Post on 26-Feb-2018
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
1/32
Recapitulare 1
Coninutul
cursului:
Teorema fundamental a programrii liniare.Teoremele algoritmului simplex primal.
Algoritmul simplex. Formule de schimbarea bazei.
Determinarea unei baze primal admisibile. Metoda celor dou
faze.Sisteme liniare de inegaliti. !ema Far"a#$Min"o%s"i.
Dualitate &n programarea liniar. Teoreme de dualitate.
Algoritmul simplex dual.
'roblema transporturilor.
'ostoptimizare #i programare liniar parametric.
'rogramare liniar &n numere &ntregi.
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
2/32
Recapitulare (
Notaii i cteva defniiiA x b =
unde reprezint )ectorul necunoscutelor.
*otm+
Fie+ #i considerm sistemul+,m n mA b R Rnx R
( )
( )
1 2
1 2
, , , linia '' '' a matricei ;
, , , coloana '' '' a matricei .
i i i in
j
j j mj
A a a a i A
A a a a j A
=
=
L
L f
1, 1, .
nj
i i j
jA x b A x b i m A x b
= = = = =,onsiderm ( ) .rang A m n= Matricea de baz ( )1 2 ... .mss sB A A A=
'artiionarea matricei+ ( ) .A B R= M *otaii+{ }1 2, ,..., ,ms s s=B
{ }1,2,..., \ .n=R B
'artiionarea )ariabilei+ , .n
xx x
x
=
R
B
R
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
3/32
Recapitulare -
1 1A x b B x R x b x B b B R x = + = = B R B R
ectorul se nume#te soluiea sistemului dacnv R .A v b =
/ soluie a sistemului este numit soluie de baz0 daccomponentele ei diferite de zero corespund unor coloane liniar
independente ale matricei A.
Deoarece rang(A)= m0 cel mult m componente ale unei soluii debaz pot fi nenule. Dac soluia de baz are exact m componentenenule0 ea se nume#te nedegenerat &n caz contrar ea se nume#tedegenerat.
'entru orice baz B0 se poate obine o soluie de baz+
1B bvv
v
= = 0B
B
RR
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
4/32
Recapitulare 2
Probleme de optimizare
liniarFie #in
R . R
Tipuri de restricii &n raport cu felul problemei de optimizare+
minimizare
concordant
x
f
neconcordant
x
f
maximizare
concordant
x
f
neconcordant
x
f
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
5/32
Recapitulare 3
Forma general:,onine toate tipurilede restricii #i )ariabile care pot aprea.
{ }1 1 2 2 3 3
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 3
concordante
egalitate
necon
inf
n rapo
cordante
rt cu
c x c x c x
A x A x A x b
A x A x A x b
A x A x A x b
x x
+ +
+ + + + = + +
0 0
f
Datele problemei+ , , , 1 3, 1 3.i j jim n nm
ij i jA b c i j
R R R
*ecunoscutele problemei sunt grupate &n trei )ariabile )ectoriale+
,1 3,jn
jx j R1
2
3
are componente nenegative;
oarecare;
are componente nepozitive.
x
x
x
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
6/32
Recapitulare 4
Forma standard:
,onine restricii egalitate#i )ariabile nenegati)e.
{ }inf , 0c x A x b x = f
Datele problemei+ , , .m n m nA b c R R R
Forma canonic:
,onine restricii concordante#i )ariabile nenegati)e.
{ }inf , 0c x A x b x f
Datele problemei+ , , .m n m n
A b c R R R
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
7/32
Recapitulare 5
Forma mixt:,onine restricii concordante #i egalitate0 #i )ariabile nenegati)e.
1 1
2 2
inf , 0A x b
c x xA x b
=
f
Datele problemei+
1 1
2 2
1 1
2 2
,
, .,
m n m
n
m n m
A b
cA b
R R
RR R
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
8/32
Recapitulare 6
Teorema undamental aprogramri liniare,onsiderm problema de programare liniar &n forma standard+
{ }inf | ,c x A x b x = 0f
7'8
Fr a restr9nge generalitatea0 presupunem+ ( ) .rang A m n= ,kR
1 ,k kY B A= 0
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
11/32
Recapitulare 11
Lema (substituiei): Fie nesinular i
!ectorul "onsiderm matricea#( )1 2 mss s m mB A A A = L R
{ }1 2, , ,..., .k m
mA k s s s =BR
( )1 1 1 .mr r
ss ks sAB A A A A +
=% L L
$otm !ectorul ( )1 1 2, , ..., .k k
k k mk Y B A y y y= = f
%u loc urmtoarele afirmaii#
.
