Post on 17-Mar-2020
COMPLEMENTOS AO CURSO DE FÍSICA�MATEMÁTICA I: SÉRIES ETRANSFORMADA DE FOURIER
DOMINGOS H. U. MARCHETTI
IFUSP - 2015
Conteúdo
1. Algumas Propriedades Gerais dos Coe�cientes de Fourier 22. Convergência da série de Fourier - Primeiros Teoremas 93. Somabilidade de Cesàro, teorema de Fejér e hipótese tauberiana 224. Transformada de Fourier 36
1
COMPLEMENTOS 2
1. Algumas Propriedades Gerais dos Coeficientes de Fourier
Seja f : R −→ R uma função 2L�periódica, (Riemann) integrável e absolutamente (Riemann)integrável em cada intervalo [a, b] de R (por brevidade, dizemos que uma função 2L�periódica f éda classe L 1). Então a série de Fourier Sf(x) de f(x) na sua forma complexa
Sf(x) =∞∑
n−∞
cn einπLx (1.1)
tem coe�cientes
cn =1
2L
∫ L
−Lf(x) e−i
nπLx dx (1.2)
de�nidos para todo n inteiro, devido as hipóteses sobre a integrabilidade de f ; ou na sua forma real
Sf(x) =a02
+∞∑n=1
(an cos
nπ
Lx+ bn sin
nπ
Lx)
(1.3)
na qual os coe�cientes
an =1
L
∫ L
−Lf(x) cos
nπ
Lx dx , n = 0, 1, . . .
bn =1
L
∫ L
−Lf(x) sin
nπ
Lx dx , n = 1, 2, . . . (1.4)
estão igualmente de�nidos pelas mesmas hipóteses sobre f (veja Sec. 3.1 do livro texto �Seriesde Fourier e Equações Diferenciais Parciais�, de Djairo G. de Figueiredo, para exemplos e contra-exemplos de funções da classe L 1).O objetivo da presente Seção é demonstrar algumas propriedades satisfeitas pelos coe�cientes
(cn) e (an, bn) das séries de Fourier Sf(x) de f(x), equações (1.1) e (1.3), sumarizadas pela seguinte
Proposição 1.1. (1) Se f ∈ L 1, então f é real e
c−n = c∗n
onde cn = (an − ibn) /2 e c∗n = (an + ibn) /2 é o complexo conjugado de cn.
(2) Se f ∈ L 1 é par, então a seqüência (cn)n∈Z é par:
c−n = cn , ∀n .
Se f é impar, então a seqüência (cn)n∈Z é ímpar:
c−n = −cn, ∀n .
Em particular, devido ao ítem 1, cn é real se f é par e imaginário puro se f é ímpar.
(3) Se f ∈ L 1 é ímpar e monotona não�decrescente em (0, 2L) , então
bn ≥ 0 , n = 1, 2, . . .
(4) Se f ∈ L 1 é par e convexa em (0, 2L), então
an ≥ 0 , n = 1, 2, . . .
COMPLEMENTOS 3
Prova do ítem (1). Por de�nição de conjugação de um número complexo e (1.2),
c−n =1
2L
∫ L
−Lf(x) ei
nπLx dx
=1
2L
∫ L
−L
(f(x) e−i
nπLx)∗
dx
=1
2L
(∫ L
−Lf(x) e−i
nπLx dx
)∗= c∗n . (1.5)
Na segunda e terceira igualdades usamos (zw)∗ = z∗w∗, com z = f(x) e w = einπLx, satisfeita
para todo par de números z, w ∈ C, e (z + w)∗ = z∗ + w∗ juntamente com a integral de Riemann,de�nida pelo limite da soma das áreas dos retângulos justapostos que aproximam a região sob acurva de uma função h : [a, b] −→ R:∫ β
α
h(x)dx = limn→∞
n∑j=1
h(βj)(αj − αj−1) ,
para alguma partição a = α0 < β1 < α1 < · · · < βn < αn = b do interval [a, b] tal que ∆ =
maxj (αj − αj−1) tende a 0 quando n → ∞. Se f ∈ L 1, as partes reais e imaginárias de h(x) =
f(x)e−inπLx pertencem a L 1 e (com a = −L e b = L)∫ L
−Lh∗(x)dx = lim
n→∞
n∑j=1
h∗(βj)(αj − αj−1)
= limn→∞
(n∑j=1
h(βj)(αj − αj−1)
)∗
=
(∫ L
−Lh(x)dx
)∗(1.6)
estabelece a terceira igualdade e implica a relação (1.5).A relação entre os coe�cientes cn e an, bn é estabelecida aplicando a fórmula de Euler
eiθ = cos θ + i sin θ (1.7)
e suas conseqüências
cos θ =1
2
(eiθ + e−iθ
)cos θ =
1
2i
(eiθ − e−iθ
)em cada termo entre parênteses de (1.3)
an cosnπ
Lx+ bn sin
nπ
Lx =
1
2(an − ibn) ei
nπLx +
1
2(an + ibn) e−i
nπLx
= cneinπLx + c−ne
−inπLx (1.8)
COMPLEMENTOS 4
onde a segunda igualdade de�ne os coe�cientes cn que, em vista de (1.4), concordam com (1.2):
cn =1
2(an − ibn)
=1
2L
∫ L
−Lf(x) cos
nπ
Lx dx− i
2L
∫ L
−Lf(x) sin
nπ
Lx dx
=1
2L
∫ L
−Lf(x)
(cos
nπ
Lx − i sin
nπ
Lx)dx
=1
2L
∫ L
−Lf(x) e−i
nπLx dx .
Substituindo (1.8) em (1.3) com c0 = a0/2, obtemos (1.1).Outra demonstração de (1.6) faz uso da fórmula de Euler (1.7):∫ L
−Lh∗(x)dx =
∫ L
−Lf(x)(cos
nπ
Lx+ i sin
nπ
Lx)dx
=
∫ L
−Lf(x) cos
nπ
Lxdx+ i
∫ L
−Lsin
nπ
Lxdx
=
(∫ L
−Lf(x) cos
nπ
Lxdx− i
∫ L
−Lsin
nπ
Lxdx
)∗=
(∫ L
−Lf(x)(cos
nπ
Lx− i
∫ L
−Lsin
nπ
Lx)dx
)∗=
(∫ L
−Lh(x)dx
)∗�
Prova do ítem (2). Pela mudança de variável x em −x em (1.2), temos
c−n =1
2L
∫ L
−Lf(x) ei
nπLx dx
=1
2L
∫ L
−Lf(−x) e−i
nπLx dx = ±cn
com o sinal + se f(−x) = f(x) (par) e − se f(−x) = −f(x) (ímpar).�
Prova do ítem (3). Seja Π a partição do intervalo I = [0, 2L] em 2n subintervalos Ij = [αj, αj+1)
de tamanho L/n,0 = α0 < α1 < · · · < α2n−1 < α2n = 2L
indexados pelas extremidades à esquerda: αj = jL/n, j = 0, 1, . . . , 2n− 1.
COMPLEMENTOS 5
Decompomos, em seguida, a integral (1.4) para o n�ésimo coe�ciente ímpar bn em 2n integraisde acordo com a partição Π:
bn =1
L
∫ L
−Lf(x) sin
nπ
Lx dx
=1
L
∫ 2L
0
f(x) sinnπ
Lx dx
=1
L
2n−1∑j=0
∫ (j+1)π/L
jπ/L
f(x) sinnπ
Lx dx (1.9)
Note que, devido o integrando ser uma função 2L�periódica, o intervalo de integração [−L,L] naprimeira igualdade pôde ser substituído pelo o intervalo de referência I = [0, 2π] sem alterar o valorda integral. Para a integral sobre o j�ésimo intervalo Ij realizamos a mudança de variável,
x = y + jL
n
de tal forma que dx = dy (jacobiano igual a 1) e o intervalo Ij de integração, para cada j, é levadopara I0 = [0, L/n): ∀j = 0 . . . , 2n− 1, x ∈ Ij se, e somente se, y ∈ I0. Pela transformação,
sinnπ
Lx = sin
nπ
L(y + jL/n)
= sin(nπLy + jπ
)= sin
nπ
Ly · cos jπ = (−1)j sin
nπ
Ly (1.10)
com o sinal + nos intervalos Ij com j par e − nos intervalos Ij ímpares. Agrupando os intervalospares e ímpares sucessivos, a integral (1.9) pode ser escrita, em vista da mudança de variável epropriedade (1.10), como
bn =1
L
n−1∑k=0
∫ π/L
0
(f(y + 2kL/n)− f(y + (2k + 1)L/n)) sinnπ
Ly dy . (1.11)
Devido a hipótese sobre f(x) ser não�crescente e
sinnπ
Ly ≥ 0 , ∀y ∈ [0, L/n] ,
o integrando em (1.11) é positivo:
(f(y + 2kL/n)− f(y + (2k + 1)L/n)) sinnπ
Ly ≥ 0
para todo y ∈ I0 e k = 0, . . . , n − 1. Resulta que bn dado por (1.11) é uma soma de integraispositivas e, portanto, uma quantidade positiva para todo n ∈ N, concluindo a demonstração.
�
Para demonstrar o ítem (4), faremos uso do seguinte
COMPLEMENTOS 6
Lema 1.2. Suponha f ∈ L 1 convexa em (0, 2L). Então a integral
J =
∫ 2L
0
f(x) cosπ
Lx dx (1.12)
é positiva.
Prova. Pela relaçãocos
π
Lx = cos
π
L(2L− x) (1.13)
e a mudança de variável de x para 2L− x, (1.12) pode ser escrita como
J =
∫ 2L
0
f(2L− x) cosπ
Lx dx . (1.14)
Adicionando as duas formas (1.12) e (1.14) para J , obtemos
J =1
2
∫ 2L
0
g(x) cosπ
Lx dx (1.15)
ondeg(x) = f(x) + f(2L− x)
é uma função convexa devido a f(x) e f(2L−x) serem convexas, e a soma de duas funções convexasser convexa. Observamos que g(x) além de ser uma função convexa, satisfaz
g(x) = g(2L− x) , ∀x ∈ [0, 2L] (1.16)
de onde se conclui que g(x), por simetria com respeito a um eixo passando por x = L e convexidade,é monotona decrescente em [0.L). Este fato nos permite utilizar o mesmo procedimento do ítemanterior.Primeiramente, por (1.13), (1.16) e uma mudança de variável de x para 2L − x, escrevemos a
integral (1.15) como
J =1
2
(∫ L
0
g(x) cosπ
Lx dx+
∫ 2L
L
g(x) cosπ
Lx dx
)=
1
2
(∫ L
0
g(x) cosπ
Lx dx+
∫ L
0
g(2L− x) cosπ
L(2L− x) dx
)=
∫ L
0
g(x) cosπ
Lx dx . (1.17)
Como a função cosseno no integrando de J satisfaz
cosπ
Lx ≥ 0 , se 0 ≤ x < L/2
cosπ
Lx ≤ 0, se L/2 < x ≤ L
ecos
π
L(L− x) = − cos
π
Lx
COMPLEMENTOS 7
fazendo a mudança de variável de x para L− x, rescrevemos (1.17) como
J =
∫ L/2
0
g(x) cosπ
Lx dx+
∫ L
L/2
g(x) cosπ
Lx dx
=
∫ L/2
0
g(x) cosπ
Lx dx−
∫ 0
L/2
g(L− x) cosπ
L(L− x) dx
=
∫ L/2
0
(g(x)− g(L− x)) cosπ
Lx dx
de onde se conclui que J ≥ 0 pela monotonicidade de g(x) e positividade de cos πLx em [0, L/2),
�nalizando a demonstração do lema.�
Prova do ítem (4). De maneira análogo ao ítem 3, seja Π a partição do intervalo I = [0, 2L] em n
subintervalos Ij = [αj, αj+1) de tamanho 2L/n,
0 = α0 < α1 < · · · < αn−1 < αn = 2L
indexados pelas extremidades à esquerda: αj = 2jL/n, j = 0, 1, . . . , n− 1. Decompomos a integral(1.4) para o n�ésimo coe�ciente par an em n integrais de acordo com a partição Π:
an =1
L
∫ L
−Lf(x) cos
nπ
Lx dx
=1
L
∫ 2L
0
f(x) cosnπ
Lx dx
=1
L
n−1∑j=0
∫ 2(j+1)π/L
2jπ/L
f(x) cosnπ
Lx dx (1.18)
e realizaremos na j�ésima integral uma mudança de variável,
x =y + 2jL
n
de tal forma que o jacobiano é 1 e o intervalo de integração Ij, para cada j, é levado no intervaloI = [0, 2L) de referência. Por esta transformação,
cosnπ
Lx = cos
nπ
L(y/n+ 2jL/n)
= cos(πLy + 2jπ
)= cos
π
Ly · cos 2jπ = cos
π
Ly
e a integral (1.18) pode ser escrita como
an =1
L
n−1∑j=0
∫ 2L
0
f((y + 2jL)/n) cosπ
Ly dy
COMPLEMENTOS 8
de onde se conclui que o n�ésimo coe�ciente par an ≥ 0 é positivo, tendo em vista que cada integralna soma acima satisfaz a hipótese de convexidade necessária para se aplicar o Lema 1.2, �nalizandoa demonstração do ítem (4).
