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7/25/2019 Cap. 06 e 07
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excitada por um pulso retangular de 100 Ib de magnitude e durao de
6rrvmlk s.550 Admitir os seguintes dados no Probl. 5-28, kI = 4 X 103 Ibjpol,
k2 = 6 X 103 Ibjpol, ml m2 = 100. Desenvolver o diagrama defluxo e o programa Fortran para o caso em que o solo sofre um deslocamento
y = 10" senrrt durante 4 segundos.
i)
( )
, )
I )
, )
, )
)
)
)
( )
i )
)
6 )I )
SISTEMAS
DE MUITOS GRAUSDE LIBERDADE
A anlise dos sistemas dinmicos de vrios graus de liberdade complicada por umgrande nmero de equaes e muitas computaes detalhadas. , pois, conveniente
abordar-se o problema de um !]lodo sucinto, que conduzir claramente aos resultados
desejados, sem o embarao do envo!vimento em detalhes intermedirios. A este res-
peito os mtodos matriciais so ideais, pelo fato de que grandes grupos de equaes .
podem ser manipulados com notao sumria. O grande volume de computao ge-
ralmente necessria tem que ser atribudo ao computador digital, sem o qual os proble-
mas (ornam-se impraticveis.
Discutiremos neste captulo as diversas tcnicas matriciais aplicveis vibraodos sistemas dinmicos de muitos graus de liberdade. Inicialmente, vamos examinar
conceitos fundamentais essenciais na formulao das equaes e desenvolver em
notao matricial diversos conceitos relativos teoria da vibrao. Esses conceitosformam a base para o tratamento e compreenso do comportamento dos grandes
sistemas.
O coeficiente de influncia de flexibilidade 0ij definido como o deslocamento
em idevido a uma fora unitria aplicada em j. Com foras fI , f 2 ' ef3, atuando
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= 0, X2 = 1 ,0 e X3 = = 0, so k12, k22 e k32 Portanto, a regra geral para es-tabelecer os elemen tos de rigidez de qualquer coluna fazer o deslocamento Corres-
pondente a esta coluna igual unidade, com todos os outros deslocamentos iguais azero, e medir as foras requeri das em cada ponto.
nos pontos I, 2 e 3, podese aplicar o princpio da superposio para determinar os
deslocamentos em termos dos coeficientes de influncia de flexibilidade.
~I ~. a,,/, - 1 - a'2/2 - 1 - alJ/,
X2 a2,/, -I- a22/2 -1 - 0lJ/'
x, = aJlfl + a'2/2 + a,,/,Exemplo 6.2-)
Determinar os coeficientes de influncia para os pontos (I), (2) e (3) da barra
cantiiever uniforme representada na Fig. 6.2-1.
[
ai,
[a] == a21
aJl
a matriz deflexibilidade.
Se a Eq. (6.2-2) premultiplicada pelo inverso da matriz de flexibilidade
obtemos a equao
I ~ _ . _ - , -. Q,) ,..
Soluo: Os coeficientes de inlluncia so determinados, colocando-se cargas unit-
rias em (I), (2) e (3), como indicado, e calculando-se os desvios nesses pontos. Adotan-do o mtodo* de momento de rea, o desvio nos vrios pontos ti igual ao momentoda curva M/E! em relao ao_ponto em questo. Por exemplo, o valor de az I= aJ 2 encontrado a partir da Fig. 6.2-1 (b) com se segue
. Encontramos deste modo o inverso da matriz denexibilidade, que a matriz de ri-
gidez [k ]
I r - I 7J 14 /'(l,2 EI .2(2/)2 X J/ '~3EI
2 7 / 'a" .,!; EI
8 /'a22 = = 3EI
I /'a" 3EI
14 /'a21 _ ..a 123EI
alJ Gj'},
2,5 /'"3EI
E a seguinte a interpretao dos vrios elementos da matriz de rigidez. Se Xl = 1,0e X2 = X3 = 0, as foras em I, 2 e 3, que so requeri das para manter este desloca-mento de acordo com a Eq. (6.2-6), so k11, kZ1 ' e k31. Da mesma forma, as
) foras fI , f2 C f3, requeridas para manter a configurao do deslocamento XI =
) 1 70
- Egor P. Popov. Inlroduction to Mcchanic, of 50Ii
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4 ]~,5
o teorema de reciprocidade estabelece que em um sistema linear aij = = aji' Para aprova deste teorema, consideramos o trabalho efetuado pelas foras fi efj, no quala ordem de carga iseguido por j e depois pelo seu inverso. Constatamos a recipro-cidade quando reconhecemos que o trabalho efetuado independente da ordem de
earga.
Aplicando fi' o trabalho efetuado ~ fla;;, Aplicando fj' o trabalho
I
efetuado por fj " 2 fJajj' Entretanto, i submetido a outro deslocamentoai/j e o trabalho adicional efetuado por fi torna-se a i/j;- Assim, o trabalhototal efetuado
Exemplo 6.2-2 .
A Fig. 6.2-2 mostra um sistema de trs graus de liberdade. Determinar a matriz
de rigidez.
Soluo: Seja XI = 1,0 e X2 = = X3 = O. As foras requeridasem 1,2e3,consi-derando como positivas foras para a direita, so
fi =k, +k2 "',kll
f2 =--k2 == k 21
f,""O =cc. k'l
fi = --k2 ~,kI2f2 = k2+ k, = k22f, C'C ---k, =., k]Z Para o sistema no-amortecido de vrios graus de liberdade, a equao de movimento
expressa na forma matrcial torna-se
fi = 0= k13f2 =--k, ,~k2)
f, =k, -I- k. =kJJ
!vi [ 1 / 1 :
11
!Jl.n I
-k2
(k2 + k,)-k,
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x~ I ; :"'''00 d'',," 0 0 = 0 0 ," (m", m'I,;"olo",1Xn
Se fizermos agora = i,um autovalor, o detenninante esquerda da equao
ento igual a zero e obtemos
. .Quando no h ambigidade, dispensamos colchetes e chaves e usamos letras mais-
culas e escrevemos simplesmente a equao matricial como A equao acima vlida para todos i e representa 11 equaes para o sistema de
1 1 graus de liberdade. Comparando esta equao com a Eq. (6.4-3) para o modo
i-simo
M-I/l! ,,,I (uma matriz unitria)
A1 -IK =A (uma matriz dinmica)reconhecemos que a matriz adjunta, adj [A - /], deve consistir de colunas, cada
uma das quais o autovetor Xi (multiplicado por uma constante arbitrria).
Exemplo 6.41
Considerar o sistema da Fig. 6.4-\(9.4-2)
W2, a Eq. (6.4-2)Admitindo o movimento harmnico X = -' ;\X, onde ~,torna-se
a-:X,
que aequao caracteristica do sistema. As razes i da equao caracterstica so
denominadas autovalores e as naturais freqncias do sistema so determinadas a
partir da igualdade[111 O J { ' ~ ' } [ 2 k - k J { X ' } _ { O }O 2111 Xl -k 2k x 2 O
Pela substituio de i
na equao matricial (6.4-3), obtemos o perfil de modo cor-
respondente Xi que denominado o autovetor. Nestas condies, para um sistema
de n graus de liberdade, h n autovalores e 11 autovetores.
possvel tambm achar os autovetores a partir da matriz adjunta (Vi de Apn-
dice C) do sistema. Se, para efeitos de conciso, adotarmos a abreviao n == A - I e comearmos com a definio do invcrso
[
-I ]- OmM-I.o O ~
2m
n-I =D n adj B i~(2~ ).) k I r : )111 J IIA) . l x ,
' Ok ( k
-)- -m111
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' .- 3~ I 2( ! . . . ) ' ~ -o111 2 111
de onde so' tirados os autovalores
1 0,634 ~m
2 = 2,366 ~m
Os autovalores podem ser determinados atravs da Eq. (b) pela substituio dosvalores acima de . Desejamos, entretanto, ilustrar o uso da matriz adjunta no seuclculo.
A matriz adjunta da Eq. (b)
[
- ( ! . . . - - X )/11 '
k. 2111
[0,366
0,500
1,000J!..
1,377. m
[0,732
1,000O,732J {0,732}
ou X =1,000. 1 1,000
De forma semelhante, quando usado 2 = 2,366 k/m, o segundo autovetor obti.do da coluna correspondente da Eq. (e)
X ={-2,7312 I , oo i
A Fig. 6.42 mostra os dois modos normais.
A seguir mostramos como os modos normais, ou os autovetores do sistema, podem
ser apresentados como ortogonais em relao s matrizes de massa e de rigidez.Seja a equao para o i-simo modo
A seguir, comear corn a equao para o j-simo modo e premultiplicar porX 'j, para obter
Visto que K e M so matrizes simtricas, as seguintes expresses so vlidas"
X~MX, =X;MXj
X;KX, =X:KXj
Assim, subtraindo a Eq. (6.5-3) da Eq. (6.5-2), obtemos
= (. , - j}X;M XI
Se j = I' j, a equao acima requer que
X;M Xj =t t ambm evi dent e, vi st a da Eq. (6.5-2) ou (6.5-3), que em conseqnciada Eq. (6.5-6)
As Eqs. (6.5-6) e (6.5-7) definem o carter ortogonal dos modos normais.
r:ina\mcntc, se i=j, a Eq. (6.5-5) satisfeita por qualquer valor f1nito dos
produtos apresentados pelas Eqs. (6.5-6) ou (6.5-7). Portanto, fazemos
Estes valores so denominados massa generalizada c rigidez gneralizada, respecti-
vamente.
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Quandp s
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( x , .1'1 .\.)),
P' (X, XL X))l C~ [X, X ; X )]" (6.7-2)
( x , XL X)}J.
(XJ) [X,J = O
l, podia s.eobter
com cada linha correspondendo a um modo. Se agora fonnamos o produto PM Pou P'KP, o resultado ser uma matriz diagonal visto que os termos fora da diagonalexpressam simplesmente relaes de ortogonalldade que so zero.
Como um exemplo, consideremos um sistema de dois graus de liberdade.
Efetuando a operao indicada com a matriz modal, temosP'MP c. [X , X L)'[M ][X , X2]
[X'IM XI X'. MX2J
~ ~ X 'l M X, X ~" IX LA Eq. (6.6-2) nos mostrou previamente que X, e X2 no so nicos, c que qual-quer combinao linear de Xl e X 2 satisfar tambm a equao matricial original. =[:':J
Na equao acima, os termos fora da diagonal so zero, em raz~ da orto gonalidade,
e os termos em diagonal so a massa generalizada Mi.
evidente que uma formulao semelhante aplica-se tambm matriz de rigi-dez K,que resulta na seguinte equao
Verificamos no Captulo 5 que o acoplamento esttico ou dinmico resulta da esco-
lha de coordenadas e que, para um sistema no amortecido, existe :.1mgrupo de coor-
denadas principais que expressa as equaes de movimento na fonna desacoplada.
Tais coordenadas desacopladas so desejveis, uma vez que cada equao pode serresolvida fndep~ndentertlente das outras,
Para um sistema de massa concentrnda de muitos graus de liberdade, as coorde-nadas escoIldas em cada ponto de mllS~nresultaro numa matriz de massa que diagonal, mas a matriz de rigidez conter termos fora da diagonal, indicando acopla-
mento esttico. A escolha de coordenadas de outra maneira importar em acopIa-mento dinnco ou tanto dinmico como esttico.
possvel desacoplar as eques de movimento de um sistema de n-graus de
liberdade, desde que conheamos previamente os modos nonnais do sistema. Quan-
do os n modos normais (ou autovalores) so reunidos numa matriz quadrada, comcada modo normal representado por uma coluna, ns a denominamos dematriz mo-
dai P. Portanto, a matriz modal para um sistema de trs graus de liberdade apresenta-se como
[
KP'KP = c O I
Os termos em diagonal aqui stfo lirigidez generalizada K ,.Se cada uma das colnas da matriz modal P dividida peia raiz quadrada da
massa generalizada M io a nova matriz denominada matriz modal ponderada e s~u
smbolo P~ fcil de se ver que a diagonalizao da matriz de massa pela matnz
modal ponderada resulta na matriz unitria
Visto que K/Mi = j,a matriz de rigidez tratada de forma semelhante pelamatriz moda! ponderada torna-se uma matriz diagonal de autovaIores.
