Post on 19-Aug-2019
Curs nr. 3
March 11 - 2013
Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca
http://www.et.utcluj.ro/~lcret
Teoria CampuluiElectromagnetic
Electrostatica
CapacitatiCapacitatea este o proprietate a unei configuratii geometrice, formata de obicei din doua obiecte conductoare separate de un mediu izolator.Sistemul de doua conductoare, fiecare incarcate cu aceeasi sarcina electricadar de semne opuse se numeste condensator.Capacitatea este o masura a sarcinii cu care se poate incarca o anumitaconfiguratie atunci cand aceasta este conectata si apoi deconectata de la o baterie cu U volti.Cantitatea de sarcina Q cu care se incarca fiecare conductor va fiproportionala cu tensiunea U a bateriei si o constanta C, denumita capacitate.
QCU
Capacitate: Farad ={C/V}=FQQ
U
E lines Prin definitie:
Electrostatica
Capacitate
O expresie generala pentru capacitati, in functie de vectorul E :
2
1
P
P
D d AQCU
E d s
Daca mediul ce inconjoara electrozii este omogen (permitivitatea dielectricaeste constanta), atunci capacitatea se scrie doar in functie de vectorul E:
2
1
P
P
E d AC
E d s
Pentru un condesator cu un dielectric omogen, capacitatea este o functie de dimensiunile sale geometrice, ce caracterizeaza forma sipozitia relativa a armaturilor, si este direct proportionala cu permitivitatea dielectrica :
In cazul unui dielectric neomogen, permitiviatea dielectrica variaza, iar capacitatea este o functie de forma:
Electrostatica
Capacitate
1 2 nC f g ,g ,...,g
1 2 1 2n nC f , ,..., ; g ,g ,...,g
Electrostatica
Calculul capacitatilor
Algoritm pentru calculul capacitatilor:
• Se identifica cei doi conductori incarcati cu sarcina• Se calculeaza intensitatea campului electric• Se calculeaza tensiunea electrica dintre cei doi conductori• Se aplica definitia capacitatii
r2
r1
Electrostatica
Capacitatea condensatorului sferic
Q
1. Cei doi conductori sunt incarcati cu Q si -Q
rdA
2. Se aplica legea fluxului electric.24D d A D dA D dA r D Q
DD E 24
QEr
3. Se calculeaza tensiunea dintre conductoare
2 2
1 1
2 2
2 21 21 1
1 14 4 4
r r
AB
r r
Q Q dr QU E d s E ds drr r r r
4. Se aplica definitia capacitatiiAB
QCU
1 2
2 1
4 r rCr r
Electrostatica
14C r Daca: 2r
Capacitatea condensatorului plan paralel
ACd
sE
sQA
QEA
Campul electric dintre placile paralele:
2 2 2
1 1 1
ABQ dU E d s E ds E ds E dA
AB
QCU
+Q -Q
EUAB
A
d
Electrostatica
Pentru a crea un camp electric intr-un domeniu in care acesta era initial nul, este necesar sa deplasam sarcini electrice de la infinit pana la corpurile care vor retine sarcina. Energia electrica a acestui camp esteegala cu lucrul mecanic total necesar pentru a transporta aceste sarcini.
Energia electrostatica
Pentru a defini energia astfel, se considera valide ipotezele:
mediul este izotrop, liniar si fara polarizatie permanenta.
stocarea sarcinilor pe conductoare se realizeaza foarte incet, pentru a se putea considera campul ca fiind electrostatic si pentru a nu se produce transformarea ireversibila a lucrului mecanic efectuat in caldura.
se considera ca sistemul de conductoare este imobil, astfel incat sa nu se piarda lucru mecanic pentru a deforma sau deplasa conductoarele.
Electrostatica
Energia electrostatica
Starea finala a conductoarelor va fi:1 2
1 2
i n
i n
Q ,Q ,........Q ,....QV ,V ,........V ,....V
Se considera n sfere conductoare si urmatoarele ipoteze suplimentare:Toate conductoarele sunt in starea initiala neincarcate:
00
i
i
QV
1 2i , ,..,n
O stare intermediara se va instala proportional, ceea ce se exprima prinexistenta urmatoarelor relatii:
'i i'
i i
Q Q
V V
1 2i , ,..,n
Electrostatica
Energia electrostatica
1
12
n
e i i
i
W V Q
Relatia de mai sus exprima energia stocata in campul electric al unorconductoare, avand sarcinile elecrice si potentialele cunoscute.
