Dr. Ángel F. Palacios Lazcano Notas de Probabilidad y Estadística ICE-ESIME-Z-IPN

INTRODUCCION A TECNICAS DE CONTEO

Permutaciones (nPm): Es el número total de arreglos diferentes de m de n elementos en un orden especial, sin duplicarlos

Combinaciones (nCm): Es el número de selecciones distintas de m de n elementos, en el cual no se especifica el orden o colocación de los elementos, sin duplicarlos.

Experimento: Cualquier proceso de observación y ensayo

Evento: Ocurrencia de un resultado cualquiera de entre varios posibles resultados de un experimento

EVENTO ORDENADO NO ORDENADO

Con remplazo

Sin remplazo

Ejercicios Introductorios

1.- Enumerar todas las permutaciones posibles de los elementos a, b, c tomando dos a la vez

2.-Repetir el ejercicio anterior pero tomando los 3 a la vez

3.- Determinas las combinaciones posibles de los elementos a, b, c tomando 3 a la vez

4.- Repetir el ejercicio 3 pero tomando tres a la vez

5.-Rncontrar el número de formas posibles en que tres cartas pueden extraerse, al azar y sin reposición, de una baraja de 52 cartas

6.-Rncontrar el número de formas posibles en que tres cartas pueden extraerse, al azar y sin reposición, de una baraja de 52 cartas, una detrás de otra.

7.- A partir del problema 5, ¿Cuántas formas habrá si se desea que las 3 extraídas sean espadas?, ¿y cuantas formas habrá si se desea que de las 3 extraídas, 2 sean espadas?

8.- A partir del ejercicio 5 ¿Cuántas formas habrá si se desea que al menos 2 de las 3 extraídas sean espadas?

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Ejercicios de técnicas de conteo. Parte I

1. Si no hay repeticiones, a) Encuentra el número n de números de 3 dígitos que pueden formarse a partir de los 6 dígitos: 2, 3, 5, 6, 7 y 9 b) ¿Cuántos de ellos son pares? c) ¿Cuántos de ellos son mayores que 400? d) ¿Cuántos de ellos son pares o menores que 200 o ambos?

2. Entre 120 estudiantes de 1er. semestre de una universidad, 50 toman un curso de matemáticas, 40 toman un curso de inglés y 10 toman ambos. Encuentra el número de alumnos de 1er. semestre que: a) No toman matemáticas b) Toman matemáticas pero no inglés c) Toman inglés pero no matemáticas d) Toman exactamente 1 de las 2 materias e) No toman matemáticas ni inglés

3. Un código consiste de 4 caracteres. Encuentra el número de códigos que pueden formarse si (suponer

un alfabeto de 26 letras): a) En el primer sitio sólo puede haber 1 dígito, en el último una vocal y en los que sobran, sólo

consonantes b) ¿Cuántos códigos habrá si en exclusivamente 2 lugares sólo puede haber dígitos? c) ¿Cuántos habrá si en el primer sitio sólo puede haber vocales y en el resto dígitos o letras que no

sean vocales?

4. Se lanza un par de dados y se registran los 2 números que aparecen en la cara de arriba. Encuentra el número de elementos de cada uno de los eventos que siguen y expresa cada evento por extensión: a) A = “Los 2 números son iguales” b) B = “La suma es 10 o más” c) C = “Aparece 5 en el segundo dado” d) D = “Aparece 3 al menos en un dado”

5. Un grupo está constituido por 8 estudiantes. Encuentra el número de muestras ordenadas de tamaño

3: a) con reposición, b) sin reposición

6. Una clase está formada por 10 estudiantes, 6 hombres y 4 mujeres. Encuentra el número de formas para: a) Formar un comité de 4 miembros seleccionados entre todos los estudiantes b) Formar un comité de 4 miembros con 2 hombres y 2 mujeres c) Elegir un presidente, un vicepresidente, un tesorero y un secretario

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7. Construye un diagrama de árbol que de las permutaciones de {a, b, c} 8. Una persona tiene tiempo para jugar a la ruleta como máximo 5 veces. En cada juego, la persona gana

o pierde 1 dólar. Si la persona empieza con 1 dólar y dejará de jugar antes de 5 juegos si pierde todo su dinero. Encuentra: a) El número de formas en que pueden ocurrir las apuestas b) ¿Cuántas formas hay de que la persona deje de jugar antes de 5 juegos? c) ¿Cuántas formas hay de que la persona se vaya sin dinero?

