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Captulo 15
Oscilaes
O Movimento Harmnico Simples MHS
O Sistema Massa-Mola
Energia no Movimento Harmnico Simples
O Pndulo Simples
O Pendulo Fsico
O Momento de Inrcia
O teorema dos Eixos Paralelos
O Movimento Circular Uniforme
O Movimento Harmnico Simples Amortecido
Oscilaes Foradas e Ressonncia
Captulo 15 - Oscilaes
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232
O movimento oscilatrio um movimento peridico no tempo, ou seja, um movimento que se repete a intervalos iguais. Exemplos: Massa presa a uma mola, pndulos, o movimento dos eltrons de uma corrente eltrica alternada, o movimento circular...
Captulo 15 - Oscilaes
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Definies de algumas variveis fsicas vinculadas s oscilaes.
Perodo (T): Intervalo de tempo necessrio para completar uma oscilao completa. No SI [s].
Tf
1
Captulo 15 - Oscilaes
Frequncia (f): Nmero de oscilaes completadas em um intervalo de tempo, que pode ser de 1 segundo, 1 minuto, 1 hora ou o intervalo mais apropriado. No SI [Hertz, Hz = 1/s].
Frequncia Angular (): Considerando que a cada perodo de oscilao podemos associar 2 rad, definimos a frequncia angular como o nmero de radianos relacionados s oscilaes a cada segundo.
Tf
22
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O Movimento Harmnico Simples compreende um tipo de movimento oscilatrio em que a posio da partcula em funo do tempo dada em termos de uma funo seno ou cosseno conforme descrito abaixo.
)cos()( txtx m
Captulo 15 - Oscilaes
A amplitude, xm: o mximo deslocamento a partir do ponto de equilbrio. (a)
A frequncia ngular, : Quanto maior , mais oscilaes ocorrem em um determinado intervalo de tempo. (b)
A constante de fase, : Define onde o movimento inicia. (c)
Fase do movimento, (t+ ): Oscilaes em fase podem apenas apresentar diferentes amplitudes. (a)
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importante notar que a equao do movimento harmnico simples peridica, ou seja, se repete cada 2 rad assim como a cada perodo, T, e sendo assim:
))(cos()2cos( Ttxtx mm
Captulo 15 - Oscilaes
)(2 Ttt
T 2
T
2 f 2
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Sabendo a posio da partcula a cada instante de tempo, podemos obter as equaes da velocidade e da acelerao.
Captulo 15 - Oscilaes
)cos()( txtx m
dt
tdxtv
)()( )()( tsenxtv m
O valor mximo da velocidade da partcula em mdulo vale xm, e ocorre quando a partcula est passando pela posio de equilbrio, ou seja em t = T/4, 3T/4 ...
dt
tdvta
)()( )cos()(
2 txta m
)()( 2 txta
O ponto de mnimo na posio indica um ponto de mximo na acelerao.
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O Movimento Harmnico Simples um tipo de movimento oscilatrio em que a Fora proporcional ao deslocamento, porm tem sentido oposto ao deslocamento. Ex. Massa-Mola.
Soluo:
makxF
Captulo 15 - Oscilaes
)]([)]([
2
2
txkdt
txdm )]([
)]([2
2
txm
k
dt
txd
)cos()( tm
kxtx m
)cos()( txtx m
m
k
)()( txm
kta
k
mT 2
O perodo no Movimento Harmnico Simples no depende da amplitude do movimento!
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Exemplo 15.1) pg. 91 Um bloco cuja a massa 680 g preso a uma mola cuja a constante elstica 65 N/m. O bloco puxado sobre uma superfcie sem atrito por uma distncia de 11 cm a partir da posio de equilbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0. a) Quais so a frequncia angular, a frequncia e o perodo do movimento resultante? b) Qual a amplitude das oscilaes? c) Qual a velocidade mxima e onde o bloco se encontra quando ele tem essa
velocidade? d) Qual o mdulo da acelerao mxima do bloco? e) Qual a constante de fase do movimento? f) Qual a equao do deslocamento em funo do tempo? g) Qual a equao da velocidade em funo do tempo?
Captulo 15 - Oscilaes
a) srad
m
k/78,9
Hzf 56,12
sf
T 64,01
b) mxm 11,0
0x
c) smxv mm /1,1
mxx
22 /11 smxa mm d)
e) 0,0 xt
)cos()( txtx m
)0cos( mm xx0
f) )78,9cos(11,0)( ttx
g) )78,9(1,1)( tsentv
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Exemplo 15.2) pg. 92 Em t = 0 o deslocamento x(0) do bloco de um oscilador linear - 8,5 cm. A velocidade do bloco v(0) nesse instante 0,920 m/s e a acelerao a(0) +47,0 m/s2. a) Qual a frequncia angular desse sistema?
b) Quais so os valores da constante de fase e da amplitude?