Electrostatica
Energia electrostatica
+ -
+Q -Q
s QEA
Se considera un condensator cu diferenta de potential U12 si sarcina +Q , -Q pe armaturi. Aria armaturilor (A) si distanta dintre ele (d).
d
A
U12
V1 V2
Energy stored in the capacitor:
Dar:12
AQCU d
1 2 12
1
1 1 1 12 2 2 2
n
e i i
i
W V Q V Q V Q U Q
2
12 121 12 2eW U Q C U
V este volumul dielectricului dintre armaturi NU potentialul
12U E d
2 2 21 1 12 2 2e
AW E d A d E V Ed
Electrostatica
Energia electrostatica
21 1 12 2 2
ee
Ww E E E D EV
Aceasta relatie este opusa primei relatii pentru energia electrostatica (ceexprima energia in functie de potentiale si sarcini si nu specifica unde estelocalizata energia - in conductoare sau in dielectrici). we este densitatea de energie electrostatica.
12ew D E
In general:
Energia electrica este localizata in dielectrici (acolo unde exista camp electric) si nu in conductoare (unde campul electric este nul).
Energia electrica totala este: 12e e
V V
W w dv D E dv
Concluzie:
!!!!
Electrocinetica
IntroducerePana acum s-a discutat despre electricitatea statica. Sarcinile erau statice. Acum dorim sa vedem ce se petrece cand sarcinile sunt in miscare. De aceease vor studia preponderent conductoarele, si nu izolatoarele (in care sarcinilenu se pot misca). Idea de sarcini in miscare ne aduce imediat la conceptul de curenti electrici si campuri magnetice. In acest captitol se vor trata anumiteaspecte legate de curenti electrici.Aceasta ramura a electromagnetismului este cunoscuta ca: electrocinetica.
Intrucat sarcinile sunt de acum in miscare, nu mai exista echilibruelectrostatic, de aceea proprietatile conductoarelor stabilite anterior nu maisunt valide. In speta, atunci cand sarcinile sunt in miscare, campul electric total in interiorul unui conductor nu mai este nul:
0externalE E
Nota: daca sarcina are o anumita acceleratie, ea creeaza o unda electromagnetica.Aceasta este tema urmatorului capitol despre campul electromagnetic.
Curentul electric
Electrocinetica
Daca sursele producătoare de FSE se află în contact fizic cu un corp metalic, electronii vor încerca imediat să le descarcepână când nu va mai exista câmp electric în interiorulconductorului. Exact aceasta ar fi situatia daca sursa nu ar ficapabila sa furnizeze in mod continuu tot mai multe sarcini, printr-un anumit mecanism de transfer al sarcinilor electrice.
Curent electric
Daca exista un astfel de mecanism, apare o miscare dirijata a sarcinilorelectrice, denumita curent el. de conductie, sau simplu curent electric i (A).
Cantitatea totala de sarcini ce se deplaseaza printr-o sectiune data per unitate de timp reprezinta curentul, notat uzual cu i:
Conductor
vdt
dQ
1, 1 ( )1SI
dQ Ci i A Amperdt s
Aria sectiunii A
iv
Electrocinetica
Considerand curentul ce strabate o sectiune de arie unitara, se obtine o valoarece poate fi definita in orice punct din spatiu ca un vector, notat cu , denumitdensitate de curent de conductie :
J
20
1lim ,1SIA
i di AJ n n JA dA m
unde n este directia normala la (perpendiculara pe) plan.
Curent electric
Curentul total prin suprafetele terminale poate fi obtinut din densitatea de curent ca o integrala pe aria sectiunii conductorului.
A
i J d A
Electrocinetica
v
Curent electric de convectieCurentul electric de conductie are proprietatea de a strabate intotdeaunamediul conductor, deplasarea particulelor incarcate cu sarcina electricafiind o miscare relativa fata de conductor.
Daca sarcinile electrice sunt transportate direct de mase incarcate cu electricitate, apare un curent electric creat de deplasarea acestor mase, denumit curent electric de convectie.
Considerand un corp – conductor sau izolator – incarcat cu o sarcinaelectrica avand densitatea de volum , care se deplaseaza intr-o anumitadirectie cu viteza v:
c C
A
i J d A
C vJ v
Densitatea de curent de convectie este definita ca:
iar curentul total ce-i corespunde este
Electrocinetica
Legea lui Ohm
Prin studii experimentale s-a constatat ca vectorul densitate de curent de conductie este strans legat de vectorul intensitate camp electric. Pentrumajoritatea conductorilor, acesti doi vectori sunt coliniari si proportionalipentru o gama larga de valori ale lui E (materiale liniare).
