Post on 02-Feb-2016
CHAPITRE 6
PRECISION ET RAPIDITE DES SYSTEMES DISCRETS
6.1. PRECISION STATIQUE
Nous nous proposons de donner dans ce paragraphe quelques notions sur la
précision des systèmes à temps discret en régime établi aux instants d'échantillonnage ;
ces notions ne sont que des extensions de celles concernant les systèmes continus.
6.1.1. Constantes d'erreur
Soit un asservissement à temps discret, représenté en z.
Hbo(z) = D(z).R(z)
e(z) = _S®_l+Hbo(z)
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
Sollicité par une commande, il présentera après disparition du régime transitoire
une erreur statique permanente, obtenue à partir de :
e(oo)= lim e(t) = lim e(nT)= lim (z -1)—^Z\t-^oo n-^oo z->l 1+ 1^0(7)
L'erreur permanente dépend de la forme de l'entrée et évidemment de celle de la
fonction de transfert du système échantillonné étudié. Pour calculer cette erreur, il est
intéressant d'introduire la notion de constante d'erreur, liée à l'ordre de l'entrée
appliquée.
Considérons les entrées-test classiques de la forme :
jne(t) = eoJ-r(t)
m !
On peut calculer ces constantes pour les quelques entrées canoniques
couramment utilisées :
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
Echelon de position (m = 0) :
ep(z) = e0 -Z-Z~ 1
e0H= lim(z -1) ̂ L \ = lim £2 s £o_z-»l z-1 l + Hbo(z) z-»l l + Hbo(z) kp
la constante d'erreur de position est telle que :
k = lim [1 + Hbo(z)]ï-^\
Echelon de vitesse (m = 1) :
ev(z) = e0-^
ev(oo)= lim -f£- = £2!z->i (z-l)[l + Hbo(z)] kv
et: kv = lim(z-l)[l + Hbo(z)]Z->1
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
NOTES PERSONNELLESEchelon d'accélération (m = 2) :
, , T2 z(z+l)ea(z) = e0 —2(z-l)3
e T2 e T2
£a(oo)= lim £2J ^ £°_Lz->i(z-l)2[l + Hbo(z)] ka
ka = lim(z-l)2[l + Hbo(z)]z-*l
Généralisation à une entrée d'ordre m quelconque
D'après ce qui précède, on voit qu'à une entrée :
em(t) = e0^r(t)
correspondra une constante d'erreur :
k m ^l im(z- l ) m [ l + Hbo(z)]z-^1
et une erreur :
/ \ Tm
em(oo) = e0^—&m
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
NOTES PERSONNELLESRemarque : Les signaux d'entrée d'ordre très élevé sont rares : par contre, une entrée
quelconque peut être décrite par un polynôme d'ordre élevé, tel que :
e(t) = a T(t) + P t T(t) + y £ T(t) + ... + X-^- T(t)2 m!
Le système étant linéaire, l'erreur résultante sera la somme des erreurs
constatées pour chaque type d'entrée.
6.1.2. Evaluation de l'erreur statique
Les constantes d'erreur que nous venons de déterminer dépendent en particulier
de l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte du système étudié.
Celle-ci peut s'écrire sous la forme :
K.P(z)Hbo(z)-HrQ^où : P(z) et Q(z) sont des polynômes en z qui ne possèdent pas de racines égales à 1 et
qui tendent vers une constante quand z tend vers 1. De plus, P(z) est de degré au plus
égal à celui du dénominateur de la transmittance en boucle ouverte considérée.
n représente le nombre de pôles égaux à 1 de la fonction considérée (n joue un
rôle équivalent au nombre d'intégrations de Hbo(p) des systèmes continus).
La valeur de la constante d'erreur, et donc de Verreur, dépend des valeurs relatives de
m et de n.
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
NOTES PERSONNELLESEn particulier, si m = n :
km = lim(z-l)m 1+ K^(Z)
^1 L (Z-l)mQ(z)_
k^ tend vers une constante non-nulle :
Selon l'ordre de l'entrée appliquée au système étudié et le nombre de pôles
égaux à 1 de sa fonction de transfert en boucle ouverte, on peut établir le tableau
d'erreurs statiques ci-dessous :
^^ ordre de c c p c^s^ °p °v °a °j^\^ l'entrée m
Nbre de ^^s. n 1 9 ^X V I ^^^ U 1 £ Jpôles ^v^^
(z=l)deHh o(z)n \^
0 £« 00 00 00
kp
1 0 e Of ooKv
2 0 0 T2e°T~Ka
3 0 0 0 T3
e°k~KJ
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
NOTES PERSONNELLES
Conséquences : . lorsque l'erreur existe (m=n), celle-ci est d'autant plus faible que la
constante d'erreur est plus élevée.
. On peut obtenir une précision parfaite si la fonction de transfert en
boucle ouverte du système possède au moins (m+1) pôles égaux à 1,
Remarque : Comme pour les systèmes asservis continus, on peut développer le même
type d'études à propos de l'effet des perturbations sur la précision statique
des systèmes asservis à temps discret (c.f. cours S.A.L.C. chapitre 5.§ 5.2.2.).