1; 1 , 0 ' ' .
~ n - ] ' APK P o" [ X I )r i )r " )1 ; : , 1 ; :J ; : J
A matriz moda! torna possvel incluir-se todas as relaes de ortogonalidade da
Se. 6.5 numa equao. Para esta operao precisamos tambm da transposta de P,.que
180
Consideremos o sistema simtrico de dois graus de liberdade representado na
Fig.6.7-1. A equao de movimento na forma matricial
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rm 0 J { ' \ ' ' } I - r2 k1 0 !li.\' 2 [. - kSe a matriz de amortecimento C proporcional matriz de massa ou matriz derigidez, ou a uma combinao linear das duas, o amortecimento ent6 denominado
amortecimento proporcional e pode ser expresso como
onde Q e iJ so constantes.
Para o caso do amortecimento proporcional, as equaes de movimento repre-
sentadas pela Eq. (6.8-1) podem ser desacopladas, quer pela matriz mo dai P, quer
pela 'matriz modal ponderada P- do correspondente sistema vibratrio livre. Usando
}~ seja
t--x
, :1- -x
,
Figura 6.71.
x - i'Y (6 .8-3)'\
onde Y outra matriz coluna. A Eq. (6.8-3) representa uma transformao de eo-ordenadas de X para Y. Substituindo a Eq. (6.8-3) na Eq. (6.8-1) e premultiplican.
do por P, obtemos
{X I } { I } { X I } { - - I }X, J, I' X,), I
A massa generalizada para ambos os modos 2m, e a matriz modal e a matrizmodal ponderada so
Com C igual Eq, (6.8-2) e admitindo as Eqs. (6.7-5) e (6.7-6), a equao acimatorna-se
I 1 I. .)2/)1 .J
{X I } ' [ 'x, == ..)1m I
- ; I J t J Visto que todos os coeficientes do lado esquerdo desta equao so matrizes diago-
nais, a Eq. (6.8-5) representa um grupo de equaes de segunda ordem desacopladas
da formae preniultiplicarmos por P' para obter
P'MPy! J"KJ'Y. O
A soluo das equaes acima pode ser efetuada de modo satisfatrio pela transfor-
mao Laplace.
Se a matriz de amortecimento no proporcional, as equaes de movimento
, sero acopladas pela matriz de amortecimento, e o grup6 de equaes deve ser resol-
vido simultaneamente ou pelo mtodo espao-estado da Se. 6.10.Assim, a Eq. (a) foi transformada na Eq. desacoplada (e) pela transformao de
coordenadas da Eq. (d). As coordenadas YI e Y2 so denominadas como
coordenadas principais ounormais.
6.8 VIBRAO FORADA E DESACOPLAMENTO DE COORDE-NADAS
Na vibrao de modo normal, todo ponto do sistema,est sujeito a movimento har-mnico e passa pela posio de equi1Jbrio simultane~ente. Vimos que tal movi-
mento possvel no caso da vibrao livre no-amortecida.
As equaes de movimento de um sistema de n graus de liberdade com amorteci-mento viscoso e excitao arbitrria F(l) podem ser apresentadas na forma matricial
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o tipo modo normal de vibrao possvel tambm num sistema amortecido,se ele excitado por um nmero de foras harmnicas igual ao nmero de graus de
liberdade do sistema. Para mostrar isto, consideramos um' sistema viscosamente amor
tecido de n graus de liberdade, excitado por foras harmnicas de freq,ncia w.
Sua equao de movimento
tg 0 ip :) ; ([ k ] . . [ 1I I ]W2) (X) , '- w fX I' Jc] (Xl i ,~O
tg O JX ); {[k ] [m ]w 2) [X L' - w [X Uc ][X L o::O
Em face da simetria de [1 1 1 ], [ k] ,. e [ e] , obtemos ento, subtraindo, as seguintes
relaes para tg O i * ' tg Oj(X L([k ] . [ m ] w 2 ) [ X ) , , . O
(X} ; [ c ] [X) , ~=O
(6.96)
(6.9-7)
Vrios investigadores tm examinado tal problema. * E suas concluses so nosentido de que para uma determinada freqncia w, existem 11 solues do tipodescrito pela Eq. (5.92), onde cada um desses modos associado com uma fase defi-ilida 0i e uma distribuio do vetor fora {Fli que requerida para a sua excita-
o. A resposta sob estas condies denominada modos Ilormais forados do sis-
tema amortecido, em que todo o ponto no sistema move-se em fase e passa pela sua
posio de equilbrio simultaneamente em relao aos outros pontos. Tal como no
caso da vibrao livre no-amortecida, existem relaes de ortogonalidade entre os
modos.
Transformao de Coordenadas. Simplificao considervel resulta da transformao
de coordenadas, utilizando-se ou a matriz modal [P ] do sistema no-amortecido ou a
matriz modal normalizada ponderada [F], que a matriz modal [P ] com as isimas
colunas divididas pela raiz quadrada da sua massa generalizada ( {Xl[m] {XlYI1
(Vide Se. 6.7). S a transformao
Se levamos a Eq. (6.9-2) Eq. (6.9-1) e igualamos os coeficientes dos termos
semelhantes, obtemos as,duas equaes
[([k]- [m](2) sen O _.c. [c]w cos O ][ X) (O)
[ ([ k ] - - [m](2) cos fi -I- [c)w sen 0 ] [ X ] C ~ =f. F I(6.9-3)(6.9-4)
L , l . , [P ] '[k][J '] =' quadrados das freqnciasnaturais no-amortecidas
[C) .~ [1']'[c][1'] =' matriz de amortecimento simtrica
til- [1']'[m][1'] =' matriz unitria
evidente que h /I valores da tg i correspondendo aos /I autovalores daEq. (6.9-5), e que para cada tgO i h um autovetor correspondente { X h - As necessrias funes que foram {Fli so obtidas ento pela substituio de 0i e {X li
na Eg.. (6.9-4)., .Obtm-se as relaes de ortogonalidade reescrevendo a Eq. (6.9-3) para os
i.simos autovalor e autovctor, premultiplicando pela transposta do j-simo autove-
tor, e repetindo o processo com ie f intercambiados.[t11 t g ~ - - ( t{X ;-~ w 2]rC)]( y l
o~ O
[(t,l--- w 't 11) cos ~ -I- w[C] sen4>H Y} =[,i']'[F}[ Y ] ; ( t J . , l - - t 11w')( Y L '- .~ O[ Y);[ C ll Y1 .' O
IYJ;[1']Vl O
(6.9-12)
(6.9-13)
(6.9.14)
(6.9.15)
(6.9-16)185
B. M. Fracjis de Vcubckc. "Dphasagcs Ch~lmctcristiql:c~ ct Vibration~ Forcs J'un Sy~-
tme Amorti':, Acadmie Royale de Belgique, Ilulletil de Ia Ctasse des Seionce" Series 5. Vol.
XXXIV (1948), pg. 626.
184 \
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Se a matriz modal rp] usada no lugar da matriz normalizada ponderada [P],
ambas as matrizes de massa e de rigidez sero diagonalizadas, mas a matriz de massa
no ser unitria.
Exemplo Numrico
A Fig. (6.9-1) apresenta um sistema de dois graus de liberdade euja equao de
movimento
~ J { ~ : } !'{~I- - I J " I X ' } , i2
I
l x , - ,. ~-I
--I {'~'}
2 .\,
{ ~ JsenWI
0)'//1---r1(/)'//1 .- J L
, I . .--i;
Para obter valores' numricos, necessrio especificar a freqncia de excita-o w ou W2m/k. Para W2m/k = = 0,50, obtemos
k).,=-m (
: S .) =' Ix, ,
(: S . ) =_]
x, 2
li, . 1,105 J L , 2,895
Y L "2,24
. Y L ,c o - 2,24
c o a 1,00
. k
).,=3-m
Visto. que a massa generalizada 2 hz para ambos os modos, a matriz modal e amatriz normalizada ponderada so Essas quantidades satisfazem as relaes de ortogonalidade das Eqs. (6.9-14) e
(6.9-15). A Eq. (6.9-16) nos permite achar a razo de foras. A equao
IY];"(I']'(F],,, [ P ] = [ : ~ I JUsando [.p], temos
- I [IP - -- -r ] - ,flm 1
k[ I 0 Jt /l = m 3e[I - IJ[e] =2m _I 5
-T----T-~lI I ii
,
1 4 mw'
I k. ,- i
r
i
m' mI--
me ktg c/J--
2k
l o ,
_I I , i
I ,
1',/1', 1---2---.J~
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resulta em (Fi/F2 )1 1 1resulta em
Para esta reformulao, a cada uma das variveis originais e suas derivadas so atri-
budas novas variveis, denominadas por variveis-estado, e por esta razo segundas
derivadas tornam-se primeiras das novas variveis-estado. Embora este processo redu-
za a ordem das derivadas, ele dobra o nmero de variveis, resultando da aumento
no trabalho de computao. Nestas condies, o uso do computador digital indis-
pensvel para a computao numrica.Finalmente, atravs da transformao (n= = [P] {Y} achamos as amplitudesreais {X}
{0,382}
[X L , ~c 1,000 {2 , 6 1 }(XL , - ,1,00 1
x,t . ckA fim de completar o problema, outras freqncias W2 m/k tm de ser escolhi.
. das e repetida a computao acima. As Figs. 6.9-2 e 6.93 apresentam os grficos das
razes de foras e amplitudes para os dois modos.
I-J,
Exemplo 6.1 O-I
Considerem'os o sistema amortecido visco-elasticamente da Fig. 6.1 0-1. O siste-
ma difere do viscosamente amortecido pela adio da mola kl que insere urnanova coordenada Xl no sistema. As equaes de movimento para o sistema
em coordenadas inerciais X e X1 so
}}IX c, -kx-- c ( . o( - " .0(,) -I- F
O e ( X . . - .\ - ,) - - k , x ,
{ 1 ~m
( J. . ~.
c
XI 2,
:( I Z 1
No caso mais geral de inexistncia de amortecimento proporcional, o sistema de
equaes de segunda 'ordem da forma da Eq. (6.8-4) no pode ser desacoplado, a
no ser que elas sejam reformuladas em termos de equaes de primeira ordem.188
x o-~: :2
. \' ec, ::J , .- _
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Esta equao aparentemente simples, nada tem de simples na realidade e re-
quer tratamento numrico considervel, que apresentado na prxima seo.
CAI =,e-'[s I - A r'c= ,e_,adj[sl- A ]
IsI- AI
evidente aqui que as razes Sj da equao caracterstica IsI - A I =O devem sercalculadas e que o lado direito da equao, aps o processo de inverso, ser uma ma-
triz quadrada, cujos elementos so e Sjl multiplicados por constantes. Se razes repe-
tidas esto presentes, terinos tais como teSjl aparecero tambm na matriz.
onde
' + 1 " ~ 1 ~ 1-
- I X O I
e A O O I
- / 3 -w G Om
Soluo 2: Podemos examinar tambm a soluo par~ a equao espao-estado
como um problema de au tovalor, autovetor. A equao caracterstica fornece os
autovalores
e os autov~tores so tirados de uma das colunas da matriz adjunta adj [M - A] com
" j para o i-simo modo.Antes de prosseguir com este problema, introduzimos aqui uma tcnica de dia-
gonalizao que ser essencial solus:o. A equao homognea da Eq. (6.10-5)
escrita primeiro para o i-simo modo como
A soluo desta equao de primeira ordem bem conhecida e pode ser expres-
sa na seguinte forma feehada
Soluo 1: Consideremos a equao homognea
i =Az
onde se supe que os autovalores sejam distintos.
