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PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Aula 01
• Introdução a Geometria Plana – Ângulos• Potenciação• Radiciação
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Introdução a Geometria PlanaIntrodução:
No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos: O ponto, a reta e o plano. Os mesmos são os pilares da construção da Geometria.
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Introdução a Geometria PlanaPostulados da Geometria:• A reta tem infinitos pontos;• Dois pontos distintos determinam uma única reta;• Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta
paralela a essa reta. (Postulado das retas paralelas ou Postulado de Euclides.).
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Introdução a Geometria PlanaSegmento de Reta:
Se numa reta r considerarmos dois pontos distintos A e B, podemos definir o segmento de reta AB, como sendo o conjunto dos pontos da reta r, situados entre A e B, incluindo-se estes, sendo A e B chamados extremos do segmento AB.
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Introdução a Geometria Plana• Ângulos:
Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas e determinam dois ângulos: um de abertura “a” (ângulo convexo) e outro de abertura “b” (ângulo côncavo). O ângulo convexo é indicado por BÔA e “a” é a medida deste ângulo.
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Introdução a Geometria PlanaMedidas de Ângulos:
A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo: °). Um ângulo raso, aquele formado por duas semi retas opostas, mede 180°.
A metade de ângulo raso é denominado ângulo reto, e sua medida é 90°. O ângulo em volta de uma volta completa, corresponde a dois ângulos rasos e portanto sua medida é 360°.
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Introdução a Geometria Plana• Ângulo agudo: é aquele cuja medida situa-se entre 0°e 90º.• Ângulo obtuso: é aquele cuja medida situa-se entre 90°e 180°.• Ângulos complementares: são aqueles cujas medidas somam 90º.• Ângulos suplementares: são aqueles cujas medidas somam 180°.• Ângulos congruentes: são aqueles que possuem medidas iguais.
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Introdução a Geometria Plana• Ângulos opostos pelo vértice: como o próprio nome indica, são aqueles
cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, a seguinte proposição:
“Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.”
• Bissetriz de um ângulo: é a semi reta única que partindo do vértice, determina dois ângulos congruentes(ou seja, de mesma medida).
• Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum.
• Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.
• Retas paralelas: duas retas “r” e “s” são paralelas quando estando contidas num mesmo plano(coplanares) não possuem ponto em comum. (representação: r // s)
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Potenciação
• A potenciação “é uma multiplicação de fatores iguais”.
• Ou seja: , “a” multiplicado n vezes.• Exemplos:
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Potenciação
• Particularidades, conseqüências da definição:
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Potenciação
• Propriedades:
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Potenciação
• Observação Importante:
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Potenciação
• Potência de Base 10:Muitos problemas de Física e/ou Química usam
o artifício das potências de 10 para suas resoluções sejam elas macroscópicas(grandes dimensões) ou microscópicas(pequenas dimensões).
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Radiciação• Definição:
O número “y” é raiz enésima de “a” se, e somente se, elevado ao expoente reproduzir o número “a”.
Simbolicamente temos: = y , sendo:• : símbolo da radiciação(radical)• a: radicando• n: índice da raíz(n ≥ 2)• y: raiz
,
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Radiciação
• Propriedades:Sendo temos:
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Radiciação• Racionalização:
É o processo mediante o qual, dada uma função com radical no denominador, encontramos uma fração equivalente(com mesmo valor), porém sem o radical no denominador.
• 1º caso: Denominador contendo termo do tipo :
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Radiciação• 2º caso: Denominador do tipo , com n > 2 e m < n:
• 3º caso: Denominador do tipo :
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Exercícios• Exercício 1: O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:
a) 1b) 2c) 3d) 4
• Solução:Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 1642 = 4 x 4 = 164-2 = 1/ 42 = 1/16 (uso da propriedade)(-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo)(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)(-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade)
• Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).
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Exercícios• Exercício 2: O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) é:
a) 1b) -5/6c) -5/3d) -5/2
• Solução:Todos sabem, após a leitura atenta dos slides que (-2)-1 = -1/2. Logo:
A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) – [3/(2 x 3)]
Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes – lembram-se!):
A = (-2) – 1/2 = (-4 – 1)/2 = -5/2• Resposta d).
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Exercícios• Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:
a) 10b) 1000c) 10-2
d) 10-3
• Solução:Novamente, pela propriedade vem que:
C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105
E, também pela propriedade, temos:C = 102-5 = 10-3
• Resposta d).
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Exercícios• Exercício 5: Calcular:
Solução:Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos, inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam as propriedades utilizadas em cada passagem:
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ExercíciosAssim de 1, 2 e 3 obtemos:
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Exercícios• Exercício 6: Simplificar a expressão:
• Solução:Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de
cada radicando e da utilização de propriedades, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.
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Exercícios• Exercício 7: Calcular o quociente:
• Solução:Outro exercício de solução simples onde demonstra-se o uso das
propriedades e novamente, se faz uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:
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Exercícios• Exercício 8: Efetuar:
• Solução:Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela
diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas: