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Cálculo das Probabilidades I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Normal 06/11 1 / 41
Distribuição Normal
LEMBRANDO: Variável Aleatória Contínua
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de
uma v.a. contínua.
x
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Distribuição Normal
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas
selecionadas ao acaso em uma população.
0 .01
0 .02
0 .03
0 .04
De
ns
ida
de
3 0 4 0 50 60 7 0 8 0 90 1 00
0 .00
P eso
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em
torno de 70kg;
- a maioria dos valores encontra-se no intervalo (55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e
acima de 92kg (1%).
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Distribuição Normal
Vamos definir a variável aleatória:
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a
distribuição de probabilidades de X ?
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso.
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
3 0 40 50 6 0 70 80 90 10 0
0.00 0
0.01 5
0 .03 0
P es o
De
nsid
ad
e
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Distribuição Normal
A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições
contínuas de probabilidade pois:
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa
distribuição.
• Serve como excelente aproximação para uma grande classe de distribuições
que têm enorme importância prática.
• Apresenta algumas propriedades matemáticas muito desejáveis, que
permitem concluir importantes resultados teóricos.
A distribuição Normal foi estudada pela primeira vez no século
XVII, quando se observou que os padrões em erros de medida
seguiam uma distribuição simétrica em forma de sino.
Foi apresentada pela primeira vez em forma matemática por
DeMoivre em 1733.
A distribuição era, também, conhecida por Laplace antes de 1775.
Gauss, publicou a primeira referência relativa a essa distribuição
em 1809.
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Distribuição Normal
Distribuição Normal ou Gaussiana
Personagens ilustres
1
De Moivre Laplace GaussGauss
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Distribuição Normal
Exemplo:
Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.
A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande
proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de
valores acima de 1500 horas.
Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.
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Distribuição Normal
Distribuição Normal ou Gaussiana
Definição: A variável aleatória X tem uma distribuição normal com
média µ e variância σ2, se sua função densidade de probabilidade édada por:
21
21( )
x
f x e
µ
σ
σ π
− −
=( )2
f x eσ π
=
Os parâmetros µ e σ devem satisfazer às condições:
-∞ < µ < ∞ e σ > 0.
para todo – ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞.
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ESPERANÇA, VARIÂNCIA E F.G.M.
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ESPERANÇA, VARIÂNCIA E F.G.M.
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Distribuição Normal
Propriedades da distribuição normal
(a) E(X)= µ e Var(X)= σ 2
(b) A distribuição é simétrica em torno de sua média.
(c) A área total sob curva é igual a um.
(d) f (x) → 0 quando x → ±∞
(e) x = µµµµ é ponto de máximo de f (x)
(f ) µµµµ - σ e µµµµ + σ são pontos de inflexão de f (x)
(g) A moda, a mediana e a média são iguais.
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Distribuição Normal
Propriedades da distribuição normal
(h) 68,2% dos valores estão localizados entre µ - σ e µ + σ, 95,4% entre
µ - 2σ e µ + 2σ e 99,8% entre µ - 3σ e µ + 3σ.
(i)
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Distribuição Normal
Influência de µµµµ na curva Normal
N( µµµµ1; σσσσ 2) N( µµµµ
2; σσσσ 2)
Curvas Normais com mesma variância σ2
mas médias diferentes (µ2
> µ1).
µµµµ1
µµµµ2
x
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Distribuição Normal
Influência de σσσσ2 na curva Normal
N(µ;σ12)
N(µ;σ22)
σ22 > σ1
2
Curvas Normais com mesma média µ,µ,µ,µ,
mas com variâncias diferentes (σσσσ22 > σσσσ1
2 ).
N(µ;σ2 )
µ
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Distribuição Normal
Cálculo de probabilidades
P(a < X < b)
Área sob a curva acima do eixo horizontal (x) entre a e b.
a bµµµµ
(I) Integrar a função de densidade (utilização de métodos numéricos).
entre a e b.