�
COMPLEMENTOS 9
2. Convergência da série de Fourier - Primeiros Teoremas
Convolução. Seja f : R −→ R uma função 2L�periódica da classe L 1, isto é, a classe das funçõesintegráveis e absolutamente integráveis por Riemann em [−L,L]. A série de Fourier de f(x)
Sf(x) =∞∑
n=−∞
cn einπLx (2.1)
tem coe�cientes
cn =1
2L
∫ L
−Lf(x) e−i
nπLx dx (2.2)
de�nidos para todo n ∈ Z (pela integrabilidade de f) e serão denotados por f(n) para futuracomparação com a tranformada de Fourier. Pela mesma razão, denotaremos algumas vezes Sf(x)
por(f)∨
: (f)∨
(x) =∞∑
n=−∞
f(n) einπLx . (2.3)
Na presente Seção deste complemento faremos uma investigação preliminar sobre a convergência
pontual de Sf(x) para f(x): f(x) =(f)∨
(x) para todo x ∈ R, onde f é uma função 2π�periódica
linear em (0, 2π), de inclinação −1/(2π), passando pela orígem.
De um modo geral, uma série duplamente in�nita S =∞∑
n=−∞
dn é convergente se o limite
limN,M→∞
N∑n=−M
dn
existir quando N e M são levados a in�nito, independentemente. Equivalentemente, S é conver-gente se, e somente se, as séries
∑∞n=0 d−n e
∑∞n=1 dn convergirem. Para dn = cn e
inπLx, devido
a propriedade d−n = d∗n, ambas séries em (2.1), com n não�positivo e n positivo, convergem oudivergem. Sendo assim, no que diz respeito a convergência de (2.1), questionamos se a seqüêncianúmérica (SNf(x))N≥0, dada pelas séries parciais
SNf(x) =N∑
n=−N
cn einπLx (2.4)
tende a um valor limite Sf(x) quando N → ∞ e se este valor coincide com f(x): Sf(x) = f(x),para cada x.A expressão (2.4) associada a uma função 2L�periódica f ∈ L 1 é um exemplo de um polinômio
trigonométrico da forma
T (x) =N∑
n=−N
tn einπLx . (2.5)
Por brevidade, denotamos a n-ésima função trigonométrica
eLn(x) := einπLx .
COMPLEMENTOS 10
Como eLn(x) é contínua e 2L�períodica, T (x) é contínua, 2L �períodica e, consequentemente, per-tencente a L 1. Os coe�cientes de Fourier T (n) de T (x) existem e são dados por
T (k) =1
2L
∫ L
−LT (x) eLk (−x) dx
=N∑
n=−N
tn1
2L
∫ L
−LeLn−k(x) dx =
{tk se |k| ≤ N
0 se |k| > N(2.6)
por ortogonalidade de eLn(x), n ∈ Z:
1
2L
∫ L
−LeLn(x)eLk (−x)dx =
1
2L
∫ L
−LeLn−k(x)dx = δn,k
onde
δn,k =
{1 se n = k
0 se n 6= k .
O grau de T (x) é o maior inteiro k tal que ao menos um dentre tk e t−k é não nulo.O produto de convolução f ∗ g de duas funções 2L�periódicas f e g em L 1, dado por
f ∗ g(x) :=1
2L
∫ L
−Lf(x− y)g(y)dy (2.7)
é uma função 2L�periódica em L 1. Para isso, note que f(x − y)g(y) é uma função 2L�periódicaem x e y e, por Fubini,∫ L
−L|f ∗ g(x)| dx =
∫ L
−L
∣∣∣∣ 1
2L
∫ L
−Lf(x− y)g(y)dy
∣∣∣∣ dx≤ 1
2L
∫ L
−L
∫ L
−L|f(x− y)g(y)| dydx
=1
2L
∫ L
−L
(∫ L
−L|f(x− y)| dx
)|g(y)| dy
=1
2L
∫ L
−L|f(x)| dx
∫ L
−L|g(y)| dy <∞
implicando em f ∗ g ∈ L 1 se f, g ∈ L 1. Devido a periodicidade do integrando, o produto deconvolução é simétrico: f ∗ g(x) = g ∗ f(x) e f ∗ g(x) é 2L�periódica pela mesma razão, porém comrespeito a variável x.
Lema 2.1. Seja f e g duas funções 2L�periódicas em L 1 quaisquer. Então o coe�ciente de Fourier
f ∗ g(n) da função produto f ∗ g(x) é o produto dos coe�cientes de Fourier de cada função:
f ∗ g(n) = f(n)g(n) . (2.8)
Se f é 2L�periódica e pertence a L 1 e T é um polinômio trigonométrico (2.5), então
f ∗ T (x) =(f ∗ T
)∨(x) =
N∑n=−N
tnf(n)eLn(x) . (2.9)
COMPLEMENTOS 11
Prova. Os coe�cientes de Fourier de (2.7) estão de�nidos pois f ∗ g ∈ L 1 e a expressão (2.8) éobtida trocando a ordem das integrais. Por Fubini,
f ∗ g(n) =1
2L
∫ L
−Lf ∗ g(x) eLn(−x)dx
=1
2L
∫ L
−L
(1
2L
∫ L
−Lf(x− y) eLn(−x+ y)dx
)g(y) eLn(−y)dy
= f(n)g(n) .
Para a igualdade (2.9), fazendo uso da bilineariadade do produto (2.7),
f ∗ T (x) = f ∗
(N∑
n=−N
tneLn
)(x) =
N∑n=−N
tn f ∗ eLn(x) .
e tomando g(x) = eLk (x) em (2.7), temos
f ∗ eLn(x) = eLn ∗ f(x)
=1
2L
∫ L
−LeLn(x− y)f(y)dy
= f(n)eLn(x)
de onde se conclui (2.9) ao substituir esta na expressão anterior.�
O núcleo integral de Dirichlet
DN(x) =N∑
n=−N
eLn(x) (2.10)
é um polinômio trigonométrico de grau N com todos coe�cientes iguais a 1. Pelo Lema 2.1, equação(2.9), a série parcial (2.4) de uma função f pode ser escrita como
SNf(x) = DN ∗ f(x) . (2.11)
Com o objetivo de mostrar a convergência das séries parciais SNf(x) de f em x para f(x), asseguintes propriedades de DN serão relevantes.
Proposição 2.2. (1)1
2L
∫ L
−LDN(x)dx = 1 (2.12)
(2)
DN(x) =
sin (N + 1/2) πx/L
sin πx/(2L)se x /∈ 2LZ
2N + 1 se x ∈ 2LZ(2.13)
Prova. A prova de (1) segue da ortogonalidade de eLn(x), n ∈ Z:
1
2L
∫ L
−LDN(x)dx =
N∑n=−N
1
2L
∫ L
−L1 · eLn(x)dx =
1
2L
∫ L
−L1 dx = 1 .
COMPLEMENTOS 12
1 2 3 4 5 6 x
-0.4
-0.2
0.2
0.4
f HxL �
1
2J1 -
x
ΠN
Figura 2.1. Grá�co da função f(x) e sua série de Fourier parcial S30f(x).
Tomando x = 0 em (2.10) com eLn(0) = 1, temos DN(0) = 2N +1 e isso é válido para todo x ∈ 2LZdevido a periodicidade de DN(x).Para x /∈ 2LZ, escrevemos eLn(x) = qn onde q = eL1 (x) = ei
πLx e
DN(x) = q−N(1 + q + · · ·+ q2N
)= q−N
q2N+1 − 1
q − 1
=qN+1/2 − q−N−1/2
q1/2 − q−1/2
=sin (N + 1/2) πx/L
sin πx/(2L),
concluindo a demonstração do ítem (2).�
Convergência pontual. Seja f : R −→ R a função 2π�periódica tal que
f(x) =1
2
(1− x
π
), em (0, π) (2.14)
COMPLEMENTOS 13
ímpar com f(x) = 0 para x um múltiplo inteiros de π. Substituindo (2.14) em (2.2), temos
c0 =1
2π
∫ 2π
0
1
2
(1− x
π
)dx = 0
e para n 6= 0
cn =1
2π
∫ 2π
0
1
2
(1− x
π
)e−inx dx
=−1
4πin
((1− x
π
)e−inx
∣∣∣2π0
+1
π
∫ 2π
0
e−inx dx
)=
1
2πin(2.15)
por integração por partes. Devido a periodicidade de f(x) e−inx substituimos o intervalo de inte-gração de [−π, π] pelo intervalo de mesmo comprimento [0, 2π] no qual f(x) tem a mesma formafuncional (2.14). A série de Fourier de f(x) é
Sf(x) =1
2πi
∑n∈Z\{0}
1
neinx
=1
π
∞∑n=1
1
nsinnx (2.16)
em sua forma real. SejaεN(x) = SNf(x)− f(x)
a função erro da aproximação de f(x) pela série parcial
SNf(x) =1
π
N∑n=1
1
nsinnx .
Teorema 2.3 (Convergência pontual). Seja εN : R −→ R a função 2π�periódica tal que
εN(x) =1
π
N∑n=1
1
nsinnx− 1
2
(1− x
π
), x ∈ (0, 2π) (2.17)
e εN(x) = 0 para x ∈ 2πZ. Então, para todo x ∈ R
|εN(x)| ≤ min
(1
2,
1
N minn∈Z |2πn− x|
). (2.18)
Em particular,
limN→∞
εN(x) = 0 , ∀x ∈ R (2.19)
Observação 2.4. Equação (2.18) além de implicar a convergência (2.19), dá uma estimativa da
taxa com que SNf(x) converge para f(x) para cada x ∈ R. Embora o teorema se re�ra a função
dente-se-serra (2.14), sua estimativa será utilizada na convergência uniforme da primitiva de uma
função Riemann integrável qualquer.
COMPLEMENTOS 14
1 2 3 4 5 6 x
-0.4
-0.2
0.2
0.4
ϵ30(x) S30 f(x) +1
2
x
π-1
Figura 2.2. Grá�co da função erro ε30(x) = S30f(x)− f(x).
Prova. Devido a periodicidade, paridade e o fato de εN(x) se anular em x ∈ 2πZ, podemos semperda de generalidade restringir a demonstração de (2.18) aos pontos x no intervalo (0, π). Paraestes valores, a desigualdade se resume a
|εN(x)| ≤ min
(1
2,
1
N |x|
). (2.20)
COMPLEMENTOS 15
Notamos de (2.17) e (2.10) com L = π,
ε′N(x) =1
2π+
1
π
N∑n=1
1
ncosnx
=1
2π
N∑n=−N
e2πinx =1
2πDN(x) . (2.21)
Como εN(π) = 0, pelo teorema fundamental do cálculo e (2.13),
εN(x) = −∫ π
x
ε′N(y) dy
=−1
2π
∫ π
x
DN(y) dy
=−1
2π
∫ π
x
sin (N + 1/2) y
sin y/2dy . (2.22)
Para obter a estimativa (2.20), integraremos por partes a função erro:∫uv′dy = uv|−
∫u′vdy
com
u =−1
sin y/2, u′ =
cosx/2
2 sin2 x/2
v′ = sin (N + 1/2) y , v =− cos (N + 1/2) y
N + 1/2
resultando
εN(x) =−1
2π
cos (N + 1/2)x
(N + 1/2) sinx/2+
1
2πI(x) (2.23)
onde
I(x) =1
2N + 1
∫ π
x
cos (N + 1/2) y cos y/2
sin2 y/2dy .
