Post on 16-Dec-2018
Questão 1 (3,0 pontos). Determine as forças normais nas barras numeradas da treliça
abaixo.
4m
2m
2m
20kN
(1)
(2) (3)
(4)
(5)
B
C
D E F
G
I
H
J
K
L
4m
10kN
HA
8
3m
4cos
Ritter
VA VB
Esforço [kN]
N1 +20,00
N2 -47,13
N3 +46,65
N4 -37,27
N5 +52,17
2
2sin cos 0,70711
2 2
4sin 0,44721
8 4
BCAG
2 2
8cos 0,89443
8 4
ABAG
2020 0
1010 0 3,33
38 208 20 0 6,673 3
AAH
A B AV
BAB
H kNH
V V V kN
M V V kN
Reações de Apoio:
Equilíbrio Nó C:
1
10 10cos 0 22,361
sin 0,44721 sin 10 0
cos 22,361 0,89443=20kN N 20
CH CD CHH
CHVCD CH
N N N
NNN kN
Inspeção do equilíbrio dos nós D e J: 1 5; ; 0CD AJ DH HJN N N N N N
Corte de Ritter passando pelas barras (1), (2), (4) e (5):
1 2 4 5
2 4 5
1 4
2
4
5
cos cos cos 20 0
sin sin sin 10 3,33 0
84 4cos 20
47,13
37,27
52,170
3
AH
V
A
N kN
N kN
N
N N N
k
N H
N N N
M N NN
Equilíbrio Nó E: 1 2
33 2
cos cos 0 18,85kN
sin s 46in 0 ,65
EIH EI
EIV
N N N N
N kNN N N
Inspeção do equilíbrio dos nós G e F: 0GI FG EF FIN N N N
Questão 1 (3,0 pontos). Determine as forças normais nas barras numeradas da treliça
abaixo.
4m 4m
2m
2m
20kN
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A B
C
D E F
G
I
H
J L
K
20kN
8
3m
HA
4cos
VA
Ritter
VB
Esforço [kN]
N1 +40,00
N2 -47,13
N3 +26,65
N4 -59,63
N5 +29,81
2
2sin cos 0,70711
2 2
4sin 0,44721
8 4
BCAG
2 2
8cos 0,89443
8 4
ABAG
2020 0
2020 0 6,67
38 408 20 0 13,333 3
AAH
A B AV
ABB
H kNH
V V V kN
M V V kN
Reações de Apoio:
Inspeção do equilíbrio dos nós F e L: 1 5; ; 0FG BL FI ILN N N N N N
Inspeção do equilíbrio dos nós C e D: 0CD DE DH CHN N N N
Equilíbrio Nó G:
1
10 10cos 0 47,722
sin 0,44721 sin 20 0
cos 47,722 0,89443 40kN 0= N 4
GI FG GIH
GIVCD CH
N N N
NkN NN
Corte de Ritter passando pelas barras (1), (2), (4) e (5):
1 2 4 5
2 4 5
1 4
2
4
5
cos cos cos 20 0
sin sin sin 20 13,33 0
84 4c
47,13
59,63
29,81os 20 0
3
H
V
B
N N N N
N
N kN
N kN
N kN
N N
M N N
Equilíbrio Nó E: 1 2
3 32
cos cos 0 9,44kN
sin si 26,n 0 65
EHH EI
EHV
N N N N
N N N N kN
NOME:_______________________________________________No.:_____________
4ª. Questão (3pts) – Calcule a tensão máxima de cisalhamento do eixo formado por dois
materiais Mat1 e Mat2, esquematizado na figura a seguir, com carregamento T2=100kN*m e
T3=40 kN*m, engastado nas duas seções de extremidade (1) e (4). Considerar o diâmetro
externo de = 154mm e o diâmetro interno di=0,8de , com Gmat1=60 GPa e Gmat2=80 GPa.
Considerar também que o eixo no tramo 1-2 é maciço e em 2-4 é vazado, com diâmetro
interno di=0,8de.
