Spektralna analiza

Spektralna analizaSpektralna analiza

Vremenski zavisna Furijeova transformacija

Real time spektralna analiza signala zapravo se bazira naReal‐time spektralna analiza signala, zapravo se  bazira na algoritmu vremenski zavisne Furijeove transformacije (Time Dependant Fourier Transform ili Short Time Fourier Transform STFT) koja je definisana formulom:Transform STFT) koja je definisana formulom:

m

mjj enRmwmxenX

gde je: l i i l

m

enRmwmxenX ,

x ‐ ulazni signal,w ‐ prozorska funkcija (konačne dužine), ‐ frekvencija za koju se računa Furijeova transformacija frekvencija za koju se računa Furijeova transformacija,R – pomeraj početka dva sukcesivna prozora.

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

1 1

0

0.5

0

0.5

-0.5

0

-0.5

0

0.1 0.15 0.2-1

t0.1 0.15 0.2

-1

t

1 1

0.5

1

0.5

1

-0.5

0

-0.5

0

0.1 0.15 0.2-1

t0.1 0.15 0.2

-1

t

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

m

nRmw

n m

mj

n

j enRmwmxenX

,

wlengthR

nRmwn

m n

mj nRmwemx

1

trougaoni

1

pravougaoni

g

jmsvakozanRmw

eXn

,1

0.50.5

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

Hamming-ov Hann-ov

0.5

1

0.5

1

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

1

trougaoni

2

pravougaoni

nRmwn

1

0.5

1

0 5

1

1.5

2

wlengthR21

1.4

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 60000

0.5

Hamming-ov Hann-ov

1

1.2

trouagaoniHamming-ovHann-ov

0.5

1

g

0.5

1

0.8

1

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

0.4

0.6

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.2

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – parametar R

1

trougaoni

2

pravougaoni

nRmwn

0.5

1

0 5

1

1.5

2

wlengthR 8.01

trouagaoni

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 60000

0.5

Hamming-ov Hann-ov

0.7

0.8

0.9trouagaoniHamming-ovHann-ov

0.5

1

g

0.5

1

0.5

0.6

0 2000 4000 6000

0

0 2000 4000 6000

0

0.2

0.3

0.4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.1

Vremenski zavisna Furijeova transformacija ‐ računanje

m

10000

,m

mjj

Lllwllx

enRmwmxenX

1

2/10,0,0,0

Lm

LRLllwllx

3

1

0,0,0

L

Lm

m

mjj emwmxeXn

12

3

2,1,1

Lm

L

mjj eLmwmxeXn

12

2

222

2

Lmmjj

Lm

eLmwmxeXn

2

2,2,2Lm

emwmxeXn

Vremenski zavisna Furijeova transformacija – drugi oblik

m

mjj

nRmk

enRmwmxenX ,

nRkjj ekwnRkxenX

nRmk

,

kjnRjj

k

ekwnRkxeenX ,

,

k

ekwnkxeen,

Kako se praktično računa?Kako se praktično računa?

• Vremenski zavisna Furijeova transformacija (prema definiciji) je kontinualna funkcija (p j ) j jučestanosti i diskretna funkcija “vremena”.

1

,

Lk

kjnRjj ekwnRkxeenX

1

0

,L

k

kjnRjj ekwnRkxeenX

Kako se praktičnp računa?Kako se praktičnp računa?

• Za svako n, odgovarajući segment signala x se “spusti” u opseg [0 L‐1] (ili [‐L/2 L/2]), p p g [ ] ( [ ])odnosno, problem se svodi na računanje Furijeove transformacije diskretnog signalaFurijeove transformacije diskretnog signala konačne dužine

1

,,L

kjnRjj ekwnRkxeenX

0

n

k

nRkxkx

1

0,

L

k

kjn

nRjj ekwkxeenX

Praktična implementacijaPraktična implementacija• Kao i u slučaju računanja Furijeove transformacijeKao i u slučaju računanja Furijeove transformacije diskretnog signala, u praksi se, zapravo, računa DFT (diskretan niz) segmenta signala pomnoženog sa izabranom prozorskompomnoženog sa izabranom prozorskom funkcijom.

• U ulaznom baferu čuva se poslednjih L odbiraka p jsignala (L – dužina prozora), i posle svakih R prihvaćenih odbiraka ulaznog signala startuje se FFT procedura L je dužina prozora a R zavisi odFFT procedura. L je dužina prozora a R zavisi od izbaranog preklapanja dva sukcesivna prozora. (recimo R=L/2).