O integrando de I(x) é estimado em valor absoluto, com |cos (N + 1/2) y| ≤ 1 e cos y/2 > 0 paray ∈ (0, π), por ∣∣∣∣cos (N + 1/2) y cos y/2
sin2 y/2
∣∣∣∣ ≤ cos y/2
sin2 y/2=
(−2
sin y/2
)′obtendo, pelo teorema fundamental do cálculo,
|I(x)| ≤ 1
2N + 1
∫ π
x
cos y/2
sin2 y/2dy
=1
N + 1/2
(1
sinx/2− 1
)<
1
(N + 1/2) sinx/2. (2.24)
COMPLEMENTOS 16
Usando |cos (N + 1/2) y| ≤ 1 no primeiro termo do lado direito de (2.23), juntamente com aestimativa (2.24) para I(x), resulta a seguinte quota superior para função erro (2.22)
|εN(x)| ≤ 1
2π
|cos (N + 1/2)x|(N + 1/2) sinx/2
+1
2π|I(x)|
≤ 1
π
1
(N + 1/2) sinx/2<
1
Nx(2.25)
onde, para terceira desigualdade usamosx
π< sinx/2 , x ∈ (0, π)
(note que os dois lados coincidem nos pontos x = 0 e x = π e a função sinx/2 está sempre acimada interpolação linear x/π em (0, π)). De onde se conclui que
|εN(x)| < 1
2, 2/N ≤ x < π . (2.26)
Quotas inferior e superior para εN(x) no intervalo complementar 0 < x < 2/N são obtidas usandoas desigualdades
0 <sinnx
n≤ x <
2
N1
2− 1
Nπ<
1
2
(1− x
π
)<
1
2
na expressão (2.17). Se 0 < x < 2/N então
−1
2< εN(x) =
1
π
N∑n=1
1
nsinnx− 1
2
(1− x
π
)<
2
π− 1
2+
1
Nπ≤ 3
π− 1
2<
1
2. (2.27)
As equações (2.25), (2.26) e (2.27) estabelecem (2.20), concluindo a demonstração do teorema.�
A Figura 2.1 mostra a função dente-de-serra f(x) e a sua aproximação S30f(x) no intervalo[−π, π]. A medida que x cresce partindo de x = 0, a série parcial S30f(x) cresce rapidamente,na tentativa de alcançar função f(x) linear de inclinação −1/(2π) ao saltar de 0 a 1/2 acabaultrapassando-a até atingir 1/2 + δ, passando a oscilar em torno desta até, ao se aproximar dex = 2π, ultrapassar f(x) atingindo −1/2− δ e crescer rapidamente para 0. Vamos mostrar a seguirque o incremento δ = δN , acima de 1/2 e abaixo de −1/2, nas proximidades dos pontos extremosde (0, 2π), atinge um limite δ∗ = limN→∞ δN > 0 universal, fato este conhecido por fenômeno deGibbs.De maneira semelhante a (2.21), por (2.13), temos
(SNf)′ (x) =1
2π(DN(x)− 1)
=1
2π
sin (N + 1/2)x− sinx/2
sinx/2
=1
π
cos (N + 1)x/2 · sinNx/2sinx/2
COMPLEMENTOS 17
onde, na última igualdade, usamos sin a − sin b = 2 cos(a + b)/2 · sin(a − b)/2. Notamos por estaexpressão que (SNf)′ (x) > 0 se 0 < x < π/(N + 1) e x∗N = π/(N + 1) é um máximo local deSNf(x): (SNf)′ (π/(N + 1)) = 0. SNf(x) em x = x∗N pode ser escrito como a soma de Riemannde uma integral
SNf(π/(N + 1)) =1
π
N∑n=1
1
nsin
nπ
N + 1
=1
N + 1
N+1∑n=1
sinnπ/(N + 1)
nπ/(N + 1)−→ 1
π
∫ π
0
sin y
ydy = 0.5894898721 .
O salto da função dente-de-serra f(x) e de seu aproximante SNf(x) em x = 0 é, respectivamente,
∆ = f(0+)− f(0−) = 1/2− (−1/2) = 1
∆N = SNf(x∗N)− SNf(−x∗N) = ∆ + 2δN
de onde se conclui que
δN =∆N − 1
2−→ δ∗ =
1
π
∫ π
0
sin y
ydy − 1
2= 0.0894898721
representa 8.9% da altura do salto de f(x) e este valor independe da função.Convergência uniforme. Considere a função g(x) peródica de período 2π tal que
g(x) =
{1/2 se x ∈ (0, π)
−1/2 se x ∈ (π, 2π)(2.28)
e g(πk) = 0 para k ∈ Z, e observe que
g(x) = f(x)− f(x− π) .
Note para isso que g′(x) = f ′(x) − f ′(x − π) = −1/(2π) + 1/(2π) = 0 para todo x ∈ R\πZ e,portanto, g(x) é constante igual a f(π/2) − f(−π/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2 em x ∈ (0, π) e igual af(3π/2)− f(π/2) = −1/4− 1/4 = −1/2 em (π, 2π). Claramente, f(x)− f(x− π) é 2π �periódica.Podemos calcular a série de Fourier Sg(x) a partir dos coe�cientes f(n) de Sf(x) usando as
propriedades de translação e modulação:
τaf(x) = f(x− a)⇔ τaf(n) = e−inaf(n)
e linearidade,
g(n) = ( f − τπf)(n) = f(n)− τπf(n) =(1− e−inπ
)f(n) = (1− (−1)n) f(n) (2.29)
de onde se conclui, juntamente com (2.16),
Sg(x) =1
π
∞∑k=1
1
2k − 1sin(2k − 1)x .
COMPLEMENTOS 18
Esta análise não é especial para a função onda-quadrada g(x), mas se estende para qualquerfunção degrau h(x), 2π�periódica tal que, para cada coleção de pares {(xk, hk) , k = 1, . . . , K} com
x1 < x2 < · · · < xK < xK+1 ≡ 2π + x1
contidos em um segmento aberto I de comprimento 2π eK∑k=1
hk = 0, h(x) é descontinua em xk e
possui salto de altura hk:
h(x) =K∑k=1
hk τxkf(x) , x ∈ I . (2.30)
Seja x0 ∈ I um ponto tal que x0 < x1. Então
h(x) = h(x0) + h1 + · · ·+ hk , se x ∈ (xk, xk+1) e k = 1, . . . , K .
Note que, se x ∈ I\ {x1, . . . , xK} então
h′(x) =−1
2π
K∑k=1
hk = 0
e, portanto, h(x) é constante em cada intervalo (xk, xk+1). Suponha, �nalmente, que h(xk) =
(h(xk−) + h(xk+)) /2. Ainda assim, existem muitas funções da forma (2.30) para uma coleção{(xk, hk) , k = 1, . . . , K} porém qualquer duas h1(x) e h2(x) destas diferem por uma constante c
h2(x) = c+ h1(x)
que de�ne uma classe de equivalência.A série de Fourier Sh(x) de h(x) é escrita de forma equivalente a Sg(x). Analogamente a (2.29),
temos
h(n) =K∑k=1
hk τxkf(x) =K∑k=1
hk e−inxk f(n)
de onde se conclui, juntamente com (2.16),
Sh(x) =1
2πi
∑n∈Z\{0}
1
n
(K∑k=1
hk en(−xk)
)en(x)
onde usamos a notação en(x) = eπn(x) = einx com o índice superior L omitido quando L = π.Uma vez que h é uma combinação linear �nita de funções as quais sua série de Fourier converge
para todo x ∈ R, é evidente que Sh(x) converge para h(x) em cada x ∈ R. Note que funções Rie-mann integraveis são bem aproximadas por funçoes degrau e seria este um caminho para estabelecera convergência de Sf para uma função f limite de uma seqüência de funções degrau.Para o próximo resultado, lembremos os seguintes fatos: (i) se f é dada por (2.14), então
2πf(n) = 1/(in) (veja (2.15)); (ii) se W = 2πf ∗ w, onde w é 2π�períodica e integrável, entãoW (n) = 2πf(n)w(n) (veja (2.8)); (iii) se
W (x) =
∫ x
0
(w(y)− w(0)) dy , (2.31)
COMPLEMENTOS 19
então, como W (x) é contínua e 2π�periódica:
W (x+ 2π)−W (x) =
∫ x+2π
x
(w(y)− w(0)) dy =
∫ 2π
0
(w(y)− w(0)) dy = 0 ,
por integração por partes, temos
W (0) =1
2π
∫ 2π
0
W (x) dx
=1
2π
(xW (x)|2π0 −
∫ 2π
0
x (w(x)− w(0)) dx
)=
1
2
(2πw(0)−
∫ 2π
0
x
πw(x)dx
)=
∫ 2π
0
1
2
(1− x
π
)w(x)dx =
∫ 2π
0
f(x)w(x)dx (2.32)
e, para n 6= 0,
W (n) =1
2π
∫ 2π
0
W (x) en(−x) dx
=−1
2πin
(W (x) en(−x)|2π0 −
∫ 2π
0
w(x) en(−x) dx
)=
w(n)
in= 2πf(n)w(n) . (2.33)
Teorema 2.5 (Convergência uniforme). Seja w : R −→ R uma função 2π �periódica da classe
L 1, W (x) de�nida por (2.31). Então,
SNW (x) = W (0) +N∑
n=−Nn6=0
w(n)
ineinx
converge uniformemente em cada intervalo I fechado de R para W (x).
Observação 2.6. A função r(x) = minn∈Z |x/(2π)− n| pode ser escrita como a integral da função g
dada por (2.28): G(x) =
∫ x
0
g(y)dy = πr(x) e, pelo Teorema 2.5, SNG(x) converge uniformemente
para πr(x). O que é notável neste teorema não é a convergência das séries parciais de Fourier
SNG(x) de G(x), que poderia ser veri�cada pelos coe�cientes G(n) e teste M de Weierstrass, mas
a sua convergência para G(x).
Prova. Seja εN(x) = SNf(x)− f(x) a função erro de�nida por (2.17). Vamos mostrar inicialmenteque
w ∗ εN(x) = SNW (x)−W (x) .
Este é o ponto crucial da prova já que, como demonstrado no Teorema 2.3, o lado esquerdo destaigualdade tende para 0 quando N →∞.
COMPLEMENTOS 20
Observamos que, devido a f(0) = 0,
w ∗ f(x) = f ∗ w(x) =1
2π
∫ 2π
0
f(x− y)w(y)dy =1
2π
∫ 2π
0
f(x− y) (w(y)− w(0)) dy .
Como o integrando é uma função 2π�periódica, escrevemos
w ∗ f(x) =1
2π
∫ x
x−2πf(x− y) (w(y)− w(0)) dy .
Se x − 2π < y < x, então 0 < x − y < 2π é o intervalo onde f(x − y) é uma função linear deinclinação −1/(2π). Consequentemente, f(x−y) = (1−x/π+y/π)/2 e, por integração por partes,
w ∗ f(x) =1
4π
∫ x
x−2π
(1− x
π+y
π
)(w(y)− w(0)) dy
=1
4π
(W (y)
(1− x
π+y
π
)∣∣∣xx−2π− 1
π
∫ x
x−2πW (y)dy
)=
1
2π
(W (x)− W (0)
). (2.34)
Por outro lado, Pelo Lema 2.1, equação (2.9),
w ∗ fN(x) =N∑
n=−Nn 6=0
w(n)
2πineinx
e pela de�nição de εN e (2.34), resulta a relação desejada
2πw ∗ εN(x) = 2πw ∗ (fN − f)(x)
=N∑
n=−Nn6=0
w(n)
ineinx −W (x) + W (0)
= SNW (x)−W (x) (2.35)
devido a (2.32) e (2.33).Se a função w ∈ L 1 é limitada: w(x) ≤ M , ∀x ∈ R, então o lado esquedo de (2.35) é estimado
usando (2.18) (veja (2.20) para x ∈ (0, π))
2π |w ∗ εN(x)| ≤∫ 2π
0
|w(x− y)| |εN(y)| dy
≤ 2M
∫ π
0
min
(1
2,
1
Ny
)dy
= 2M
(∫ 2/N
0
1
2dy +
∫ π
2/N
1
Nydy
)
=2M
N
(1 + log
πN
2
)que tende uniformemente para 0 quando N → ∞. Se a função w ∈ L 1 não é limitada, entãodado ε > 0, existe um função contínua ψ : [0, 2π] −→ R (veja Teorema 3.1, pág. 50 de �Analise de
COMPLEMENTOS 21
Fourier e equações diferenciais parciais�, Djairo G. de Figueiredo) tal que∫ 2π
0
|w(x)− ψ(x)| dx < ε
e tal função ψ(x), uniformemente contínua, é limitada: |ψ(x)| ≤M , ∀x ∈ R. Escrevemos
2π |w ∗ εN(x)| ≤∫ 2π
0
|ψ(y)| |εN(x− y)| dy +
∫ 2π
0
|w(y)− ψ(y)| |εN(x− y)| dy
≤ 2M
N
(1 + log
πN
2
)+
1
2
∫ 2π
0
|w(y)− ψ(y)| dy ≤ ε
2+ε
2= ε
uniformemente, para todo N > N0(ε,M) su�cientemente grande, concluindo a demonstração doteorema.
�
COMPLEMENTOS 22
3. Somabilidade de Cesàro, teorema de Fejér e hipótese tauberiana
Somabilidade de Cesàro de séries de Fourier . Além de uma fórmula para A, atribuimos à igualdade
A =∞∑n=0
an , (3.1)
onde (an)n≥0 é uma seqüência numérica, o seguinte signi�cado: A é o limite da sucessão (AN)N≥0,formada pelas séries parciais
AN =N∑n=0
an ,
quando N → ∞, querendo isso dizer que, dado ε > 0, ∃ Nε > 0 tal que |A− AN | < ε para todoN > Nε.Se a seqüência (AN)N≥0 não tem um limite ou se a aproximação de A se dá muito lentamente,
ainda assim pode-se extrair algo de útil para seqüência (σN)N≥0 formada pela média das somasparciais1
σN =1
N
N−1∑n=0
An =1
N
N−1∑n=0
n∑k=0
ak =1
N
N−1∑k=0
ak
N−1∑n=k
1 =1
N
N−1∑k=0
(N − k)ak =N−1∑k=0
(1− k
N
)ak .
