Post on 02-May-2015
Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale
Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina
1) Energia2) Lavoro3) Energia Cinetica4) Energia Potenziale5) Principio di Conservazione dell’Energia6) Applicazioni: urti
Parte IV: Dinamica del Punto 2a parte
L’Energia è una grandezza fondamentale in tutti i campi della Fisica (e non solo!)
Un corpo deve possedere energia per poter esercitare delle forze su di un altro
L’Energia può essere in generale pensata come le risorse a disposizione di un sistemafisico
L’Energia può essere trasferita da un sistema fisico ad un altro, da un sottosistema adun altro, da un corpo ad un altro
Normalmente i trasferimenti di energia avvengono tramite l’azione di forze
AA BBBB
AA
BB
AA
BBAA AA
BB
AA
BB
AA BBAA
BB
AA
BB
AA BBBB
AA
BB
AA
BBAA BBAA BB
EnergiaEnergia
Vogliamo studiare gli effetti dell’applicazione delle forze
Si definisce lavoro di una forza il seguente integrale curvilineo: B
AAB rdFW
rd
F
rd
F
A B
L’integrale curvilineo va esteso solo alla traiettoria e, in generale, non è possibile calcolarloanaliticamente
Si noti che la forza può variare punto per punto e che non necessariamente è l’unicaforza agente sul corpo, perché potrebbero esserci forze vincolari, di attrito e/o altre forzeesterne
LavoroLavoro
Le unità fisiche del lavoro si chiamano Joule (MKS) o erg (CGS)
22 tmllFW ergcmgmKg
mNewtonJoule 72
243
2
2
10sec1
1010
sec1
11111
Solo in casi particolari il lavoro è facilmente calcolabile, di solito casi monodimensionaliin cui forza e spostamento hanno la stessa direzione
In un caso monodimensionale supponiamo che un corpo si sposti dalla posizione x=0alla posizione x=X0, sotto l’azione di una forza F(x)=-kx
x=0
F=-kx=0
x=X0
F(x)=-kx=-kX0
x=0
Si ha: 2
00
0
2
1kXdxkxW
X
Siccome il risultato è minore di zero si parla diLAVORO RESISTENTE
Se la forza fosse stata concorde con lo spostamento avremmo avuto un LAVORO MOTORE
Si può compiere lavoro solo possedendo energia, anzi il lavoro è l’energia che si trasferisceda un sistema fisico (sottosistema, corpo, particella, etc.) ad un altro per mezzo delle forze
Questo fatto è messo in evidenza dal seguente teorema:Il lavoro compiuto dalla risultante di tutte le forze agenti su di un corpo è SEMPRE parialla variazione di Energia Cinetica del corpo
ABAB
v
v
v
v
v
v
B
A
B
A
B
ARis
KKmvmvvdm
vvdmvdvm
rddt
vdmrdamrdFW
B
A
B
A
B
A
222
2
1
2
1
2
1
2
1
Nell’ultimo passaggio si è introdotta la definizione di Energia Cinetica
2
2
1mvK
Il Teorema del Lavoro e dell’ Energia CineticaIl Teorema del Lavoro e dell’ Energia Cinetica
L’Energia Cinetica è evidentemente una proprietà del corpo: essa esiste per il solo fattoche il corpo è dotato di una massa m e si muove con velocità v
L’Energia Cinetica è definita positiva, e può essere nulla solo se è nulla la velocità
Lo “zero” dell’Energia è quindi arbitrario almeno quanto la scelta di un sistema di riferimento inerziale (l’energia cinetica è nulla se il corpo è in quiete)
Le dimensioni e le unità di misura (Joule o erg) dell’energia sono le stesse del lavoro,ma lavoro ed energia sono concetti completamente diversi