&entru a!em#
( )det 0 0, .rk rB y unde r loc s =% B
0,rky ( )1 1rB E B = %
unde 1, 1,11
,..., , , ,...,r k r k k mk
rk rk rk rk rk
y yy y
y y y y y
+ =
f
( ) ( )1 1 1
1
,
10
ik
rk
r r mr
rk
y
y
E e e e e
y
+
= =
O M M
L L L
L L M O M
L L L
M M O1 .i me este vector unitar cu in pozitia i R
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
12/32
Recapitulare 1(
Teorem (schimbarea bazei): Fie o baz
primal admisibil. &resupunem c exist astfel nct
i !ectorul are cel puin un element poziti!.
Dac aleem indicele astfel nct
( ) 0k kz c >,kR1k kY B A=
( ), ,r rs loc s r =BB
1min 0 ,ir ik
i mrk ik
xxy
y y
= >
( )1 2 mss sB A A A= L
atunci, matricea este o baz primal
admisibil, pentru care
( )1 1 1 mr r ss ks sAB A A A A +=% L L1 1 .z c B b c B b z = =% %%
BB
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
13/32
Recapitulare 1-
Paii algoritmului simplex primal 'asul ;. Se determin 7dac exist ,k
Y 0
kR 0k kz c >( ), ,r rs loc s r =B
1min 0 .ir ik
i mrk ik
xx yy y = >
\ ,rs k
B B A A=% U( )1 1rB E B
= % #i se re)ine la 'asul 1.
,z
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
14/32
Recapitulare 12
Formule pentru sc!imbarea bazeiRecalcularea elementelor din algoritmul simplex &n urma schimbrii uneibaze se face cu a>utorul !emei substituiei.
aloarea nou Formul de calcul cu )alori )echi
*otm+ ( )1 11
i mijj m
B
= ( )1 11
ij i mj m
B
= %%
pentru 1, , , 1, ;
pentru 1, .
ik rj
ij ij
rk
rj
rj
rk
yi m i r j m
y
j my
= = =
= =
%
%
( )1 1,rB E B = %A)em+ de unde rezult+
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
15/32
Recapitulare 13
( ) ( )1 1
1
10
r r
ik ik i r
rk rk i
r r
rk rk
x B b E B b E x
y yx x
y yx
x xy y
= = = =
= =
%%
O M M M
ML L L
MM O M M
L L LM
M M O M
( )
pentru ;
unde pentru .
iki i r
rk
rr
rk
yx x x i ry
xx r loc k k
y
=
= =
%
%% B
alorile soluiei de baz+
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
16/32
Recapitulare 14
,omponentaj+ ( ) , 1 .rj
j j k k
rk
u u z c j m
y
= %
alorile pentru multiplicatorii simplex+
'entru matricea 1 ,Y B A= % %pentru 1, , ;
1, .
ikij ij rj
rk
rj
rj
rk
yy y y i m i r
y
y
y j ny
= =
= =
%
%
aloarea funciei obiecti)+( )k k
r
rk
z cz z x
y
= %
aloarea costurilor reduse+ ( ) ( )
, 1 .k k rj
j j j j
rk
z c yz c z c j n
y
= %
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
17/32
Recapitulare 15
"eterminarea unei baze primaladmisibile,onsiderm problema de programare liniar &n forma standard+{ }inf | ,c x A x b x = 0
f
7'8
, .,,m n m nbA b c 0R R Runde
{ }min | , ,a a a
m
x A x x b x x
+ = e I 0 0
f
Acestei probleme &i asociem problema artificial+
7'a8( )1,...,1 ,m= e
f
R ( )1 2, ,..., ,a m
n n n mx x x x+ + += f
Runde
iar Im este matricea unitate de ordinul m.