1000mm 1000mm 1000mm
T3 T2
1 2 3 4
de
di
Mat1 Mat2 Mat2
Resolução da questão
L1 1000mm:= Comprimento do tramo:
Comprimento total da barra: Lt 3 L1⋅:= Lt 3m=
Modulo de elasticidade transversal do Mat1 e Mat2: G1 60GPa:= G2 80GPa:=
diametro externo e interno do eixo-tubo: de 154mm:=
Momentos torçores aplicados em 2 e 3: T2 100− kN m⋅:= T3 40kN m⋅:=
Reações nas seções 1 e 4: Tr1 Tr4
Equação de equilibrio Tr1 T2+ T3+ Tr4+ 0 Tr1 Tr4+ T2− T3−
Equação de compatibilidade - rotação nula na seção 4 φ 4T φ 4Tr4+ 0
Momento de inercia a torção Ip1
π de4
⋅
32:= Ip1 5.522 10
3× cm
4⋅=
Ip2π
32de
4di
4−
⋅:=
φ 4T12
T2 T3+( ) L1⋅
G1 Ip1⋅:= φ 4T23
T3 L1⋅
G2 Ip2⋅:=
φ 4T12 0.018−=
Tr4 1⋅ L1⋅
G1 Ip1⋅
Tr4 2⋅ L1⋅
G2 Ip2⋅+ φ 4T12+ φ 4T23+ 0
Tr4
L1
G1 Ip1⋅
2 L1⋅
G2 Ip2⋅+
φ 4T2 φ 4T3+( )−
Tr4
φ 4T12 φ 4T23+( )−
L1
G1 Ip1⋅
2 L1⋅
G2 Ip2⋅+
:=
Tr1 T2− T3− Tr4−:=
τ12
Tr1
Ip1
de
2⋅:=
resposta da questão com di=0,8de
d i 0.8 d e⋅ := d i 123.2 mm⋅=
Ip2 3.260 10 3
× cm 4
⋅ =
φ 4T23 0.015=
Tr1 57.41 kN m⋅⋅=
Tr4 2.59 kN m⋅⋅ =
τ23
Tr1 T 2+( )Ip1
de
2⋅:=
τ23 59.383− MPa⋅=
τ12 80.063MPa ⋅=
T12 Tr1:= T23 Tr1 T2+:=
T34 Tr1 T2+ T3+:=
T 23 42.59− kN m⋅ ⋅ = Tr1 T2+ 42.59− kN m⋅⋅=
T 34 2.59− kN m⋅⋅=
NOME:_______________________________________________No.:_____________
4ª. Questão (3pts) – Calcule a tensão máxima de cisalhamento do eixo formado por dois
materiais Mat1 e Mat2, esquematizado na figura a seguir, com carregamento T2=100kN*m e
T3=40 kN*m, engastado nas duas seções de extremidade (1) e (4). Considerar o diâmetro
externo de = 154mm e o diâmetro interno di=0,6de , com Gmat1=60 GPa e Gmat2=80 GPa.
Considerar também que o eixo no tramo 1-2 é maciço e em 2-4 é vazado, com diâmetro
interno di=0,6de.
1000mm 1000mm 1000mm
T3 T2
1 2 3 4
de
di
Mat1 Mat2 Mat2
Resolução da questão
L1 1000mm:= Comprimento do tramo:
Comprimento total da barra: Lt 3 L1⋅:= Lt 3m=
Modulo de elasticidade transversal do Mat1 e Mat2: G1 60GPa:= G2 80GPa:=
diametro externo e interno do eixo-tubo: de 154mm:= di 0.6 de⋅:= di 92.4 mm⋅=
Momentos torçores aplicados em 2 e 3: T2 100− kN m⋅:= T3 40kN m⋅:=
Reações nas seções 1 e 4: Tr1 Tr4
Equação de equilibrio Tr1 T2+ T3+ Tr4+ 0 Tr1 Tr4+ T2− T3−
Equação de compatibilidade - rotação nula na seção 4 φ 4T φ 4Tr4+ 0
Momento de inercia a torção Ip1
π de4
⋅
32:= Ip1 5.522 10
3× cm
4⋅=
Ip2π
32de
4di
4−
⋅:= Ip2 4.806 10
3× cm
4⋅=
φ 4T12
T2 T3+( ) L1⋅
G1 Ip1⋅:= φ 4T23
T3 L1⋅
G2 Ip2⋅:=
φ 4T23 0.01= φ 4T12 0.018−=
Tr4 1⋅ L1⋅
G1 Ip1⋅
Tr4 2⋅ L1⋅
G2 Ip2⋅+ φ 4T12+ φ 4T23+ 0
Tr4
L1
G1 Ip1⋅
2 L1⋅
G2 Ip2⋅+
φ 4T2 φ 4T3+( )−
Tr4
φ 4T12 φ 4T23+( )−
L1
G1 Ip1⋅
2 L1⋅
G2 Ip2⋅+
:= Tr4 9.376kN m⋅⋅=
Tr1 T2− T3− Tr4−:= Tr1 50.624kN m⋅⋅=
τ23
Tr1 T2+( )Ip1
de
2⋅:= τ23 68.853− MPa⋅=
τ12
Tr1
Ip1
de
2⋅:= τ12 70.594MPa⋅= resposta da questão com di=0,6de