Il lavoro è la quantità di energia che a causa dell’azione di forze passa da un sistemafisico ad un altro, mentre l’energia può essere posseduta da un corpo indipendentementedall’essere sottoposto a forze
Non si può compiere lavoro se non si possiede energia
L’energia cinetica è solo una possibile forma di energia. In generale quest’ultima può essereanche negativa
Commenti su Lavoro ed EnergiaCommenti su Lavoro ed Energia
Un corpo può possedere energia per il solo fatto di stare in una certa posizione
Supponiamo che un corpo cada da una quota h1 ad una quota h2 per effetto della forza peso
h1
h2
Il lavoro della forza peso è facile da calcolare, poiché forza e spostamento giaccionosulla stessa direzione
012
2
1
hhmghdFWh
hp
Energia PotenzialeEnergia Potenziale
Posso ora definire la funzione del punto dello spazio (quota): mghhU
Le proprietà di questa funzione (tecnicamente si chiama campo scalare) sono le seguenti
mgdh
dUF
dUmgdhW
UWhU
UhUhUhUhUW
p
h
ABBAAB
4
3
002
1
0
Quindi, dato che in tutti i punti esiste la forza peso, e per tutti i punti dello spazio èdefinibile la quota h, la funzione U riassume la seguente proprietà fisica:una massa m libera di cadere ad altezza h possiede energia per il solo fatto di trovarsialla quota h. Tale energia va sotto il nome di Energia Potenziale (della forza peso).
Il concetto di energia potenziale è, evidentemente, completamente differente da quello dienergia cinetica (e.g un corpo fermo può possedere energia potenziale ma non cinetica)
Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza peso quando un corpo scivola lungo un pianoinclinato senza attrito ma passa sempre dalla quota h1 ad h2.
y
x
h1
h2
dl
Fp=-mg
I vettori Fp e dl possono essere decomposti lungo gli assi cartesiani
dyydxxld
FymgyFxFF pxpypxp
0
Ora il prodotto scalare ed il lavoro possono essere calcolati
UhUhUmgdyW
mgdydyFdxFldFh
h
pypxp
21
2
1
È interessante notare che la variazione di energia potenziale nel caso del piano inclinatoè la stessa di quella della traiettoria verticale. Siccome l’energia potenziale dipende SOLOdalla quota il risultato non può cambiare se cambia la traiettoria.
Abbiamo dunque scoperto che il lavoro della forza peso non dipende dalla traiettoriama solo dalle quote iniziali e finali
Ciò è principalmente dovuto al fatto che la forza peso è costante, e ciò fa sì che valesserole quattro proprietà della Energia Potenziale. In particolare la terza dice che il lavoroinfinitesimo della forza peso è pari (a parte il segno) al differenziale esatto dell’energiapotenziale.
dUW
Le quattro proprietà possono valere anche per forze non uniformi, ma variabili neidiversi punti dello spazio (campi di forze). Se tali forze esistono si dicono conservative.
Per le forze conservative è sempre possibile definire una energia potenziale tale che
Ugradz
Uz
y
Uy
x
UxzyxF
ˆˆˆ,,
Il principio di conservazione dell’EnergiaIl principio di conservazione dell’Energia
Per un corpo che cade l’energia potenziale della forza peso diminuisce proporzionalmenteall’altezza. Tuttavia siccome aumenta la sua velocità aumenta l’energia cinetica.
