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Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourtprof.douglas.pucgo@gmail.com
Resistência dos Materiais I – SLIDES 07
Capítulo 6
Círculo de Mohr para
tensões
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano
Consiste na solução gráfica das equações de
transformação de tensão no plano
Permite a “visualização” das componentes de
tensão de acordo com a orientação do plano
em que agem.
2
)1.6(2sin2cos22
'
xy
yxyx
x
)2.6(2cos2sin2
''
xy
yx
yx
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano Permite a “visualização” das componentes de tensão de
acordo com a orientação do plano em que agem.
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Dedução do Círculo de Mohr
As equações (6.1) e (6.2) podem ser reescritas:
4
(6.10)2sin2cos22
(6.1)2sin2cos22
'
'
xy
yxyx
x
xy
yxyx
x
)11.6(2cos2sin2
)2.6(2cos2sin2
''
''
xy
yx
yx
xy
yx
yx
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Elevando ao quadrado as eqs. (6.10) e (6.11) e
somando-as, tem-se:
Dedução do Círculo de Mohr
5
(6.10)2sin2cos22
'
xy
yxyx
x
)11.6(2cos2sin2
''
xy
yx
yx
2
2
2
''
2
'22
xy
yx
yx
yx
x
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A eq. anterior pode ser colocada em uma
forma mais compacta:
Dedução do Círculo de Mohr
6
2
2
2
''
2
'22
xy
yx
yx
yx
x
)12.6(22
''
2
' Ryxmedx
2
yx
med
2
2
2xy
yxR
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Se definirmos eixos coordenados com σ positiva para
a direita e τ positiva para baixo e então construirmos
o gráfico da eq. (6.12), veremos que essa equação
representa um círculo de raio R e centro no eixo σ no
ponto C(σmed,0).
Dedução do Círculo de Mohr
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Dedução do Círculo de Mohr
8
Qual a orientação
dos eixos
positivos???
σ positiva
para a direita e
τ positiva para
baixo
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Dedução do Círculo de Mohr
9
)12.6(22
''
2
' Ryxmedx
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Construção do Círculo de Mohr
1. Estabelecer um sistema de coordenadas com σ positiva
para a direita e τ positiva para baixo
2. Utilizar a convenção mostrada
ao lado para os valores positivos
de σ e de τ
3. Marcar o centro do círculo C, que está
localizado no eixo σ a uma distância de
σméd=(σx+ σy)/2 da origem
4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são
A(σx, τxy), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado
com o eixo σx do estado de tensões dado
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Construção do Círculo de Mohr
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med
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Construção do Círculo de Mohr
5. Unir o ponto A ao centro
C, determinando a
hipotenusa CA, que
representa o raio R do
círculo. Um ponto G de
coordenadas (σy, -τxy),
diametralmente oposto
ao ponto A também pode
ser marcado
6. Traçar o círculo
utilizando o raio
encontrado
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Análise com o Círculo de Mohr
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As tensões principais σ1 e σ2 são apresentadas pelos dois pontos B e D,
onde o círculo intercepta o eixo σ
As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2 (sentido
anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB
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Análise com o Círculo de Mohr
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As componentes de tensão de cisalhamento máxima e
de tensão normal média são determinadas pelo círculo
com as coordenadas dos pontos E e F
O ângulo 2θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a
rotação é em sentido horário (ver figura)
As componentes σx’ e τx’y’ num ponto qualquer P
atuantes em um plano definido por um ângulo θ, medido
no sentido anti-horário, são obtidos por trigonometria
Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido
anti-horário) é medido no círculo como 2θ (no mesmo
sentido anti-horário) da linha CA para CP
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Análise com o Círculo de Mohr
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Análise com o Círculo de Mohr
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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Figura 9.18
Pela Figura:
00 xyyx
Centro do círculo:
22
0
2
yx
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.
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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
00 xyyx
Centro do círculo:
22
0
2
yx
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.
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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos A e D):
021
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
2max
Dadas pelo ponto E na figura:
2
med
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Exemplo 9.7 (Hibbeler) A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Por observação, o ângulo em sentido horário
2θs1 = 90º. Portanto, θs1 = 45º, de modo que o
eixo x’ está orientado a 45º em sentido horário
em relação ao eixo x.
Como E tem coordenadas positivas, então σmed
e τmax agem nas direções x’ e y’ positivas,
respectivamente.
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Exemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Figura 9.19
Pela Figura:
xyyx 00
Centro do círculo:
02
00
2
yx
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(0,-τ).
O Raio do Círculo CA é R = τ.
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Exemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
xyyx 00
Centro do círculo:
02
00
2
yx
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(0,-τ).
O Raio do Círculo CA é R = τ.
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Exemplo 9.8 (Hibbeler) A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos B e D):
2
1
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
max
Dadas pelo ponto A na figura:
0med
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Exemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Figura 9.20a
Pela Figura:
MPa6
0MPa12
xy
yx
Centro do círculo:
MPa62
012
2
yx
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
MPa49,82
''
2
' yxmedxR
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Exemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Pela Figura:
MPa6
0MPa12
xy
yx
Centro do círculo:
MPa6med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
MPa49,82
''
2
' yxmedxR
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Tensões principais (Pontos B e D):
MPa49,1449,86
MPa49,2649,8
2
1
Orientação das tensões principais:
º45612
6tan2 1
2
p º5,222 p
Exemplo 9.9 (Hibbeler) As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
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Exemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Figura 9.21a
Centro do círculo:
MPa352
9020
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-20,60).
Raio do Círculo eq. (6.12):
MPa4,812
''
2
' yxmedxR
Pela Figura:
MPa60
MPa90MPa20
xy
yx
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Exemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Centro do círculo:
MPa352
9020
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-20,60).
Raio do Círculo eq. (6.12):
MPa4,812
''
2
' yxmedxR
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Exemplo 9.10 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Orientação do elemento:
º3,211 s
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
MPa4,81max
Dadas pelos pontos E e F na figura:
MPa35med
º5,4260
3520tan2 1
1
s
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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Figura 9.22a
Centro do círculo:
MPa22
128
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-8,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
MPa66,112
''
2
' yxmedxR
Pela Figura:
MPa6
MPa12MPa8
xy
yx
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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Centro do círculo:
MPa22
128
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-8,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
MPa66,112
''
2
' yxmedxR
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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Como o elemento deve sofrer
rotação de 30º em sentido anti-
horário, deve-se traçar a linha
radial CP, 2(30º) = 60º em
sentido anti-horário, medida
em relação a CA (θ = 0º).
Tensões no elemento a 30º
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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
Coordenadas do Ponto P:
º96,3010
6tan 1
º04,29º96,30º60
MPa20,804,29cos66,112' x
MPa66,504,29sin66,11'' yx
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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
MPa20,8' x
MPa66,5'' yx
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Exemplo 9.11 (Hibbeler) Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a -60º
Coordenadas
do Ponto Q:
MPa2,1204,29cos66,112' x
MPa66,504,29sin66,11'' yx