6.2. LA RAPIDITE
6.2.1. Considérations sur le régime transitoire
On peut se faire une bonne idée de la nature du phénomène transitoire dans un
système échantillonné ou discret en observant la relation existant entre la réponse
impulsionnelle et les pôles et les zéros de la fonction de transfert correspondante.
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
Exemple : Soit un système dont la fonction de transfert en boucle fermée est du premier
ordre :
Hbi(z) = J5-z-A,
Cette fonction possède un seul pôle A, et un seul zéro nul, c'est-à-dire à l'origine.
On peut distinguer divers cas selon la position du pôle réel À,, par rapport à
l'intervalle [-1,1] du plan des z.
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
La figure ci-dessus montre les six cas possibles selon que A est positif ou négatif,
|A est supérieur ou inférieur à 1. Le zéro, nul, est représenté à l'origine.
Ce cas est intéressant, car il montre que Véchantillonnage peut dans certaines
conditions avoir des effets pernicieux ; ici, on constate qu'il peut rendre oscillatoire un
système du premier ordre !
?kOn peut considérer aussi le cas où le système possède un zéro non-nul :
Hbf(z) = ̂ lz-A,
Cette fonction de transfert peut s'écrire :
Hbl(z) = -i~Y.z-U-z-A, z-A
Lors du passage dans le domaine temporel, on doit tenir compte du fait que le
deuxième terme correspond à la réponse impulsionnelle du système précédent, retardée
d'une période T. Les conditions de convergence ou de divergence sont toujours liées au
pôle A ; le zéro y n'influe que sur l'amplitude des valeurs de la réponse impulsionnelle.
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
NOTES PERSONNELLES
6.2.2. Rapidité des systèmes discrets
Pour tester la rapidité d'un système échantillonné, on procède tout à fait comme
pour les systèmes continus :
- signal-test : échelon-unité ou échelon de position
+00
r*(t) = ]T r(nt) = ôr(t)n=o
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
La réponse du système n'existant qu'aux instants d'échantillonnage (suite
d'impulsions de Dirac), le temps de réponse ne peut s'évaluer qu'en un nombre entier
de périodes :
T r=j.T
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES- temps de réponse à ± 5% de la réponse permanente,
- la fonction de transfert à prendre en considération est H(z) si on a affaire à un
système isolé ou en chaîne ouverte, Hbf(z) si on étudie le cas d'un système
bouclé.
Les réponses indicielles des systèmes échantillonnés se présentent sous la forme
des signaux donnés ci-après :
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
Remarque : Comme pour les systèmes continus, la rapidité d'un système est liée à
l'étendue de sa bande passante.
6.3. SYSTEMES CONTRAINTS
6.3.1. Dilemme précision-rapidité-stabilité
La précision dynamique d'un système en réponse à une entrée donnée, ainsi que
sa rapidité sont fortement liées, puisque l'une et l'autre de ces caractéristiques
dépendent de l'évolution du régime transitoire qui affecte le système. Du fait de la
souplesse d'emploi des machines numériques et des possibilités qu'elles offrent pour
engendrer certaines fonctions uniquement par programmation, les systèmes à temps
discret se prêtent mieux à transformation ; on peut donc imposer certaines contraintes au
système en boucle fermée, permettant de biaiser le dilemme précision-rapidité, classique
dans le réglage des systèmes asservis continus.
On trouvera dans la suite de ce paragraphe, deux types de systèmes contraints,
qui sont intéressants du fait qu'ils présentent une rapidité contrôlée et une erreur statique
nulle.
6.3.2. Système minimal
Un système est dit minimal ou à temps d'établissement fini lorsque, pour une
entrée spécifiée, le régime définitif est atteint en un nombre fini des périodes ; l'erreur
correspondant à cette entrée s'annulant.
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
On peut noter que cette appellation correspond à une extension de la notion de
temps de réponse, qui en toute rigueur correspond à la seule entrée indicielle F(nT). Si
de plus, le système est soumis à des contraintes qui minimisent son régime transitoire, il
est dit à temps de réponse fini minimal absolu, ou système minimal absolu. Cette
définition autorise des dépassements (oscillations) de la réponse obtenue, durant le
régime transitoire.
6.3.3. Système à réponse-pile
Le réglage de ce système rajoute une spécification supplémentaire, puisqu'un tel
système est dit à réponse-pile lorsque la sortie atteint son régime définitif, pour une
entrée-type donnée, en un nombre fini d'échantillons, sans dépassement.
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
Après j périodes, sans dépassement, le système a atteint définitivement son
régime permanent.
Là aussi, l'entrée appliquée n'est pas forcément un échelon-unité. La figure
suivante montre un système à réponse-pile pour une commande en rampe de vitesse.
Pour être à réponse-pile, le système doit satisfaire à un certain nombre de
conditions pas toujours réalisables, ce qui limite considérablement la portée de cette
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
NOTES PERSONNELLES
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.
NOTES PERSONNELLESapproche. C'est cependant un point de vue qui peut être intéressant lors de la
détermination des circuits correcteurs, qui permettent de compenser les systèmes
asservis échantillonnés (c.f. chapitre suivant).
Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité
© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.