A série (3.1) é dita ser Cesàro somável para A (denotamos ANC−→ A) se
limN→∞
σN = A .
Exemplo 3.1. Considere a série divergente
A =∞∑n=0
(−1)n ,
porém Cesàro somável: AN = 1 − 1 + · · · + (−1)NC−→ 1/2. De fato, σ2n = 1/2 e σ2n+1 =
(n+ 1)/(2n+ 1) tende a 1/2 quando n→∞.
Em geral, dada uma função 2π�periódica f , pertencente a L 1, conjunto daqui em diante deno-
tado por L 1(T) com T o círculo de raio unitário, as somas parciais SNf(x) =N∑
n=−N
f(n)en(x) de
sua série de Fourier não convergem muito bem ou não convergem para f(x) em um subconjunto de
1A soma dupla é sobre os pontos (k, n) em Z×Z de uma região triangular superior de [0, N − 1]×[0, N − 1], incluindoa diagonal k = n. A primeira soma dupla k percorre as horizontais desta região, a segunda, na ordem inversa, npercorre as verticais.
COMPLEMENTOS 23
pontos de R. Porém, as correspondentes somas parciais de Cesàro2
σNf(x) =S0f(x) + · · ·+ SN−1f(x)
N
=N−1∑
n=−N+1
(1− |n|
N
)f(n)en(x)
=N∑
n=−N
(1− |n|
N
)f(n)en(x) (3.2)
se comportam muito melhor.Convergência uniforme de σNf e unicidade. Introduzimos no Complemento 2, equação (2.10), o
núcleo integral de Dirichlet DN(x), dado pelo polinômio trigonométrico TN =N∑
n=−N
tnen(x) de
ordem N com coe�cientes tn iguais a 1, e escrevemos em (2.11) as somas parciais da séries deFourier Sf(x) de f como uma convolução: SNf(x) = DN ∗ f(x). O N�ésimo núcleo integral deFejér
∆N(x) =N∑
n=−N
(1− |n|
N
)en(x)
= 1 +N∑n=1
(1− |n|
N
)cosnx , (3.3)
desempenha um papel análogo de tal forma que a N�ésima soma de Cesàro da série de Fourier def , pelo Lema 2.1, equação (2.9) e (3.2), pode ser escrita como uma convolução
σNf(x) = ∆N ∗ f(x) . (3.4)
Com o objetivo de mostrar a convergência uniforme das somas parciais de Cesàro σNf(x) paraf(x), as seguintes propriedades de ∆N serão relevantes.
Proposição 3.2. O N�ésimo núcleo de Fejér ∆N(x) é um polinômio trigonométrico (3.3) de ordem
N − 1 com 2N − 2 zeros, sendo N − 1 zeros duplos, nos pontos x ∈ (2π/N)Z ∩ (0, 2π), tal que
(1)∆N(x) ≥ 0 ; (3.5)
(2)1
2π
∫ π
−π∆N(x)dx = 1 ; (3.6)
(3)
∆N(x) =
1
N
(sinNx/2
sinx/2
)2
se x /∈ 2πZ
N se x ∈ 2πZ ;
(3.7)
2Adotamos a notação, utilizada no Complemento 2: eLn(x) = exp (inπx/L) e en(x) = eπn(x) = exp (inx) com o índicesuperior omitido quando L = π. Os termos com n = ±N , incluídos na última soma por conveniencia, são nulos.
COMPLEMENTOS 24
(4) Para cada 0 < δ ≤ π,
1
2π
∫ 2π−δ
δ
∆N(x) dx ≤ min(
1,π
Nδ
). (3.8)
Prova. Observamos que ∆N(x) ≥ 0 para todo x ∈ R por (3.7) e∫ 2π
0
∆N(x) dx = 2π é conseqüência
da ortogonalidade das funções (en(x))n≥0, bastando multiplicar (3.3) por 1 = e0(x) e integrar sobreo intervalo [0, 2π]. Para o ítem 3, se x /∈ 2πZ, escrevemos a soma da progressão geométrica
1 + q + · · ·+ qN−1 =qN − 1
q − 1
com q = e1(x) = eix e qn = en(x), como
N−1∑n=0
en(x) =eN(x)− 1
e1(x)− 1
= e(N−1)/2(x)eN/2(x)− e−N/2(x)
e1/2(x)− e−1/2(x)
= e(N−1)/2(x)sinNx/2
sinx/2(3.9)
Tomando o quadrado do módulo de (3.9), o lado esquerdo pode ser escrito como∣∣∣∣∣N−1∑n=0
en(x)
∣∣∣∣∣2
=∑
0≤n,m≤N−1
en−m(x)
=N−1∑
k=−N−1
en−m(x)∑
0≤n,m≤N−1:n−m=k
1
=N−1∑
k=−N−1
(N − |k|)en−m(x) = N∆N(x)
o lado direito ésin2Nx/2
sin2 x/2. Dividindo ambos os lados por N , obtemos a primeira expressão desejada
de (3.7).∆N(x) em (3.3) é uma função 2π�periódica contínua e, para provar a segunda equação de (3.7),
basta tomar o limite x→ 0 na primeira equação. Aplicando L'Hopital duas vezes seguidas,
∆N(0) = limx→0
1
N
(sinNx/2
sinx/2
)2
= limx→0
sinNx/2 cosNx/2
sinx/2 cosx/2
= N limx→0
cos2Nx/2− sin2Nx/2
cos2 x/2− sin2 x/2= N .
A função sinNx/2 se anula nos pontos x ∈ (2π/N)Z ∩ [0, 2π) e, portanto, ∆N(x) tem zerosde ordem 2 nestes pontos exceto x = 0 para o qual a função sinx/2 no denominador se anula
COMPLEMENTOS 25
igualmente. Os N − 1 zeros duplos, totalizando 2N − 2 zeros, é o número máximo de zeros que umpolinômio trigonométrico (3.3) de ordem N−1, e−N+1(x)∆N(x) = (1/N)q2N−2+· · ·+(2/N)q+1/N ,pode ter pelo teorema fundamental da álgebra. Observe que os coe�cientes t±n = (1 − |n| /N) de(3.3) se anulam para n = N .Para o ítem 4, como sinx/2 ≥ x/π para 0 ≤ x ≤ π, temos
∆N(x) ≤
π2
N
(sinNx/2
x
)2
se 0 < x ≤ π
N se x = 0
≤ min
(N,
π2
Nx2
)(3.10)
se 0 ≤ x ≤ π. Consequentemente,
1
2π
∫ π
δ
∆N(x) dx <π
2N
∫ ∞δ
1
x2dx =
π
2Nδ<
1
2(3.11)
se π/N < δ ≤ π e, como ∆N(x) é par e 2π�periódica, satisfazendo por isso ∆N(π+x) = ∆N(π−x),
1
2π
∫ 2π−δ
δ
∆N(x) dx =1
2π
∫ π
δ
∆N(x) dx+1
2π
∫ 2π−δ
π
∆N(x) dx
=1
π
∫ π
δ
∆N(x) dx
≤ 1
π
∫ π
0
∆N(x) dx = 1
é satisfeita na região complementar 0 < δ ≤ π/N , de onde se conclui, juntamente com (3.11), a(3.8) e a demonstração da proposição.
�Resulta de (3.4), juntamente com ítens 1 e 2, que
|σNf(x)| ≤ maxx|f(x)| 1
2π
∫ 2π
0
∆N(x) dx = maxx|f(x)|
ou ainda, se f é uma função a valores reais,
minxf(x) ≤ σNf(x) ≤ max
xf(x) , x ∈ R .
Faremos uso da desigualdade (3.8) na demonstração do seguinte
Teorema 3.3. Se f(x) é uma função contínua e 2π�periódica, então σNf(x) de�nida por (3.4)
converge uniformemente para f(x) em cada intervalo [a, b] fechado e limitado de R.
Em outras palavras, dado ε > 0 qualquer, existe Nε tal que se N > Nε, então
|f(x)− σNf(x)| < ε
para todo x ∈ R.O conjunto C(T) das funções contínuas e 2π�periódicas, onde T indica o círculo de raio 1 descrita
pela curva {z = e1(x) : 0 ≤ x < 2π} de comprimento 2π, munido da norma uniforme
‖f‖∞ := maxx∈[0,2π)
|f(x)|
COMPLEMENTOS 26
é um espaço completo no sentido que todas as seqüências de Cauchy (fn)n≥1 em C(T) convergempara algum elemento f em C(T). A distância entre dois membros, f e g, de C(T) é dada por‖f − g‖∞. O conteúdo do Teorema 3.3 pode ser dito de outra maneira. Dizemos que o conjunto
P =⋃N≥0
PN dos polinômios trigonométricos da forma TN(x) =N∑
n=−N
tnen(x) é denso em C(T)
no seguinte sentido: qualquer f ∈ C(T) e ε > 0, existe um polinômio trigonométrico TN ∈ P talque ‖f − TN‖∞ < ε. Teorema 3.3 dá para cada f ∈ C(T) uma seqüência (σNf)N de polinôniostrigonométricos, aproximantes de f por esta norma.
Prova. Por (3.4), Proposição 3.2.2 e de�nição (2.7) de produto de convolução,
f(x)− σNf(x) =1
2π
∫ 2π
0
∆N(y) (f(x)− f(x− y)) dy
=1
2π
(∫ δ
−δ+
∫ 2π−δ
δ
)∆N(y) (f(x)− f(x− y)) dy = I1 + I2 . (3.12)
onde usamos a periodicidade do integrando para mudar o intervalo de integração de [0, 2π] para[−δ, 2π − δ] e a linearidade da integral para separá-la em duas partes. Como f é contínua, f éuniformemente contínua em cada intervalo fechado de R. Portanto, dado ε > 0 existe um δ > 0 talque para todo x, |f(x)− f(x− y)| < ε se |y| ≤ δ e
|I1| ≤1
2π
∫ δ
−δ∆N(y) |f(x)− f(x− y)| dy ≤ ε
2π
∫ π
−π∆N(y)dy = ε . (3.13)
Por outro lado, se f é uniformemente contínua, então f é limitada e existe um M < ∞ tal que|f(x)| ≤M para todo x ∈ R. Logo, |f(x)− f(x− y)| ≤ |f(x)|+ |f(x− y)| ≤ 2M e, devido a (3.8),
|I2| ≤1
2π
∫ 2π−δ
δ
∆N(y) |f(x)− f(x− y)| dy ≤ M
π
∫ 2π−δ
δ
∆N(y)dy ≤ 2M
Nδ(3.14)
de onde se conclui que existe N0 <∞ tal que |I2| < ε para todo N > N0. Como ε é arbitrário, asequações (3.12), (3.13) e (3.14) implicam o resultado desejado.
�Uma conseqüência do Teorema 3.3 é o seguinte
Corolário 3.4. Se f, g ∈ C(T) e f(n) = g(n) para todo n inteiro, então f(x) = g(x) para todo
x ∈ R.
Prova. Por linearidade, basta mostrar que a única função h(x) = f(x)− g(x) ∈ C(T) com coe�ci-entes de Fourier h(n) = f(n)− g(n) = 0 para todo n ∈ Z é a função identicamente nula: h(x) = 0,∀x ∈ R. Sabemos pelo Teorema 3.3 que, dado ε > 0, |h(x)− σNh(x)| < ε para todo x ∈ R e Nsu�ciente grande. Entretanto, como h(n) = 0, σNh(x) = 0 para todo x e isso implica o resultadopois, como |h(x)| < ε para todo x e ε é arbitrariamente pequeno, h(x) = 0 para todo x.Este, por sua vez, tem uma aplicação imediata às séries trigonométricas absolutamente conver-
gentes.
COMPLEMENTOS 27
Teorema 3.5. Suponha que∞∑
n=−∞
|cn| <∞ (3.15)
e seja
g(x) =∞∑
n=−∞
cneinx . (3.16)
Então, g ∈ C(T) e g(n) = cn para todo n.
Prova. A função g(x) dada pela série (3.16) de funções 2π�periódicas en(x) é uma função 2π�periódica. Dado ε > 0, pela hipótese sobre a convergência (3.15), existe Nε > 0 tal que∑
|n|>N
|cn| < ε
para todo N > Nε. Para tal N , escrevemos SNg(x) =N∑
n=−N
cneinx e concluímos que
|g(x)− SNg(x)| =
∣∣∣∣∣∣∑|n|>N
cneinx
∣∣∣∣∣∣ ≤∑|n|>N
|cn| < ε (3.17)
para todo x, pela desigualdade triangular. Como as somas parciais SNg(x) de g(x) convergemuniformemente para g(x) e como cada termo cnen(x) é uma função contínua de x, o limite g(x) éuma função contínua pertencente, portanto, a C(T).Resta ainda mostrar que g(n) = cn. Para isso, por linearidade e (3.17), temos∣∣∣g(n)− SNg(n)
∣∣∣ =1
2π
∣∣∣∣∫ 2π
0
(g(x)− SNg(x)) e−inxdx
∣∣∣∣≤ 1
2π
∫ 2π
0
|g(x)− SNg(x)| dx < ε .