Existem n (para este problema, n = 3) equaes como esta que rearranja-remos como
o termo eA t, nesta equao, requer interpretao. Um processo seria considerar asoluo pcla transformada de Laplace da equao homognea e comparar os resulta-
dos. Fazendo z(s) a transformada de Laplace do vetor coluna z, obtemos
Essas n equaes matriciais podem ser reuilidas numa nica equao matricial em
termos da matriz modal P e uma matriz diagonal dos autovalores definida como
] .de onde conclumos que
190
(6.10-16)191
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a qual pode ser facilmente verificada como fi equaes do tipo designado como
Eq. (6.10-14). Obtemos, se a equao acima premultiplicada por p-1
P-IAP =1\
e a matriz A diagonalizada em termos dos autovalores do sistema.
Voltando agora soluo da Eq. (6.1 0-5), introduzimos a transformao decoordenadas
6-2 Estabelecer as matrizes de rigidez e flexibilidade para o Probl. 6-9.
6-3 Uma barra uniforme de comprimento I, simplesmente apoiada, carregada com
pesos nas posies 0 ,251 e 0 ,61. Determinar os coeficientes de influncia deflexibilidade pra estas posies.
Py=PAY+1I
Premultiplicando por P-1 , temos
y =P-'AP)' - + P-III=~Ay + P-'1I
A Eq. (6.10-20) est agora deacoplada, c' a soluJo para Yipela transformao Laplace.
Considerando somente a equao homognea
y =, Ay
6-4 Determinar a matriz de flexibiJidade para a barra ~antilever representada na
Fig. P.6-4 e calcular por meio de sua inversa a matriz de rigidez.
6-5 Considerar o sistema com fi' molas em srie, como se v na Fig. P.6-S, e mos-
trar que a matriz de rigidez uma matriz faixa ao longo da diagonal.
(Y ' ) _ [ e " ' . O
)'2 -. O e'"
Yl _ O O
O] ( ) ' I )O Y 2e,h t Y3 o
Para transformar as coordenadas originais, notemos que Y
Eq. (6. I0-22) e premultiplicando por P, obtemos
6-6 Determinar a matriz de flexibilidade para o sistema do Probl. 6-5.
6-7 Utilizando a matriz adjunta, determinar os modos normais do sistema mola-
massa indicado na Fig. P.6-7.
6-1 Deterrminar a matriz de rigidez para o sistema representado na Fig. P.6- I e
estabelecer a matriz de t1exibilidade pela sua inversa.6-S Para o sistema indicado na Fig. P.6-S, escrever as equaes de movimento na
forma matricial e determinar os modos normais a partir da matriz adjunta.
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6.9 As duas barras unifonnes indicadas na Fig. P.6-9 so de comprimentos iguais'
c de massas diferentes. Determinar as equaes de movimento, as freqncias
naturais e os perfis de modo usando os mtodos matriciais. 6-15 Para o sistema indicado na Fig. P.6-1S, escolher coordenadas Xl c X2 nas ex
tremidades da barra e determinar o tipo de acoplamento resultante.
4
Figura P.6-9.
/-~
2
6-10 Mostrar que os modos normais do sistema do Probl. 6-8 so ortogonais.
6.11 Verificar a relao da Eq. (6.5-7)
XjK Xj =
6.16 Escrever as expresses para as energias einticas e potencial do sistema repre-
sentado na Fig.P.G-1S para outros grupos de coordenadas e notar que o acopla-mento existe se produtos cruzados de coordenadas aparecem em T ou em U.
6.17 Determinar a matriz modal P e a matriz moda! ponderada P para o sistemaindicado na Fig. P.6-17 e diagona!izar a matriz de rigidez, desacoplando desse
modo as equaes.aplicando-a no Probl. 6-8.
6-12 Comeando com a equao matricia!
K< Ps =wsMifis
k k k
~1-x ~x
I %premultiplicar primeiro por Klvf-I e, usando a relao de ortogonalidade
< p ;M !f;s = 0, mostrar que
6-18 Determinar P para o sistema do Probl. 6-14 e desacoplar as equaes.
619 Determinar P para o pndulo duplo com coordenadas ()1 e {)2' Mostrar queP desacopia as equaes de movimento.
6.20 Determinar pelo mtodo de transfonnao de Laplace a soluo para o proble-
ma de vibrao forada apresentado na Fig. P.q-20.
para h = 1,2, ... ll, onde II = nmero de graus de liberdade do sistema.
6-13 De forma semelhante ao Probl. 6-12, mostrar que
Fscn wt
~k ;t-;k ~k
Xl ';26-14 Det.crminar a matriz modal P c a matriz modal ponderada jf para o sistema
indicado na Fig. P.614. Mostrar que P ou P diagonalizar a matriz de rigi
dez.
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6-21 Determinar a matriz de amortecimento para o sistema apresentado na
Fig. P.6-21 e mostrar que ela no proporcional. (- 11,351
I 1,0 I- 3,676.
6-27 Se 1..2 = = -0,1619 + i10,43 substitudo em adj [A - !J do ProbL6-24,
mostrar que cada coluna fica reduzida ao segundo autovetor que
1,00
0,1(,19
;0,338 I
! iIO ,43(6-22 Usando a matriz modal P, reduzir o ProbL 6-21 a outro que seja acopIado
apenas por amortecimento e resolver pelo mtodo da transformada de Laplacc.
6-23 Determinar a resposta do estado permanente forado do sistema indicado naFig. P.6-23.
[
- 11,35
P = = 1,00
- 3 ,676
0,876 + iO,3381,00
- 0,1619 + il0,43
0,876 - iO,338]1,00
-0,1619-il0,43
6-29 Mostrar, pela compara;To do sistema viscoelstico da 'Fig. 6.10-1 eom o sistema
amortecido viscosamente, que o amortecimento viscoso equivalente e a rigidezequivalente so
( ~ , ( ) Z
(k, Ik J ( c r ;lI : (~ ~ )Z
~ ".10,m
Deterntinar a matriz do sistema [ - 1J.
6:25 Para o Probl. 6-24, mostrar que a adj [A - !J 6-30 Considerar um sistema viscosamente amortecido de um grau de liberdade
[
( . . 1 . 2 - I - 100)
-10
-10. .1.
~IOO. .1 . (4- I - . .1. )1 10
-100(4 -1. .1.)
. . 1 . ]
(4 -1..1.)
. .1 .( 4 - 1 - ..1 .) e express-I o na equao matricial estado.espao .
6-31 Resolver a equao estado espao do Probl. 6-30 e comparar com a SOluo daequao de segunda ordem.
Usando 1, mostrar que cada coluna da matriz adjunta proporcional ao au-
tovetor de modo I, que pode ser reduzido para
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16/48
SISTEMAS
DE PARMETROSCONCENTRADOS
7
Quando sc torna grandc o nmcro de graus dc libcrdadc dc um sistcma, aumenta a
dificuldadc para a obtcno dc rcsultados numricos. Para sc tcr a soluo prcciso
confiar no computador clct;nico de alta velocidade. Embora o problema de achar
os auto-valores e autovetores de uma equao matricial seja tratado rotineiramente
pelo computador eletrnico, h processos de aproximao e outros alternativos que
so muitas vezes proveitosos. De modo particular, til o conceito dc fragmentar-se
um sistema complicado em subsistemas com propriedades clsticas e dinmicassimples, no sentido de tornar abordveis sistemas cujas solues aparecem obscure-
cidas em complexidade.
Neste captulo sero discutidas e ilustradas COmexcm plos simples as idias
bsicas desses processos.
Dois processos alternativos so disponveis para o problema do autovalor e autovetor.
A equao matricial
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pode ser prime iram~ nte prem ultipli cada por llrI, e com a suposio de movimen toharmnico X =o -X, onde =o W 2, obtemos a equao
,[ I ' ( " '~ ) I I r X I ( )r I
onde A -I igual matriz quadrada no lado direito da Eq. (7.3-1).
A equao caractcrstica representada pelo determinanteA matriz A =o M-
1K na equao acima freqentemente chamada amatriz sistema,
visto que dadefine todas as propriedades dinmicas do sistema.
Corno uma a l te rna tiva para a equao acima, podemos p remul tipj icar aEq. (7.2-1) por K-1 para obter a equa o
( " , , / 1 1 , ~,) (o ,,/li!) (["I/l,)([!I/II,)
( (/2211!2
d ,) (a "I/l,)/ ( 0 , , / 1 1 , ) (1l,,1II J ( l i .I.l'JlJ "J,))-onde A -I = K-
1M e K -I a /lU/triz de flexibilidade /11 I. Assim, a equa.To
c~radcrsticJ que fornece o~;autovaJores pode ser expressa nas duas formas seguintes que, ao expandir-se, conduz a unw equa.To de terceiro grau em (J /(2)
(I ',\
w ,)
Se as r; izes desta eql:acu'o $;T(; ] !w~. Ji(,J~ c J /wi, a cqUJO acima pode 50fatorada da form.: ;;q:ll;nJcA equao (7.2-4) baseada na formulao da r igidez, enquan to na Eq . (7.2-5) a
forrnula"'o baseada na flexibilidade. A .primeira equao eonduz a urna equa.To
Jigb;ica de n-simo grau em =o W2, enquanto a segunda equau resulta numaequafio algbrica de Il-simo grau em -I =o w-2.
i \! I(~)T/ \(u " : :
7.3 MfTODO DOS COEFICIENTES DE INFLUENCIA CJA Eq. (7.2-3) uma forma abreviada das equaes de movimento formuladas na base
ds coefieientes de influncia de flexibilidade. Desejamos agora apresentar os de-talhes desta equao para exame posterior.
Comeando com a Eq. (6.2-1), que repetida abaixo
xJ a"/, - J ([,,/2 ,j.11 , , 1 ,
X2 a 21/, I ([,,12 I,a"I"X3 C.C a3,1, -/-an/2 I, 1133/3
evidente aqui que o coeficiente de (l/W 2)2 igual soma das razes da equao
carac te r st ica e t ambm igual soma dos te rmos da d iagonal de A -I, q ue chamuda o trao da matriz (Vide Apndice C)
Exemplo 7.3-1
Usando os coeficientes de int1uncia do Exemplo (6.2-1), determinar a equo
matriciaJ pura os modos normais do sistema indi~ado na Fig. 6.2-1.
supomos o movimento harmnico e substitumos as foras li pelas foras de inrcia
-~m;J.:; =o W2/1l;X;. A Eq. (6.2-1) toma-se ent.To
1 " ) (J, ,/li,
{/I~'nz a I 3/11,
r i(' 0)' a21 '11 1 { / ~2JJ12 O:nI11] .\, (7.3.1)xJ { [ J ! 1J11 ti J 2'11 ' 2 (J.lJ/H.l XJo u
200
Solua: o inverso da matriz do sistema A A- J :=K-'M ccc [aJM
12 7 1 4
13~ . =3E I 14 8.. 4 2,5
4 ]I m J
2,5 O
I . O
")
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)~
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I
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1 . \ )
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No caso do sistema conservativo de um grau de liberdade, encontra-se a freqncianatural igualando o mximo da energia cintica ao mximo da energia potencial.
Rayleigh mostrou que este processo pode ser aplicado tambm a sistemas de maiores
graus 'de liberdade, contanto que se admita uma razovel distribuio da def1exo.
