CURSO DE CONCRETOREGLAMENTO DEL ACI 2005JAVIER CESIN FARAH

COLUMNAS

Sistema actual Metrico

Datos de origen

seccionsec_b 60.96 cm Base de la seccionsec_h 60.96 cm Altura de la seccionsec_Ag 3,716.12 cm2 Area totalsec_recub 5.08 cm Recubrimientosec_d 55.88 cm Peralte

materialf'c 351.85 kg/cm2fy 4,222.21 kg/cm2Ec 283,241.03 kg/cm2 módulo de elasticidad del concretoEs 2,010,000.00 kg/cm2 módulo de elasticidad del acero

refuerzo

lecho superior

no barras 2 0 0 2 Varilla # 11 11 Area acero 19.16 0.00 0.00 19.16

As 38.32 cm2 Área total de aceroporc acero 0.010 ro. Porcentaje de acero

solicitacionesPu 544,800.00 kg Carga axial última (afectada por factores de carga)Mux 4,151,376.00 kg-cm Momento alrededor de x últimaMuy 1,729,740.00 kg-cm Momento alrededor de y última

1. Determinar la resistencia nominal requerida, suponiendo un comportamiento controlado por compresión.

fi 0.65 factor de reducción de resistenciaPn 838,153.85 kg Carga de diseñoMnx 6,386,732.31 kg-cm Momento en x de diseño. Momento nominal biaxial en xMny 2,661,138.46 kg-cm Momento en y de diseño, Momento nominal biaxial en y

lecho central vertical

lecho central horizontal

lecho inferior

lecho central horizontal

lecho central vertical

lecho superior

lecho inferior

2. Asumir beta=0.65

beta 0.65 Sugerido para un tanteo inicial (varia de 0.55 a 0.70)alfa 1.00 Sugerido para un tanteo inicial

3. Determinar un momento resistente equivalente uniaxial

RelSecc 1.00 sec_b/sec_hRelMom 0.42 Mny/Mnx

Mnox 7,819,653.02 kg-cm Momento nominal uniaxial en xMnoy 6,100,148.17 kg-cm Momento nominal uniaxial en y

Mno 7,819,653.02 kg-cm (si Mny/Mnx>b/h, Mnoy, Mnox)

4. Determinar el refuerzo requerido para Pn, Mno (condición uniaxial)

punto P Mkg kg-cm

1 1,261,726 0 Po4 946,856.59 7,883,557.68 2 509,327.96 12,519,410.50 carga balanceada

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

momento alrededor de eje horizontal

M: Momento

P:

Ca

rga

ax

ial

5 270,335.29 10,345,130.90 6 125,178.22 7,431,370.09 3 -130,451.36 928,381.81 cerca de Mo

5. Se revisara la sección para esfuerzo biaxial por tres métodos

a. Método de Carga Recíproca de Bresler

Revisar Pn>= 0.1 f'c AgOK

Po 1,261,725.58 kg carga maxima con momento ceroPox 1,006,639.74 kg Carga maxima cuando solo actua Mnx en la columna, se obtiene del diagrama de interaccionPoy 1,155,439.81 kg Carga maxima cuando solo actua Mny en la columna, se obtiene del diagrama de interaccion

Evaluando el limite de Pn

limite 937,813.59 kgPn 838,153.85 kg

OK

b. Método del Contorno de Carga de Bresler

Revisar Pn< 0.1 f'c Agno emplear la formula ya que no gobierna la flexion

Mnox 9,035,322.14 kg-cm momento maximo en x para Pn Mnoy 9,035,322.14 kg-cm momento maximo en y para Pn

Evaluando relacion Mnx/Mnox + Mny / Mnoy < 1.0

relacion 1.00 NO PASA

c. Método del Contorno de Carga del PCA

Po 1,261,725.58 kg carga maxima con momento ceroMnox 9,035,322.14 kg-cm momento maximo en x para Pn Mnoy 9,035,322.14 kg-cm momento maximo en y para Pn

Pn/Po 0.66 omega 0.12 beta 0.66 de grafico 7.15a

relacion 0.69 OK

Carga axial última (afectada por factores de carga)

1. Determinar la resistencia nominal requerida, suponiendo un comportamiento controlado por compresión.

Momento en x de diseño. Momento nominal biaxial en xMomento en y de diseño, Momento nominal biaxial en y

lecho central horizontal

lecho central vertical

lecho superior

lecho inferior

( M nx

M nox)α

+( M ny

M noy)β

=1. 0

Sugerido para un tanteo inicial (varia de 0.55 a 0.70)

punto P Mkg kg-cm

1 1,261,726 0 Po4 946,856.59 ###2 509,327.96 ### carga balanceada

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

momento alrededor de eje horizontal

M: Momento

P:

Ca

rga

ax

ial

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

momento alrededor de eje vertical

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

( M nx

M nox)α

+( M ny

M noy)β

=1. 0

M noy≈M nxbh ( 1−β

β )+M ny

5 270,335.29 ###6 125,178.22 ###3 -130,451.36 928,381.81 cerca de Mo

Carga maxima cuando solo actua Mnx en la columna, se obtiene del diagrama de interaccionCarga maxima cuando solo actua Mny en la columna, se obtiene del diagrama de interaccion

Pn≤1

1Pox

+ 1Poy

− 1Po

M nx

M nox

+M ny

M noy

≤1 . 0

ω=ρg f yf c '

( M nx

M nox)(

log 0.5log β )+( M ny

M noy)(

log 0 .5log β )≤1. 0

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

momento alrededor de eje vertical

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

CURSO DE CONCRETOREGLAMENTO DEL ACI 2005JAVIER CESIN FARAH

COLUMNAS. Diagrama de interacción

Datos de origen

seccionsec_b 60.96 cmsec_h 60.96 cmsec_Ag 3,716.12 cm2sec_recub 5.08 cmsec_d 55.88 cm

materialf'c 351.85 kg/cm2fy 4,222.21 kg/cm2Ec 283,241.03 kg/cm2Es 2,010,000.00 kg/cm2

refuerzoAs1 19.16 cm2 lecho superiorAs2 0.00 cm2 lecho centralAs3 19.16 cm2 lecho inferior

As 38.32 cm2

solicitacionesPu 544,800.00 kgMux 4,151,376.00 kg-cmMuy 1,729,740.00 kg-cm

Pn 838,153.85 kgMn 7,819,653.02 kg-cm

Punto 1: Poc

Poc 1,261,726 kg punto compresión puraMoc 0 kg-cm momento en compresion pura

Punto 2: Falla balanceada

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_sy 0.00210 deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferiorc 32.87 cm profundidad del eje neutroa 27.94 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00254 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 0.00022 deformación unitaria del acero en el lecho medio

menor que ey

fs1 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 437.89 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 509,327.96 16.51 8,409,843.27 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 80,896.99 25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P 509,327.96 carga total axialM 12,519,410.50 momento total alrededor de la seccion central

Punto 3: Punto cercano a Mo

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_sy 0.00210 deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferiorc 2.02 cm profundidad del eje neutro. Se supone para que P sea ceroa 1.72 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 -0.00454 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 -0.04221 deformación unitaria del acero en el lecho medio

mayor que ey

fs1 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 31,342.62 29.62 928,381.81 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 -80,896.99 25.40 -2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P -130,451.36 carga total axialM 928,381.81 momento total alrededor de la seccion central

Punto 4: Entre el punto 1 y 2

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_s3 0.00000 deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroc 55.88 cm profundidad del eje neutro. (se desplazo al lecho inferior del acero)a 47.50 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00273 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 0.00136 deformación unitaria del acero en el lecho medio

menor que ey

fs1 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 2,740.91 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 0.00 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 865,959.60 6.73 5,828,774.07 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 80,896.99 25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 0.00 -25.40 0.00 fuerza del acero en eps_s3

P 946,856.59 carga total axialM 7,883,557.68 momento total alrededor de la seccion central

Punto 5: En la zona de falla por tensión

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_s3 0.00661 deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroc 17.44 cm profundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre balanceado y Moa 14.83 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00213 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 -0.00224 deformación unitaria del acero en el lecho medio

mayor que ey

fs1 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 270,335.29 23.07 6,235,563.68 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 80,896.99 25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P 270,335.29 carga total axialM 10,345,130.90 momento total alrededor de la seccion central

Punto 6: En la zona de falla por tensión

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_s3 0.01422 deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroc 9.73 cm profundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre Mo y el anteriora 8.27 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00143 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

menor que eyeps_s2 -0.00639 deformación unitaria del acero en el lecho medio

mayor que ey

fs1 2,882.91 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2

fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 150,838.96 26.34 3,973,585.53 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 55,236.26 25.40 1,403,000.96 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P 125,178.22 carga total axialM 7,431,370.09 momento total alrededor de la seccion central

GRAFICOcurva de interacción

punto P M ckg kg-cm cm

1 1,261,726 0 4 946,856.59 7,883,557.68 55.88 2 509,327.96 12,519,410.50 32.87 5 270,335.29 10,345,130.90 17.44 6 125,178.22 7,431,370.09 9.73 3 -130,451.36 928,381.81 2.02

solicitación

P Mkg kg-cm

0 0838,153.85 7,819,653.02

limite a carga vertical

P Mkg kg-cm

1009380.46229876 01,009,380.46 12,519,410.50

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferior

longitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferiorprofundidad del eje neutro. Se supone para que P sea cerolongitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroprofundidad del eje neutro. (se desplazo al lecho inferior del acero)longitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroprofundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre balanceado y Molongitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroprofundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre Mo y el anteriorlongitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