L’azione della forza peso quindi trasforma continuamente l’energia potenziale in energiacinetica. Se il grave fosse scagliato verso l’alto l’azione della forza peso sarebbe quella difrenare il corpo fino a fermarlo, e ciò trasforma la sua energia cinetica in potenziale(aumenta la quota)
Se il sistema fosse isolato, ovvero la forza peso fosse pari alla risultante di tutte le forzeesterne (no attrito, no reazioni vincolari, etc.), e per tutte quelle forze che godono dellaproprietà 3 potremmo applicare il teorema del lavoro e della energia cinetica
fUKiUKfUiUKK
fUiUdUWldFW;KKldFW
fiif
f
i
f
i
f
ipifif
f
ipif
Interessantemente l’ultimo passaggio ci dice che la somma della energia cinetica e dellaenergia potenziale, che è detta Energia Meccanica Totale, E=K+U, è la stessa in tutti ipunti della traiettoria e a tutti i tempi, cioè si conserva
In un sistema isolato, quindi, nel quale agiscono solo forze conservative (interne) l’energia meccanica non si crea e non si distrugge
Per effetto delle forze (conservative) l’energia si trasforma continuamente da cineticaa potenziale o viceversa, ma l’energia totale del sistema non cambia
Sembrerebbe, poiché abbiamo trovato questo risultato per le forze conservative, cheil principio di conservazione dell’energia valga solo per queste forze. Vedremo che conun opportuno ampliamento del concetto di energia che travalichi gli angusti limitidella Meccanica, che questo principio è molto più generale (I Principio dellaTermodinamica).
In realtà si può dimostrare (Teorema di Noether) che esso è una diretta conseguenzadel Postulato di Omogeneità del Tempo (e.g. se non si cambiano le condizioni esterneun fenomeno fisico avviene sempre e sempre alla stessa maniera). Analogamente ilPrincipio di Conservazione della Quantità di Moto è una diretta conseguenza del Postulatodi Omogeneità dello Spazio (e.g. se non si cambiano le condizioni esterne un fenomenofisico avviene dovunque e dovunque alla stessa maniera).
All’atto della collisione di due corpi si stabiliscono delle forze di contatto che agisconosolo per il breve intervallo di tempo in cui i corpi si “toccano”
F
t
Tali forze sono dette impulsive e si definisce impulso la quantità 2
1
t
t
dtFJ
Per la seconda legge ptptpdtdt
pdJ
t
t
12
2
1
cioè l’impulso è pari alla variazione delle quantità di moto
UrtiUrti
Dunque a causa dell’urto, se non vi sono altre forze esterne, l’impulso ceduto dal primocorpo è pari alla variazione della quantità di moto del secondo
Se i due corpi possono essere considerati un sistema isolato la quantità di moto totale sideve conservare. Pertanto, nell’urto i due corpi si scambiano quantità di moto
Ma anche l’energia meccanica si potrà conservare. Ciò non accadrà se per effetto diforze non conservative parte dell’energia viene trasferita a gradi di libertà microscopici.
Ciò di solito avviene perché le superfici di contatto si deformano nell’urto, e magarigli atomi di cui esse sono costituite cominciano a vibrare come tante piccole molle(questo è il meccanismo che fa propagare il suono nei solidi)
Nei casi in cui si potranno trascurare gli effetti di queste piccole dissipazioni (si pensia palle di biliardo) si parlerà di urti elastici. Se le variazioni di energia totale sonoinvece significative si parlerà di urti anelastici
Molte cose possono accadere dopo un urto:
m1
v1 m2v2
m1
v1 m2v2
1) La velocità di uno dei corpi si inverte 2) Ci può essere un trasferimento di massa
m3
v3 m4
v4
3) I corpi si spezzano i vari pezzi
m3
v3
m4
v4m2
v2 m1+m2
v
4) Le due masse coalescono
5) etc.
Una massa m urta contro una parete e rimbalza. Trascurando tutti i possibili attritie dissipazioni, calcolare la velocità della massa dopo l’urto (la parete resta immobile) .