O mtodo discutido a seguir de modo conveniente, em termos de notao matricial.
Sejam M e K as matrizes de massa e rigidez e X o vetor de deslocamento
admitido para a amplitude de vibrao. Considerado o movimento harmnico,
so as seguintes as expresses dos mximos das energias cintiea e potencial
n [ 2 1
14
4
r ' o
l r Jw'[J
8 2,5 o o x,: : = 3E I 1:
111,
2,5 1 o o I/lL x,
Exemplo 7.3-2
Dada a equao
Este quociente aproxima-se da mais baixa freqncia natural (ou freqnciafundamental) do lado alto, e seu valor de algum modo insensvel escolha dasamplitudes admitidas. Para mostrar essas qualidades, expressaremos a curva dodesloamento admitido em termos dos modos normais Xi na forma seguintex all a",
x, a" a2J
f,=x3 aJ2 G33lal
la22 G " I
k ~C~~11 IGI
onde termos cruzados da forma X;KXj e X;MXj foram eliminados pelas condi-
es de ortogonalid'lde.
Todos os outros termos podem ser determinados do mesmo modo. Deve-se notar
que o processo acima simplesmente o da inverso da matriz [ a ) .
101m \V. Strutt, Baron Rayleigh, The Thcory 01' Sound (2~ cd, rcv.)(Nova Iorque: DovcrPublcations, 1937), Vol. I. pgs. 109-10.
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Quando X ': expresso em termos dos modos normais CO!1l0 :U1tC::,'i' "ondiiesde ortogonal idadc e l imina ro novamente todos os t e rmos p , lr a ' " qua is i 'F i,e a estimativa da freqncia fundamental torna-se
' \ I ' C ' ((V i(J)l - I '-----j,. \(ui
U m a v ez q ue ( I w; /cj ) menor que ( wJ jw ; . - 1) onde "'i> Wl, aEq. (7.4-9) resulta i luma estimativa melhor ,h freqncia fund:Jt"lelltaL
Desejamos estender nesta seo o mtodo de Rayleigil ;lS vibraes de barras.
Seja:n /Il a massa por un idade de comprimen to ao longo da ba r ra e y a amplitudeda eurva de deflex,]o admitida, a energia eintiea expressa pela equao
T",,, 1J . i " dl11 - lw ' J Y' dl11onde w a freqncia fundamental em radianos por segundo.
1\ energia potencial da barra determinada pelo trabalho a que foi submetida
e que nela est acumulado como rnergia elstica. Sendo M o momento de fl exo eO a inclinao da curva el,stica, o trabalho efetuado igual a
U lr M dO
I) X ' l~fX, I " , 1,X',/v IX, '
evidente, ento, que W2 maior que w; por ser wjjw; > I , V isto que C2representa o desvio das amplitudcs admitidas em relao ;lS amplitudes cxalas Xl,
o e rro na f reqncia eomputada somente p roporc ional ao quadrado do desv io
das amplitudes admitidas em relao aos seus valores exatos.
Esta anlise mostra que se admitida a deflexo fundamental exata (ou modo)X" a freqncia fundamental encontrada por este mtodo ser
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onde EI a rigidez flexional da barra e R o raio de curvatura. Com a substituio
de dO e l/R , U pode ser expressa como
Exemplo 7.4-2
Se a distncia en tre. as ex trem idades da barra da Fig. 7.4-2 fixada rigidamen te,
um esforo de tenso a surgir em conseqncia da deflexo lateral. Conside-rar este adicional trabalho de deformao na equao de freqncia.IfM 2 If ( d 'Y ) 'Umu = 2" EI dx =~ 2" EI dx2 dx
Igualando as duas energias, cintica e potencial, a freqncia fundamental da barra
determinada pela equao
f EI(d2y/dx')' dx(02="--------
f y' dmExemplo 7.4-1
Aplicando este processo a uma barra simplesmente apoiada, de seo trans-
versal uniforme, indicada na Fig. 7.4-2, supomos que a def1exo seja repre-
sentada por uma curva senoidal de frmula
Y =( Y o senn t) sen WI .
onde A a rea da seo transversal, a o esforo de tenso, e E = 1/2 (dx/dy)"
a unidade de deformao.
Igualando a energia cintica ao total do trabalho de deformao da f1exo e
tenso, obtemos
I j " . IJ ( t l2)')' IJ E A ( < l I ' ) 4-(j)' )" dl1l c.. -- EI -,
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onde Yo =P[3/3EI a ampliluue da '?xtremidade livre. a rigidez nesle ponlovem a ser k = P l .vo = 3EI/IJ. 1\ ~nergia pOlencial que igual ao trabalhoefeluado, enlo
:'El .2/J ~)'i)
Exemplo 7.4-4
Para ilustrar o uso desta equao, vamos determinar a primeira aproximaau
para a freqncia fundamental de vibra,lo lateral para (} sistcma indicadona foig. 7.4-4.
A energia cintica determinada a seguir pela integra,lo de urna metade do
iJrouuto da massa e o quadrado da velocidade, sobre o comprimento da barra
= = 8 = '= = '[ " ,3U ' " , . f(i) C D
Il'
( O ) \ ' o ) " j " I
( X ) ' Y')- 13-.....g \ ~ ()L I I (\.),n,,'j 1 tlx.1\ ( : ' 3 1 1 " ) , . ,2 T 4 :;'; (J).J o
A equao acima indica que para a curva de detlexo suposta, a barra contnua
de w I b/p equivalente em caractersticas de vibrao barra sem peso com umpeso (33/140w/) concentrado na extremidade.
Igualando as duas energias, a freqncia fundamental de vibrao em radianospor segundo a seguinte
Com referncia Fig. 7.4-5, a detlexo em qualquer ponto x. devido a uma
carga concentrada W, s distncias a e b das extremidades, pode ser determinadapela equao
que pode ser eneo,ntraua em qualquer livro pauro sobre resistncia dos materiais. *As detlexes nas cargas podcm ser obtidas pela superposio 'das duas cargas, mos-trada na Fig. 7.46
1 " :'OO
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,I' =500 X 8 X10(18' _ 10' _ 8') X 12' = 103,OXIO'poiJ'l 6 X 18 X EI EI .
"= 500 X 8 X 5(18' _ 5' __ 8') X 12'c 2~ x l2 .': l'oiy, 6 X 18 X EI EI , .
10'y, =148 X EI'
10'y,=116x--
EI Figura 7 . 4 - 7 . Diagrama de corpo livre
do elemento da 'barra_
Soluo: Se utilizamos a Eq. (7.4-11), vamos chegar a um resultado errado, visto
que a curva acima no satisfaz as condies de contorno na extremidade livre. Usando
a Eq. (7.4-11), obtemos= )~ = )386(500 X 148 -I- 300 X 116)EIw 1 I;W y' (500 X 148'+ 300 X 116')10'
- c . 0,00 17-/El rad/s
Se outra exatido desejada, pode-se ter uma melhor aproximao curva dinmica
pelo emprego de cargas dinmicas no lugar de pesos estticos. Uma vez que a carga
dinmica m w'y, que proporcional deflexo, podemos recalcul-Ia com ospesos modificados W, e W, (Y'/Y I)'
o processo resumido na seo anterior conduz a resultados aceitveis, utili-zaI1do-se a curva dada.
o coneeito de cargas dinmicas pode tambm ser usado, comeando comuma curva muito mais simples que a esttica. Supondo-se que tal curva seja y(x),
a carga dinmica por unidade de comprimento w'm(x)y(x) que deve igualara mudana em cisalhamento ao longo da barra.
V(e;) w'1 : /IIe' de ; W'/IIl' (/'3
M(.\) rV() d- W '; I I Cr(I'. ')de;'c ~~le(31' --- 41'xl x4)
Substituindo M(x) em Umax, temos o trabalho mximo de deformao
eomo indicado na Fig. 7.4-7. Uma vez que dM Vdx, encontra-se o momento
M pela integrao e substituindo na equao
l ' f M 'Um ~= 2" EI dx__I (w'me)' f I 4 , 4 ,U mu - '5 . E 7 12 O ( 31 - 4 1X -I - X ) dx
W4 m'c'312=2EI 144 ffi I"
que ento proporcional a W4. Na realidade, a equao de Tmax no to sensvels inexatides da curva admitida, quanto o trabalho de deformao que depende
da curvatura, podendo muito provavelmen te estar em erro e por isso deve ser computada eom cuidado. f
i'
J I '11Tmu '~, i y 'm dx ,~- ie 'w 'm ; ,' d x= ie2w211J 5O, o .
Determinar a freqncia fundamental da barra cantilcver uniforme indicada
na Fig.7.4-8, utiliz~ndo a curva simples y. =cx'.W, = ,J12,47 EIlml4 == 3,53,JEIlmI4
que muito prximo do resultado exato.
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o limite superior para a freqncia fund:unental dado pelo princpio de Rayleigh,que complementado pela frmula de Dunkerley da qual decorre o limite inferior.As Eqs. (7.3-3) e (7.3-4) mostram claramente que a seguinte a rela:To para umsistema de l1graus de liberdade
freqncia fundamental da estru.tura mais excitador,freqncia fundamental da estrutura sozinha,
freqncia natural i cxci tador montado sobre a e s tru tu ra113 ausncia de outra, massas.
I I I'W' 1 w' 'I '" 'I w'J, n f convl;niente, algumas vezes, "prcscntar esta equao sob outra f6rma, por
exemplo
Uma vez que aii o coeficiente de influncia igual detlexo em i, resul-tante de uma un idade de ca rga nesse pon to , sua rec p roca deve se r ( ) coef ic ien tede rigidez kii igual fora por unidade de deflexo em i.Tambm
onde m2 a massa do P l'SO wncen trado ou exc itador e a22 o coeficientede influncia da estrutura no ponto de liga:To do excit
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Exemplo 7.55
A freqncia fundamental de uma viga uniforme de massa M, simplesmenteapoiada como na Fig. 7.5-2 igual a 11 2 ..) 8I/MP. Se um'a massa concentradalIlo presa viga em x = 1/3, determinar a nova freqncia fundamental.
Soluo: A equao de freqncia para a barra com a carga uniforme do prprio
peso
( EI )W i, 3,515 iJ7j
Soluo: Comeando com a Eq. (b) do Exemplo 7.5-1, faamos Wll a freqncia
fundamental da vig~ uniforme e Wl a nova freqncia fundamental com mo presaviga. Multiplicando aEq. (b) por wi , temos
( w ')' I , ( W ') '- . - Q!.Z,nOW11 -W11 W11
c o 1, . .3 ,O O (f t~ J )
Substituindo na frmula de Dunkerley re:llrum31b na mancHa seguinte, a frequncia
natural do sistema determinada como
(~r= I -I- a12mOW'r,A quantidade a22 o coeficiente de influncia em x = 1/3 devido a uma
unidade de carga aplicada no mesmo ponto. Seu valor, forriecido por meio da fr-
mula da barra no Exemplo 7.4-4,
' 4 1 ( E I )~ , "M '
Podemos comparar este resultado com o da equao de freqncia obtida pelo
mtodo de Rayleigh que
2 ,4 3 ( ~ ~ J ) . 8 I'. . . 6 >~ 81 8I
Exemplo 7.5-4
A freqncia natural de uma asa de avio em toro 1600 cpm. Qual ser a
nova freqncia torcional se um tanque de combust vel de 1000 lb suspenso
numa posio um sexto da semienvergadura, a contar da linha central do
a vio tal q ue s eu momen to d e in rcia e m rela o 3 0 eixo torcion al
1800 lb pol/s2? A rigidez torcional da asa neste ponto 60 X 106 pollb/rad.