STFT implementacijaSTFT implementacija

b d ži j k i i đIzbor dužine prozora je kompromis između željene rezolucije u frekvencijskom domenu i rezolucije u vremenskom domenu. Što je N veće, rezolucija u frekvencijskom j , j jdomenu je bolja, ali je utoliko manje moguće izdvojiti kratkotrajnu promenu signala, j j p g ,odnosno rezolucija u vremenu je lošija.

STFT inverzna transformacijaSTFT, inverzna transformacija

Primena prozorskih funkcijaPrimena prozorskih funkcija

Pravougaona prozorska funkcijaPravougaona prozorska funkcija

Trougaona prozorska funkcijaTrougaona prozorska funkcija

Hann ova prozorska funkcijaHann‐ova prozorska funkcija

Hamingov ova prozorska funkcijaHamingov‐ova prozorska funkcija

Blackman ova prozorska funkcijaBlackman‐ova prozorska funkcija

Linearna i ciklična konvolucija

Linearna konvolucijaLinearna konvolucija1K

210

1

0

hhhh

knxkhnyK

k

000

4,3,2,1,02,1,0

hxxxxxnx

hhhnh

0211202

01101000

hhhxhxhy

xhy

2231404

12213030211202

xhxhxhyxhxhxhyxhxhxhy

426

324152231404

xhyxhxhy

xhxhxhy

426 xhy

Ciklična konvolucijaCiklična konvolucija

00210

1

0

hhhnh

knxkhnyK

kK

10203241000

4,3,2,1,00,0,2,1,0

xxxhxhxhyxxxxxnx

hhhnh

40001221303

3040021120220304201101

xxxhxhxhyxxxhxhxhyxxxhxhxhy

10203241005

0010223140440001221303

xxxhxhxhyxxxhxhxhyxxxhxhxhy

20304201106 xxxhxhxhy

Ciklična konvolucijaCiklična konvolucija

00210

1

0

hhhh

knxkhnyK

kK

210

1

0

hhhnh

knxkhnyK

k

10203241000

4,3,2,1,00,0,2,1,0

xxxhxhxhyxxxxxnx

hhhnh

000

4,3,2,1,02,1,0

xhyxxxxxnx

hhhnh

40001221303

3040021120220304201101

xxxhxhxhyxxxhxhxhyxxxhxhxhy

1221303

021120201101

xhxhxhyxhxhxhy

xhxhy

102032410050010223140440001221303

xxxhxhxhyxxxhxhxhyxxxhxhxhy

32415

22314041221303

xhxhyxhxhxhyxhxhxhy

20304201106 xxxhxhxhy 426 xhy

Ciklična konvolucija dopuna nulamaCiklična konvolucija – dopuna nulama

1

knxkhnyK

K

0,0,4,3,2,1,0

0,0,0,0,2,1,00

xxxxxnxhhhnh

yk

K

304000000211202

203040000201101102030400201000

hhhxxxhxhxhyxxxxhhxhy

000000102231404

400000001221303304000000211202

xxxhxhxhyxxxhxhxhyxxxhxhxhy

001020304201006

000010203241005xxxxxhhhy

xxxxhxhhyy

Ciklična konvolucija dopuna nulamaCiklična konvolucija – dopuna nulama

1

0knxkhny

K

kK

1

0

knxkhnyK

k

102030400201000

0,0,4,3,2,1,00,0,0,0,2,1,0

xxxxhhxhyxxxxxnx

hhhnh

000

4,3,2,1,02,1,0

xhyxxxxxnx

hhhnh

400000001221303

304000000211202203040000201101102030400201000

hhhxxxhxhxhyxxxhxhxhyxxxxhhxhy

021120201101

000

xhxhxhyxhxhy

xhy

000010203241005

000000102231404400000001221303

xxxxhxhhyxxxhxhxhy

xxxhxhxhy

32415

22314041221303

xhxhyxhxhxhyxhxhxhy

001020304201006 xxxxxhhhy 426 xhy

Linearna konvolucijaLinearna konvolucija

1

knxkhnyK

7,6,5,4,3,2,1,0

2,1,00

xxxxxxxxnxhhhnh

k

01101

000

111

11

xhxhyxhy

0007,6,5,43,2,1,0

2

1

xhyxxxxnxxxxxnx

22314

12213030211202

1111

1111

111

xhxhyxhxhxhyxhxhxhy

0211202

01101000

xhxhxhyxhxhy

xhy

000325

22314

22

11

