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8/4/2019 CHAP3 - Interets Composs (suite)
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CHAP 3 : Les intrts composs
Remarque :
Lorsque la capitalisation se fait une infinit de fois dans lanne (k ),
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le taux dintrt stipul est continu(1+ik)
k ei avec i taux annuel continu
Ainsi, pour passer dun taux composition annuelle (i) un taux continu (i) :
(1+i) = ei i = ei -1 ou i = ln (1+i)
La valeur future (Cn) scrit : Cn = C0ein
La valeur prsente (C0) scrit : C0 = Cne-in
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5. Les annuits
On appelle suite dannuits une succession de versements, pour crer ou
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rem ourser un cap ta . e versement peut tre annue , mensue , tr mestr e ,semestrielDans tous les cas, on utilise le terme gnrique annuit .
Une suite dannuits est caractrise par quatre lments :
- sa priodicit,- le nombre de versements,
- le montant de chaque versement,- la date de chaque versement.
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Priodicit dune suite dannuits
La priode dune suite dannuits est lintervalle de temps qui spare deux
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.
La suite dannuits est certaine si la priode est constante, cest dire si le
temps qui spare deux versements est toujours le mme. Sinon, elle est
alatoire.
Exemples
1) Vous placez 1 000 DH tous les mois sur un compte dpargne : la suite
dannuits est certaine de priode mensuelle.
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2) Vous contractez un emprunt sur une anne, vous remboursez une partie
aprs quatre mois, une partie aprs neuf mois et le reste aprs un an.
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La priode est de 4 mois avant le 1er versement, de 5 mois entre le 1er et le
2me versement et de 3 mois entre le 2me et le dernier versement.
La suite dannuits pour le remboursement de cet emprunt est alatoire.
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Nombre de versements dune suite dannuits
Il peut tre :
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- Fini chance connu davance : la suite dannuits est alors temporaire,
- Fini chance non connue davance : la suite dannuits est alors
viagre.
-Infini : la suite dannuits est alors perptuelle.
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Montant des versements dune suite dannuits
Le montant de chaque versement est appel le terme.
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Si les termes sont gaux, la suite dannuits est alors constante.
Une suite dannuits qui nest pas constante est dite variable.
Exemples
1) Vous placez 1 000 DH tous les mois sur un compte dpargne : la suite
dannuits est constante de terme 1 000 DH.
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Montant des versements dune suite dannuits
Exemples
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2) Vous placez 1 000 DH le 1er novembre, 2 000 le 1er dcembre et 5 000 DH
le 1erjanvier : la suite dannuits est variable. Le premier terme est 1 000 DH,
le deuxime terme est 2 000 DH et le dernier terme est 5 000 DH.
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Date des versements dune suite dannuits
Si les versements sont effectus en dbut de priode, la suite dannuits
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est tee ut e p r o e
outerme c o r.
Sils sont effectus en fin de priode, la suite dannuits est dite de fin de
priode ou terme chu.
Exemple
Lorsque vous placez de largent la banque, celle-ci ne vous verse les
intrts qu la fin de lanne : la suite dannuits est de fin de priode.
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Date des versements dune suite dannuits
Si les versements dbutent bien aprs la date dorigine, la suite dannuits
est dite diffre.
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Sils dbutent ds la 1re priode, la suite dannuits est dite non diffre.
Exemples
1) Vous empruntez 10 000 DH le 1er
novembre mais ne commencez lesremboursements qu partir du 1er fvrier prochain : la suite dannuits est
diffre.
2) Vous empruntez 10 000 DH le 1er novembre et commencez les
remboursements le 30 novembre : la suite dannuits est non diffre.
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5.1 La valeur acquise dune suite dannuits certaine temporaire
5.1.1 Annuits supposes constantes de dbut de priode
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Pendant nkpriodes, on place en dbut de priode au taux dintrt ikpar
priode les versements suivants :
V0 = V1 = = Vnk-1 = V
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Priode2
Priode1 Priode3 Priode nk
0 1 2 3 nk-1 nk
V lac V lac V lac
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- Le 1er versement plac produit des intrts durant nkpriodes.Il devient V(1+ i)nk.
- Le 2 versement plac produit des intrts durant nk-1 priodes.
Il devient V(1+ i)nk-1
- Le 3 versement plac produit des intrts durant nk-2priodes.Il devient V(1+ i)nk-2
.
.
.
- Le dernier versement plac produit des intrts durant 1 priode.Il devient V(1+ i)
V plac V plac
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1 2 3 nk-1 nk
V V V V V V
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V(1+ ik)
V(1+ ik)
V(1+ ik)nk-3
V(1+ ik)nk-2
V(1+ ik)nk-1
V(1+ ik)nk
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La valeur acquise totale est la somme de toutes les valeurs acquises des
versements.
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a va eur acqu se o a e es onc :
Ainsi,
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1 1 ... 1
1
nk nk
k k k
nkt
k
t
VFU V i V i V i
V i
=
= + + + + + +
= +
( ) ( )1
1 1nk
k k
k
i iVFU V
i
+ + +=
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5.1.2 Annuits supposes constantes de fin de priode
Les annuits sont supposes constantes de terme gal V. Le versement se
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. .
On a alors :
Ainsi,
( ) ( ) ( )
( )
1 1
1
0
1 1 ... 1
1
nk nk
k k k
nk
tk
t
VFU V i V i V i V
V i
=
= + + + + + + +
= +
( )1 1n k
k
k
iV F U V
i
+ =
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1 2 3 nk-1 nk
V V V V V V
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k
V(1+ ik)
V(1+ ik)nk-3
V(1+ ik)nk-2
V(1+ ik)nk-1
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Exemple
Vous dcidez douvrir un PEL avec un dpt initial de 100 000 DH. La dure
du plan est de 6 ans. Les versements sont trimestriels de lordre de 6 000 DH
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chaque versement (dbut de priode). Par ailleurs, la rmunration de tous les
dpts se fait selon un taux dintrt annuel de 4%. Enfin, lemprunt prfrentiel
au terme du plan reprsente 10,076 fois les intrts acquis.
Quel est le budget pour une ventuelle acquisition immobilire au bout de 6
ans ?
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5.1.3 Annuits de dbut de priode augmentant annuellement selon un
taux g sur un horizon de n annes
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Supposons que les versements effectus sont annuels (k=1)
Priode2
Priode1 Priode3 Priode n
0 1 2 3 n-1 n
V V(1+g) V(1+g)n-1
V(1+g) V(1+g)3
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1 2 3 n-1 n
V V(1+g) V(1+g) V(1+g)3
V(1+g)n-1
V(1+g)n-1(1+ i)
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V(1+g)3(1+ i)
n-3
V(1+g)2(1+ i)
n-2
V(1+g)(1+ i)n-1
V(1+ i)n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )( )( ) ( )( )
1 2 1
1
1
1 1 1 1 1 ... 1 1
1 1 1
1 1 1 1
n n n n
n
n
VFU V i V g i V g i V g i
g i
V i g i
= + + + + + + + + + + +
+ +
= + + +
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V V(1+g) V(1+g) V(1+g)n-1
1 2 3 n-1 n
k
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
1 2 1
1 1 1
1 2 1 0
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 ... 1 1
1 1 1 1 ... 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
k k kt n t n n t
k k k
t t t
kt n n n
kt
n
kt n
k
t
VFU V i i V g i i V g i
V i i g i g i
g iV i i
g i
= = =
=
=
= + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + +
+ +
= + +
+ +
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Versements de dbut de priode augmentant annuellement selon un
taux g sur un horizon de n annes :
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( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
1
1
1
1
1 1 1
1 1
1 1 1
n
kt n
k
t
g iVFU V i i
g i
=
+ +
= + + + +
( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
11
1
1
1 1 11 11
1 1 1
nk
nk k
k
g ii iVFU V i
i g i
+
+ + + +
= + + +
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5.1.4 Annuits de fin de priode augmentant annuellement selon untaux g sur un horizon de n annes
n-1
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11 2 1
0 0 0
11 2 1 0
0
1 1 1 1 1 ... 1 1
1 1 1 1 ... 1 1
k k kt n t n n t
k k k
t t t
kt n n n
k
t
VFU V i i V g i i V g i
V i i g i g i
= = =
=
= + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + +
1 2 3 n-1 n
k
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Versements de fin de priode augmentant annuellement selon un taux g
sur un horizon de n annes :
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( ) ( )( )( )( )( )( )( )
11
1
1
0
1 1 1
1 1
1 1 1
nk
t n
k
t
g iVFU V i i
g i
=
+ + = + + + +
( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
1
1
1
1 1 11 11
1 1 1
nk
nk
k
g iiVFU V i
i g i
+ + +
= + + +
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Exemple (retour sur lexp. prcdent)
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Quel est lenveloppe- budget au bout de 6 ans lorsque les versements
augmentent tous les ans de 10%, avec comme premier versement
V = 6 000 DH.