CURSO DE CONCRETOREGLAMENTO DEL ACI 2005JAVIER CESIN FARAH

COLUMNAS. Diagrama de interacción

Datos de origen

seccionsec_b 60.96 cm cambia seccion a hxbsec_h 60.96 cmsec_Ag 3,716.12 cm2sec_recub 5.08 cmsec_d 55.88 cm

materialf'c 351.85 kg/cm2fy 4,222.21 kg/cm2Ec 283,241.03 kg/cm2Es 2,010,000.00 kg/cm2

refuerzoAs1 19.16 cm2 lecho superiorAs2 0.00 cm2 lecho centralAs3 19.16 cm2 lecho inferior

As 38.32 cm2

solicitacionesPu 544,800.00 kgMux 4,151,376.00 kg-cmMuy 1,729,740.00 kg-cm

Pn 838,153.85 kgMn 7,819,653.02 kg-cm

Punto 1: Poc

Poc 1,261,726 kg punto compresión puraMoc 0 kg-cm momento en compresion pura

Punto 2: Falla balanceada

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_sy 0.00210 deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferiorc 32.87 cm profundidad del eje neutroa 27.94 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00254 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 0.00022 deformación unitaria del acero en el lecho medio

menor que ey

fs1 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 437.89 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 509,327.96 16.51 8,409,843.27 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 80,896.99 25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P 509,327.96 carga total axialM 12,519,410.50 momento total alrededor de la seccion central

Punto 3: Punto cercano a Mo

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_sy 0.00210 deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferiorc 2.02 cm profundidad del eje neutro. Se supone para que P sea ceroa 1.72 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 -0.00454 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 -0.04221 deformación unitaria del acero en el lecho medio

mayor que ey

fs1 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 31,342.62 29.62 928,381.81 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 -80,896.99 25.40 -2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P -130,451.36 carga total axialM 928,381.81 momento total alrededor de la seccion central

Punto 4: Entre el punto 1 y 2

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_s3 0.00000 deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroc 55.88 cm profundidad del eje neutro. (se desplazo al lecho inferior del acero)a 47.50 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00273 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 0.00136 deformación unitaria del acero en el lecho medio

menor que ey

fs1 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 2,740.91 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 0.00 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 865,959.60 6.73 5,828,774.07 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 80,896.99 25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 0.00 -25.40 0.00 fuerza del acero en eps_s3

P 946,856.59 carga total axialM 7,883,557.68 momento total alrededor de la seccion central

Punto 5: En la zona de falla por tensión

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_s3 0.00661 deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroc 17.44 cm profundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre balanceado y Moa 14.83 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00213 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

mayor que eyeps_s2 -0.00224 deformación unitaria del acero en el lecho medio

mayor que ey

fs1 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 270,335.29 23.07 6,235,563.68 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 80,896.99 25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P 270,335.29 carga total axialM 10,345,130.90 momento total alrededor de la seccion central

Punto 6: En la zona de falla por tensión

eps_cu 0.00300 deformación unitaria del concreto (por definición)eps_s3 0.01422 deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroc 9.73 cm profundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre Mo y el anteriora 8.27 cm longitud del bloque de compresióneps_s1 0.00143 deformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

menor que eyeps_s2 -0.00639 deformación unitaria del acero en el lecho medio

mayor que ey

fs1 2,882.91 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s1fs2 -4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s2

fs3 4,222.21 kg/cm2 esfuerzo del acero en eps_s3

fuerza brazo momentokg cm kg-cm

Cc 150,838.96 26.34 3,973,585.53 fuerza en el bloque de concreto a compresiónF1 55,236.26 25.40 1,403,000.96 fuerza del acero en eps_s1F2 0.00 0.00 0.00 fuerza del acero en eps_s2F3 -80,896.99 -25.40 2,054,783.61 fuerza del acero en eps_s3

P 125,178.22 carga total axialM 7,431,370.09 momento total alrededor de la seccion central

GRAFICOcurva de interacción

punto P M ckg kg-cm cm

1 1,261,726 0 4 946,856.59 7,883,557.68 55.88 2 509,327.96 12,519,410.50 32.87 5 270,335.29 10,345,130.90 17.44 6 125,178.22 7,431,370.09 9.73 3 -130,451.36 928,381.81 2.02

solicitación

P Mkg kg-cm

0 0838,153.85 7,819,653.02

limite a carga vertical

P Mkg kg-cm

1009380.46229876 01,009,380.46 12,519,410.50

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferior

longitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del acero en fy, punto s3 lecho inferiorprofundidad del eje neutro. Se supone para que P sea cerolongitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroprofundidad del eje neutro. (se desplazo al lecho inferior del acero)longitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroprofundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre balanceado y Molongitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

deformación unitaria del concreto (por definición)deformación unitaria del punto s3 lecho inferior, se supone sea ceroprofundidad del eje neutro. Se supone intermedio entre Mo y el anteriorlongitud del bloque de compresióndeformación unitaria del acero de compresión, lecho superior

deformación unitaria del acero en el lecho medio

fuerza en el bloque de concreto a compresiónfuerza del acero en eps_s1fuerza del acero en eps_s2fuerza del acero en eps_s3

carga total axialmomento total alrededor de la seccion central

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000-400000

-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

M: Momento

P:

Car

ga

axia

l

CURSO DE CONCRETOREGLAMENTO DEL ACI 2005JAVIER CESIN FARAH

COLUMNAS. Esbeltez

Sistema actual Metrico

Datos de origen

Diseñar las columnas C1 y C2 en el primer piso de un edificio de 12 pisos de oficinas, cuya planta se muestra.El claro libre del primer piso es 13 ft-4 in, y es 10 ft - 4 in para los demás niveles. Asumir que los efectos de lacarga lateral son causados por viento y que las cargas muertas son las únicas cargas sostenidas.

COLUMNA C1

secciones

peso vol concreto wc 2,404.93 2,404.93 resist. concreto f'c 422.22 422.22

mod elast concreto Ec 310,275 310,275 base seccion b 55.88 55.88

altura seccion h 55.88 55.88 longitud L 365.76 457.20

long. nudos elemento L nudos 0.00 25.40 longitud a ejes Lc 365.76 431.80

longitud libre Lu 406.40 empotrado en la base S o N S

Area A 3,122.6 3,122.6 Mom.Inercia I 812,539.2 812,539.2

Mom.Inercia reducido I 568,777.5 568,777.5 Radio de giro r 16.13 16.13

EI/L Ec I / Lc 482,495,156 408,701,779

muros_de_cortante 30.48 cm

refuerzofy 4,222.21 kg/cm2Es 2,010,000.00 kg/cm2 módulo de elasticidad del acero

recubrimiento 4.76 cm recubrimiento a las varillas longitudinales

columna superior

columna a revisar

lecho superior

no barrasVarilla # 8 8 8

Area acero 0.00 0.00 0.00

As 0.00 in2 Área total de aceroporc acero 0.010 ro. Porcentaje de acero

Ise 0.00 cm4 momento de inercia del acero de refuerzo

cargaspeso_sistema_piso 420.27 kg/m2 (joists)

carga_muerta_adicional 146.60 kg/m2carga_viva_techo 146.60 kg/m2carga_viva_pisos 244.34 kg/m2

carga de viento de acuerdo a ASCE 7

1. Determinar las combinaciones de carga factorizadas

1.a Cargas de gravedad1.b Cargas de gravedad (viva mas muerta) mas carga de viento1.c Cargas de gravedad (muerta) mas carga de viento1.d Cargas de viento en sentido contrario

Tipo de carga Muerta (sostenida) Viva Viva en azoteaD L Lr

carga axial 282,569.6 33,550.6 3,904.4 momento extremo superior 481,559.6 213,104.0 0.0 momento extremo inferior 243,547.4 106,552.0 0.0

Combinaciones D L Lr1 1.4 2 1.2 1.6 0.5 3 1.2 0.5 1.6 4 1.2 1.6 5 1.2 1.6 6 1.2 0.5 0.5 7 1.2 0.5 0.5 8 0.9 9 0.9

388568.7936 577871.5392 0 0

2. Determinar si el marco en el primer nivel es con o sin desplazamiento lateral

lecho central vertical

lecho central horizontal

para el caso actual Pmax c.lateral 392896.14combinacion de carga 7

Tipo de carga Muerta Viva Viva en azotea

Carga total del edificio D L Lr

carga axial 8,124,330.0 903,914.0 122,580.0

cortante

Combinaciones7 1.2 0.5 0.5

10,262,443.0 kipsVu∆o

índice de estabilidad Q 0.123 con desplazamiento lateralsi es menor que 0-05, el marco es sin desplazamiento lateral

Determinar el refuerzo requerido para la columna para la combinación crítica de carga.