PROBLEMAS:
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Distribuição Normal
(II) Qual Tabela usar?
Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par σ e µ!
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Distribuição Normal
Cálculo de probabilidades
SOLUÇÃO:
Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) em Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) em uma distribuição normal com parâmetros fixos (Normal Padrão), através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades.
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Distribuição Normal
Se X ~ N(µµµµ ; σσσσ 2),
E(Z) = 0
Var(Z) = 1
f(x)X ~ N(µµµµ ; σσσσ2)
definimos
0 z
f(z)
a – µµµµ
σσσσ
b – µµµµ
σσσσ
Z ~ N(0 ; 1) a µµµµ b x
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Distribuição Normal
Z é uma variável aleatória contínua que terá distribuição normal
padrão com µ = 0 e σ2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1), com função
densidade de probabilidade definida por:
2
21
( )2
z
z eϕπ
−
=
Se X tiver a distribuição N(µ, σ2), e se Y = aX + b,
então Y terá distribuição N(aµ + b, a2σ2).
Se X tiver distribuição N(µ, σ2), e se Z = (X - µ)/σ, então
Z terá distribuição N(0,1).
IMPORTANTE:
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Distribuição Normal
Distribuição Normal
Curva normal padrão. Z = N(0, 1)2
21
( )2
z
z eϕπ
−
=
1
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Distribuição Normal
Tabulação da Distribuição Normal reduzida
Suponha que Z tenha distribuição N(0, 1). Nesse caso:
2
21
( )2
b z
a
P a Z b e dzπ
−
≤ ≤ = ∫
A função de distribuição da distribuição normal reduzida é
2
21
( )2
z s
s e dsπ
−
−∞
Φ = ∫
1
Desta forma, P(a ≤ Z ≤ b)
pode ser calculada:( ) ( ) ( )P a Z b b a≤ ≤ = Φ − Φ
Os valores de Φ(z), para -3 ≤ z ≤ 3 estão tabelados.
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Distribuição Normal
Distribuição Normal Tabulação da Distribuição Normal reduzida
Característica da distribuição N(0, 1)
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Distribuição Normal
Distribuição Normal
Então para determinar a probabilidade P(a ≤ X ≤ b), basta
proceder da seguinte maneira.
Se X =N(µ, σ2) então Z = (X - µ)/σ terá distribuição N(0, 1).
Portanto:
( ) ( )
( )
a X bP a X b P
a bP Z
µ µ µ
σ σ σ
µ µ
σ σ
− − −≤ ≤ = ≤ ≤
− −= ≤ ≤
1
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Distribuição Normal
USO DA TABELA NORMAL PADRÃO
P(Z ≤≤≤≤ z)
Obs.: P(Z > z) = P(Z < -z)
P(Z > z) = 1 - P(Z < z).
P(Z < -z) = 1-P(Z < z).
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Distribuição Normal
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511966 0,515953 0,519939 0,523922 0,527903
0,1 0,539828 0,543795 0,547758 0,551717 0,555670 0,559618 0,563559 0,567495
0,2 0,579260 0,583166 0,587064 0,590954 0,594835 0,598706 0,602568 0,606420
0,3 0,617911 0,621719 0,625516 0,629300 0,633072 0,636831 0,640576 0,644309
0,4 0,655422 0,659097 0,662757 0,666402 0,670031 0,673645 0,677242 0,680822
0,5 0,691462 0,694974 0,698468 0,701944 0,705401 0,708840 0,712260 0,715661
0,6 0,725747 0,729069 0,732371 0,735653 0,738914 0,742154 0,745373 0,748571
0,7 0,758036 0,761148 0,764238 0,767305 0,770350 0,773373 0,776373 0,779350
0,8 0,788145 0,791030 0,793892 0,796731 0,799546 0,802337 0,805106 0,807850
0,9 0,815940 0,818589 0,821214 0,823814 0,826391 0,828944 0,831472 0,833977
1,0 0,841345 0,843752 0,846136 0,848495 0,850830 0,853141 0,855428 0,857690
1,1 0,864334 0,866500 0,868643 0,870762 0,872857 0,874928 0,876976 0,878999
1,2 0,884930 0,886860 0,888767 0,890651 0,892512 0,894350 0,896165 0,897958
1,3 0,903199 0,904902 0,906582 0,908241 0,909877 0,911492 0,913085 0,914656
1,4 0,919243 0,920730 0,922196 0,923641 0,925066 0,926471 0,927855 0,929219
1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 0,938220 0,939429 0,940620 0,941792
1,6 0,945201 0,946301 0,947384 0,948449 0,949497 0,950529 0,951543 0,952540
1,7 0,955435 0,956367 0,957284 0,958185 0,959071 0,959941 0,960796 0,961636
1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258
Distribuição normal: valores de P(Z≤z)=Φ(z), z≥0
1,8 0,964070 0,964852 0,965621 0,966375 0,967116 0,967843 0,968557 0,969258
1,9 0,971284 0,971933 0,972571 0,973197 0,973810 0,974412 0,975002 0,975581
2,0 0,977250 0,977784 0,978308 0,978822 0,979325 0,979818 0,980301 0,980774
2,1 0,982136 0,982571 0,982997 0,983414 0,983823 0,984222 0,984614 0,984997
2,2 0,986097 0,986447 0,986791 0,987126 0,987455 0,987776 0,988089 0,988396
2,3 0,989276 0,989556 0,989830 0,990097 0,990358 0,990613 0,990863 0,991106
2,4 0,991802 0,992024 0,992240 0,992451 0,992656 0,992857 0,993053 0,993244
2,5 0,993790 0,993963 0,994132 0,994297 0,994457 0,994614 0,994766 0,994915
2,6 0,995339 0,995473 0,995603 0,995731 0,995855 0,995975 0,996093 0,996207
2,7 0,996533 0,996636 0,996736 0,996833 0,996928 0,997020 0,997110 0,997197
2,8 0,997445 0,997523 0,997599 0,997673 0,997744 0,997814 0,997882 0,997948
2,9 0,998134 0,998193 0,998250 0,998305 0,998359 0,998411 0,998462 0,998511
3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930
3,1 0,999032 0,999064 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238
3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462
3,3 0,999517 0,999533 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624
3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740
3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999821
3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879
3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918
3,8 0,999928 0,999930 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946
3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964
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Distribuição Normal
Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z ≤≤≤≤ 0,32)
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Distribuição Normal
Encontrando o valor na Tabela N(0;1):
z 0 1 2
0,0 0,5000 0,5039 0,5079
0,1 0,5398 0,5437 0,5477
0,2 0,5792 0,5831 0,5870
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
M M MM
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Distribuição Normal
Exemplo 1: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z ≤≤≤≤ 0,32)
P(Z ≤≤≤≤ 0,32) = Φ(0,32)=0,6255.
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Distribuição Normal
b) P(Z ≥≥≥≥ 1,5)
P(Z ≥ 1,5) = 1 – P(Z < 1,5) = 1 – Φ(1,5) = 1 – 0.9332 =
0,0668.
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Distribuição Normal
c) P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71)
P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71) = P(Z ≤≤≤≤ 1,71) – P(Z < 0) = Φ(1,71) – Φ(0) = 0,9564 –
0,5 = 0,4564
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Distribuição Normal
d) P(-1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5)
P(–1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5) = P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – P(Z ≤≤≤≤ –1,5) = Φ(1,5) – Φ(1,5) =
0,9332 – 0,0668 = 0,8664
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Distribuição Normal
Exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64)
Calcular: (a) P(6 ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ 12)
(b) P( X ≤≤≤≤ 8 ou X > 14)
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Distribuição Normal
Como encontrar o valor z da distribuição N(0;1) tal que:
(i) P(Z ≤≤≤≤ z) = 0,975
A tabela da normal pode ser utilizada no sentindo inverso, isto é,
dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a
originou.
z é tal que A(z) = 0,975.
