjam dan kasus investasi. simpan-pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung Dengan model ini dapat dihitung misalnya, besarnya pengembalian misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasaskan kredit di masa datang berdasaskan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari untuk mengukur nilai sekarang dari suatu hasil investasi yang akan suatu hasil investasi yang akan diterima di masa yang akan datang.diterima di masa yang akan datang.

RumusRumus : :

nmn

nn

miPF

iPF

.)1(

)1(

KeteranganKeterangan : :PP : jumlah sekarang: jumlah sekarangii : tingkat bunga per tahun: tingkat bunga per tahunnn : jumlah tahun: jumlah tahunmm : frekuensi pembayaran : frekuensi pembayaran

bunga dalam setahunbunga dalam setahun

Contoh SoalContoh Soal : :Seorang nasabah meminjam Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp uang di bank sebanyak Rp 5.000.000,00 untuk jangka 5.000.000,00 untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada harus dikembalikannya pada saat pelunasan? Seandainya saat pelunasan? Seandainya bunga diperhitungkan bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester, dibayarkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia berapa jumlah yang harus ia kembalikan?kembalikan?

JawabJawab : :

PP = 5.000.000= 5.000.000nn = 3= 3ii = 2% = 0,02= 2% = 0,02FF33 = 5.000.000 (1 + 0,02)= 5.000.000 (1 + 0,02)33

= 5.000.000(1,061208)= 5.000.000(1,061208)= 5.306.040= 5.306.040

Seandainya bunga diperhitungkaSeandainya bunga diperhitungkan n dibayarkan tiap semester, makadibayarkan tiap semester, maka : :

FF33 = 5.000.000 (1 + 0,01)= 5.000.000 (1 + 0,01)66

= 5.000.000 (1,06152)= 5.000.000 (1,06152)= 5.307.600= 5.307.600

3. Model Pertumbuhan Penduduk3. Model Pertumbuhan Penduduk

Penerapan deret ukur yang Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang paling konvensional di bidang ekonomi atau dalam hal ekonomi atau dalam hal penaksiran jumlah penduduk. penaksiran jumlah penduduk. Menurut Malthus, penduduk Menurut Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. deret ukur.

PPtt = jumlah pada tahun ke t= jumlah pada tahun ke t PP11 = jumlah pada tahun pertama= jumlah pada tahun pertama rr = persentase pertumbuhan per = persentase pertumbuhan per

tahuntahun tt = indeks waktu= indeks waktu

KeteranganKeterangan : :

RumusRumus : :

rRRPP t

t

1. 1

1

ContohContoh Soal : Soal : Penduduk suatu kota Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya 2006 pertumbuhannya menurun 2,5%, berapa menurun 2,5%, berapa jumlah 11 tahun kemudian?jumlah 11 tahun kemudian?

JawabJawab : :PPtt = 1.000.000= 1.000.000

rr = 0,04= 0,04RR = 1,04= 1,04P tahun 2006P tahun 2006PP1616 = 1.000.000 (1,04)= 1.000.000 (1,04)1515

= 1.000.000 (1,800943)= 1.000.000 (1,800943)= 1.800.943 jiwa= 1.800.943 jiwa

JawabJawab : :PPtt = 1.800.943= 1.800.943

rr = 0,025= 0,025RR = 1,025= 1,025PP11 11 tahun kemudiantahun kemudian

PP1111 = 1.800.943 (1,025)= 1.800.943 (1,025)1010

= 2.305.359 jiwa= 2.305.359 jiwa

Atau dapat menggunakan cara logaritma Atau dapat menggunakan cara logaritma yaituyaitu : :

PP1111 = 1.800.943 ( 1,025 )= 1.800.943 ( 1,025 )1010

log Plog P1111 = log 1.800.943 (1,025)= log 1.800.943 (1,025)1010

log Plog P1111 = log 1.800.943 + 10 log 1,025= log 1.800.943 + 10 log 1,025

log Plog P1111 = 6,255499 + 0,107239= 6,255499 + 0,107239

log Plog P1111 = 6,36738= 6,36738

PP1111 = 2.305.359= 2.305.359