Ejercicios: Técnicas de Conteo. Segunda parte

1. Encuentra el número de códigos de 4 caracteres que pueden formarse utilizando un alfabeto de 26 letras y 10 dígitos si: a) No hay restricciones b) En el primer lugar sólo puede haber dígitos c) En el primer lugar sólo vocales y en el resto, dígitos o letras que no sean vocales d) En el primer sitio sólo dígitos, en el último sólo vocal y consonantes en el resto

2. Un alumno de ICE debe responder 8 de 10 preguntas de un examen de probabilidad

a) Encontrar el número “n” de formas en que el estudiante puede elegir las 8 preguntas b) Encontrar “n” si el estudiante debe responder obligatoriamente las 3 primeras preguntas c) Encontrar “n” si debe responder obligatoriamente la 1ª o la 2ª, pero no ambas

3. Encuentra el número “n” de formas en que 4 personas pueden sentarse en una fila de 4 sillas

4. Encuentra el número de palabras que pueden formarse con 4 de las letras de la palabra “LIBROS” si:

a) No hay restricciones b) Empiezan con consonante y contienen a la letra “B”

5. Un grupo que debate está formado por 3 hombres y 3 mujeres. Si se desea sentarlos en una filas de 6 sillas, ¿de cuántas maneras podrá hacerse si: a) No hay restricciones? b) Los hombres desean sentarse separados de las mujeres? c) Sólo las mujeres se sientan juntas? d) Los hombres o las mujeres o ambos quieren sentarse juntos

6. Si no hay repeticiones,

a) Encuentra el número “n” de números de 3 dígitos que se pueden formar a partir de los dígitos: 1, 2, 3 y 4

b) ¿Cuántos de ellos son pares o menores que 200 o ambos? c) ¿Cuántos de ellos son pares o mayores que 200 o ambos?

7. De 14 alumnos elegibles para formar una delegación de 5 estudiantes, 8 pertenecen a ICE y 6 a IE.

¿Cuántas formas habrá de que la delegación esté formada: a) Únicamente por alumnos de ICE? b) Por al menos un alumno de IE?

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8. Se extraen 3 cartas de una baraja de 52 cartas, de manera sucesiva y sin remplazo. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto si se desea que: a) De las 3 extraídas, 2 sean diamantes? b) Las 3 sean diamantes? c) De las 3 extraídas, al menos 2 sean diamantes?

9. ¿De cuántas maneras pueden guardarse 3 protoboards en 2 cajas?

10. 3 cartas se extraen de manera sucesiva, al azar y sin reposición, de una baraja de 52 cartas. Encuentra el número de formas en que pueden extraerse:

a) Un diamante, un trébol y un corazón b) Dos corazones y después un trébol o una espada

Ejercicios: Técnicas de Conteo. Tercera parte.

1. Dos personas van a jugar un torneo de ajedrez. La primera persona que gane 2 juegos seguidos o quien

gane un total de 3 juegos, gana el torneo. Encuentra las diferentes formas en que puede desarrollarse dicho torneo.

2. En un lote de 5 LED’s similares hay 2 defectuosos y 3 sin defectos. Los LED’s se prueban uno a continuación de otro hasta encontrar los 2 defectuosos. ¿Cuántas y cuáles son las formas en que puede desarrollarse la prueba?

3. 3 cartas se extraen de manera sucesiva, al azar y sin reposición, de una baraja de 52 cartas. Encuentra

el número de formas en que pueden extraerse: a) Un diamante, un trébol y un corazón b) Dos corazones y después un trébol o una espada

4. En un lote de 12 libros de electrónica hay 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños. ¿De cuántas

maneras pueden acomodarse los 12 libros en una repisa si los libros de un mismo tamaño deben colocarse juntos?

5. ¿Cuántos passwords de 7 letras (4 consonantes y 3 vocales) pueden formarse a partir de 7 consonantes y 5 vocales?, ¿cuántas formas habrá si se desea que los passwords alternen consonantes y vocales?

6. De una baraja de 52 cartas se extrae al azar una carta. ¿De cuántas maneras puede realizarse este

experimento si se desea que la carta extraída sea: a) Un as b) Una reina de corazones c) Un 3 de tréboles o un 6 de diamantes d) Un 10 o una espada e) Un corazón f) Una carta roja g) Una carta negra h) De cualquier palo, menos corazón i) Ni un 4 ni un trébol

7. Una computadora “monstruo” consta de 6 núcleos (4 INTEL y 2 AMD), conectados bajo una

arquitectura en serie. ¿De cuántas maneras pueden instalarse los núcleos si: a) Los núcleos pueden colocarse en cualquier orden? b) Los núcleos INTEL deben colocarse siempre juntos? c) Los núcleos AMD deben colocarse en los extremos del arreglo?

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8. Encuentra el número de palabras de 4 letras, tomadas de la palabra “FILAMENTOS”, que:

a) Empiezan con vocal b) Terminan con consonante c) Empiezan con vocal o terminan con consonante o ambas d) Empiezan con consonante y contienen a la letra “s”

9. En un catálogo de artículos de electrónica, cada artículo se codifica empezando con 3 letras distintas y continúa con 4 dígitos, cuya única restricción es que no deben ser cero. Determina el número de códigos que empiezan con la letra “A” y terminan con un par como último dígito.

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