111

xhyxhy

xhxhy

3241505

22314041221303

xhxhxhyxhxhxhyxhxhxhy

1221303

021120201101

2222

2222

222

xhxhxhyxhxhxhy

xhxhy

526170742516063241505

xhxhxhyxhxhxhyxhxhxhy

325

22314

22

222

2222

xhyxhxhy

y

729

62718xhy

xhxhy

Linearna konvolucijaLinearna konvolucija

1

knxkhnyK

7,6,5,4,3,2,1,0

2,1,00

xxxxxxxxnxhhhnh

k

01101

000

1

1

xhxhyxhy

0007,6,5,43,2,1,0

2

1

xhyxxxxnxxxxxnx

22314

12213030211202

1

1

1

xhxhyxhxhxhyxhxhxhy

0211202

01101000

xhxhxhyxhxhy

xhy

400325

22314

2

1

1

xhyxhy

xhxhy

3241505

22314041221303

xhxhxhyxhxhxhyxhxhxhy

5261703

425160241501

2

2

2

xhxhxhyxhxhxhy

xhxhy

526170742516063241505

xhxhxhyxhxhxhyxhxhxhy

725

62714

2

2

2

xhyxhxhy

y

729

62718xhy

xhxhy

Primena FFT algoritma u filtriranjusignala

Primena FFT algoritma u filtriranjusignala

Primena FFT algoritma u filtriranjusignala

Primena FFT algoritma u filtriranjusignala

Goertzel ov algoritamGoertzel‐ov algoritam

rnkNk rnuWrxny

r

Nnk nykX

k

111

zWzH k

Nk N

k

N

Goertzel ov algoritamGoertzel‐ov algoritam1k 1k

1

1

1 11

11

zWzW

zWzH k

N

kN

kN

k 21

1

2cos21

1

zzN

kzWzH

kN

k

N

x n yk n

-WNkk N

-

Goertzel ov algoritamGoertzel‐ov algoritam

212cos21

nyny

NknxWnxny kk

kNk

212cos2

nvnv

Nknxnv kkk

Goertzel ov algoritamGoertzel‐ov algoritam

k 1 NvWNvNykX kk

Nkk

kjXkXkX IR

12cos

Nv

NkNvkX kkR

12sin

NvN

kkX kI

222

kXkXkX

N

IR

112cos2 222

NvNvNv

NkNvkX kkkk

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

P i i k j d i l f• Pritiskom jednog tastera na tastaturi telefonagenerišu se dva tona (jedan niske i jedan visokefrekvenecije) i kao takvi šalju na linijufrekvenecije) i kao takvi šalju na liniju.

• DTMF ton predstavlja sumu dva sinusoidalna tonaodređenih učestanosti Frekvencije tonova su takoodređenih učestanosti. Frekvencije tonova su takoodabrane da harmonici i intermodulacioni proizvodineće prouzrokovati grešku (lažnu pozitivnuneće prouzrokovati grešku (lažnu pozitivnudetekciju).

• Nijedna frekvencija nije celobrojni umnožak druge,Nijedna frekvencija nije celobrojni umnožak druge,razlika između dve frekvencije nije jednaka bilo kojojfrekvenciji.j

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

• Frekvencije ne mogu da variraju više od |Δf| =1.5% od svoje nominalne vrednosti.j

• Više frekvencije mogu imati istu ili većuamplitudu od nižih frekvencijaamplitudu od nižih frekvencija.

• Razlika u amplitudi viših i nižih frekvencijamože biti do 3dB.

DTMF (Dual Tone Multi Frequency)DTMF (Dual Tone Multi Frequency)

• U DTMF matrici frekvencija, par tonova se koristi za prezentiranje cifara 0‐9 i znakova #, *, A, B, C i D.

• Iako ima 16 DTMF znakova telefonski aparati koriste samo 10 (ne koriste se tonovi iz četvrte kolone i specijalni znaci * i #).

• DTMF standard je propisao da minimalno trajanje s a da d je p op sao da a o aja jeDTMF tona iznosi 50ms, a isto tolika  je i puaza između slanja dva DTMF tona.j