As equaes de movimento, formu.ladas quer na base da equao de rigidez quer na
de l1exibilidade, so similares na forma e se apresentam como
fi ! 0 - 1 0 - :; : - r O ' - ")1)
I . . - 1745 'p. =_ _~~____- ~, lps - l III" 2n'\ IWO
Xl a" G12
" ' " I
x,x , a" 22 x2
- (7.6-1)
" . a., a.2 a x .onde igual a I/W2 para a fom1Ulao de rigidez e w2 para a de flexibilidade.
215
A nova freqncia torcional com o tanque, conforme a Eq. (a) do Exemplo 7.5!.
) . torna-se ento
I I I
fi =16(50 ' -: - r't45"
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o processo de iterao tem in cio pela admisso de um conjunto de deflexespara a colu na direi ta, da Eq. (7.6 -1) e pela exec u:T o das oper ae s indic adas , do que
resulta urna coluna de nmeros. Esta ento normalizada fazendo-se uma das ampli-
tudes igual unidade e dividindo-se cada tenno da coluna pela amplitude escolhidaque foi normalizada. O processo ento repetido com a coluna normalizada at queas amplitudes estabilizem num padro definido.
Conforme se ver na Se . 7 .7 , o p rocesso de i t e rao converge pa ra o valor mais baixo de , de maneira que se encontra o modo fundamental ou o mais baixo
de v ibrao pa ra a equao formulada na base das coe ficien tes de inJ1uncia dellexibilidade. Igualmente, para ,a equa,Io formulada na base dos coeficientes de
influncia de rigidez, a convergncia pa ra o modo mais a I to , que corresponde aovalor mais baixo de = = I/v.}.
1
- , x , ' 1x,1
~J)_'/J I 135,3,,'1" 135,3W'/'ll'001KE1g 333,0 SElg _2,461
[' ,I,O O j ',2,60
e a raz,To de amplitudes encontrada
x, ==~x2 2,60
Exemplo 7.6-1
A barra unifornlC da Fig. 7,6-1, l ivre para vibrar no plano indicado, tem dois
peso s conc entra dos W, = = 50 0l b e W2 = = 100 Ib, Determinar a freqnciafundamental do sistema. '
Ob tm-se uma exat ido su ficiente com os re ' su l tados da p rimei ra e segunda
iteraes, se apenas a freqncia fundamental de intl 'resse. As foras de inrcia
da p r ime ira i te rao so 500w2/g e 208w2/g . Estas foras produzem deflexesobtidas na segunda itera,Io que so x, = = 135,3w2IJ/8EIg = 16,92w2IJ/Eige X2 = = 2,46x,. O trabalho efetuado por estas foras ento
I - ,,.., ,,;, )w' .' I x 1012 X (O'X,, ,-()OO,- , ,-OS,', . ,46 -x, -'-? g2 g .r
1~
e a energia cintica correspondente I w' I vw'x;-,,(500 1- 100 .,' 2,46')-x;'- -2- > ; J 105 " -,,-L 'g "Soluo: So os seguintes os coeficientes de influncia para este problema, deter-
minados por n :e io das equaes de de llexo de ba r ras , colocando-se uma ca rgaunitria nas posies I e 2-
457 m, ''17'
I " ' " '/ .1 I ) o oI .,J . ) II
Ix, ='xD!i I ) 0,0, '. 4I~O I i .1'I :100 1 , \ , I Quando as equaes de movimen to so formuladas em te rmos dos cocf ic ien t~s
de in fluncia de f l exibi lidade , o p rocesso de i t erao converge pa ra o modo maIS
baix o pres ente na defle x:To adm itida , evidente que,se o modo mais baixo ausen:ena deflexo admitida, a tcnica da ilerao convergir para 'o modo prximo maISbaix o, ou o segu ndo mod o,
Seja :~urva admitida X expressa pela soma dos modos nonnais Xi
X C,, \' , 1 C,Xz ; C,XJ ' 1 - , . ,
I x, I _ ?)'~ 11 0 8, 3; _ _ 10~~(J)~i11J , 00Ix, ! - XUg 225,0 I - - XUg i2,08
Se o p rocesso. r epe t ido com x,216
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26/48
Pa~a fazer distino na equao acima entre a curva admitida X e os modos normais
Xi, designaremos estes ltimos por
Xi =1 : : )1 x 3I o processo de iteraoaplicado Eq. (7.7-7) convergir para o segundo modo.
Repete-se o processo para o terceiro m~do. C outros mais altos, fazendo
C1 = C2 = O, etc.Assim, de cada vez reduzida a ordem da equao matricial.Entretanto, se h introduo de impurezas atravs das matrizes de varredura, torna-se
mais crtica ~ convergncia para modos mais altos. conveniente checar o ~odomais aIto pela inverso da equao matricial original, inverso esta que deve ser igual
equao formulada em termos dos coeficientes de influncia de rigidez.
Exemplo 7.7-1
Escrever a equao matricial baseada nos coeficientes de influncia de flexibili
dade, para o sistema representado na Fig. 7.7-1 e determinar todos os modos
naturais.
Estabelecemos agora a condio CI = O a fim dc remover o primeiro modo
da deflexo admitida X. Para isto, introduzimos a relao de ortogonalidade premul-
tiplicando a Eq. (7.7-1) por Xl M, o que elimina todos os termos do lado direitoexceto o primeiro.
Igualando a zero o lado esquerdo da equao acima, C\ torna-se zero e eliminado
o primeiro modo da Eq. (7.7-1)'
111, O
O] r )X'IMX =(x, x2 x,) O /112I~J ;: ~c
O
O O
=/I1IX,;I', + - 1I12X2'>;2 + - I1IJXJSJ =0
G, h,Figura 7.7-1.
Soluo: Encontram-se os coeficientes de influncia pela aplicao de.uma unidadede carga, uma de cada vez, no~ pontos 1, 2 e 3.
- ... _/I12(X2) ~ _ /I1J( : S ) -X ._- - - x2 - XJ1 !1'jX, /11 1 XI
.'(2 '0, ''(2
.'( J C.C .'( J
a22 GJ2 =. a2J =U k 1 ~) == 3~I I I 7
aJJ = 3k + - k + - k=3k
As equaes de movimento na forma matricial so entoonde as duas ltimas equaes do conjunto acima aparecem apenas como identidades.
Na forma matricial a Eq. (7.7-4) torna-se t : j = 0)2' ~~] [ 4 ~ 1 2 ~ 1 ~ ]t i )L 'J 3k 4 7 O O l/l 1 x :
jX ' ) [ 4 2 I ]f il )
;; ~~/l : .: ~ 1 : ; 'Comeando com valores arbitrrios de xjx2XJ, a equao acima converge
para o primeiro modo que '.
{ X l l :~= SX
- n ! J ( : S ) - J/11, ,\,
O (Xl
I
Visto que esta equao o resultado de C] = O, o primeiro modo foi varridoda deflexo admitida pela matriz varredura S. Levando SX equao matricial
original
218
7/25/2019 Cap. 06 e 07
27/48
I) ' jO'25)':.' ~'~ 14 32 079" . 3k ,- ,x) . 1,000,25
-0,79
1,001' ~ ' ) [ O O'\1 O O
XJ O O
i3k (kw, 'VT4,32m~0,457'Vm
Para determinar o segundo modo, formamos a matriz varredura de acordocom a Eq. (7.7-5) Esta matriz est destituda dos dois primeiros modos e ,pode ser utilizada como
uma matriz de varredura para o terceiro modo. }'ondo isto em prtica para a equao
original, obtemos,_.1(0,79)2 0,25
I
O
_ J ..( lR Q ) ] '4 0,25O
I ri 4 2 1 1 o o
0,25r Iw'm,\, 3k 4 8 ~IO O -0,79 x,x) 4 8 o O 1,00, '~Jo terceiro modo resulta imediatamente da equao acima, sendoDe acordo com a Eq. (7.7-6), a nova quao para a i terao do segundo m.odo
r I 4 2 I O - 1 ,5 8 ~I
rlx2 W'1I1 4 8 4 o I o3k .\,x) 4 8 7 o o Xl'O -4 ,32 - 3 ' ~ I F )W'/11 O 1,673kO 1,67 3.0 I XJ
1X") 1 0 , 2 5 \9!.'m 1,68 -0,79.\, 3k XJ 1,00
n:1,34.\!~
111Comeando o processo de iterao com amplitudes arbitrfias, a equao acimaconverge para o segundo modo, que
7.8 MATRIZES DE TRANSFERNCIA' - (PROBLEMASTIPO HOLZER)
1-10)
3 O
1,0No mtodo de matrizes de transferncia, um sistema grande dividido em subsistemas
com propriedades elsticas e dinmicas simples. A formulao em termos:
do vetar de estado, que uma matriz coluna dos deslocamentos e das forasinternas;
da matriz ponto, que encerra as propriedades dinmicas do subsistema;
e da matriz campo, que define as propriedades elsticas do subsistema.
O clculo se processa em ter~l1os dessas quantidades, de um extremo a outro do
sistema, e as freqncias naturais so estabelecidas satisfazendo s condies apro-
priadas de con torno.
Para a determinao do terceiro modo,estabeleeel11os as condies
C1 '" Cl .- O da equao de ortogonalidacle (7.7-3)
)
.C , 2 . . : lI1i(X)'~i'4(0,25).\', 1 2(0,79),\',/1(1 , O ) , \ ,) . - Oj1
J
C, L : m,(x) "\'i'- 4( - 1,0).\', i 2(0).\', - i- 1( 1,O).\') o. Oi I
Obtemos dessas duas equaes
220
. E , C, Pestel e [ ' , A. Leeke, "MDtr x Mthods in ElastomechDncs" (Nova Iorque:McGrDw-IIllllook Co" 1963),
7/25/2019 Cap. 06 e 07
28/48
o Sistema Mola-Massa. A Fig. 7.8-1 apresenta uma parte de um sistema linearmola-massa 'com uma das subsees isolada. A n-sima seo consiste da massa
m com deslocamento x e a mola com rigidez kfl, cujas extremidades tmn fl . d _deslocamentos Xn e Xn _ l' Quando necessrio faz-Ia, designamos quantlda es a
esquerda e direita do elemento com sobrescritos L e R, respectivamente.onde a matriz quadrada acima a matriz campo.
Relacionamos agora as quantidades na estaon em termos de quantidades
na estao n - I, pela substituio da Eq. (7.8-6) na Eq. (7.8-3)
f . \
l " c
I -
~][~+ F x l "l F L I. .IF L II.-(0'111
~ I ~ , , , ,~ ; , , ) H: \ : (7.8-7)
(I
A equao acima denominada de matriz de transferncia para a seo n,
por ser atravs dela que o vetar de estado em 1/ - 1 transferido para o vetar de
estado em n. Com valores conhecidos do vetar de estado na estao 1 e um valor
escolhido de w1, . possvel computar progressivamente os vetares de estado ata ltima estao n. Tanto x n como Fn podem ser representados graficamente
em funo de w2, dependendo apenas das condies de contorno. As freqncias
naturais do sistema so estabelecidas quando satisfeitas as condies de contorno.
So denominados tipo-Holzer os' problemas em que um deslocamento apenas
associado com cada massa. Ilolzer* desenvolveu um mtodo tabular deste tipo,
que aplicou ao problema torciona! de muitas massas.
Con side ra nd o q ue o mes mo o d es lo ca me nto e m c ad a lad o d e m", temos a
identidade
{ . ~ } RF "
o nd e {}} o vetor de estado e a matriz quadrada a matriz ponto.
Examinamos a seguir a mola kIl cujas foras extremas so iguais
Sinais so muitas vezes a fonte de confuso nos sistemas rotativos, sendo necessrio
definir claramente o sentido das quantidades positivas. A coordenada ao longo do
eixo rotativo considerada positiva no sentido da direita. Feita uma seo transversa!
no eixo, positiva a face cuja normal externa no sentido da coordenada positiva.