Prima forma locala: J E
Unde este conductivitatea conductorului.
Valida pt materiale liniare, fara camp electric extern!!
A doua forma locala:1E J J
Valida pt materiale liniare,
fara camp electric extern!!
Unde este rezistivitatea conductorului. 1
Electrocinetica
A doua forma locala:
A treia forma locala:
emfE E J Valida pt materiale liniare si
camp electric extern!!
Legea lui Ohm
emfJ E E
A patra forma locala:
Valida pt materiale liniaresi camp electric extern!!
Electrocinetica
Forma integrala a legii lui Ohm.Se considera un material omogen cu conductivitatea , lungimea l sisectiune uniforma A, ca mai jos. In conductor J, E si Eemf au aceeasidirectie ca si curentul i.
, ,E J d s
1 2 C
emfE E J
emfE
l
i
Integrand forma locala a legii lui Ohm de-a lungul curbei C, intre capetele(1) si (2), se obtine (se observa ca toti vectorii sunt coliniari):
Legea lui Ohm
(2) (2) (2)
12 12
(1) (1) (1)
emf emfE E d s E d s E d s u e
(2) (2)
(1) (1)
emfE E d s J d s
Tensiunea electrica intre cele doua capete 1 si 2Tensiunea electromotoare dintre capetele 1 si 2
Electrocinetica
12u
12e
Legea lui Ohm
(2) (2) (2)
(1) (1) (1)
i dsJ d s ds iA A
Se presupune ca densitatea de curent este uniforma prin sectiuneaconductorului
(2)
12
(1)
dsRA
Daca sectiunea este constanta de-a lungul intregii
curbe, atunci rezistenta intre cele doua puncte (1) si(2) va fi: (2) (2)
12
(1) (1)
ds lR dsA A A
R12 este rezistenta conductorului intre (1) si (2)
Electrocinetica
Legea conservarii sarcinilor electrice (legea continuitatii)
O lege fundamentala a fizicii spune ca sarcinile nu pot fi nici create nicidistruse. Sarcinile pot fi deplasate dintr-un loc in altul de catre currentiielectrici.
Scurgerea unui curent dintr-un volum inseamna, in mod inevitabil, scaderea numarului de sarcini din acest volum. Intrarea unui curent intr-un volum implica cresterea numarului de sarcini delimitate de acest volum.
Aceasta reprezinta asa numita lege a continuitatii curentilor (sau legeaconservarii sarcinilor electrice). In forma integrala, aceasta este:
Electrocinetica
Legea conservarii sarcinilor electrice
v
V V
d dv J d A divJ dvdt
n̂dA
J J
J
J
inQdQi J d Adt
Forma integrala
Remarca foarte importanta: cand in expresia unei legi a EM in formaintegrala exista o derivata a unei integrale de volum (sau suprafata saulinie) sunt doua posibilitati diferite:Volumul (sau suprafata sau linia) este imobila.Volumul, suprafata sau linia se misca cu viteza v = const.
Electrocinetica
Se presupune ca volumul V este mobil cu viteza v, atunci derivata in raport cu timpul a integralei de volum va fi:
vv v
V V
d dv dv v d Adt t
Volumul este imobil Volumul este mobilIn acest caz, forma locala a legii continuitatii va fi:
vv v
V V V
dJ d A divJ dv dv dv v d Adt t
vv
V
J d A v d A dvt
Legea conservarii sarcinilor electrice
Electrocinetica
vv v
V
J d A v d A J v d A dvt
,c vJ v convection current density
,J conduction current density
vc
V
J J d A dvt
vc c
V V
J J d A div J J dv dvt
vcdiv J J
t
Forma locala generala a legii continuitatii
Legea conservarii sarcinilor electrice
Electrocinetica
convectie
conductie
Aceasta este forma locala a legii conservariisarcinilor. Ea ne arata ca sursele densitatilor de curenti de convectie si de conductie sunt puncte, in care densitatea de sarcina se modifica in raportcu timpul.
Legea conservarii sarcinilor electrice
vcdiv J J
t
vdivJt
Aceasta este legea continuitatii in forma diferentialapentru structuri imobile.