Mas SNg(x) é um polinômio trigonométrico com coe�cientes cn e, por um resultado estabelecidoem (2.6) do Complemento 2, seus coe�cientes são coe�cientes de Fourier de SNg(x): SNg(n) = cn.De onde se conclui, devido a ε > 0 ser arbitrário, a demonstração do teorema.
�Uma conseqüência deste teorema é o seguinte
Corolário 3.6. Suponha que f ∈ C(T). Se∑∞
n=−∞
∣∣∣f(n)∣∣∣ <∞, então
f(x) =(f)∨
(x) =∞∑
n=−∞
f(n)einx (3.18)
para todo x.
Prova. Pelo Teorema 3.5 Sf(x), dado pelo lado direito de (3.18), é uma função contínua, 2π�periódica e, além disso, Sf(n) = f(n). Pelo Corolário 3.4, Sf(x) = f(x) para todo x ∈ R,concluindo a demonstração.
COMPLEMENTOS 28
�Convém observar que o Teorema 3.5 se aplica a funções as quais não satisfazem as hipótese do
Teorema 2.5 do Complemento 2, sobre a convergência uniforme da primitiva de uma função emL 1. Por exemplo, a função de�nida pela série de Fourier
W (x) =∞∑k=1
1
k2cos k2x
na qual os coe�cientes W (n) diferem de 0 em uma sub�seqüência: W (n) = 1/ |n| se |n| = k2 paraalgum k ∈ N e W (n) = 0 de outra forma. Diferenciando termo-a-termo esta série obtemos umasérie cujos coe�cientes não decaem para 0 quando n → ∞, contradizendo a hipótese do Teorema2.5 de w(x) = W ′(x) ser uma função em L 1. Note que se w ∈ L 1, então w(n) → 0 quandon→∞, pelo teorema de Riemann�Lebesgue.Convergência em média de σNf e suas conseqüências . As boas propriedades do núcleo de Fejèr,responsáveis pela convergência uniforme de funções em C(T), podem se aplicadas para um funçãoarbitrária em L 1(T).
Teorema 3.7 (Convergência em média). Se f ∈ L 1(T), então
limN→∞
∫ 2π
0
|f(x)− σNf(x)| dx = 0 .
Prova. Integrando em valor absoluto a expressão na primeira linha de (3.12), utilizada na provado Teorema 3.3, obtemos procedendo de maneira análoga
1
2π
∫ 2π
0
|f(x)− σNf(x)| dx =1
2π
∫ 2π
0
∣∣∣∣∫ 2π
0
∆N(y) (f(x)− f(x− y)) dy
∣∣∣∣ dx≤ 1
2π
∫ 2π
0
∫ 2π
0
∆N(y) |f(x)− f(x− y)| dydx
=1
2π
∫ 2π
0
∆N(y)
∫ 2π
0
|f(x)− f(x− y)| dxdy
=1
2π
(∫ δ
−δ+
∫ 2π−δ
δ
)∆N(y)
∫ 2π
0
|f(x)− f(x− y)| dxdy
= I1 + I2 (3.19)
onde na terceira linha a troca de ordem de integração é justi�cada pelo teorema de Fubini. Pode�seprovar que o conjunto das funções contínuas C(T) é denso em L 1(T) (veja Proposição 3.1 do texto�Análise de Fourier e EDP� de Djairo G. Figueiredo para uma demonstração). Isso implica que,para uma f ∈ L 1(T) e um ε > 0, existe um δ > 0 tal que∫ 2π
0
|f(x)− f(x− y)| dx < ε
COMPLEMENTOS 29
para |y| ≤ δ. Logo
I1 =1
2π
∫ δ
−δ∆N(y)
∫ 2π
0
|f(x)− f(x− y)| dxdy
≤ ε
2π
∫ δ
−δ∆N(y)dy ≤ ε
2π
∫ 2π
0
∆N(y)dy = ε (3.20)
pela Proposição 3.2 ítens (1) e (2). Para integral I2, observamos que∫ 2π
0
|f(x)− f(x− y)| dx ≤∫ 2π
0
|f(x)| dx+
∫ 2π
0
|f(x− y)| dx = 2 ‖f‖1
onde ‖f‖1 =∫ 2π
0|f(x)| dx é a norma de f em L 1(T). Devido a propriedade (3.8),
|I2| ≤1
2π
∫ 2π−δ
δ
∆N(y)
∫ 2π
0
|f(x)− f(x− y)| dxdy ≤ ‖f‖1π
∫ 2π−δ
δ
∆N(y)dy ≤ 2 ‖f‖1Nδ
. (3.21)
Consequentemente, |I2| < ε para todo N > N0(ε) = 2 ‖f‖1 /(δε) e como ε é arbitrário, as (3.19),(3.20) e (3.21) implicam o resultado desejado.
�As funções {en(x), n ∈ Z} formam un sistema ortonormal de funções onde a ortogonalidade é
com respeito ao produto interno (f, g) := (1/2π)
∫ 2π
0
f(x)g(x)dx. Vamos mostrar que este sistema
ortonormal é, além disso, completo no sentido que se f(x) é ortogonal a todos en(x), então f
é, excluindo um conjunto nulo, identicamente 0. A de�nição de conjunto nulo será dada maisadiante. Recordamos que os coe�cientes de Fourier f(n) de f(x) são projeções ortogonais de f(x)
nas direções en(x): f(n) = (f, en). Portanto, f(n) = 0 se, e somente se, f(x) é ortogonal a en(x).
Corolário 3.8. Se f ∈ L 1(T), então ‖f‖1 = 0 se, e somente se, f(n) = 0 para todo n inteiro.
Prova. Se ‖f‖1 =∫ 2π
0|f(x)| dx = 0, então∣∣∣f(n)
∣∣∣ =1
2π
∣∣∣∣∫ 2π
0
f(x)einxdx
∣∣∣∣ ≤ 1
2π
∫ 2π
0
|f(x)| dx = 0
e f(n) = 0 para todo n ∈ Z. Suponha agora o contrário, que f(n) = 0 para todo n ∈ Z. Então,por (3.2), o polinômio trigonométrico σNf(x) = 0 para todo x. Consequentemente, pelo Teorema3.7, ∫ 2π
0
|f(x)− σNf(x)| dx =
∫ 2π
0
|f(x)| dx = ‖f‖1tende a 0 quando N →∞. Como a quantidade do lado direito da igualdade independe de N , paraque o seu limite vá a 0 ele próprio deve ser 0, concluindo a demonstração do corolário.
�Suponha f uma função (mensurável) em L 1(T). Para cada n, seja
Sn ={x ∈ [0, 2π) : 2n−1 < |f(x)| ≤ 2n
}a pré�imagem do intervalo In = (2n−1, 2n] no contra�domínio de f : Sn = f−1(In). A medida deLebesgue meas (A ) atribui a um subconjunto A de [0, 2π) o seu �comprimento�. Se A = ∪nIn é
COMPLEMENTOS 30
uma união disjunta de intervalos (In ∩Im = ∅, ∀n 6= m), então
meas (A ) =
∫A
dx
é a soma dos comprimentos destes intervalos:∑n
|In|. Para o uso que faremos a seguir da medida
de Lebesgue essas noções bastam.Por um lado, temos∫ 2π
0
|f(x)| dx =∞∑
n=−∞
∫Sn
|f(x)| dx ≤∞∑
n=−∞
2n∫
Sn
dx =∞∑
n=−∞
2nmeas (Sn) := E ; (3.22)
por outro lado, temos∫ 2π
0
|f(x)| dx =∞∑
n=−∞
∫Sn
|f(x)| dx ≥∞∑
n=−∞
2n−1∫
Sn
dx =1
2
∞∑n=−∞
2nmeas (Sn) =E
2
de onde se concluiE
2≤ ‖f‖1 ≤ E (3.23)
e, em particular, E <∞ se e somente se ‖f‖1 <∞, isto é, se e somente se f ∈ L 1(T).Seja
S =∞⋃
n=−∞
Sn
S ∗ = {x ∈ [0, 2π) : f(x) = 0} .
O conjunto S é identi�cado com o conjunto dos pontos x ∈ [0, 2π) para os quais f(x) 6= 0 eS ∪S ∗ = [0, 2π) é uma partição disjunta deste intervalo. Consequentemente,
2π = meas (S ) + meas (S ∗) =∞∑
n=−∞
meas (Sn) + meas (S ∗) (3.24)
Se ‖f‖1 = 0, então meas (Sn) = 0 para todo n e, consequentemente, meas (S ) = 0. Neste casodizemos que f(x) = 0 para (quase) todo x em [0, 2π) � podendo, possivelmente, haver um conjuntode medida nula de Lebesgue de pontos exceptionais para os quais f(x) 6= 0. Por outro lado, semeas (S ∗) = 2π, então meas (S ) = 0 por (3.24) e, devido a meas (·) ser uma função não�negativa,meas (Sn) = 0 para todo n. Isso implica E = 0, pela de�nição (3.22), e por (3.23) ‖f‖1 = 0.Corolário 3.8 pode então ser expresso como:
Corolário 3.9. Se f ∈ L 1(T), então a três seguintes asserções são equivalentes:
(1) ‖f‖1 = 0;
(2) f(n) = 0 para todo n;
(3) f(x) = 0 para (quase) todo x.
Ou ainda,
Corolário 3.10. Suponha que f e g sejam duas funções em L 1(T). Então a três seguintes asserções
são equivalentes:
COMPLEMENTOS 31
(1) ‖f − g‖1 = 0;
(2) f(n) = g(n) para todo n;
(3) f(x) = g(x) para (quase) todo x.
Na situação do Corolário 3.9, não é possível deduzir que f(x) = 0 para todo x. Podemos noentanto a�rmar que f(x) = 0 nos pontos de continuidade para f em vista da seguinte observação.
Proposição 3.11. Se (i) f ∈ L 1(T), (ii) f é contínua em x0 e (iii) f(x0) 6= 0, então∫ x0+δ
x0−δ|f(x)| dx > 0 , (3.25)
para todo δ > 0.
Prova. Seja f0 = f(x0). Como f(x) é contínua em x0, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
|f(x)− f0| < ε se |x− x0| ≤ δ . (3.26)
Tomando ε = |f0| /2, a desigualdade triangular e (3.26) fornecem
|f(x)| = |f(x)− f0 + f0|
≥ |f0| − |f(x)− f0| ≥ |f0| −|f0|2
=|f0|2
se x0 − δ ≤ x ≤ x0 + δ. Ao substituir a desigualdade na integral (3.25) obtemos∫ x0+δ
x0−δ|f(x)| dx ≥ |f0|
2
∫ x0+δ
x0−δdx = |f0| δ
que é positivo para todo δ > 0, concluindo a demonstraçao.�
Segue imediatamente desta proposição que se f ∈ C(T), então f(n) = 0 para todo n se e somentese f(x) = 0 para todo x. Outra conseqüência é o seguinte
Corolário 3.12. Suponha f ∈ L 1(T) e∞∑
n=−∞
∣∣∣f(n)∣∣∣ <∞. Então
f(x) = Sf(x)
em todo ponto x para o qual f é contínua.
Prova. O lado direito da equação,
Sf(x) =∞∑
n=−∞
Sf(n)einx ,
é, pelo Teorema 3.5, uma função contínua e 2π�periódica e Sf(n) = (1/2π)
∫ 2π
0
f(x)e−inxdx = f(n)
para todo n. Pelo Corolário 3.10 ‖f − Sf‖1 = 0 e, em vista da Proposição 3.11, f(x) = Sf(x) emtodo ponto x para o qual f é contínua.
�
COMPLEMENTOS 32
Denotando por f(x0−) = limx→x0− f(x) o limite da função f(x) quando x se aproxima de x0 porbaixo e f(x0+) = limx→x0+ f(x) o limte da função f(x) quando x se aproxima de x0 por cima, temos
Teorema 3.13 (Fejér). Suponha f ∈ L 1(T). Se ambos os limites f(x−) e f(x+) existem e são
�nitos, então
limN→∞
σNf(x) =1
2(f(x−) + f(x+)) .
Note que o valor de f(x) é irrelevante. Entretanto, dizer que f é contínua no ponto x é equivalentea dizer que f(x−) = f(x+) e, neste caso, o teorema a�rma que σNf(x) tende para f(x).Prova. Por (3.4) e de�nição (2.7) de produto de convolução,
σNf(x) =1
2π
∫ 2π
0
∆N(y)f(x− y)dy
=1
2π
(∫ δ
0
+
∫ 2π−δ
δ
+
∫ 2π
2π−δ
)∆N(y)f(x− y)dy = I1 + I2 + I3 .