Teorem. Dac !aloarea minim a problemei 7'a80 atunci
problema iniial7'8nu are soluie.
0,az >
Teorem. Dac atunci i B este o
baz primal admisibil a problemei iniiale7'8.{ }1,..., ,n n m + + = B 0az =
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
18/32
Recapitulare 16
Teorem. Dac !aloarea minim a lui 7'a8 este i exist
pentru care atunci,
i restricia i0 din 7'8 este o combinaie liniar de celelalte restricii.
0az = 0 ,n i+ B( )
0 0 00, 1, , ,i jy j n i loc n i= = = +B ( ) 1rang A m
Teorem. Dac !aloarea minim a lui 7'a8este i exist
pentru care atunci, se poate
efectua o sc'imbare de baz prin care !ectorul unitar din B s fie nlocuit
de coloana Ak
.
0az = 0 ,n i+ B( ) { }
00 0, 1,..., , 0,i ki loc n i k n y= + B
0ie
Observaie. Dac toate )ariabilele artificiale au )aloarea zero =inclusi) cele care au mai rmas &n baz.
0,az =
ariabilele artificiale din bazcare au )aloarea zero0 pot fi+
ariabilele artificiale din bazcare au )aloarea zero0 pot fi+
eliminate &mpreuncu restricia asociat.eliminate &mpreun
cu restricia asociat.
sau
&nlocuite cu o )ariabila problemei date.
&nlocuite cu o )ariabila problemei date.
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
19/32
Recapitulare 1:
#etoda celor dou aze
Faza 1. Se rezol) 7'a8
cu baza iniial Im.
0az =
7'8 nu aresoluie.
nu
0
n i
+ B
Faza (. Se rezol) 7'8cu baza admisibil B.
00
i jy =1,j n =
Se elimin restricia i0Se &nlocuie#te cu0n i
x + kx
da
da da
nu
nu
7'8 are optiminfinit.
7'8 are optim finit.TO!
TO!
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
20/32
Recapitulare (;
"egenerare i ciclare
Descre#terea funciei obiecti)+
( )k kr
rk
z
xz
c
z y
= %
Metoda perturbrii 7A. ,harnes0 1:3(8
( ){ } ( )1
inf , cu , 0.n
j j
j
c x A x b x b b A =
= = + >0f
!ropoziia ". Fie B " (A1, # ,Am) o baz primal admisibil. %tunci exist
astfel nct0B > ( ) ( ) ( )1 0, 0, .Bx B b = >
0rx
!ropoziia #. Fie B primal admisibil n condiiile (eoremei de sc'imbare a
bazei i %tunci, astfel nct criteriul de
ieire din baz este ndeplinit pentru un sinur indice( ) ( )0, 0, .Bx > ' 0 >
( ), 0, ' $r
( ) ( )1min 0 .
r i
iki m
rk ik
x xy
y y
= >
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
21/32
Recapitulare (1
$ema Far%asin%o's%iFie ,onsiderm urmtoarele sisteme liniare+
A x bx = 0 0
A u
b u
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
22/32
Recapitulare ((
"ualitate (n optimizarea liniar
{ }1 1 2 2 3 3
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 3
inf
n raport cu
c x c x c x
A x A x A x b
A x A x A x b
A x A x A x b
x x
+ + + +
+ + = + +
0 0
f
{ }1 1 2 2 3 3
11 1 21 2 31 3 1
12 1 22 2 32 3 2
13 1 23 2 33 3 3
1 3
%up
n raport cu
b u b u b u
A u A u A u cA u A u A u c
A u A u A u c
u u
+ +
+ + + + =
+ + 0 0
f
f
f
f
'roblema primal+
'roblema dual+
7 ' 8
7 D 8
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
23/32
Recapitulare (-
Reguli de asociere a problemelor duale
?nei probleme de minimizare &i corespunde o problem de
maximizare0 #i reciproc. ,oeficienii din funcia obiecti) a unei probleme de)in
coeficienii termenului liber &n cealalt problem0 #i reciproc. Matricea restriciilor dintr$o problem este matricea transpus
din cealalt problem0 #i reciproc.
Fiecrei restricii dintr$o problem &i corespunde o )ariabil &ncealalt problem0 #i reciproc.