Pela tabela, z = 1,96.
Zz
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Distribuição Normal
(ii) Qual o valor de z tal que P(0 ≤≤≤≤ Z≤≤≤≤ z)= 0,4975 ?
ZzP(0 < Z ≤≤≤≤ z) = 0,4975
P(Z ≤≤≤≤ z) – P(Z < 0) = 0,4975
Φ(z) – Φ(0) = 0,4975
Φ(z) – 0,5 = 0,4975
Φ(z) = 0,9975
z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975. Pela tabela z = 2,81.
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Distribuição Normal
(iii) P(Z ≥≥≥≥ z) = 0,3
z é tal que A(z) = 0,7.
Pela tabela, z = 0,53.
Zz
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Distribuição Normal
(v) P(– z ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ z) = 0,80
z é tal que P(Z ≤ –z) = P(Z ≥ z) = 0,1.
Zz– z
Isto é, P(Z ≤ z) = 0,90 e assim, pela tabela, z = 1,28.
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Distribuição Normal
No exemplo 2, obtenha k tal que P( X ≤≤≤≤ k) = 0,025
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Distribuição Normal
Exemplo 3: O tempo gasto no exame vestibular de umauniversidade tem distribuição Normal, com média 120 min edesvio padrão 15 min.
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o
exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)
0918,0)33,1(15
120100)100( =−<=
−<
−=<= ZP
XPXP
σ
µ
Z
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Distribuição Normal
b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos
terminem no prazo estipulado?
120( ) 0,95 0,95
15
xP X x P Z
−−−− < =< =< =< = ⇒⇒⇒⇒ ≤ =≤ =≤ =≤ =
z = ? tal que A(z) = 0,95.
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)
.
z = ? tal que A(z) = 0,95.
Pela tabela z = 1,64.
120Então , 1,64
15
x −−−−====
⇒x = 120 +1,64 ××××15
⇒ x = 144,6 min.
Z
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Distribuição Normal
c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para
completar o exame?
1 21 2
120 120P( ) 0,80 P 0,80
15 15
x xx X x Z
− −− −− −− − ≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ = ⇒⇒⇒⇒ ≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =
z = ? tal que A(z) = 0,90
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120, 152)
.
Pela tabela, z = 1,28.
1 1201,28
15
x −−−−= −= −= −= −
2 1201,28
15
x −−−−====
⇒⇒⇒⇒ x1= 120 - 1, 28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x1 = 100,8 min.
⇒⇒⇒⇒ x2 = 120 +1,28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x2 = 139,2 min.
Z
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Distribuição Normal
Exemplo 5: O tempo gasto com todas as etapas da produção de um novo produtotem distribuição Normal, commédia 6 minutos e desvio padrão 1,5 minutos.
a) Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus funcionários quando otempo total gasto com a produção do produto não ultrapassar 5 minutos.Qual a probabilidade de um funcionário receber essa gratificação ao executaressa tarefa?
b) Ao mesmo tempo a empresa pretende penalizar os funcionários com tempototal gasto com a produção superior a 7 minutos. Qual a probabilidade de umfuncionário ser penalizado ao executar essa tarefa?
c) Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa queestabelece-se um intervalo de tempo satisfatório para executar tal tarefaentre 4 e 8 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário executar essatarefa no intervalo de tempo sugerido?
d) Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que 20% dosfuncionários recebessem a gratificação?
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Distribuição Normal
Exemplo 6: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos aum tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por umadistribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3 (em dias).
a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para serecuperar?
b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?
c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dospacientes?
d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qualseria o número esperado de doentes curados em menos de 11dias?
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