Pela existência dos limites laterais, dado ε > 0, suponha que δ é escolhido pequeno su�ciente paraassegurar que e |f(x− y)− f(x−)| < ε uniformemente para 0 ≤ y ≤ δ e |f(x− y)− f(x+)| < ε
uniformemente para 1− δ ≤ y ≤ 1. Escrevendo
I1 =1
2π
∫ δ
0
∆N(y) (f(x− y)− f(x−)) dy + f(x−)1
2π
∫ δ
0
∆N(y)dy = J1 + J ′1 , (3.27)
temos
J1 ≤1
2π
∫ δ
0
∆N(y) |f(x− y)− f(x−)| dy ≤ ε
2π
∫ δ
0
∆N(y)dy ≤ ε
2π
∫ 2π
0
∆N(y)dy = ε
pelo ítem (2) da Proposição 3.2 e, pelos ítens (2) e (4) da Proposição 3.2,
1
2− π
2Nδ≤ 1
2π
∫ δ
0
∆N(y)dy ≤ 1
2
implica em ∣∣∣∣J ′1 − 1
2f(x−)
∣∣∣∣ ≤ π |f(x−)|2Nδ
.
A simples aplicação de (3.10), juntamente com a simetria de ∆N(x) com respeito a x = π, resulta
|I2| ≤π
2Nδ
∫ 2π
0
|f(x− y)| dy =π ‖f‖12Nδ
.
A integral I3 é estimada exatamente como a I1, dividindo-a em duas integrais de maneira análogaa (3.27)
I3 =1
2π
∫ 2π
2π−δ∆N(y) (f(x− y)− f(x+)) dy + f(x+)
1
2π
∫ 2π
2π−δ∆N(y)dy = J3 + J ′3
e usando a simetria de ∆N(x) com respeito a x = π. Juntando tudo, temos
σNf(x) = J1 + J ′1 + I2 + J3 + J ′3
COMPLEMENTOS 33
onde |J1| , |J3| < ε para todo N , enquanto que |J1| → f(x−)/2, |I2| → 0 e |J3| → f(x+)/2 quandoN →∞. Portanto ∣∣∣∣σNf(x)− 1
2(f(x−) + f(x+))
∣∣∣∣ < 3ε
para todo N grande o su�ciente, concluindo, em vista de ε > 0 ser arbitrário, a prova do teorema.�
Teorema abeliano e hipótese tauberian. As vezes, a existência de um limite implica na existência deoutro. Daremos aqui um exemplo deste fenômeno, conhecido na literatura por teorema abeliano,em relação a média de Cesàro.
Teorema 3.14. Suponha que (un)n≥1 seja uma seqüência numérica tal que limn→∞ un = u. Seja
(vn)n≥1 a seqüência formada pela média de Cesàro da seqüência dada: v1 = u1, v2 = (u1 + u2)/2,
v3 = (u1 + u2 + u3)/3 e, em geral,
vn =1
n
n∑k=1
uk .
Então, limn→∞ vn = u.
Prova. Se (Un)n≥1 e (Vn)n≥1 são seqüência numéricas dadas por
Un = un − uVn = vn − u ,
então limn→∞ Un = 0,
Vn =1
n
n∑k=1
Un
e desejamos provar que limn→∞ Vn = 0. É su�ciente então provar o teorema para o caso u = 0.Como limn→∞ Un = 0, dado ε > 0, existe um N tal que |Un| < ε para todo n > N . Pela
desigualdade triangular,
|Vn| ≤1
n
n∑k=1
|Un| =1
n
N∑k=1
|Un|+1
n
n∑k=N+1
|Un| .
onde a primeira soma no lado direito da igualdade é independente de n (dividindo por n tende a 0
quando n→∞) e cada somando da segunda soma é menor que ε. Consequentemente,
|Vn| ≤1
n
N∑k=1
|Un|+n−Nn
ε
≤ 1
n
N∑k=1
|Un|+ ε ≤ 2ε
para todo n grande su�ciente. Como ε > 0 pode ser escolhido arbitráriamente pequeno, tomandoN e n cada vez maiores, a desigualdade implica limn→∞ Vn = 0, concluindo a demonstração doteorema.
�
COMPLEMENTOS 34
Dependendo da situação, tomar a média de Cesàro de uma seqüência pode ou não ser uma boaidéia. Se un oscilar e tender para u vagarosamente, então vn pode tender a u rapidamente. Poroutro lado, se un tende para u muito rapidamente, então vn pode tender a u lentamente. Porexemplo: se un = 1/2n, então un tende a 0 exponencialmente ao passo que
vn =1
n
n∑k=1
1
2n=
1
n
1/2− 1/2n+1
1− 1/2=
1
n
(1− 1
2n
)tende para 0 com 1/n.Voltando à seqüência das séries parciais de Fourier un = Sn−1f(x) e a respectiva seqüência
vn = σn−1f(x) das médias de Cesàro (3.2), concluímos pelo Teorema 3.14 que se Snf(x) tende aum limite então σnf(x) tende ao mesmo limite. Em outras palavras, se Snf(x) converge para aentão a série de Fourier é Cesàro somável para a e, em vista do Teorema 3.13 de Fejér, temos
Corolário 3.15. Suponha f ∈ L 1(T). Se f é contínua em x e se a soma pacial SNf(x) tende a
um limite, então este limite é f(x).
Embora a a�rmação no sentido contrário ao Teorema 3.14 seja em geral falso, como pode servisto pelo Exemplo 3.1, usualmente é possível um teorema reverso parcial impondo uma hipóteseextra, denominada hipótese tauberiana. O próximo resultado é um bom exemplo de um teorematauberiano.
Teorema 3.16 (Hardy). Suponha que (i) a série∞∑n=1
an seja Cesàro somável para A e (ii) exista
uma constante C tal que
|an| ≤C
n(3.28)
para todo n. Então∞∑n=1
an converge para A.
A hipótese tauberiana (3.28) permite a asserção contrária: Cesàro somabilidade implica somabi-lidade. Se (3.28) for substituída por
|an| ≤f(n)
nonde f(n) é uma função positiva e crescente, cujo crescimento para +∞ é tão lento quanto possível,então pode-se mostrar contra�exemplos ao Teorema 3.16. Logo, (3.28) é a mais fraca hipótese destetipo que permite a asserção contrária.
Prova. Seja sn =n∑k=1
ak e σn =n∑k=1
(1 − (k − 1)/n)ak. Devemos mostrar que se σn → A quando
n→∞, então sn → A igualmente sob (3.28). Observamos inicialmente que
(n+ h)σn+h − nσn =n+h∑k=1
(n+ h+ 1− k)ak −n∑k=1
(n+ 1− k)ak
= hsn +n+h∑k=n+1
(n+ h+ 1− k)ak .
COMPLEMENTOS 35
Dividindo ambos os lados por h, subtraindo em seguida ambos os lados por A, obtemos
sn − A =n+ h
h(σn+h − A)− n
h(σn − A)− 1
h
n+h∑k=n+1
(n+ h+ 1− k)ak .
Usando na soma remanescente: (a) |ak| ≤ C/k ≤ C/n, (b) o coe�ciente de ak é no máximo 1 e(c) existem h termos, a igualdade pode ser estimada como
|sn − A| ≤n+ h
h|σn+h − A|+
n
h|σn − A|+
Ch
n.
Para um ε > 0, seja h = [εn], onde [x] indica a parte inteira do número x real. Quando n → ∞,devido ao fato de σn+h − A e σn − A tenderem a 0 e seus coe�cientes permanecerem limitados, osdois primeiros termos do lado direito da desigualdade tende a 0 e o último é limitado superiormentepor Cε. Logo
|sn − A| ≤ Cε
e como ε > 0 é arbitrário, concluímos a convergência sn → A almejada.�
Combinando o Teorema 3.16 com o Teorema 3.13 de Fejér, temos
Corolário 3.17. Suponha que f ∈ L 1(T) é tal que∣∣∣nf(n)
∣∣∣ é limitado: ∃ C > 0 tal que∣∣∣f(n)
∣∣∣ ≤C/ |n| para todo n ∈ Z. Se ambos os limites f(x−) e f(x+) existem e são �nitos, então
limN→∞
SNf(x) =1
2(f(x−) + f(x+)) .
COMPLEMENTOS 36
4. Transformada de Fourier
De�nições e propriedades . Denotamos por L 1(R) o conjunto das funções f : R −→ C a valorescomplexos tais que as integrais impróprias de f e |f | existam. Isto requer que f e |f | sejam(Riemann) integráveis em cada intervalo [−M,N ] e que os limites
limM,N→∞
∫ N
−Mf(x)dx e lim
M,N→∞
∫ N
−M|f(x)| dx
existam. A integral∫∞−∞ |f(x)| dx é a norma L 1 de f e será denotada por ‖f‖1. Para f ∈ L 1(R),
a tranformada de Fourier de f é de�nida por
f(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−iξxdx . (4.1)
A variável ξ assume valores reais e nestas notas pretendemos estabelecer a inversa de Fourier(análoga a expansão de Fourier) de tal forma que f é escrita como
f(x) =1√2π
∫ ∞−∞
f(ξ)eiξxdξ
onde os f(ξ) desempenham o mesmo papel dos �coe�cientes� de uma série de Fourier. Ao desen-volver a teoria da transformada de Fourier, vamos encontrar muitas similaridades com a teoriadesenvolvida anteriormente mas há também algumas surpresas, não todas elas bem vindas.A transformada de Fourier (4.1) é uma transformação linear sobre L 1(R): dados f , g ∈ L 1(R)
e a, b ∈ C, se h(x) = af(x) + bg(x) então h(ξ) = af(ξ) + bg(ξ). A tranformação leva, além disso,funções em L 1(R) em funções limitadas∣∣∣f(ξ)
∣∣∣ ≤ 1√2π
∫ ∞−∞|f(x)| dx =
‖f‖1√2π
.
Exemplo 4.1. (1) Suponha c > 0 e seja f(x) = e−c|x|. Então
f(ξ) =1√2π
(∫ 0
−∞ecxe−iξxdx+
∫ ∞0
e−cxe−iξxdx
)=
1√2π
(e(c−iξ)x
c− iξ
∣∣∣∣0−∞− e−(c+iξ)x
c+ iξ
∣∣∣∣∞0
)
=1√2π
(1
c− iξ+
1
c+ iξ
)=
√2
π
c
c2 + ξ2;
COMPLEMENTOS 37
(2) Suponha a > 0 e seja f(x) =√
2π(2a)−1 se |x| ≤ a e f(x) = 0 se x > a. Então
f(ξ) =
∫ a
−a
1
2ae−iξxdx
=1
2iaξ
(eiξa − e−iξa
)=
sin aξ
aξ.
Proseguimos com algumas outras propriedades da transformada de Fourier. Denotando porτaf(x) = f(x−a) a translação de f por a ∈ R, eaf(x) = eiaxf(x) a modulação de f por ea(x) = eiax
e daf(x) = af(ax) a dilatação de f por a, temos
Proposição 4.2. Suponha f ∈ L 1(R) e a, b e c reais. Então
a. τaf ∈ L 1(R) e τaf(ξ) = e−af(ξ);
b. ebf ∈ L 1(R) e ebf(ξ) = τbf(ξ);
c. dcf ∈ L 1(R) e dcf(ξ) = |c| d1/cf(ξ);
d. f ∈ L 1(R) e f(ξ) = f(−ξ).
Prova. a. Mudando a variável x para y = x− a, temos
τaf(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x− a)e−iξxdx
= e−iaξ1√2π
∫ ∞−∞
f(y)e−iξydy = e−af(ξ) .
b. Claramente,
ebf(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−i(ξ−b)xdx = τbf(ξ) .
c. Mudando a variável x por y = cx
dcf(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
cf(cx)e−iξxdx
=c
c
1√2π
∫ c∞
−c∞f(y)e−ixξ/cdx = |c| d1/cf(ξ) .
Note que, se c < 0, devemos trocar na segunda igualdade o índice superior pelo inferior da integrale isso acrescenta um sinal resultando em −cd1/cf(ξ) = |c| d1/cf(ξ). d. Tomando o complexoconjugado da integral
f(−ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)eiξxdx
obtemos
f(−ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−iξxdx = f(ξ)
concluindo a demonstração da proposição, uma vez que, evidentemente, τaf , ebf , dcf e f ∈ L 1(R).�
COMPLEMENTOS 38
Corolário 4.3. Suponha f ∈ L 1(R). (i) Se f é par, então f é par; (ii) Se f é ímpar, então f é
ímpar; (iii) Se f é real, então f(−ξ) = f(ξ) .
A transformada de Fourier f de uma função f em L 1(R) é mais suave que f .
Teorema 4.4. Se f ∈ L 1(R) então f(ξ) é uniformemente contínua.