3. Determinar factor de longitud efectiva k

psi A 11.04 factor extremo superior

psi B ѰB 1 factor extremo inferior

psi minimo 1.00 factor minimo

psi medio 6.02 factor medio

k 2.38 FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA

∑Pu = carga total vertical en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el que ∑Pu es mayor

∆o defl.relativa 1° orden por cortante por viento

∑Pu

ѰA

Ѱmin

Ѱm

Ψ=∑ EI

lccolumnas

∑ EIlvigas

4. Método de magnificación de momentos

SI ES APLICABLE EL MÉTODO DE AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS

CASO : MARCO SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL Q<0.05

Determinar si se considera el efecto de esbeltez

k 2.38 factor de long efectiva

406.40 long. Librer 16.13 radio de giro

60.08límite 4.15

SE CONSIDERA EFECTO DE ESBELTEZ

Combinacioneskg kg-cm

1 395,597.4 674,183.5 0.80 2 394,716.7 918,837.9 0.80 3 362,105.9 684,423.5 0.80 4 327,788.0 1,819,963.2 0.77 5 362,873.1 1,235,449.5 0.47

Método de magnificación de momentos (solo si k lu/r ≤ 100)

Si no es aplicable, se debe determinar M1 y M2 por medio de un análisis de segundo orden Pδ

lu

k lu / r

Pu M2 Cm

6 322,725.9 3,400,945.6 0.73 7 392,896.1 2,709,879.9 0.55 8 219,227.5 3,274,605.4 0.70 9 289,397.8 2,836,220.1 0.59

CASO : MARCO CON DESPLAZAMIENTO LATERAL Q>=0.05

Determinar si se considera el efecto de esbeltez

k 2.38 factor de long efectiva

406.40 long. Librer 16.13 radio de giro

60.08límite 22.00

SE CONSIDERA EFECTO DE ESBELTEZ

Análisis aproximado de segundo orden

Combinacioneskg cm kg

lu

k lu / r

Los momentos δsM1s y δsM2s se calculan por medio de uno de los siguientes métodos

Análisis de segundo orden (P-Δ)

∑Pu Δo Vu

1 11,374,062.0 0.00 0.00 2 11,256,748.4 0.00 0.00 3 10,397,281.0 0.00 0.00 4 9,945,324.0 0.57 109,904.32 5 9,945,324.0 0.57 109,904.32 6 10,262,443.0 1.14 219,808.64 7 10,262,443.0 1.14 219,808.64 8 7,311,897.0 1.14 219,808.64 9 7,311,897.0 1.14 219,808.64

Método aproximado de amplificación previsto en códigos anteriores del ACI

5. Revisar si el momento máximo ocurre en los extremos de la columna o en una sección intermedia

25.19límite 63.90

EL MAXIMO MOMENTO OCURRE EN UNO DE LOS EXTREMOS, NO SE REQUIERE AMPLIFICAR M2

lu / r

δ sM s=M s

1−∑ Pu

0 .75∑ Pc

≥M s

Pc=π2EI(klu )

2

EI=(0.2 Ec I g+Es I se )1+βd

o

EI=(0. 4 Ec I g)1+βd

βd=carga axial última permanentecarga axial última máxima

0.80

395,597.44

264,945.18

1.00

674,183.46

674,183.46

6. Revisar la posibilidad de inestabilidad lateral bajo carga gravitacional.

0.8670

Q 0.123

0.230 LA ESTRUCTURA ES ESTABLE EN ESTE NIVEL

Cuando se cálculo Q, se emplearon cargas gravitacionales factorizadas y no debería exceder de 0.60Para revisar estabilidad, todos los momentos de inercia se deben dividir entre (1+βd)lo cual es equivalente a incrementar deflexiones y por lo tanto Q en (1+βd)

Cm

Pu

Pc

δns

M2

Mc

Si δsMs se calcula mediante un análisis de segundo orden (P-Δ)

Si δsMs se calcula mediante un análisis aproximado de segundo orden

βd

Q (1+βd)

Si δsMs se calcula mediante el análisis previsto en códigos anteriores del ACI

Diseñar las columnas C1 y C2 en el primer piso de un edificio de 12 pisos de oficinas, cuya planta se muestra.El claro libre del primer piso es 13 ft-4 in, y es 10 ft - 4 in para los demás niveles. Asumir que los efectos de lacarga lateral son causados por viento y que las cargas muertas son las únicas cargas sostenidas.

columna inferior viga izquierda viga derecha

2,404.93 kg/m3281.48 kg/cm2

0 253,338 0 kg/cm260.96 cm50.80 cm

731.52 cm0.00 0.00 0.00 cm0.00 731.52 0.00 cm

cm

0.0 3,096.8 0.0 cm20.0 665,970.3 0.0 cm40.0 233,089.6 0.0 cm4

0.00 14.66 0.00 cm30 80,723,102 0 kg/cm2-cm3

módulo de elasticidad del acerorecubrimiento a las varillas longitudinales

lecho central horizontal

lecho central vertical

lecho superior

lecho inferior

lecho inferior

8 0.00

Área total de aceroro. Porcentaje de aceromomento de inercia del acero de refuerzo