1 ) Caz particular. Volumul este imobil
0cJ
Electrocinetica
Aici se considera curenti constanti. In acest caz, sarcinile se deplaseaza cu viteza constanta (in medie) si densitatea lor intr-un anumit punct nuvariaza in timp. Deci,
2 ) Caz particular. Volumul este imobil si regimul e stationar
Electrocinetica
0V
divJ dv J d A
0 0v divJt
Se presupune acum ca integrarea se realizeaza pe o suprafata inchisa -delimiteaza un volum ce cuprinde un nod de circuit. Curentii exista doar in interiorulfirelor metalice, deci integrala reprezinta in fapt suma integralelor pe suprafetelesectiunilor fiecarui fir in parte.
1 2 3
0S S S
J d A J d A J d A J d A
Aceasta reprezinta teorema I a lui Kirchhoffreferitoare la curenti, care in teoria circuitelorelectrice are forma generala:
0n
n
I
Electrocinetica
0321 III
Rezistenta
12 1 212
u V VRi i
2
12
1
u E ds
i J dA E dA
Se prezinta expresia generala pentru obtinerearezistentei electrice a unui obiect.
unde
si
1V
2V
E J
Electrocinetica
RezistentaO expresie generala pentru rezistenta in functie de vectorul E:
2 2
12 1 112
1 111
E d s E d su VR ,i AJ d A E d A
Atentie: punctul (1) trebuie sa fie un punct de pe electrodul cu potential mai mare, si (2) un punct de pe electrodul cu potential mai mic:
112 2
12
1
11 11
E d Ai AG , S
u VE d s
Electrocinetica
Analogia dintre conductanta si capacitate este evidenta:
2
1
E d AQCU E d s
Se presupune existenta a doua structuri cu exact aceeasi forma a electrozilor. Diferenta este ca regiunea ce separa electrozii este un dielectric in primul caz, si un conductor in al doilea caz. Raportul dintrecapacitate si conductanta este:
CG
Rezistenta
2
1
E d AiGu E d s
Electrocinetica
Formula precedenta este foarte convenabila pentru determinarea rezistentei(sau a conductantei) unei structuri pentru care s-a calculat deja capacitatea.
Exemplu: conductanta unei structuri plan-paralele este:
AC , Fd
1AG ,
d
dR ,
A
unde, A este aria armaturilor si d este distanta dintre armaturi.
Rezistenta
Electrocinetica
Expresia rezistentei dintre cilindrul interior si cel exterior, indicate in figura este:
aV
bV
JE
,
arbr
L
Rezistenta
2b
a
LC rlnr
2b
a
LG rlnr
2
b
a
rlnrRL
Electrocinetica
Analogie intre campul electrostatic si campul electrocinetic
fD d A Q
J d A i
vdivD vdivJ
t
D E
J E
QCU
iGu
B
AB
A
U E d s B
AB
A
u E d s
2 1S sdiv D n D D
2 1s
Sdiv J n J Jt
pD E P
emfJ E E
Electrocinetica
AB AB
p emf
U u
E E
D JQ i
P EC G
Analogie intre campul electrostatic si campul electrocinetic
Analogia este foarte utila pentru multe probleme practice. Problemele de electrostatica sunt de obicei mai usor de rezolvat in comparatie cu problemele electrocinetice echivalente.
Electrocinetica
Densitatea de putere si legea lui Joule
Se considera un volum infinitezimal dvdintr-un material rezistiv
ds dA
dv
Lucrul mecanic efectuat de campul electric pentru a deplasa o sarcina infinitezimala dQde la un capat la altul este:
2 ,d W dV dQ E d s dQ Joule
Puterea este definita ca rata de variatie a energiei in timp. Puterea necesarapentru a transfera aceasta sarcina este:
2 E d s dQd WdP E d s i E d s J d Adt dt
Electrocinetica
dP E d s J d A E J d s d A E J dv
Puterea necesara pentru a deplasa sarcini intr-un volum infinitezimal dvpoate fi scrisa si ca:
2 2 3/dPp E J J E W mdv
Densitatea de putere este definita ca puterea per unitate de volumconsumata de campul electric pentru a deplasa sarcini in acel volum:
Densitatea de putere si legea lui Joule
Electrocinetica
,V V
P p dv E J dv W
Legea lui Joule specifica faptul ca pentru un volum dat puterea electricatotala consumata pentru a deplasa sarcini in intregul conductor, convertita in caldura, este:
V
V
V s A
P E J d A d s
E d s J d A E d s J d A
u12 i
Intr-un conductor cu sectiune uniforma dv = dAds, cu ds masurat in directialui J. Ecuatia precedenta devine:
12P u i Aceasta este forma integrala a legii lui Joule (Lenz) pentru o ramura de circuit fara surse.
unde, i este curentul prin conductor.
Densitatea de putere si legea lui Joule
Electrocinetica