)0()0( 2xa
Captulo 15 - Oscilaes
srad
x
a/5,23
)0(
0
)0cos(
)0(
)0(
)0(
m
m
x
senx
x
v
)0(
)0()(
x
vtg
461,0tg
25155
Testando a resposta:
)0cos()0( mxx
mx
xm 094,0)25cos(
)0(
mx
xm 094,0)155cos(
)0(
Resposta errada
Resposta certa
Certo Errado
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A Energia no Movimento Harmnico Simples
A energia potencial em um sistema massa-mola:
xkF
Captulo 15 - Oscilaes
xdFUW
)](cos[2
1])([
2
1 222 txktxkU m
A energia cintica em um sistema massa-mola:
)]([2
1)]()[(
2
1])([
2
1 22222 tsenxktsenxmtvmK mm
A energia mecnica do sistema massa-mola:
mxmxm UKkxUKE 2
2
1A energia mecnica do sistema massa mola se mantm constante em funo do tempo!
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Problema 15-32) pg. 108 A figura abaixo mostra a energia cintica de um oscilador harmnico simples em funo da posio. A escala vertical definida por Ks = 4,0 J. Qual a constante elstica da mola? b) Sabendo que o perodo de oscilao vale 2 s, determine o valor da velocidade mxima.
a) Sabendo que: mxKkxE 2
2
1
k
mT 2
Captulo 15 - Oscilaes
2)12,0(2
1)4(5,1 k
mNk /833
b) Sabendo que:
2
2
4
kTm kgm 4,84
2
2
1mxmx mvK
smm
Ev mxmx /377,0
2
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Nesta situao podemos escrever o torque de duas maneira diferentes:
I
k
I
Note que I denominado de momento de inrcia, ou seja, proporcional dificuldade de colocar um corpo em rotao, a acelerao angular, k a constante de toro e a amplitude de oscilao angular.
Captulo 15 - Oscilaes
O Oscilador Harmnico Simples Angular
k
Por analogia temos: )()( 2 txta
)()( tI
kt
)()(
2 tt
k
IT 2
I
kf
2
1
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Exemplo 15-4) pg. 95 A figura abaixo mostra uma barra fina de comprimento L = 12,4 cm cuja a massa 135 g, suspensa por um fio longo pelo ponto mdio. O perodo do seu MHS angular vale Tb = 2,53 s. Um objeto de forma irregular chamado de objeto X, pendurado no mesmo fio e seu perodo vale Tx = 4,76 s. qual o momento de inrcia Ix em relao ao ponto de suspenso?
Sabendo que o fio o mesmo para os dois casos, temos que k o mesmo no dois casos!
Captulo 15 - Oscilaes
k
IT bb 2
radNmT
Lm
T
Ik
b
b
b
b /10067,112
1
44 32
2
2
2
2
k
IT xx 2
24
2
2
1012,64
kgmkT
I xx
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Para pequeno, sen ~ .
L
g
Captulo 15 - Oscilaes
O Pndulo Simples
Um pndulo simples caracterizado por uma massa que oscila presa extremidade de um cordel de massa desprezvel. Nesta situao podemos escrever o torque de duas maneira diferentes:
I Fr
)( FsenL
2mLI )()(2 tLmgtmL
)()( tL
gt
)()( 2 txta
g
LT 2
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Captulo 15 - Oscilaes
O Pndulo Fsico
Para pequeno, sen ~ .
I
mgh
Um pndulo fsico caracterizado por um corpo de massa m que oscila preso a um ponto de ocilao. Nesta situao podemos escrever o torque de duas maneira diferentes:
I Fr
)( Fsenh
)()( thmgtI
)()( tI
mght
)()(
2 txta
mgh
IT 2
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O momento de inrcia est relacionado com a dificuldade de colocar um corpo em rotao, definido pela equao:
dmrI2
Captulo 15 - Oscilaes
O Momento de Inrcia
No SI: [kgm2]
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permite calcular o momento de inrcia de um slido rgido relativo a um eixo de rotao que passa por um ponto O, quando so conhecidos o momento de inrcia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massa do slido e a distncia entre os eixos.
Exemplo:
2MdII cmo
Captulo 15 - Oscilaes
O Teorema dos Eixos Paralelos
2
12
1MLIcm
2
2
212
1
LMMLIo
2
3
1MLIo
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Exemplo 15-5) pg. 98 Na figura ao lado uma rgua de 1 metro oscila em torno de um ponto fixo O em uma das extremidades, a uma distncia h do centro de massa da rgua. a) Qual o perodo de oscilao? b) Qual a distncia L0 do ponto fixo O, at o centro de oscilao da rgua C?