Faz-se a indicao dos torques positivos e deslocamentos angulares positivos por
meio de setas apontando positivamente, de acorpo com regra de parafuso demo direita, conforme a Fig. 7.9-1.
FR\.R _ , , - - I~\n -\ - - - - c
Reunimos agora as Eqs. (7.8-4) e (7.8-5) na forma matricial
222
H. llolzcr, Qie ilcrcchnung ucr Drchsehwingungcn (Bcrlim: Springcr-Ycrlag, 1921).
22 3
7/25/2019 Cap. 06 e 07
29/48
sentido. A seta sob o sinal de igualdade nas Eqs. (7.87) e (7.9-3) indica esta direo
de seqncia. convenient( ' ( 'm alguns problemas proced('r com a matriz de trans-
fern
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30/48
W, e a Fig. 7.9-4 um grfico de T~~indicando que as freqncias naturais do siso
tema so (,;1 = 126 rad/s e W2 = 2! O rad/s. Os torques T3 para w = 126 e 210
no so zero, mas bastante perto dele para se aproximar da condio T3 = O .Os perfis de modos para as duas freqncias naturais so mostrados tambm na
Fig. 7.95.
w r"d/s [~T [~I [ ~I1,00 0,206 ~0,355
126 0,794 X 10' 1,121 x 10' -0,009 x 10'
1,00 -0,126 - 0,547
150 1,126 x 10' 0,842 x 10' -1,618 x 10'
1,00 -1,205 0,347
210 2,205 X 10' -3,lO4 x 10' -0,044 X 1 0'
\\
\
\
\ 1\ /
. - - - " " /w=210 \ /
\ /\ /
- 1,205
Exemplo 7.9-2. Computao Digital de Problema Torcional
O programa do computador digital para o problema tipo Holzer ilustrado
para o sistema torciorIal da Fig. 7.9-6. O programa redigido de tal maneira,
que aplicvel a qualquer outro sistema torcional, bastando apenas mudar
os dados.
E m v e z d e l id ar d iretamen te c om a E q. (7.9-3) v amos tra ba lh ar c om a s
Eqs, (7,9-2) e (7,9-i), que so equivalentes, Elas,so
O(I, N - + I) = 8(1, N) - + TR(/, N)jK(N - + I) (a)
TL(I, N - + I) =.c TR(I, N) (b)
TR(I, N - + I) =TL(I, N - + I) --),,(1)*J(N - + 1)*0(1, N - + I) (c),
= W2
TL = Torque para a esquerda do disco
TR =' Torque para a direita do disco
N define a posio ao longo da estru~ura e I, a freqncia'a ser usada. Algumas
mudanas so necessrias na notao para o programa do computador,para que haja
correspondncia com a linguagem Fortran. Por exemplo~ a rigidez K e o momento
de inrcia do discQ J so designados por SK e SJ, e O escrito por extenso,22 7
7/25/2019 Cap. 06 e 07
31/48
As trs equaes acima tm de ser resolvidas em rc1a,To a O e TI ? a cada
ponto N .da estrutura e para diversos valores de . Para as freqlincias naturais,O deve ser zero na extremidade fix.
A faixa de freqncias pode ser percorrida pela escolha de um w incial e de
um incremento 6w. Neste problema, por exemplo, escolhemos as freqncias
0(1, I)
TR(I,I)
as equaes (a), (b) e (c) so computadas para cada N(posio na estrutura),
mantendo-se l(ou freqncia) fixo. Quando se atinge N '= 4, J avanou um
nmtro inteiro para a prxill ld freqncia c sc repcte o proccsso. O diagrama de
f1uxo da Fig. 7.9-7 mostra clarmnente cstas operaes.
As sees seguintes apresentam os resultados do computador. A Fig. 7.98
mostra graficamente o ngulo 04 em funo de w. As freqncias naturais dosistema so as que correspondem aos valores zero dc 04 e a Fig. 7.9-8 mostra queelas so
J, 160
J, 356
JJ 552
O ngulo O i de cada ponto apresentado na Fig. 7.9-9 para W I = 160.
Sistemas com Amortecimento. QGando includo o amortecimento, no se altera
a forma da matriz de transferncia, mas os elcrnen tos de massa e rigidez tornam-se
quantidades complexas. Isto fcil de se mostrar escrevendo as equaes para o
l1-simo subsistcma representado na Fig. 7.9-10. A equa,To de [arque para [)disco 11
r- - -} jw(l)=40
>-.(1)= 1600
8([,1)= 1
- - - - - 1 " " - - -[-------'
TR([, 1)= ->-.(l)*J(ll
G(l) = w2([)
Iw (l) = 40~ u : = - ; - ) 20 I
I[ ; R I N T J
~
\ a,I!,
2,0 -I! 1,0t
!O --L...-..
600 w
7/25/2019 Cap. 06 e 07
32/48
as quais so idnticas s da hiptese de no amortecimento. Quanto aos elementos
de massa e rigidez, eles so agora quantidades complexas.
Exemplo 7.93
O sistema tarcional da Fig. 7.911 excitado por um torque harmnico numponto direita do disco 4. Determinar a curva freqnciatorque e estabelecer
a primeira freqncia natural do sistema.
J, == J2 =500 Ib paI. S2
J, =J. =1000 Ib pai S2
K2 = K, = K. =106 lb polfrad
c2 = 10' lb pai sfrad
g.= 0 2 x 10' lb pai sfrad
J = 15 20
K x 10 ' = 2 2
T;;c_c K.({}.- 0._,)\ iwg.(O. 0._,)
(K. I iwg.)(O .. - 0.- 1)
. Nestas condies, para o sistema amortecido a matriz ponto e a matriz campo
tornam-se
Soluo: As computaes numricas para W2 = 1000 so indieadas na primeiratabela abaixo. Os termos complexos de massa e rigidez so inicia1mjlnte tabuladas
para cada estao 11. Com a sua substituio nas matrizes ponto e campo, isto ,
nas Eqs" (7.9-7) e (7.9-8), enc.ontramos a amplitude e torque complexos para cada
estao, conforme a segunda tabela abaixo.
li (W2J. _. iwc.)IO-b (K.+ iJg.)IO-
0,50 + O,Oi
2 0,50 - 0,316i 1,0 + O,Oi
1,0 + O,Oi 1,0 + O,Oi
4 1,0 + O,Oi 1,0 + O,635i
1/ 0" r : (para w' =1000)
1,0 + 0,0i' (-0,50 + O,Oi) X 10'2 0,50 + O, Oi ( -0 ,7 50 +0,158i) X 10'
.0,250 + 0,158i (-0,50 + O,Oi) X 10'4 -0,607 +- O,384i (0,107 - 0,384i)' X ! O,
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As compu [aes aCima s:1o rCpelltl.Js um nlllTICI" de vezes que permita u tra-
ado da curva freqncia-torque da Fig. 7.9-12. O grfico mostra as
Figura7. 9-12. Curva freqiincia-torque parao sistema torcionalamortecido da Figura 7.911.
partes real e imaginria de T assim como a sua resultante, que o torqueexcitador neste problema. Por exemplo, o torque resultante em W2 '= 1000
106 J 0,1072 + 0,3842 '= 0,394 X 106 pol lb. O valor encontrado para a
primeira freqncia natural do sistema deste diagrama aproximadamente
W '= v'93 '= 30,5 rad/s. Neste caso a freqncia natural definida como a deum sistema no amortecido que no requer torque para sustentar o movimento.
Exemplo 7.9-4
Na Fig. 7.9-11, se T '= 2000 p ol lb e vitu de do segundo disco.
Soluo.: A ta be la a cima mos tra q ue u m to rq ue d e 394.000 pol Ib produzir
u ma a mp li tu de d e O 2 '= 0,50 radiano. Considerando que amplitude pro.
porcional ao torque, a amplitude do segundo disco para o torque especificado 0,50 X 2/394 '= 0,00254 rad.
Seja o sistema torcional engrenado da Fig. 7.1 q-I, no qual 12 a relao de veloci-
dade do eixo 2 para o eixo I. O sistema pode ser reduzido a outro equivalente deeixo nico, como a seguir
232
J'~_. _K ,
)
t O)
)K J,,
n
f
K n2
K ' ), n2Jz
J, I
Considerada a velocidade do eixo 2 igual a 2
do sistema
Nestas condies, 122 J2 a inrcia equivalente do eixo 2 referida ao eixo I.
Para se determinar a rigidez equivalente do eixo 2 referida ao eixo. I, pren~em-~ediscos I e 2 e aplica-se um torque na engrenagem I, fazendo-a glfa~ um a~gu o
os . _ _ I O - n O que sera lambem a01 engrenagem 2 rodara en tao um angu o 2. -. 1,rotao no eixo 2. A energia potencial do sistema sera pOIS
e n2 K2 a rigidez equivalente do eixo 2 referida ao eixo L
. temas engrenados pois muito simples: multiplicar porA re gra p ara o s SIS _ dn2 toda a rigidez e inrcias "do eixo engrenado, sendo n a relaao de veloclda es
entre o eixo engrenado e o eixo de referncia.
Os sistemas bifurcados so enconados com freqnc'ia, sendo exemplos co~ec~dos
o sistema duplo de hlices de uma instalao marti~a e o eixo de transnllssao e
diferencial de um automvel, ambos representados na FIg. 7.11-1 233
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l o o o 0 F ! i 1 ,= = , ,~
Tais sistemas podem ser reduzidos para a forma com uma-para-uma engrena-
gens, multiplicando-se todas as inrcias e rigidez as dos ramos pelos quadrados das
suas relaes de ve:ocidades.
Figura 7.11-2. Sistema bifurcado reduzido a velocidades comunspor1para1engrenagens.
Exemplo 7.11-1
Esboar o processo matricial para resolver o sistema bifurcado torcional da
Fig.7.11-3.
Soluo: Inicialmente multiplicamos por n2 a rigidez e a inrcia do ramo B
para converter num sistema tendo uma-para-uma engrenagens, confonne indicado
na Fig. 7.11-3(b). Podemos ento prosseguir da estao O at a estao 3, tomando
nota do fato de engrenagem B introduzir um torque T~l sobre a engrenagem A.
A Fig. 7.11-4 mostra o diagrama de corpo-livre das duas engrenagens. SendoT~ 1 considerado como torque positivo, o torque exercido pela engrenagem B
sobre a engrenagem A negativo como est indicado. O balano dos torques sobre
a engrenagem A ento
e precisamos agora expressar T ~ 1 em termos do deslocamento angular OI do
eixo A.
K K J,I
,
(I)
(a) R
LI IR:RI I
I
: B I
I I
I I
K I K II , I' A
I
II II II J, J, III I
3
R_TAl
---R
AI
O ~I ~=(I'-- ( J ) Y ') 8 ~ ~=-8~,, K.,
T~,= (J)21l2J.8~ .
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35/48
T" - O) '11'./., D I,1 1 1 - (I .9 l / - , , - ) ' "I
4
Substituindo o v~lor ~cima de T~1 na Eq. (7.1 l-I), a funo dc transfcrncia doeixo A atravs as engrenagens torna-se
{ ~ : r w'.l, O - I r l (7.11-6)( I (t~{;)
I T, I
. I4
Quando uma viga substitud~ por um~ outra formada de massas concentrad~s
ligadas por sees sem massa, pode-se utilizar o mtodo que N. O. Myklestad*
desenvolveu para computar progressivamente, de urna estao para outra, a dcllexo,
inclinao, momento e cisalhamento, de um modo semelhante ao mtodo de Holzer.
A eXpresso dessas equaes na forma matricial novamente vantajosa, no sentidoda conciso e eficincia de computao ..
