Post on 01-Jan-2016
description
weibull verdeling.ppt 1 jan prakkenDe Wilgen
De Weibull verdeling
• Weibull:
• Waloddi Weibull (1887-1979)– A Statistical Distribution Function of Wide Applicability
• Journal of Applied Mechanics (1951)
– '' ... may sometimes render good service''
– '' ... test it empirically and stick to it as long as none
better has been found''
weibull verdeling.ppt 2 jan prakkenDe Wilgen
Voorbeelden
• Verdeling van:– Levensduren– De tijd tot ...
– Gebruiksduur consumentenproduct tot vervanging door nieuw
– Temperatuur spoelwater
– In bovenstaande gevallen
• Kansmodel bruikbaar:
– Veel andere variabelen ( >0 )
– Bij waarnemingen in de vorm 'is groter dan' – Als het model past
weibull verdeling.ppt 3 jan prakkenDe Wilgen
Levensduur verdeling
• Uitvalkans
F(t) = P(xt)
• Overlevingskans
R(t) = P(x>t)
Lifetime distribution
0.000
0.001
0.002
0 500 1000 1500 2000
time (days)
den
sity
f(t
)F(t)
R(t)
t
• x = tijd tot de 1e fout
weibull verdeling.ppt 4 jan prakkenDe Wilgen
Weibull verdelingen
• 2-parameters
Weibull distributions
0.000
0.001
0.002
0 500 1000 1500 2000
time t (days)
dens
ity f(
t)
ß=2 ß=3ß=1
ß=0.5
F(t)= 1- e-(t/)
= karakterstiekelevensduur
= vormgetal
=1 : Negatief exponentiële verdeling
=2 : Rayleigh verdeling
• 3 < < 3.6 : lijkt op Normale verdeling
=3.6 : gemiddelde is gelijk aan Mediaan
weibull verdeling.ppt 5 jan prakkenDe Wilgen
Parameters schatten
• 2-parameter Weibull verdeling W(,)
• Grafische schattingen graf en graf
• Maximum Likelihood schattingen en
• Kleinste kwadraten schattingen ' en '– d.m.v. regressie van log t op loglog(1/F(t))
– minder goed dan bovenstaande
– computerprogramma nodig: weibull-2par.xls
– de beste (statistische) eigenschappen
– basis voor betrouwbaarheidsuitspraken
weibull verdeling.ppt 6 jan prakkenDe Wilgen
Weibull verdeeld?
• Probability plot
• waarschijnlijkheidspapierWeibull probability plot
10 100
water temperature
cum
%
1%
99%
• voor elke kansverdeling mogelijk
• meerdere mogelijkheden
• rechte lijn?
• cumulatieve verdeling uitzetten tegen de variabele
– Weibull verdeling
– Normale verdeling
weibull verdeling.ppt 7 jan prakkenDe Wilgen
n=9 trekkingen uit W(,)
nrt
9
1
2
3
4
5
6
7
8
i nr ti
7.4%
60.6
18.1
39.4
92.6
81.9
50.0
71.3
28.7
(i-0.3)(n+0.4)
x100%
1 517
2 182
3 297
4 519
5 319
6 263
7 730
8 418
9 244
2 182
9 244
6 263
3 297
5 319
8 418
1 517
4 519
7 730
F(ti) =
weibull verdeling.ppt 8 jan prakkenDe Wilgen
Weibull probability plot (1)
(n+0.4)x 100%
(i-0.3)
• vertikaal: kans
• horizontaal: variabele t
• rechte lijn?
1e punt:
t=182, F(t)=7.4%
weibull verdeling.ppt 9 jan prakkenDe Wilgen
Weibull probability plot (2)
t = tijd tot fout
graf = 450
graf = 2.4
F(t)= 1- e-(t/)
F(t) = P[ t < t ]
Onder de 100:
F(100) = 1 - exp[-(100/450)2.4]
= 0.027
weibull verdeling.ppt 10 jan prakkenDe Wilgen
Voortgezette schorsingen (1)• n=8 units in
levensduurtest- 5 uitvallers { 1059, 1093, 1531, 2415, 3042 }- 3 schorsingen { 763, 1161, 2269 }
r = toename rangnummer ri = rangnr. uitvaltijd
(1+8-0) / (1+7) = 1.125
-
-
(1+8-2.25) / (1+4) = 1.35
-
(1+8-3.60) / (1+2) = 1.80
-
-
-
r1 = 1.125
r2 = 1.125 + 1.125 = 2.25
-
r3 = 2.25 + 1.35 = 3.60
-
r4 = 3.60 + 1.80 = 5.40
r5 = 5.40 + 1.80 = 7.20
( 1 + n – rangnummer vorige uitvaltijd )
( 1 + aantal units na schorsing nog in test ) r =
F(ti) =
nr. j tj */S
1
2
3
4
5
6
7
8
763
1059
1093
1161
1531
2269
2415
3042
S
*
*
S
*
S
*
*
(ri-0.3)/(n+0.4)
-
0.098
0.232
-
0.393
-
0.607
0.821
weibull verdeling.ppt 11 jan prakkenDe Wilgen
Voortgezette schorsingen (2)
• n=8– 5 uitvallers,– dus 5 punten
graf = 2390
graf = 2.4
weibull verdeling.ppt 12 jan prakkenDe Wilgen
Plot van frequentieverdeling
• temperatuur spoelwater
t
25
38
50
12
65
label
koud
lauw
handwarm
warm
heet
f
2
5
5
2
7
cum
2
7
12
14
21
i
1.5
5.0
10.0
13.5
18.0
F(t)
5.6
22.0
45.3
61.7
82.7
(n+0.4)x 100%
(i-0.3) F(t) =
i = gem. rangnummer
weibull verdeling.ppt 13 jan prakkenDe Wilgen
Temperatuur Spoelwater (Weibull)
t = temperatuur
spoelwater
graf = 50
graf = 2.0
Evt. normale verdeling:
zie volgende blad
F(t)= 1- e-(t/)
weibull verdeling.ppt 14 jan prakkenDe Wilgen
Temperatuur spoelwater (normaal)
0 80 10020 40 60
graf = 43
graf = (64-22)/2
= 21.0
s = 18.91
f.t = 894
f.t2 = 45208
• t = 42.6
Uit frequentieverdeling: