Criterio de Áreas Iguales

SISTEMAS DE POTENCIA IIEstabilidad

Capítulo 2Ecuación de Oscilación y

Consideraciones Mecánicas

Prof. Francisco M. González-Longattfglongatt@ieee.org

http://www.giaelec.org/fglongatt/SP2.htm

ELC-30524Sistemas de Potencia II

Ecuación de Oscilación

Sistemas de Potencia II

Introducción• El estudio de estabilidad en régimen transitorio de un

sistema de potencia, acarrea consigo una serie de consideraciones sobre algunas propiedades de carácter mecánico de las máquinas del sistema;

• Debido a que después de un reajuste de potencia, los rotores han de ajustar sus ángulos relativos para satisfacer las condiciones de carga impuestas.

• Los fenómenos originados son de naturaleza eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente ambos en el estudio de estabilidad.

Introducción• Debido a la necesidad de comprender los transitorios

mecánicos en las máquinas, se hace necesario establecer una serie de consideraciones mecánicas.

Consideraciones Mecánicas• El estudio de un sistema de potencia para establecer

su estabilidad en régimen transitorio, acarrea consigo una serie de consideraciones sobre algunas propiedades de carácter mecánico de las máquinas del sistema

• Los fenómenos originados son de naturaleza eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente ambos en el estudio de estabilidad

WPotenciaWatt (W)Potencia

J o W.sTrabajoJoule (J)Trabajo

N-m o J/radTorqueNewton (N)Fuerza

Rad/s2Aceleración angularm/s2Aceleración

Rad/sVelocidad angularMetro/segundo (m/s)Velocidad

Kg.m2Momento de InerciaKilogramo (Kg)MMasa

Radianes (rad)

Desplazamiento angularMetro (m)sLongitud

Unidades MKS

Símbolo/EcuaciónCantidadUnidades MKSSímbolo/Ec

uaciónCantidad

RotaciónMovimiento lineal

dmrJ ∫= 2

dtdsv =

dtdθω =

dtdva =

dtdωα =

MaF = αJT =

∫= FdsW ∫= θTdW

dtdWp =

• En esencia un cuerpo movimiento posee asociado una cierta energía cinética (Ec), que puede ser expresada para el caso del movimiento lineal:

21 MvEc =

Consideraciones Mecánicas• En esencia un cuerpo en rotación posee asociado una

cierta energía cinética (Ec), que puede ser expresada por:

• Siendo I el momento total de inercia del cuerpo rotante [Joule-sec2/rad2], y la velocidad angular con que rota el cuerpo [rad/sec].

21 ωIEc =

• La cantidad de movimiento (P), en el caso del movimiento lineal viene dado por:

Consideraciones Mecánicas• El dual giratorio de la cantidad de movimiento, es el

momento angular [Mega-Joule-sec/rad].

• Generalmente se expresa como el producto del momento de inercia I y la velocidad angular ω.

ωIM =

• El momento angular M, se suele confundir con otro cierto término, denominado constante de inercia, H, esta se define como la energía almacenada por una máquina a la velocidad sincrónica por la potencia en régimen de la máquina.

y se denota:G = régimen de la máquina en MVA

GH = Energía almacenada en MegaJoulio

MVAen maquina la deregimen sincronica velocidada almacenada Energia

Consideraciones Mecánicas• Si la energía almacenada en una parte giratoria, se

encuentra en forma de energía cinética, se puede decir:

21 ωIEc =

GHEc =

2ωMEc =

• Si se considera en estos instantes, que la parte giratoria, corresponde al rotor de una máquina que gira a una velocidad ω en grados eléctricos por segundo, entonces, se puede estimar la velocidad en función de la frecuencia ω=2πf, siendo f la frecuencia en ciclos por segundo (Hz)

221 2 ωω MIGHEc ===

• Se puede realizar la observación que el momento angular M, depende del tamaño y tipo de máquina, mientras que H, no varía mucho con el tamaño

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

Electricos GradosJoule-Mega

• y se denota :G = régimen de la máquina en MVA

• Utilizando la notación antes establecida se reduce:

GH = Energía almacenada en MegaJoulio

MVAen maquina la deregimen sincronica velocidada almacenada Energia

Consideraciones MecánicasValores típicos de H

Rotor Liso 4 a 6Rotor de polos Salientes 3 a 5

Construcción de tipos de rotores (a) rotor cilíndrico (b) rotor de polos salientes

0.91.289.9875SC2

0.31.23025SC1

47.03.5146981340N8

2.823.67281.776.8N1

7.876.15787128CF1-LP

3.052.38305128CF1-HP

22.652.492265911F21

11.154.131115270F11

1.255.02125.425F1

31.75.153166615H18

2.382.7123386H9

0.2352.6123.59H1

Hsys=MWsec/100Hmach=MWS/Srate

MWsecSrated (MVA)Unidad

Ecuacion de Oscilacion

Sistemas de Potencia II

aR sjX

Ecuación de Oscilación• Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a

una barra de potencia infinita:

∞dX TX LTX

G T LT

Barra de potencia infinita

una barra de potencia infinita: ∞dX TX LTX

G T LT

Se obtiene una reactancia equivalente

Se obtiene una reactancia equivalenteLTTds XXXX ++=

una barra de potencia infinita, que durante su operación esta puede entregar una potencia que viene dada por:

δsensXVE

djXTjX LTjX

LTTds XXXX ++=

• Si no se considera:– el par originado por el rozamiento

mecánico,– el rozamiento del aire, – pérdidas en el núcleo, – pérdidas por corrientes de Focault en los

arrollados amortiguadores,• entonces cualquier diferencia entre la

potencia mecánica (Pmec) y la eléctrica (Pelec) debe actuar sobre la máquina como

elecmecacel PPP −=

• Esta potencia acelerante es causada por una diferencia entre el torque mecánico y el electromagnético.

• En función de la energía cinética del rotor, la potencia acelerante queda expresada por:

• Incluyendo la relación entre el torque de aceleración y el momento de inercia :

ωacelacel TP =

αITacel =

Ecuación de Oscilación• Si se aplica la segunda Ley de Newton

aplicada a los torques, resulta:

acelelecmecmec TTT

dtdIT =−==∑ 2

elecT mecT

Ecuación de Oscilación• En donde , es la aceleración angular. En el

rotor de la máquina, se hacen presentes dos torques, Telec el torque electromagnético y Tmecel torque mecánico.

• Si se aplica la segunda Ley de Newton aplicada a los torques, resulta:

acelelecmecmec TTT

dtdIT =−==∑ 2

elecTmecT

Ecuación de Oscilación• El torque acelerante, será positivo, si el torque

mecánico supera al electromagnético, con lo que la máquina se acelera; caso contrario pierde aceleración

• Sea θmec el ángulo de rotor medido respecto a una referencia ωs, la velocidad sincrónica de la máquina y δ el desplazamiento angular del rotor respecto a un eje que gira a velocidad sincrónica.

0>acelT

Ecuación de Oscilación• Sea θmec el ángulo de rotor medido respecto a

una referencia ωs, la velocidad sincrónica de la máquina y δ el desplazamiento angular del rotor respecto a un eje que gira a velocidad sincrónica.

Refererenciaω

tsmec ωδθ +=

Refererencia ω

tsmec ωδθ +=

ωδθωδθ

Ecuación de Oscilación• Se deduce que la aceleración absoluta es igual a la

relativa

• multiplicando por la velocidad angular rotorica en ambos lados de la ecuación anterior se reduce :

acelelecmec TTTTdtdI =−== ∑2

acelelecmec TTTdtdI ωωωδω =−=2

Ecuación de Oscilación• por la definición de momento angular resulta :

• donde M' es por:

acelelecmec PPPdtdM =−=2

ωωωω

Ecuación de OscilaciónLa cantidad es conocido como el momento angular a velocidad sincrónica de la máquina. Rescribiendo la ecuación resulta:

se puede realizar la aproximación que

ya que la variación de velocidad es menor al 3%, con lo que resulta

acelelecmecs

PPPdtdM =−=2

2δωω

• El momento angular de M de una máquina, no es constante, puesto que varía la velocidad angular, pero puede considerarse constante,

• Ya que la velocidad de la máquina no varía considerablemente de la velocidad sincrónica, siempre que no se sobrepase el límite de estabilidad.

1≈sω

ωMMsω

ω=' MM ≈'

• La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación de oscilación y caracteriza la reposición del rotor de la máquina sincrónica durante la perturbación.

• La ecuación de oscilación es una ecuación diferencial trascendental de segundo orden y su solución da origen a una integral elíptica

acelelecmec PPPdtdM =−=2

Ecuación de Oscilación• La ecuación de oscilación puede ser tratada en

cantidades por unidad :

GHJMω

acelelecmecs

PPPdtdGH

=−=2

22 δω

supóngase que se divide en ambos miembros de la expresión por la potencia base Sbase

acelelecmecs

PPPdtdGH

=−=2

22 δω

elecmec

22 δω

[ ]p.u22

b PdtdH

• donde Hb : es la constante de inercia de la máquina en la nueva base (GH = SbaseHb).

• Se realiza el cambio se obtiene:

[ ]p.u22

b PdtdH

acelb P

Ecuación de Oscilación• En forma de radianes eléctricos:

δ: Radianes eléctricos.fs : Hertz.

acelb P

Ecuación de Oscilación• En la forma de grados eléctricos:

δ: Grados eléctricos.fs : Hertz.

acelb P

Constantes de Inercia y Aceleración

• Existe una variedad de métodos, con los cuales es posible deducir la entrada eléctrica y la salida de cada máquina como una curva simple potencia ángulo, o una extensión trigonométrica simple con el ángulo entre la Fuerza Electro Motriz (FEM) interna como la variable.

• La potencia acelerante (Pacel) depende de la condición de operación inicial y de la diferencia entre la entrada y la salida, incluyendo el efecto de las pérdidas.

Constantes de Inercia y Aceleración• Entonces para un generador la potencia acelerante es

la variable, ΔP es:

• donde: Pi es la entrada mecánica, P0 es la salida eléctrica y L es la pérdida total.

• En un motor sincrónico la ecuación anterior es similar en significado, pero el signo numérico de las fuerzas acelerantes es negativo cuando la entrada es menor que la salida más las pérdidas.

( )LPPP i +−=Δ 0

• La inercia de una máquina sincrónica varía a través de un ancho rango dependiendo principalmente de la capacidad y velocidad y en que inercia adicional ha sido intencionalmente agregada.

• Las constantes varían a través de un relativamente estrecho margen si ellas son expresadas en términos de la energía almacenada por KVA de capacidad.

Constantes de Inercia y Aceleración• La relación entre la energía almacenada H y WR2 es

dado por la siguiente expresión:

• donde WR2 es el momento de inercia en libras-pies al cuadrado y ω es la velocidad en revoluciones por minuto (rpm).

KVAsegKWattH

622 10231.0−×

• Las constates de inercia varía a través de un rango desde menor a uno hasta alrededor de diez kilowatt-segundos por KVA, dependiendo del tipo de aparato y la velocidad.

• Además el control de la inercia es uno de los métodos posibles de aumentar la estabilidad del sistema.

• Frecuentemente es conveniente cuando se desprecia las pérdidas reemplazar un sistema de dos máquinas, cada una con inercia finita, por otro sistema consistente de una máquina con una inercia equivalente y una segunda máquina con una inercia infinita.

• Por estos medios, el problema es reducido a un sistema de una sola máquina.

Constantes de Inercia y Aceleración• Si las energías almacenadas de las máquinas son

HaKVAa y HbKVAb, entonces la constante de inercia equivalente de uno de ellos es Heq(a) es dada por:

KVAHKVAH

Constantes de Inercia y Aceleración• En este método, la aceleración, velocidad, y fase que

relaciona la máquina seleccionada son obtenidas con relación a la otra máquina como referencia.

• Cuando pérdidas, cargas intermedias, o más de dos máquinas están consideradas, es necesario usar el método más general donde la relación de aceleración absoluta, velocidad y ángulo de cada máquina son separadamente determinada.

Constantes de Inercia y Aceleración• Con la constante de tiempo, H, y la potencia

acelerante o desaceleante, ΔP, es posible calcular la aceleración por medio de la siguiente ecuación:

• Donde α es la aceleración o desaceleración de ángulos eléctricos por segundo por segundo, f es la frecuencia del sistema en ciclos por segundo, ΔP , es la potencia de aceleración (o desaceleración) en KiloWatt, H es la constante de inercia de inercia en KiloWatt-Segundos/KVA.

HSPfΔ

=180α

Calculo de H

• Se tiene que la energía almacenado en movimiento giratorio del un cuerpo viene dado por:

Energía almacenada = Energía cinética

• Donde J: Momento de inercia en Kg-m2, ω: velocidad nominal en rad/seg.

[ ]sWJEc .21 2ω=

[ ]sMWJEc .1021 62 −×= ω

Calculo de H• De tal modo que resulta:

alnoMVAJH

62 1021 −×

alnoMVA

−×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )alnoMVA

RPMJHmin

629 101048.5

−− ×

Calculo de H

• Algunas veces el momento de inercia del rotor es dado en términos de WR2, lo cual es igual al pero de las partes giratorias multiplicado por el cuadrado de los radianes de giro en lb.ft2.

• Entonces el momento de inercia en slug.ft2=WR2/32.2.

22 356.11

0685.0205.21281.31

mkgftslug

sluglbkgftm

−=−

Calculo de H• Las siguientes relaciones entre las unidades MKS y

las unidades inglesas es útil para convertir de WR2 a J:

22 356.11

0685.0205.21281.31

mkgftslug

sluglbkgftm

−=−

Calculo de H• El momento de inercia J en kg-m2 a WR2 es:

• De modo que resulta:

356.12.32

( ) ( ) [ ]MVAsMWMVA

RPMWRHalno

/1031.2

2210−

Amortiguamiento

• El principal factor de amortiguamiento cuando el rotor de una máquina tiende a separarse de la velocidad sincrónica, se debe a los devanados amortiguadores.

• En general el amortiguamiento esta fuertemente relacionado con la velocidad relativa de la máquina. Si la potencia del amortiguamiento es proporcional a la velocidad resulta:

dtdKPamortig

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