(a) Vibraes de flexo desacopladas. A Fig. 7.12-1 mostra uma seo tpica
I In-1 n
yw'lmn Y"
M~~_1M~
i
M *I
( 1 ln t I ln+ ,IJC r & 1 ) qVn5, t I T RV, V"
N. O. Myklestad, "A Ne\V Method 01' Calculaling Natural Modos of Uncollplcd llcnding
Vibration of Airplane Wings and Olher Typcs ()fBcams", JOllr. Acro. Sci.{abril, 1944), prigs. 153-62.
23 6
de uma viga idealizada com massas concentradas, Examinando a /1-sima seo,
as foras e momentos nela atuando so indicados pelo diagrama de corpo-livre. Por
meio deles se encontram as equaes seguintes para o cisalhamento e momento
V~_1 = V~
M~_I =M~ - V~/.
Referimo-nos Fig, 7.12-2 para a deformao elstica da n-sima seo da viga.
A delex,To e inclinao nas extremidades so dadas ento pelas equaes
10 ML~_VL~J'. "C ) '" o , - I - - , - I - , 2(El )" 3(El ),
onde os Vlrios coeficientes de Influncla utilizados so baseados sobre setro uniforme
e so:
II devido a um momento unitrio em /1.o . ! . . ' : . . . devido a um cisalhament unitrio em n
- 2EI .
/"o c 2 ~I devido a um momento unitrlo em /1
I ) devido a um cisalhamento unitrio em n3E I
Expressando naEq. (7.12-2) M" e V" em termos de M"_l e V"_1da Eq. (7.12-1), estas equaes podem ser reescritas como.
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, M~_ ,/~ V~_leY.' ) '.-,1 I .e . , ' 2(EI). 1 6(EI).
e IM : _ , / . , V ~_I/~e.- 01 .-1 . ( E/ ). ' 2(EI) .
A Eq. (7.12-6) nos permite, para qualquer freqncia w, comear pelo con-
torno esquerdo O e prosseguir para o contorno direito N, sendo essas quantidadesrelacionadas linearmente pela equao
r y1 r
Ull
e UZ1M U"
V N U41
UIZ U!l
UZ2 U2l
Ul2 Ull
MI;.c o I- o I M : _ , -I V,~_,/.V I;.O IO OIV~-1
e expressas como uma matriz campo
L. [2 Il-]-- - R
Y lEI 6E I y
(} O I 12 (} (7.12-4)
- > Ei 'lEi
M O O 1 1 M
V O O O I - " V~ n . I
Geralmente, so conhecidas duas das condies de contorno em cada extremidade,de modo que as freqncias que satisfazem essas condies so as naturais da viga.
Exemplo 7.12-1
Uma viga cantilever, flxada na extremidade esquerda, representada pordiversas massas conccn tradas. Determinar as equa.e5'de contorno que con-
duzem s freqncias naturais.
MN =uJ,MO . + . U34VOVN ~--, u4,Mo + - u44VO
- Y I R
I I O O 0 1 r
y1 "e o I o o eM' 0010 M_V _. l _ w 2 111 o o I V n
Substituindo a coluna no lado direito da Eq. (7.12-5) pela Eq. (7.12-4), enconlra-se
a equao final seguinte relacionando os velores de estado em n c 11 - 1
onde M o e Vo so desconhecidos e M N e V N devem ser zero. As condies de
contorno so ento satisfeitas se o determinante. da equao zero, ou
.'\'
de modo que esta quantidade pode ser representada graficamente em funo de w
para estabelecer as freqncias naturais da viga.
(b) Peas ratat/vas. Examinaremos nesta seo a vibrao perpendicular ao
plano de rotao, de peas rotativas tais eomo ps de hlice e palhetas de turbina.
Em face ~a fora centrfuga; necessitaremos considerar termos em acrscimo
anlise sobre barras da seo anterior.
A Fig. 7.12-3 mostra' a fora centrfuga, que normal ao eixo de rotao,
e igual a m
ll
rl2
xll para a massa
mil'
A quantidllde adicional que deve ser intro-duzida el1to a fora axial 1
R
O O 1 2 l'
Y O 2EI 6iD \.
O O 1 1 2 ee O O "E l 2Ei
M O O I O O O I 1 M
V II1W' O O I O O o I V . I (7.12-6)1
2 I J
2EI (--;i} l'
1 I' ()OEI 2Ei
o o I M
W21 11 w 21 111 CJ)2 II1F , 1J V
-2EI CJ)"1I1
6E1 n- 1
238
(7.12-9)
239
7/25/2019 Cap. 06 e 07
37/48
lUc...0r------ ,,,--xn ----------.~I p;yf---lo>-m"U2XIII /11I y": Yn-J I .
III
A deflexo e a inclinao so influenciadas tambm por FL e levamos isto emn'
conta ao considerar somente o componente de F ;; normal pea como uma cargade cisalhamcnto
Estas equaes podem ser rearrumadas agora, a fim do clculo prosseguir da direitapara a esquerda, da forma seguinte
)':-1 ' Y~ ' - - 01-[/.' F~'/~J - 1 - MI.~ __ VI_ 1_J_. " " , 6(EI),,_ " 2 (El)n . "6( E1)"
0 : _ 1 _ - o O ~ - [ I - /2 f~ ~ ~ J-~ -M~-(l:~0"! V~-2(~/JM:_. --MI'[II F~'I;J _. . ln'[ -I :
n '2~EI)" " _ " , F~'/~ l I 1 [ - , F.~t;J6 ()n - O . ,F , ; _ I" - , - 6 (EI) , ,_
- ( I - I : : : : _ ~ )(I - I F I')
2E I
- ( I { ~ ~ )O
I'2E I
1-EI
( I 1 ; ~ _ ~ )O
l~rI O O
m nO I O
(7.12:]])O O 1
-l1lJ' O O
Substituindo por esta a coluna direita da Eq. (7.12-10); temos o resul ta do final
lr - ( lIlJ'J3) ( FlJ) !' IJ R
Y I-!"7;E/ - I -I- 6E1 2EI -(;0 Y
J : t
lIlJ'l' ( F I ') I I' ( J- 2EI 1 I- 2E I -EJ n'l( F I ' ) ( F IJ) ( F l 2 ) ( F I ' ) MlIlJ' 1 - 1 - 6E I --F 1+ 6E I 1+ 2E1 - - 1 - 1- 6EI
VJ , , - , --lIlJ' O O I"
V..Jn
(7.12-12)
(c) Vibrao de Toro-Flexo Acopladas. Os modos naturais de vibrao
de asas de avio e de ou tras estru turas de barras so muitas vczes modos de toro-
flexo acoplados, os quais quando_ mais altos diferem consideravelmente dos modos
mais altos desacoplados. ~ necessrio, para tratar tais problemas, intrnduzir um
coeficiente de influncia adicional, li", definido como o ngulo de toro da estao
11 relativamente estao 11 I , e resultante de um torque unitrio em n. Com
referncia seo de barra da Fig. 7.12-4, so as seguintes as' equaes relatvasao torque T
T: _ o : T~' - J " t p " - I l1l"cn. i 'n-J"w'rp" -- IIInC"J'Yn
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estao 7 na ponta da asa, com rn 7 1 7[ ]~ que agora fica igual a [ ]f .
onde J" = Jnc g + rnnc;' o momento de inreia da seo n-sima relativamenteao eixo elstico da barra. O cisalhamento atravs da massa
V ; ' - - V : c.c" '--III"W'Cl'" -I- c" rp,,)
e a matriz ponto atravs de m pode ser escrita desta forma
l' I O O O : O l i .! ' I.
a O I O O : OOI a,
M O O I O , O O M,V IIIW' () () I , IIIW'C () I - (7.12-13),
rp o o o o o rp
TJ " -- IIICW' o O O Jw, I TA inclinao de f1exo 0 * , o cisalhamento V * e o torque de toro T * so
zero na linha do centro para os modos simtricos, ao passo que na ponta da asa o
momen to , o c isa lh amen to e o torqu e s o z erO. As eq ua es d e c on to rn o d a
E q. ( 7_ -1 2- 14 ) ap ar ece m e nt o c om o -
A matriz campo ertre a estao (n - I)R e (n)L a mesma da Eq_ (7.12-4)
com duas equaes adicionais
L I' I' .. N
I' 2 7 : ..7 ()tJ O () \'
a () I I' O () o'Fi 21 0 ,
M () () I () o A I (7.12-14))' () o o o o I -
rp o o o () I 1 1 rpT o o o O O . T
." I
y R
oM M;- - . . : . :
Ujj
V or p
T 7 o
que podem ser.reescritas na forma
I~IUJI U33
" " r rU41. U4J U., M.U61 U.3 U~l .r p oNestas condies, substituindo a coluna direita da Eq. (7.12-13) pela Eq. (7,12.14),
os vetores de estado na estao (n)R so relacionados' aos vetores de estado na
estao (n - I)R.
Exem'plo 7.12-2
A Fig. 7.12-5 mostra a decomposio de massa para a fuselagem e asa de um
avio de combate para a vibrao de toro-flexo. Estabelecer as equaes de
contorno para a determinao dos modos de toro-flexo simtricos. '
As quantidades .vo. Mo e 'f!o na linha do centro so desconhecidas; entretanto,
a matriz coluna esquerda zero na ponta da asa, pra o mOJ11ento, cisa1hamento etorque. Desta maneira, o determinante do Uij, que uma funo de w deve serzero para satisfazer as condies de contorno.
As freqncias naturais para os modos sjmtricos sO'estabelecidas por meio da
represen tao da quan tidade '
Soluo: A fun de utilizar a equao matrieial (7.12-14), fazemos a esta~ O na
reta central do avio, e sejam rnl e J1 a metade da massa e do momento de inrcia
da massa da fuselagem em relao ao eixo elstico, com /1 =' O. Colocamos a
) 2 4 2
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1/" 1/J.1 1/-"
D(w) eco 1/., I/.J 1/.\
bl a CHllIl 'SlI1
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[T], os quais no devem ser confundidos com as freqncias naturais e perfis de
. modos do sistema discutido anteriormente.
Os autovalores e autovetores da matriz [T] satisfazem a equao [Tj2 = [T] [T] =[P](A][Pt I[PJ[AJ[Pt J
=;[P][A]Z[Pt1
onde [A]2 =[ / . 10
; O ]/ . I ~
Multiplicaes repetidas conduzem nsima potnci
[T] [A B D ] ' os autovalores so obtidos da equao caractersticaPara =C
\
(A-/.I) B \ O
. C (D -- tI)
Por exemplo, se a extremidade O fIxa e a extremidade n livre, Xo O e
Fn = = O, e obtemos
Visto que Fo '1 = O , encontramos as freqncias naturais a partir. de tIl = = O .
Se h amortecimento, os elementos da matriz de transferncia so quantidades
complexas. Neste caso, o deslocamento final Xn pode ser escolhido como unidade
e determinamos a fora Fo por meio de
" e" podem ser reunidas agora coma uma nica equao matricial (Videpara r -- I r -- 2tambm a Eq. (6.10-16)).