Relaia de asociere este urmtoarea+ unei restricii concordante &i corespunde o )ariabil nenegati)
#i reciproc
unei restricii egalitate &i corespunde o )ariabil oarecare 7frcondiii de semn80 #i reciproc unei restricii neconcordante &i corespunde o )ariabil nepoziti)
#i reciproc.
( )0 ,
( )0 ,
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
24/32
Recapitulare (2
Teoreme de dualitate
Fie , ,m n m nA b c R R R #i definim domeniile de admisibilitate+
{ } { }| , , | ,n mx A x b x u A u c u= = 0 0R RP D f
,onsiderm perechea de probleme 7canonice8 duale+
{ }
{ }
inf | ...........................
%up | ...........................
c x x
b u u
P
D
f
f
7 ' 8
7 D 8
Teorem 7dualitate slab8. Dac domeniile de admisibilitate
atunci are loc relaia#
, , P D, ,x u P D .c x b u
Teorem 7dualitate tare8. Dac domeniile de admisibilitate
i astfel nct atunci, este soluie
optim pentru 7'8 i este soluie optim pentru 7D8.
, , P D, ,x u P D ,c x b u = x
u
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
25/32
Recapitulare (3
Teorema 7fundamental a dualitii8. Fiind dat perec'ea de probleme duale7'8 i 7D8 doar una din urmtoarele afirmaii are loc#
a* i +n cazul acesta i soluii
optime pentru 7'8, respecti! 7D8, astfel nctb* i
c* i sau i +n cazul acesta problema
care are soluii admisibile are optimul infinit.
. P D
.c x b u = % %
,x u % %P D
.= = P D
= P D .= P D
Teorem 7tare a ecarturilor complemetare8. Dac
atunci, pentru 7'8 i 7D8 exist soluiile optime respecti! astfel nct
, , P D, ,x u% %
( ) ( ), .A x b u c A u x + > + >0 0% % % %f
Teorem 7slab a ecarturilor complemetare8. Fie%tunci,
, .x u P Dx este soluie optim pentru 7'8
u este soluie optim pentru 7D8
( )
( )
0,
0.
u A x b
x c A u
=
=
f
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
26/32
Recapitulare (4
)lgoritmul simplex dualMatricea de bazBse numete dual admisibil, dac
1c B A c B
Teorem (optim): Dac baza B esteprimal idual admisibil, atunci eaeste optimpentru problemele 7'8 i 7D8.
Teorem (domeniu vid). FieB o baz dual admisibil. Dac exist o
component pentru care atunci problema 7'8
nu are soluie.
0,ix < 0, 1, ,ijy j n =
Teorem (schimbarea bazei): Fie o baz dual
admisibil i componenta pentru care exist( )1 2 mss sB A A A= L
0,rx < 0.rjj cu y
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
27/32
Recapitulare (5
Paii algoritmului simplex dual 'asul ;. Se determin 7dac exist
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
28/32
Recapitulare (6
)lgoritmul simplex adaptatpentru problema de transport
x11 x12 x1n
x21 x22 x2n
xm1 xm2 xmn
a1
a2
am
b1 b2 bn
m Depozite
n @eneficiari
Marf disponibil
Marf solicitat
c11 c1n
cm1 cmn
Matriceacosturilor
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
29/32
Recapitulare (:
1 1
minm n
ij ij
i j
c x= =
&n raport cu
1
, 1, ,n
ij i
j
x a i m=
= =
1
, 1, ,m
ij j
i
x b j n=
= =0, 1, , 1, .
ijx i m j n = =
Forma standard a problemei de transport+
Teorem. 7'T8 are o soluie admisibil dac i numai dac
7'T8
1 1
0, 1, ; 0, 1, ; .m n
i j i j
i j
a i m b j n a b= =
= = = Teorema. anul matricei este " m + n 1.
Determinarea unei soluii iniiale de baz+
Metoda colului de *
Metoda costului minim
Testul de optimalitate Schimbarea soluiei de baz
7/25/2019 Cursul 10 Recapitulare
30/32
Recapitulare -;
Reoptimizare,onsiderm problema+ { }inf | ,c x A x b x = 0f
( ), , , .m n m n
A b c rang A m n
=