Prova. Como ‖f‖1 <∞, dado ε existe K > 0 tal que∫ −K−∞|f(x)| dx <
√π
2ε e
∫ ∞K
|f(x)| dx <√π
2ε . (4.2)
Consequentemente,
f(ξ)− f(η) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)(e−iξx − e−iηx
)dx
=1√2π
(∫ −K−∞
+
∫ K
−K+
∫ ∞K
)f(x)
(e−iξx − e−iηx
)dx = I1 + I2 + I3
onde
|I1| ≤1√2π
∫ K
−∞|f(x)|
∣∣(e−iξx − e−iηx)∣∣ dx≤
√2
π
∫ K
−∞|f(x)| dx < ε ,
|I2| ≤1√2π
∫ K
−K|f(x)|
∣∣(e−iξx − e−iηx)∣∣ dx=
1√2π
∫ K
−K|f(x)|
∣∣∣∣∫ ξ
η
−ixe−isxds∣∣∣∣ dx
≤ 1√2π
∫ K
−K|x| |f(x)|
∣∣∣∣∫ ξ
η
∣∣e−isx∣∣ ds∣∣∣∣ dx≤ K√
2π|ξ − η|
∫ ∞−∞|f(x)| dx
=K ‖f‖1√
2π|ξ − η|
e, analogamente a I1,|I3| < ε .
De onde se conclui que, existe δ su�cientemente pequeno de maneira tal que, para todo ξ, η ∈ Rtais que |ξ − η| ≤ δ, ∣∣∣f(ξ)− f(η)
∣∣∣ = 2ε+K ‖f‖1√
2π|ξ − η| < 3ε
e isso conclui a prova do teorema.�
O Lema de Riemann�Lebesgue também se aplica às tranformadas de Fourier. O lema a seguirprecede a prova deste resultado.
COMPLEMENTOS 39
Lema 4.5. Se f ∈ L 1(R) então
limδ→0
∫ ∞−∞|f(x+ δ)− f(x)| dx = 0 .
Prova. De maneira análoga a (4.2), dado ε > 0, escolhemos K > 1 tal que∫|x|>K−1
|f(x)| dx < ε .
Logo, para |δ| ≤ 1, temos∫ ∞−∞|f(x+ δ)− f(x)| dx ≤
∫ K
−K|f(x+ δ)− f(x)| dx+ 2ε . (4.3)
Pelo Teorema 3.1 do livro texto �Análise de Fourier e EDP� de Djairo G. de Figueiredo, existe umafunção contínua ψ : [−K − 1, K + 1] −→ C tal que∫ K+1
−K−1|f(x)− ψ(x)| dx < ε ,
em outras palavras, o conjunto das funções contínuas em um intervalo [a, b] qualquer é denso emL 1([a, b]) onde a distância entre dois elementos f e g de L 1([a, b]) ou C ([a, b]) é dada pela norma‖f − g‖1. Pela desigualdade triangular∫ K
−K|f(x+ δ)− f(x)| dx =
∫ K
−K|f(x+ δ)− ψ(x+ δ)− f(x) + ψ(x) + ψ(x+ δ)− ψ(x)| dx
≤ 2ε+
∫ K
−K|ψ(x+ δ)− ψ(x)| dx .
Como ψ(x) é contínua em [−K − 1, K + 1], ψ(x) é uniformemente contínua neste intervalo, a últimaintegral tende para 0 quando δ → 0 uniformemente em x e, como ε > 0 é arbitrariamente pequeno,a integral no lado direito de (4.3) tende a 0 quando δ → 0, concluindo a demonstração.
�
Teorema 4.6 (Riemann-Lebesgue). Se f ∈ L 1(R) então f(ξ) tende a 0 quando ξ → ±∞.
Prova. Por de�nição,
f(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−iξxdx .
Fazendo a mudança de variável y = x− π/ξ, esta integral �ca
f(ξ) =−1√2π
∫ ∞−∞
f(y + π/ξ)e−iξydy
onde usamos e−iπ = −1. Tomando a média destas duas formas, temos∣∣∣f(ξ)∣∣∣ =
∣∣∣∣ −1
2√
2π
∫ ∞−∞
(f(x+ π/ξ)− f(x)) e−iξxdy
∣∣∣∣≤ 1
2√
2π
∫ ∞−∞|f(x+ π/ξ)− f(x)| dy
de onde se conclui, juntamente com o Lema 4.5, a prova do teorema.
COMPLEMENTOS 40
�O Lema de Riemann�Lebesgue a�rma que f(ξ) tende para 0 quando |ξ| tende a in�nito mas não
estabelece a taxa de seu decaimento. Veremos que esta taxa depende de hipóteses adicionais sobref(x). O lema a seguir precede o enunciado deste resultado.
Lema 4.7. Suponha que f seja continuamente diferenciável no intervalo [0, 1]. Então
|f(x)| ≤∫ 1
0
|f(y)| dy +
∫ 1
0
|f ′(y)| dy (4.4)
para todo x ∈ [0, 1].
Prova. Integrando por partes as integrais∫ x
0
yf ′(y)dy = yf(y)|x0 −∫ x
0
f(y)dy
= xf(x)−∫ x
0
f(y)dy
e ∫ 1
x
(y − 1)f ′(y)dy = (y − 1)f(y)|1x −∫ 1
x
f(y)dy
= (1− x)f(x)−∫ 1
x
f(y)dy .
Somando as duas igualdades, rearrajando em seguida seus termos, obtemos
f(x) =
∫ 1
0
f(y)dy +
∫ x
0
yf ′(y)dy +
∫ 1
x
(y − 1)f ′(y)dy .
Aplicando a desigualdade triangular ao valor absoluto desta expressão, após maximizar y e (1− y)
sobre y ∈ [0, 1] encontramos
|f(x)| ≤∫ 1
0
|f(y)| dy +
∫ x
0
y |f ′(y)| dy +
∫ 1
x
(1− y) |f ′(y)| dy
≤∫ 1
0
|f(y)| dy +
∫ 1
0
|f ′(y)| dy
para todo x ∈ [0, 1], concluindo a demonstração do lema.�
Teorema 4.8. Suponha (i) f ∈ L 1(R), (ii) f(x) continuamente diferenciável e (iii) f ′ ∈ L 1(R).
Então
f ′(ξ) = iξf(ξ) . (4.5)
Como f ′ ∈ L 1(R), a transformada de Fourier de f ′ existe e∣∣∣f ′(ξ)∣∣∣ ≤ 1√2π
∫ ∞−∞|f ′(x)| dx =
‖f ′‖1√2π
.
COMPLEMENTOS 41
Combinando esta expressão com (4.5), obtemos∣∣∣f(ξ)∣∣∣ ≤ ‖f ′‖1√
2π |ξ|, (4.6)
uma estimativa quantitativa porém não precisa o su�ciente para expressar o decaimento de fsob as hipóteses do Teorema 4.8. Observe que (4.5), juntamente com Teorema 4.6, implica quef ′(ξ) tende a 0 mais rapidamente que 1/ξ, e tal decaimento é expresso, empregando a notação deBachmann�Landau, como 3
f(ξ) = o (1/ |ξ|) , quando |ξ| → ∞ .
Prova. Considere, para um K > 0 �nito, a integral
1√2π
∫ K
−Kf ′(x)e−iξxdx =
1√2π
(f(x)e−iξx
∣∣K−K + iξ
∫ K
−Kf(x)e−iξxdx
)=
1√2π
(f(K)e−iξK − f(−K)eiξK + iξ
∫ K
−Kf(x)e−iξxdx
)(4.7)
com a igualdade obtida por integração por partes. Pela desigualdade (4.4),
|f(K)| ≤∫ K+1/2
K−1/2|f(y)| dy +
∫ K+1/2
K−1/2|f ′(y)| dy
e como f , f ′ ∈ L 1(R) ambas integrais do lado direito da desigualdade tendem 0 quando K →∞,e o mesmo pode ser dito de f(−K). A equação (4.5) resulta de (4.7) tomando K →∞.
�O produto de convolução de duas funções f e g em L 1(R) é de�nido por
f ∗ g(x) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x− y)g(y)dy . (4.8)
Pode acontecer que a integral∫∞−∞ |f(x− y)g(y)| dy = ∞ e, nestes casos a convolução não existe.
Como veremos mais adiante, a convolução sempre existe se f ∈ L 1(R) e g é uma função limitada.Se f , g ∈ L 1(R), então f ∗ g(x) existe para (quase) todo x ∈ R.
Teorema 4.9. Se f , g ∈ L 1(R), então f ∗ g ∈ L 1(R) e f ∗ g(ξ) = f(ξ)g(ξ).
Prova. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx =
∫ ∞−∞
∣∣∣∣ 1√2π
∫ ∞−∞
f(x− y)g(y)dy
∣∣∣∣ dx≤ 1√
2π
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞|f(x− y)g(y)| dydx
=1√2π
∫ ∞−∞|g(y)|
(∫ ∞−∞|f(x− y)| dx
)dy (4.9)
3Se (4.6) prevalecesse assintóticamente: lim|ξ|→∞ |ξ| |f(ξ)| = c > 0, então, por esta notação, teríamos f(ξ) =O (1/ |ξ|) quando |ξ| → ∞.
COMPLEMENTOS 42
onde a integral interna, entre�parênteses, é ‖f‖1, independentemente de y, de onde se conclui
‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f‖1 ‖g‖1 .
A troca de ordem de integração em (4.9) é justi�cada pois a integral dupla é absolutamente inte-gravel.Para a transformada de Fourier do produto de convolução, temos
f ∗ g(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
(1√2π
∫ ∞−∞
f(x− y)g(y)dy
)e−iξxdx
=1√2π
∫ ∞−∞
g(y)
(1√2π
∫ ∞−∞
f(x− y)e−iξ(x−y)dx
)e−iξydy
onde a integral interna é f(ξ), independentemente de y, e a integral restante em y é g(ξ), concluindoa prova do teorema.
�
Exemplo 4.10. Suponha g(x) =√π/2
(1− |x|
2a
)para |x| ≤ 2a e g(x) = 0 se |x| > 2a. Então
g(x) = a (f ∗ f) (x) onde f é a função do Exemplo 4.1.2 e, devido ao Teorema 4.9,
g(ξ) = af(ξ)2 = asin2 aξ
(aξ)2.
Podemos con�rmar o resultado cálculando diretamente sua transformada de Fourier
g(ξ) =1
2
∫ 2a
−2a
(1− |x|
2a
)e−iξxdx
=
∫ 2a
0
(1− x
2a
)cos ξx dx
=
((1− x
2a)sin ξx
ξ
∣∣∣∣2a0
+1
2a
∫ 2a
0
sin ξx
ξdx
)
= − 1
2aξ2cos ξx|2a0
=a
2
1− cos 2aξ
(aξ)2= a
sin2 aξ
(aξ)2,
onde na última igualdade usamos as relações trigonométricas cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1 −2 sin2 aξ.
Fórmula da inversa de Fourier . Até esse ponto o desenvolvimento da transformada de Fourierseguiu os mesmos passos das séries de Fourier. Da mesma maneira que a séries de Fourier Sfde uma função f expressa f por uma série trigonométrica cujos coe�cientes são f(n), desejamosescrever uma f ∈ L 1(R) em termos de sua transformada de Fourier f(ξ):
f(x) =1√2π
∫ ∞−∞
f(ξ)eiξxdξ .
COMPLEMENTOS 43
Antecipamos que a mesma espécie de di�culdades encontradas na convergência das séries de Fourierdevem estar presentes no contexto da transformada de Fourier. Dependendo das hipóteses sobre fteremos que decidir entre as fórmulas
f(x) = limT→∞
∫ T
−Tf(ξ)eiξxdξ
/√2π
ou
f(x) = limT→∞
∫ T
−T
(1− |ξ|
T
)f(ξ)eiξxdξ
/√2π .
Nos Complementos 2 e 3 nossa abilidade de aproximar uma função f ∈ L 1(T) por um polinômiotrigonométrico T (x) de grau N foi de imenso valor. Para a transformada de Fourier, as funções daforma
B(x) =1√2π
∫ T
−Tb(ξ)eiξxdξ (4.10)
desempenham um papel análogo aos polinômios trigonométricos.Iniciaremos pelo análogo do Lema 2.1, equação (2.9).
Lema 4.11. Suponha que uma B(x) do tipo (4.10) seja dada e que
∫ T
−T|b(ξ)| dξ < ∞. Se f ∈
L 1(R), então
(f ∗B) (x) =1√2π
∫ T
−Tb(ξ)f(ξ)eiξxdξ .