VientoW

-21,928.2 kg236,628.4 kg-cm DOBLE CURVATURA

1,909,633.0 kg-cm

Wcarga axial

395,597.4 674,183.5 340,966.3 sup 340,966.3 394,716.7 918,837.9 462,740.0 sup 462,740.0 362,105.9 684,423.5 345,532.9 sup 345,532.9

0.8 327,788.0 767,174.3 1,819,963.2 inf 767,174.3 -0.8 362,873.1 388,568.8 -1,235,449.5 inf 388,568.8 1.6 322,725.9 1,063,029.0 3,400,945.6 inf 1,063,029.0 -1.6 392,896.1 305,818.0 -2,709,879.9 inf 305,818.0 1.6 219,227.5 812,009.1 3,274,605.4 inf 812,009.1 -1.6 289,397.8 54,798.2 -2,836,220.1 inf 54,798.2

-189302.7456

momento extremo superior

momento extremo inferior

extremo mayor

M1 momento extremo menor

lecho central horizontal

lecho central vertical

lecho superior

lecho inferior

Viento

W

kg137,380.4 kg

0.71 cm

-1.6

219808.64 kg1.13792 cm

con desplazamiento lateral

factor extremo superior

factor extremo inferior

FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA

Pu = carga total vertical en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el que ∑Pu es mayor

Q=∑ Pu ΔoV u lc

marco sin desplazamiento lateralk=0 .7+0 .05 (Ψ A+Ψ B)≤1 .0

k=0 .85+0 .05Ψmin≤1 .0

marco con desplazamiento lateralΨm= (Ψ A+Ψ B) /2Ψm<2 ,

k=20−Ψm

20 √1+Ψ m

Ψm≥2,

k=0 .9√1+Ψ m

Ψ=∑ EI

lccolumnas

∑ EIlvigas

SI ES APLICABLE EL MÉTODO DE AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS

límite para despreciar efecto de esbeltez:

EIkg-cm2 kg kg-cm kg-cm

1.00 25,211,061,163 264,945 1.0 900,538.0 900,538.0 0.86 27,122,441,126 285,032 1.0 898,533.1 918,837.9 0.94 26,038,822,732 273,644 1.0 824,297.8 824,297.8 1.03 24,784,034,311 260,458 1.0 746,176.6 1,819,963.2 0.93 26,065,474,422 273,924 1.0 826,044.4 1,235,449.5

por medio de un análisis de segundo orden Pδ

βd Pc δns M2 min Mc

klur

≤100

klur

≤34−12(M 1

M 2) ≤40

(M 1

M 2) es positivo en curv . simple y

negativo en curv . doble

M 2=max (M u _inf , M u _sup )M 2≥Pu (0 .6+0 .03h)

1.05 24,587,931,685 258,397 1.0 734,653.2 3,400,945.6 0.86 27,064,491,426 284,423 1.0 894,388.8 2,709,879.9 1.16 23,343,145,448 245,315 1.0 499,049.5 3,274,605.4 0.88 26,837,907,193 282,042 1.0 658,785.1 2,836,220.1

CASO : MARCO CON DESPLAZAMIENTO LATERAL Q>=0.05

Qkg-cm kg-cm kg-cm

se calculan por medio de uno de los siguientes métodos

δs M2ns M2s M2

klur

≤22

M 1=M 1 ns+δsM 1 s

M 2=M 2 ns+δ sM 2 s

δ sM s=M s

1−Q≥M s

Q=∑ Pu ΔoV u lc

0.00 1.00 674,183.46 0.0 674,183.5 0.00 1.00 918,837.89 0.0 918,837.9 0.00 1.00 684,423.52 0.0 684,423.5 0.12 1.14 292,256.87 1,527,706.4 2,026,778.7 0.12 1.14 292,256.87 -1,527,706.4 -1,442,265.0 0.12 1.14 345,532.86 3,055,412.7 3,829,616.1 0.12 1.14 345,532.86 -3,055,412.7 -3,138,550.4 0.09 1.10 219,192.65 3,055,412.7 3,568,187.0 0.09 1.10 219,192.65 -3,055,412.7 -3,129,801.7

Método aproximado de amplificación previsto en códigos anteriores del ACI

implica obtener las cargas críticas de todas las columnas de entrepiso

implica obtener todos los factores k de las columnas y relac de rigidez de columnas

5. Revisar si el momento máximo ocurre en los extremos de la columna o en una sección intermedia

el momento ocurre en sección intermediapor lo que debe amplificarse

EL MAXIMO MOMENTO OCURRE EN UNO DE LOS EXTREMOS, NO SE REQUIERE AMPLIFICAR M2

lur

>35

√ Puf c ' A g

M c=δnsM 2=( Cm

1−Pu

0 .75 Pc) (M 2 ns+δsM 2s )