Bisogna realizzare che nel caso unidimensionale la parete esercita una forza dicontratto immensa sulla massa. La conservazione dell’energia sostiene che
22
2
1
2
1fi mvmv
La soluzione è banale in tal caso: la particella rimbalza e va via dalla parete convelocità uguale ed opposta a quella iniziale. L’impulso sarà dunque
ifi mvmvmvtFJ 2
Siccome il tempo dell’interazione è estremamente breve, F deve essere molto grandeaffinché il suo prodotto con t sia finito
Il caso più interessante è quello in cui il corpo incide sulla parete con un angolo acuto
Urto con una pareteUrto con una parete
Visto dall’alto:
pi
pf
La forza di contatto alla parete sarà sempre perpendicolare alla parete stessa. Pertantola seconda legge darà:
0dt
dp
Fdt
dp
y
cx
La prima equazione è l’analogo del caso unidimensionale: la forza di contatto fa cambiareil verso alla componente perpendicolare (alla parete) della quantità di moto
y
x
cospcosp if
sinpsinp if
La seconda dice invece che la componente tangenziale della quantità di moto si deveconservare
Dalla conservazione dell’energia
ififif ppvvmvmv 2222
2
1
2
1
Sostituendo si trova
2
,sinsin
Il risultato trovato è noto ai giocatori di biliardo:l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione
y
x
pi
Una massa m trasla con velocità v su un piano senza attrito che presenta uno piccoloscalino arrotondato di altezza h. La massa incide sullo scalino lungo una retta che faun angolo con la perpendicolare al gradino e lo scavalca. Sul piano superiore latraiettoria è una linea retta che forma un angolo con la perpendicolare al piano.Calcolare e dire se è maggiore o minore di .
Anche in questo caso la forza di contatto sarà perpendicolare al gradino e saràl’unica forza esterna.
pf
In presenza della forza peso, però, l’energia potenziale della massa dopo aver salitoil gradino sarà aumentata di mgh
Urto con uno scalinoUrto con uno scalino
Il principio di conservazione dell’energia dà:
iiffi vghvvmghmvmv 22
1
2
1 222
Siccome la componente tangenziale della quantità di moto si deve conservare, comenel problema precedente:
221
12
2
2
i
i
i
i
fif
v
gh
sinarcsin
v
ghv
v
v
sin
sinsinpsinp
Queste ultime formule rispondono ai quesiti del problema. Si noti però che:
1) Se la massa si fosse mossa dal piano superiore verso l’inferiore si sarebbe ottenutoesattamente il contrario;
2) L’attrito può alterare sensibilmente questo scenario;3) Se h è molto grande, l’argomento della radice può diventare negativo: ciò
corrisponde al caso della parete, ovvero la massa non sale sul piano superiore.
Un tir di massa M ed una automobile di massa m hanno una collisione frontale.Le velocità dei veicoli subito prima dello scontro sono Vi (in direzione x) e vi (in direzione –x).Una frazione P dell’energia cinetica Ki dei veicoli è dissipata nel danno ai veicoli stessi.Calcolare le velocità Vf e vf dei veicoli dopo l’urto.
Imponendo la conservazione della quantità di moto e dell’energia si avrà un sistemadi equazioni di secondo grado nelle incognite Vf e vf:
iiiiff
iiiff
KKPmvMVPmvMV
pmvMVmvMV
12
1
2
11
2
1
2
1 2222
Risolvendo:
022
02
1
2
1
222
22
iifif
iffifi
f
KMpmvpvMmm
;KmvM
mvpM;
M
mvpV
Collisione frontaleCollisione frontale
MmM
KmpMmMMpMpV
Mmm
KMpMmmmpmpv
iiiif
iiiif
2
222
2
222
2
2422
2
2422Si ottiene:
Si pone ora il problema di quali segni delle radici vadano scelti
Bisogna realizzare che “velocità positiva” indica che il veicolo viaggia verso destramentre “velocità negativa” indica il contrario. Se dopo l’urto Vf>0 e vf<0, significache entrambi i veicoli continuano a muoversi nella stessa direzione, ovvero chepassano l’uno attraverso l’altro. Benchè tale caso sia possibile per particelle quantistichenon è certo il caso di un tir ed una automobile, quindi vanno scelti i segni che rendonoVf<0 e vf>0, ovvero “+” nella prima e “-” nella seconda.
Si noti che il segno “-” nella prima lascia vf>0, tuttavia non sarebbe verificata ladisequazione
0
M
mvpV fi
f