Captulo 15 - Oscilaes
mgh
IT 2
2
3
1mLIb s
Lg
LT 64,1
)2/(32
2
O centro de oscilao definido pelo comprimento L0 do pndulo simples que apresenta o mesmo perodo e a mesma massa do objeto!
ops TTT
g
L
g
LT
3
222 0
g
L
g
L
3
20
cmL
L 7,663
20
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)cos()( trtx
Captulo 15 - Oscilaes
O ponto P que se move em movimento circular uniforme tem a projeo do deslocamento em funo do tempo sobre o eixo x descrita da seguinte forma:
O Movimento Circular Uniforme - MCU
)()(
)( tsenrdt
tdxtv
Onde: R o raio da trajetria a velocidade angular o angulo onde o movimento foi iniciado
A velocidade projetada sobre o eixo x apontar no sentido contrario ao deslocamento:
)cos()(
)( 2 trdt
tdvta
A acelerao projetada sobre o eixo x apontar no sentido contrario ao deslocamento:
)()( 2 txta
O MHS equivale projeo do MCU ao longo do dimetro!
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No movimento harmnico amortecido, uma fora no conservativa, proporcional a velocidade ou a velocidade ao quadrado atua no sentido contrario ao do movimento, ocasionando a reduo da amplitude de oscilao em funo do tempo.
Da segunda Lei de Newton:
bvF
Captulo 15 - Oscilaes
O Movimento Harmnico Simples Amortecido
Fora de amortecimento
b = Coeficiente de Amortecimento [N.s/m = kg/s]
)()()(
2
2
tbvtkxdt
txdm 0)(
)()(2
2
txm
k
dt
tdx
m
b
dt
txd
Soluo Geral:
)'cos()( 2
textx mbt
m 2
2
4'
m
b
m
k
titimbt
BeAeetx ''2)(
)'()'cos(' tisente ti )'()'cos(' tisente ti
Considerando a parte real da soluo, temos:
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Caso Subcrtico:
Captulo 15 - Oscilaes
Tipos de Amortecimento no MHS
2
2
4'
m
b
m
k2
2
4m
b
m
k
Caso Crtico: m
bt
m
bt
BteAetx 22)(
0)()()(
2
2
txm
k
dt
tdx
m
b
dt
txd
mxAetx 0)( 0
mxA
Para a condio inicial; x(0) = xm e v(0) = 0, temos:
m
bt
m
bt
m
bt
em
bBtBee
m
bAtv 222
22)(
002
)0( 00 Beem
bAv
m
bxB m
2
m
bt
mm
bt
m em
tbxextx 22
2)(
2
2
4m
b
m
k
)'cos()( 2
textx mbt
m
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232
Caso Subcrtico:
Captulo 15 - Oscilaes
Tipos de Amortecimento no MHS
)'cos()( 2
textx mbt
m
2
2
4'
m
b
m
k
2
2
4m
b
m
k
Caso Crtico:
m
bt
m
bt
BteAetx 22)(
2
2
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m
k
0)()()(
2
2
txm
k
dt
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m
b
dt
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Caso Supercrtico:
2
2
4m
b
m
k
ttmbt
BeAeetx ""2)(
m
k
m
b
2
2
4"
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232
Exemplo 157) pg. 102 Um oscilador harmnico amortecido, possui massa de 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s. a) Determinar o perodo do movimento. b) Quanto tempo necessrio para que a amplitude de oscilao se reduza pela metade. c) Determinar quanto tempo necessrio para que a energia mecnica se reduza pela metade.
Captulo 15 - Oscilaes
2
2
4'
m
b
m
k srad /4,18
)25,0(4
)07,0(
25,0
85'
2
2
2
0
2ex
ex mmbt
m
2
12
m
bt
e
2
1ln
2m
bts
b
mt 5
2
1ln
2
)2(22
022 exex mm
bt
m
sT 34,0'
2
22
)()(
22 m
bt
m ekxtkxtE
2
1
m
bt
e
2
1ln
m
bt
2
1ln
b
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st 5,2
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232
O movimento oscilatrio descrito como forado quando uma fora peridica aplicada.
Soluo Particular:
Captulo 15 - Oscilaes
Oscilaes Foradas e Ressonncia
matkxtFF )()( 22
0
)()()cos(
dt
txdmtkxtF e
)cos()()( 0
2
2
tm
Ftx
m
k
dt
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teAetx
)(
)cos()()( 02
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2
tm
Ftx
dt
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)()( 22
2
2
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txde
t
ee
)cos()()( 022
tm
Ftxtx ee )cos()(
)(22
0 tm
Ftx e
e
)cos()(
)(22
0
tm
Ftx e
e
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232
A condio de ressonncia ocorre quando a frequncia excitadora e se iguala frequncia natural do sistema, . Nessa situao a amplitude aumenta consideravelmente, ao ponto de promover o colapso da estrutura.
Captulo 15 - Oscilaes
Oscilaes Foradas e Ressonncia
)cos()(
)(22
0
tm
Ftx e
e
Colapso da ponte Tacoma nos EUA. http://www.youtube.com/watch?v=dvRHK4yA8rc
Simulao de Ressonncia
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232resonance_pt_BR.jar
Lista de Exerccios:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 39, 40, 45, 49, 55, 57, 63, 77, 85, 93.
Referncias HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Fsica: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. Vol.2. TIPLER, P. A.; Fsica para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v.1. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Fsica: Eletromagnetismo. 12a ed. So Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v.2.
Captulo 15 - Oscilaes
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232