δ sM s=M s

1−Q≥M s

δ s=11−Q

1 .0≤δ s≤1 .5

βd=carga axial última permanentecarga axial última máxima

LA ESTRUCTURA ES ESTABLE EN ESTE NIVEL

Cuando se cálculo Q, se emplearon cargas gravitacionales factorizadas y no debería exceder de 0.60Para revisar estabilidad, todos los momentos de inercia se deben dividir entre (1+βd)

se calcula mediante un análisis de segundo orden (P-Δ)

basados en una carga de 1.4PD y 1.7PL mas la carga lateral

se calcula mediante un análisis aproximado de segundo orden

basados en una carga de 1.4PD y 1.7PL mas la carga lateral

se calcula mediante el análisis previsto en códigos anteriores del ACI

M c=δnsM 2=( Cm

1−Pu

0 .75 Pc) (M 2 ns+δsM 2s )

δns≥1 . 0

βd=máxima carga axial sostenida factorizadamáxima carga axial factorizada

deflexiones laterales de segundo ordendeflexiones laterales de primer orden

≤2 .5

Q=∑ Pu ΔoV u lc

≤0 .60

0<δs≤2 .5

basados en una carga de 1.4PD y 1.7PL mas la carga lateral

0<δs≤2 .5

674,183.5 340,966.3 674,183.5 0.0 0.0 40.07 918,837.9 462,740.0 918,837.9 0.0 0.0 40.04 684,423.5 345,532.9 684,423.5 0.0 0.0 40.06

1,819,963.2 577,871.5 292,256.9 189,302.7 1,527,706.4 39.06 -1,235,449.5 577,871.5 292,256.9 -189,302.7 ### 4.15 3,400,945.6 684,423.5 345,532.9 378,605.5 3,055,412.7 37.75

-2,709,879.9 684,423.5 345,532.9 -378,605.5 ### 72.33 3,274,605.4 433,403.7 219,192.7 378,605.5 3,055,412.7 36.98

-2,836,220.1 433,403.7 219,192.7 -378,605.5 ### 587.09

menor 4.15

combinac 5.00

M2 momento extremo mayor

M1ns momento

carga grav

M2ns momento

carga grav

M1s momento carga lat

M2s momento carga lat

34-12(M1/M2)

Pc=π2EI(klu )

2

βd=carga axial última permanentecarga axial última máxima

Cm=0 .6+0 . 4M 1

M 2

≥0. 4 con cargas transversales

Cm=1. 0 sin cargas transversales

M c=δnsM 2

δns=(Cm1−Pu0 .75Pc

)≥1 . 0

δ sM s=M s

1−Q≥M s

βd=carga axial última permanentecarga axial última máxima

Q=∑ Pu ΔoV u lc

implica obtener todos los factores k de las columnas y relac de rigidez de columnas

el momento ocurre en sección intermedia

M c=δnsM 2=( Cm

1−Pu

0 .75 Pc) (M 2 ns+δsM 2s )

δ sM s=M s

1−Q≥M s

δ s=11−Q

1 .0≤δ s≤1 .5

y 1.7PL mas la carga lateral

y 1.7PL mas la carga lateral

M c=δnsM 2=( Cm

1−Pu

0 .75 Pc) (M 2 ns+δsM 2s )

βd=máxima carga axial sostenida factorizadamáxima carga axial factorizada

deflexiones laterales de segundo ordendeflexiones laterales de primer orden

≤2 .5

y 1.7PL mas la carga lateral

Pc=π2EI(klu )

2EI=

(0.2 Ec I g+Es I se )1+βd

o

EI=(0. 4 Ec I g)1+βdβd=

carga axial última permanentecarga axial última máxima

Cm=0 .6+0 . 4M 1

M 2

≥0. 4 con cargas transversales

Cm=1. 0 sin cargas transversales

EI=(0.2 Ec I g+Es I se )1+βd

o

EI=(0. 4 Ec I g)1+βdβd=

carga axial última permanentecarga axial última máxima

CURSO DE CONCRETOREGLAMENTO DEL ACI 2005

COLUMNAS. Esbeltez SOLO DATOS DE PROBLEMA

Sistema actual Metrico

Datos de origen

Diseñar las columnas A3 y C3 en el primer piso de un edificio e 10 pisos de oficinas, cuya planta se muestra.El claro libre del primer piso es 21 ft-4 in, y es 11 ft - 4 in para los demás niveles. Asumir que los efectos de lacarga lateral son causados por viento y que las cargas muertas son las únicas cargas sostenidas.