Prova. A função B(x), de�nida por (4.10), é uniformemente limitada:
|B(x)| ≤ 1√2π
∫ T
−T|b(ξ)| dξ =
1√2π‖b‖1
A convolução de f ∈ L 1(R) com uma função limitada B(x),
|(f ∗B) (x)| ≤ 1√2π
∫ ∞−∞|f(x− y)B(y)| dy ≤ ‖f‖1 ‖b‖1
2π(4.11)
existe para todo x. Substituindo (4.10) em (4.8), trocando em seguida a ordem de integração,permitida devido a (4.11), resulta
(f ∗B) (x) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x− y)1√2π
∫ T
−Tb(ξ)eiξydξdy
=1√2π
∫ T
−Tb(ξ)eiξx
1√2π
∫ ∞−∞
f(x− y)e−iξ(x−y)dydξ
=1√2π
∫ T
−Tb(ξ)f(ξ)eiξxdξ
concluindo a demonstração do lema.�
Continuando a emular o tratamento devotado às séries de Fourier, observamos que B(x), dada por(4.10), difere de seu análogo polinômio trigonométrico T (x) =
∑Nn=−N tne
inx em alguns aspectos.Em (2.6), vimos que T (n) = tn se |n| ≤ N e T (n) = 0 se |n| > N e, consequentemente, se
COMPLEMENTOS 44∑∞n=−∞ |tn| < ∞, então T ∈ L 1(T) para todo N . Infelizmente, esta propriedade não é em
geral satisfeita para a função B(x), como pode ser visto pelo Exemplo 4.1.2. Tomando b(ξ) a
f(x) deste exemplo com x = ξ, obtemos uma função B(x) = f(−x) =sin ax
axnão pertencente
a L 1(R). A ortogonalidade da base (en(x), n ∈ Z) para L 1(T) é o ingrediente por trás dasrelações (2.6), tão obvias que nem paramos para pensar. Outra conseqüência da ortogonalidade
é a normalização (1/2π)
∫ 2π
0
∆N(x)dx = 1 do polinômio de Fejér ∆N(x) (veja Proposição 3.2),
satisfeita por B(x) = g(−x) onde g = a (f ∗ f) é a função do Exemplo 4.10. Para esta analogia,iremos estabelecer a propriedade por um argumento diferente.
Lema 4.12. Para todo a > 0, temos
I =a
π
∫ ∞−∞
(sin ax
ax
)2
dx = 1 . (4.12)
Prova. Pela Proposição 3.2.3, sabemos que
IN =1
2π
∫ π
−π
1
N
(sinNx/2
sinx/2
)2
dx = 1 (4.13)
independentemente de N . Escrevendo esta integral como
IN =1
2π
∫ π
−π
1
N
(sinNx/2
x/2
)2
dx+1
2π
∫ π
−π
1
Nsin2Nx/2
(1
(sinx/2)2− 1
(x/2)2
)dx ≡ I1N + I2N .
Reescalando a variável de integração em I1N : ay = Nx/2 e dx = (2a/N)dy, obtemos
I1N =a
π
∫ πN/(2a)
−πN/(2a)
(sin ay
ay
)2
dy . (4.14)
Em I2N , a quantidade entre�parênteses é escrita como uma razão
(x/2)2 − (sinx/2)2
((x/2) sinx/2)2=
(x/2− sinx/2)2 (x/2 + sin x/2)2
((x/2) sinx/2)2
segundo a qual tanto o numerador quanto o denominador se anulam em x = 0. Note que x = 0 éo único zero do denominador dentro do intervalo de integração. Como
sinx
2=x
2− 1
6
(x2
)3+O
((x/2)5
),
x = 0 é uma raíz de ordem 4 para o numerador (ordem 3 no primeiro fator e ordem 1 no segundofator) e para o denominador, implicando que esta expressão é limitada em [−π, π]. Consequente-mente, existe C > 0 tal que ∣∣I2N ∣∣ ≤ C
N. (4.15)
Quando N → ∞, devido a (4.14) e (4.15), I1N tende para a integral I desejada e I2N tende a 0.Logo, por (4.13), a integral I em (4.12) tem valor igual a 1, concluindo a prova do lema.
�
COMPLEMENTOS 45
Dado um real T > 0, seja
∆T (x) =
T√2π
(sinTx/2
Tx/2
)2
se x 6= 0
T√2π
se x = 0. (4.16)
A notação ∆T (x) é um abuso de linguagem já que ∆N(x) denota o polinômio trigonométrico deordem N−1, conhecido por núcleo integal de Fejér. Usaremos, entretanto, a notação para enfatizaras similaridades. Pelo Lema 4.12 com a = T/2, temos
1√2π
∫ ∞−∞
∆T (x)dx = 1 . (4.17)
Se g é a função de�nida no Exemplo 4.10 com 2a = T (trocando x por ξ e vice�versa): g(ξ) =√π/2(1− |ξ| /T ) se |ξ| ≤ T e 0 de outra forma, então
g(x) =T
2
sin2(Tx/2)
(Tx/2)2
e, pela de�nição (4.16),
∆T (x) =√
2/πg(−x)
=1
π
∫ ∞−∞
g(ξ)eiξxdξ
=1√2π
∫ T
−T
(1− |ξ|
T
)eiξxdξ
é da forma (4.10). Pelo Lema 4.11, temos
f ∗∆T (x) =1√2π
∫ T
−T
(1− |ξ|
T
)f(ξ)eiξxdξ . (4.18)
Finalmente, por (4.17) e de�nição (4.8), de produto de convolução,
f ∗∆T (x)− f(x) =1√2π
∫ ∞−∞
(f(x− y)− f(x)) ∆T (y)dy . (4.19)
Dependendo dos objetivos, uma dentre as expressões (4.18) e (4.19), com ∆T (x) dada por (4.16),será empregada. Iniciaremos com o análogo do Teorema de Fejér.
Teorema 4.13. Suponha f ∈ L 1(R). Se x é um ponto de continuidade para f , então
limT→∞
∫ T
−T
(1− |ξ|
T
)f(ξ)eiξxdξ
/√2π = f(x) . (4.20)
Observação 4.14. A prova do Teorema 4.13 implica que, se f é uniformemente contínua em todo
intervalo [a, b] ⊂ R, então o limite é atingido uniformemente.
Prova. Por hipótese, x é um ponto de continuidade para f : dado ε > 0, existe δ > 0 tal que|f(x− y)− f(x)| ≤ ε para todo |y − x| ≤ δ. Escrevemos
f ∗∆T (x)− f(x) =1√2π
(∫ −δ−∞
+
∫ δ
−δ+
∫ ∞δ
)(f(x− y)− f(x)) ∆T (y)dy = I1 + I2 + I3 . (4.21)
COMPLEMENTOS 46
Pela de�nição (4.16), ∆T (x) ≤ 2√
2/π/ (Tx2) e, portanto,
|I1| ≤2
π
(1
Tδ2
∫ −δ−∞
f(x− y)dy + |f(x)|∫ −δ−∞
1
Ty2dy
)≤ 2
π
(1
Tδ2‖f‖1 +
1
Tδ|f(x)|
)≤ C
T(4.22)
para alguma constante C a qual depende, eventualmente, de f , x, ε e δ, porém independe de T . Aintegral I3 é limitada similarmente, enquanto que I2 satisfaz, pela hipótese de continuidade em x e(4.17)
|I2| ≤ε√2π
∫ δ
−δ∆T (y)dy ≤ ε√
2π
∫ ∞−∞
∆T (y)dy = ε ,
de onde se conclui, juntamente com (4.21) e (4.22),
|f ∗∆T (x)− f(x)| ≤ 2ε
para T su�cientemente grande e, como ε é arbitrariamente pequeno, a prova do teorema �caconcluída em vista de (4.18).
�Continuamos com os analogos aos Teoremas 3.14 e 3.16 e Corolários 3.15 e 3.17.
Teorema 4.15. Suponha que f seja integrável por Riemann em intervalos da forma [−T, T ] e
de�na as quantidades
I(T ) =
∫ T
−Tf(ξ)dξ
J(T ) =
∫ T
−T(1− |ξ|
T)f(ξ)dξ . (4.23)
Se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.
Prova. Observamos, primeiramente, que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):
1
T
∫ T
0
I(t)dt =1
T
∫ T
0
∫ t
−tf(ξ)dξdt
=
∫ t
−tf(ξ)
(1
T
∫ T
|ξ|dt
)dξ = J(T ) .
Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que |I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0.Escrevemos
J(T )− a =1
T
∫ T
0
(I(t)− a)dt
=1
T
∫ T0
0
(I(t)− a)dt+1
T
∫ T
T0
(I(t)− a)dt = E1 + E2 .
Claramente, como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1
T
∫ T
T0
|I(t)− a| dt < 1
T
∫ T
T0
εdt =
(1− T0
T
)ε .
COMPLEMENTOS 47
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T su�cientemente grande e a prova do teorema.
Corolário 4.16. Suponha f ∈ L 1(R). Se f é contínua no ponto x e se
limT→∞
∫ T
−Tf(ξ)eiξxdξ/
√2π (4.24)
existe, então este limite é f(x).
Prova. Seja a o limite (4.24) e considere esta integral a I(T ) do Teorema 4.15. Pelo Teorema
4.13, J(T ) = (1/T )
∫ T
0
I(t)dt converge para f(x) quando T → ∞ e a = f(x) pelo Teorema 4.15,
concluindo a demonstração do corolário.�
Teorema 4.17. Suponha f integrável por Riemann em intervalos da forma [−T, T ] e seja I(T )
e J(T ) como em (4.23). Se limT→∞ J(T ) = a e se f(ξ) = O (1/ |ξ|) para |ξ| ≥ 1, então
limT→∞ I(T ) = a.
Prova. Pela de�nição de J(T ), temos
(T +H)J(T +H) =
∫ T+H
T
(T +H − ξ)f(ξ)dξ +
∫ T
−T(T +H − |ξ|)f(ξ)dξ
+
∫ −T−T−H
(T +H + ξ)f(ξ)dξ
≡ J+ +
∫ T
−T(T +H − |ξ|)f(ξ)dξ + J−
e, por conseguinte,
(T +H) (J(T +H)− a)− T (J(T )− a) = J+ +H
(∫ T
−Tf(ξ)dξ − a
)+ J−
= J+ +H (I(T )− a) + J− .
Dividindo por H, reorganizando em seguida os termos, resulta
I(T )− a =T +H
H(J(T +H)− a)− T
H(J(T )− a)−
∫ T+H
T
T +H − ξH
f(ξ)dξ
−∫ −T−T−H
T +H + ξ
Hf(ξ)dξ
= E1 + E2 + E3 + E4 . (4.25)
Por hipótese, dado ε > 0, exist T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. Se T > T0 e H =√εT ,
então
|E1| =1−√ε√
ε
∣∣J((1 +√ε)T )− a
∣∣ < 1−√ε√
εε <√ε
COMPLEMENTOS 48
e a mesma estimativa é válida para E2. Para E3, notamos que no intevalo [T, T +H] de integração,
0 ≤ T +H − ξH
≤ 1 e |f(ξ)| ≤ C/T para alguma constante C , devido a hipótese. Logo,
|E3| ≤∫ T+H
T
T +H − ξH
|f(ξ)| dξ ≤ CH
T= C√ε
e, por uma estimativa similar, |E3| ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido arbitrariamente
pequeno, conclui-se de (4.25) que I(T ) tende a a quando T →∞.�
Corolário 4.18. Se f ∈ L 1(R), se f(ξ) = O (1/ |ξ|) uniformemente para |ξ| ≥ 1 e x é um ponto
de continuidade para f , então
f(x) = limT→∞
∫ T
−Tf(ξ)eiξxdξ/
√2π .
Prova. O corolário é uma implicação imediata dos Teoremas 4.13 e 4.17.
�O próximo lema é preparatório para o resultado que vem a seguir.
Lema 4.19. Suponha f integrável por Riemann em intervalos da forma [−T, T ] e seja I(T ) e J(T )
como em (4.23). Se f ∈ L 1(R), então os limites limT→∞ I(T ) e limT→∞ J(T ) existem e coincidem.
Prova. Como a integral limT→∞ I(T ) é , por hipótese, absolutamente convergente, a integralconverge igualmente. Seja a = limT→∞ I(T ). Pelo Teorema 4.15 concluimos que a = limT→∞ J(T ).
Teorema 4.20. Se f ∈ L 1(R), f é uniformemente contínua em cada intervalo [a, b] ∈ R e
f ∈ L 1(R), então
f(x) =1√2π
∫ ∞−∞
f(ξ)eiξxdξ .
Prova. Combinando o Lema 4.19 e o Teoremas 4.13, concluimos a prova do teorema.�
Corolário 4.21. Seja B(x) da forma (4.10). Se B ∈ L 1(R) e b(ξ) é contínua em [−T, T ] com
b(±T ) = 0, então
B(ξ) =
{b(ξ) se |ξ| ≤ T
0 se |ξ| > T .
Prova. Podemos estender a integral em (4.10) para todo R tomando b(ξ) = b(ξ) para |ξ| ≤ T eb(ξ) = 0 para |ξ| > T . Portanto
B(x) =1√2π
∫ ∞−∞
b(ξ)eiξxdξ = b(−x) .
COMPLEMENTOS 49
Pelo Teorema 4.20, temos
b(x) =1√2π
∫ ∞−∞
b(ξ)eiξxdξ=
1√2π
∫ ∞−∞
B(−x)eiξxdξ
=1√2π
∫ ∞−∞
B(x)e−iξxdξ = B(ξ)
concluindo a prova do corolário.�
Uma aplicação deste corolário é a seguinte fórmula
a
π
∫ ∞−∞
sin2 aξ
(aξ)2eiξxdξ =
{1− |x| /(2a) se |x| ≤ 2a
0 se |x| > 2a(4.26)
cujo caso particular com x = 0 é o Lema 4.12. Para (4.26), seja B(ξ) = g(ξ) como no Exemplo4.10 com 2a = T . O lado direito de (4.26) é proporcional a B(x).