COLUMNA A3

secciones

peso vol concreto wc 150.00 150.00 resist. concreto f'c 6,000.00 6,000.00

mod elast concreto Ec 1,169,641 1,169,641 base seccion b 20.00 20.00

altura seccion h 20.00 20.00 longitud L 156.00 276.00

long. nudos elemento L nudos 0.00 10.00 longitud a ejes Lc 156.00 266.00

longitud libre Lu 255.96 empotrado en la base S o N S

Area A 400.0 400.0 Mom.Inercia I 13,333.3 13,333.3

Mom.Inercia reducido I 9,333.3 9,333.3 Radio de giro r 5.77 5.77

EI/L Ec I / Lc 69,978,520 41,040,034

muros_de_cortante 12.00 in

refuerzofy 60,000.00 psiEs 28,563,251.10 psi módulo de elasticidad del acero

recubrimiento 1.88 in recubrimiento a las varillas longitudinales

columna superior

columna a revisar

lecho superior

no barras 2 2 2 Varilla # 8 8 8

Area acero 10.13 10.13 10.13

As 40.54 in2 Área total de aceroporc acero 0.010 ro. Porcentaje de acero

Ise 1,428.64 in4 momento de inercia del acero de refuerzo

cargaspeso_sistema_piso 86.00 psf (joists)

carga_muerta_adicional 32.00 psfcarga_viva_techo 30.00 psfcarga_viva_pisos 50.00 psf

carga de viento de acuerdo a ASCE 7

1. Determinar las combinaciones de carga factorizadas

1.a Cargas de gravedad1.b Cargas de gravedad (viva mas muerta) mas carga de viento1.c Cargas de gravedad (muerta) mas carga de viento1.d Cargas de viento en sentido contrario

Tipo de carga Muerta (sostenida) Viva Viva en azoteaD L Lr

carga axial 718.0 80.0 12.0 momento extremo superior 79.0 30.3 0.0 momento extremo inferior 40.0 15.3 0.0

Combinaciones D L Lr1 1.4 2 1.2 1.6 0.5 3 1.2 0.5 1.6 4 1.2 1.6 5 1.2 1.6 6 1.2 0.5 0.5 7 1.2 0.5 0.5 8 0.9 9 0.9

2. Determinar si el marco en el primer nivel es con o sin desplazamiento lateral

lecho central vertical

lecho central horizontal

para el caso actual Pmax c.lateral 920.4combinacion de carga 6

Tipo de carga Muerta Viva Viva en azoteaCarga total del edificio D L Lr

carga axial 37,371.0 3,609.0 602.0 cortante

∑Pu = carga total vertical en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el que ∑Pu es mayor

∆o defl.relativa 1° orden por cortante por viento

Diseñar las columnas A3 y C3 en el primer piso de un edificio e 10 pisos de oficinas, cuya planta se muestra.El claro libre del primer piso es 21 ft-4 in, y es 11 ft - 4 in para los demás niveles. Asumir que los efectos de lacarga lateral son causados por viento y que las cargas muertas son las únicas cargas sostenidas.

columna inferior viga izquierda viga derecha

150.00 pcf4,000.00 psi

0 955,008 0 psi24.00 in20.00 in

336.00 in0.00 0.00 0.00 in0.00 336.00 0.00 in

in

0.0 480.0 0.0 in20.0 16,000.0 0.0 in40.0 5,600.0 0.0 in4

0.00 5.77 0.00 in30 15,916,798 0 psi-in3

módulo de elasticidad del acerorecubrimiento a las varillas longitudinales

lecho central horizontal

lecho central vertical

lecho superior

lecho inferior

lecho inferior

2 8

10.13

Área total de aceroro. Porcentaje de aceromomento de inercia del acero de refuerzo

VientoW

8.0 kips1.1 ft-kips DOBLE CURVATURA4.3 ft-kips

Wcarga axial

1,005.2 110.6 56.0 40.08 995.6 143.3 72.5 40.07 920.8 110.0 55.7 40.07

0.8 887.2 95.7 51.4 40.45 -0.8 874.4 93.9 44.6 39.69 1.6 920.4 111.7 62.5 40.72 -1.6 894.8 108.2 48.8 39.41 1.6 659.0 72.9 42.9 41.06 -1.6 633.4 69.3 29.1 39.04

menor 39.04

combinac 9.00

momento extremo superior

momento extremo inferior

34-12(M1/M2)

lecho central horizontal

lecho central vertical

lecho superior

lecho inferior

VientoW

kips324.3 kips

0.03 in

Pu = carga total vertical en el primer piso correspondiente al caso de carga lateral para el que ∑Pu es mayor

Pc=π2EI(klu )

2βd=

carga axial última permanentecarga axial última máximaCm=0 .6+0 . 4

M 1

M 2

≥0. 4 con cargas transversales

Cm=1. 0 sin cargas transversales

Pc=π2EI(klu )

2EI=

(0.2 Ec I g+Es I se )1+βd

o

EI=(0. 4 Ec I g)1+βd

βd=carga axial última permanentecarga axial última máximaCm=0 .6+0 . 4

M 1

M 2

≥0. 4 con cargas transversales

Cm=1. 0 sin cargas transversales