A equao de diferena oferece' outra maneira de se abordar o problema de sees
.idnticas repetidas. Como um exemplo de sees repet.idas, consideremos o edifcio
de n pavimentos representado na Fig. 7.14.1, onde a massa de cada piso me a rigidez lateral ou de cisalhamento ' de k pol/lb. A equao de movimento
para a Il-sima m3.ssa ento
onde [A] ~.[~I ~J....matriz diagonal dos autovalores.ps.multiplicando por [p]-I obtemos
(7.14.1)
247
.\
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)
)
(7.14-7)
)
(7.14-8)
)
(7.14-9) )
2 cos ft(N -I- D sen ~ =
O) 2~k/lI1sen ~
a qual pode ser representada para movimento harmnico em termos da amplitude
como
0),- 2IJ: sen n. Viii 2(2N + 1)
,. 2 ( ! f . : sen 3n0)2\ m 2(2N + I)X
- 2 ( 1 . . -W 'I I 1 ) X . . . .:-X =Onl I 2k n' 'l-I
Encontramos a soluo desta equao substituindo c
. 2 n: sen (2 N - 1)n
Viii 2(2N -I- I)
(j)'m = = 2 ( 1k
cos ft) = = 4sen' 4
onde A e B so calculados eonforme as condies de contorno. Na base, Il =0,a amplitude Xo 0, de modo que A = O. No ltimo piso, Il = N, a equaode movimento
que, em termos de amplitude, torna-se
XN_ , = = (I - ~ ! - f l Y N (7.14-6)A figura 7.14-2 mostra uma representao grfica dessas freqncias naturais quandoN = = 4. .
o mtodo da equao de diferena que apresentamos aplivel a muitosoutros sistemas dinmicos com sees reptidas. As freqncias naturais so dadas
sempre pela Eq. (7.14-9); entretanto, a quantidade I J deve ser estabelecida paracada problema de acordo com as condioes de contorno;
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7-1 Estabelecer a equao matricial para o sistema apresentado na Fig. P,7j, na
forma {8} = W2 [aJ [J ) {8}.
7-6 Determinar os coeficientes de influncia para o pndulo triplo representadona Fig. P.7-6.
72 Determinar os coeficientes de influncia para o sistema mola-massa apresentado
na Fig.P.7-2.
73 Escrever as expresses das energias potencial e cintica para o sistema do
ProbI. 72, quando
k, "~k,k2 =3k,
kJ =2k,
e determinar a equao para W2 igualando as duas energias. FazendoX2/Xl = n, traar W2 em funa de 11. De posse dos valores mximo emnimo de W2 e os correspondentes de n, mostrar que eles representam
os dois modos naturais do sstema.
7-7 Determinar os coeficientes de influncia para o sistema molamassa de trs
graus de liberdade representado na Fig. P.77.
7-4 Determinar os coeficientes de influncia para a viga eantilever de duas massas
indicada na Fig. P.7-4, e-escrevera sua equao de movimento na forma matricial.
7-5 Trs molas iguais de rigidez k lb/pol so reunidas numa das pontas, sendoas outras pontas dispostas simetricamente a 1200 uma da outra, como indicado
na Fig. P.7-S. Provar que os coeficientes de influncia dajuno numa direo 7-8 Mostrar que a equao de freqncia para um sistema torcionaI de trs discose dois eixos indicado na Fig. P.7-8
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w - - I -K , - / - K! ( I _ 1 _ K, + : ! 2 - ) J w! + K, K, ( l i 1 l, - I - l,) _ O.1, l, K! lJ l, l, li
l-!~i](j{\Jr-C)
7-9 Derivar a equao de freqncia para um sistema linear mola-massa contendotrs massas e duas molas, e comparar com o resultado do Probl. 7.8.
7-10 !I. Fig. P.710 mostra um sistema torcional equivalente de uma hlice, molor
radial e supercompressor. Determinar as duas freqncias naturais utilizandoa formulao matricial.
7-11 Determinar os modos naturais do' modelo simplificado de um avio repr.
sentado na Fig. P.711, onde Mim = II e a viga de comprimento I uniforme.
7-12 Calcular a freqncia fundamental do sistema de massas concentradas indicadona Fig. P.7- 12, utilizando o mtodo de Rayleigh.
200 Ib 100 Ib El = constante
k 1 = 1 ( T I r m~5'-+- 5'+ 5-1
7-13 Calcular a freqncia fundamental da viga cantilever com massas concentradas,
conforme a Fig. P.713 .
150lb 100lb
~=I=~- - I EI = constante~-4' .1 , 4'------4
Uma barra uniforme de inassa M e rigidez K = EII[3, representada naFig. P.714, apoiada sobre molas iguais com rigidez vertical total de kIbfpol.Utilizando o mtodo de Rayleigh com def1exo Ymax = sen (1Txll) + b,mostrar que a equao de freqncia tornase
I,M
x J / / 2 / 171I/l/7II~1lll/" ~~/l
715 Determinar a freqncia fundamental da viga com massas concentradas do
Probl. 7-12, utilizando a Eq. 7.43.
7-16 Utilizando a Eq. 7.49, determinar a freqncia natural do sistema do.
Probl. 712.
717 Utilizando a equao de Dunkerley, determinar a freqncia fundamental
da viga cantilever com trs massas, conforme a Fig. P.7-17.
G-:~ m m ' '! Z
7 18 Utilizando a equaao 4e Dunkerley, determinar a freqncia fundamental da
viga representada na Fig. P.7-18.
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727 Utilizando o mtodo de Holzer .na forma matricial, determinar as duas pri-
meiras freqncias naturais e modos normais do sistema torcional representado
na Fig. P.7-27 com os seguintes valores de J e K
J,~'J2 =J3 "",IQlbI101
J4 ~=20 lbpol s~
K, =K2 =1,5 x lQ6Ib pol/rad
KJ =2,0 x lQ6 lb pol/rad
7-19 Uma carga de 100 lb na ponta da asa de um avio de combate produziu uma
def1exo correspondente de 0,78 pol. Se a freqncia fundamental de f1exo
dessa mesma asa 622 cpm, indicar o valor aproximado da nova freqncia
def1exo para o caso de um tanque de 320 lb;inclusive o combustvel contido,
ser fixado na pon ta da asa.
7-20 Uma determinada viga vibrava por meio de um agitador de peso excntrico,
pesando 12 lb, colocado no seu meio vo. Encon trou-se ressonncia a 435 cps.
Com um peso adicional de 10 lb, a freqncia de ressonncia baixou para 398 cps.Determinar a freqncia natural da viga. ,
7-28 Uma asa de avio de combate reduzida a uma srie de discos e eixos para
a anlise de t-Jolzer, conforme indicado na Fig. P.728. Determinar as duas
primeiras freqncias naturais para as oscilaes torcionais simtricas e anti-
simtricas das asas, e representar graficamente o modo torcionaI correspon-
dente a cada uma.721 Determinar os dois modos naturais do sistema do Probl. 7-10 e mostrar que
eles so ortogonais.
722 Dterminar os modos normais da viga cantilever do Probl. 7-13 e verificar
a sua ortogonalidade.
7-23 Para o sistema do Probl. 7-7, sejam
o 40" 70"105"145"200"J Ib pol s' K lb pol/rad : C D I I I In I I I= I : I I - - -1 50 15 x 10 '
2 138 30 I I
3 23 14 5 22 I I4 181 36 I I5 260 12 0 I I6 t x 140 , 000 _ 0 _ 0 _ '_ '
. kj =3k,
k, . 7 = k,
kj '" k,
Jll1 " ': : : c 4111
111, =~ 2111
Estabelecer a equao matricial e determinar por iterao os trs modos princi
pais. Checar a ortogonalidade dos modos encontrados.
724 Utilizando a equao de Dunkerley, calcular a freqncia fundamental para
o Probl. 7-23 e comparar com os resultados da iterao matricial.
.7-29 Se um torqueharmnico de 10.000 pollb ~ '!J ' " 150 rad/s 'aplicado ao
disco 3 do sistema indicad no Exemplo 7.9-1, determinaf a amplitude e fase
de cada disco.
7-30 Um sistema tor 'cional com um am?rteced?f tOfcionaI representado na
Fig. P.7-30. Detemlinar a curva freqcnciatorque paia o sistema.
7-25 Determinar os trs modos principais da viga representada na Fig. P.7-IS quando
W1 '" W2 '" W3 Checar a freqncia fundamcntal com a equao dc Dunkerley.
7-26 Mostrar que a equao de Dunkerley resulta scmprc numa freqlincia funda-
mental que menor que o valor exato.
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Para o sistema do Exemplo 7.9-3, Fig. 7.9-11, determinar a amplitude e fasede cada disco para W2 =.600 quando aplicado sobre o disco 4 um torquede 0,040 X 106 pollb.
A Fig. P.7-32 representa um sistema linel!r com amortecimento entre as massas
1 e 2. Efetuar uma anlise de computador para os valores numricos designados
pelo professor, e determinar a amplitude e fase de cada massa para uma fre-qncia especificada_
7)3 Determinar o sistema torcional equivalente para o sistema engrenado repre-
sentado na Fig. P.7-33, e calcular a sua freqncia natural.
6" diarn.J,=10 pol Ib 5'
7-34 Determinar o sistema equivalente de eixo nico e estabelecer as freqncias
naturais, no caso das engrenagens pequena e grande do Probl. 7-33 terem as
inrcias l' = 2 e J" = 6, respectivamente.
7-35 Determinar as duas freqncias naturais mais baixas do sistema torcional
representado na Fig. P.7-35, para os seguintes valores de J,K e Il
J1 15 pollb S2 K1 2 X 106 pollb/rad
J2 10 pollbs2 K2 1,6 X 106 pollb/radJ3 18 pollb S2 K3 1 X 1 06 pollb/radJ4 6 pollb S2 K4 4 X 106 pollb/rad
RelaO entre asvelocidades do eixo de transmisso e eixo do veculo = 4 para I.
Reduzir o sistema torcional do automvel representado em (a) para o torcional
equivalente indicado em (b). Os dados necessrios so os seguintes
J de cada roda trazeira .= 9,2 pollb S2
J do volante = 12,~ pollb S2
Relao das velocidades de transmisso'(entre eixo de transmisso e motor) =
= 1,0 pa~a 3,0Relao diferencial de velocidades (entre eixo do veculo e eixo de trans-
misso)'= 1,0 para 3,5'Dimenses do eixo do veculo
(cada)
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Dimenses do eixo de transmisso = 1-1/4" de dimetro e 75" de compri-
mentoRigidez do virabrequim entre os cilindros, medida aproximadamente
6,1 X 106 pol Ib/rad
Rigidez do virabrequim entre o cilindro 4 e o volante 4,5 X 106 pollb/rad
Supor que o-J de cada cilindro do Probl. 7-36 = 0,20 pollb S2 e determinar
as freqncias naturais do sistema.
Determinar as equaes de' movimento para o sistema torcional representadona Fig. P.7-38, e arrum-Ias na (arma matricial de terao. Rl'solver em relao
aos modos principais de oscilao.
7-39 Aplicar o mtodo matricial para uma viga cantilever de comprimento I e massa
m na extremidade, e mostrar que se obtm diretamente a equao de freqncia
natural.
740 Aplicar o mtodo matricial para uma vigacantilever com duas massas iguais,. espaadas igualmente de uma distncia I. Mostrar que as condies de con
torno de zero para a inclinao e deflexo conduzem equao
.. IIIW2/K(5 -I- t mw 2/ 2K ) _ 1 + imW2/2K -I- Ctmw2/2Kj20,,- 1 -I- if2Kmw2 - 2/+ !rnw2/JK .
onde K l/E/o
Deduzir a equao de freqncia da relao acima e determinar as duas fre-qncias naturais.
Resolver o Probl. 7-39 pelo mtodo da Seo 7.12(b) quando se faz girar a
barra em torno de um eixo, ao qual est fixada por uma extremidade, comuma velocidade angular n.Determinar as freqncias naturais da' viga cantilcver do Probl. 7.17 pelo
mtodo da Seo 7.12 (a).
743 Estabelecer o determinante de contorno D(w) para uma viga simplesmenteapoiada, por meio da equao de contorno (7.12.7).
744 Furmular o determinante de contorno D(w) para uma viga duplamenteengastada.
745 Formular o determinante de contorno D(w) para uma viga engastada-articulada.
7-46 Formular o determinante de contorno D(w) para uma viga articulada.livre.
Uma p rotativa, tal como a de uma hlice de helicptero, algumas vezes
considerada como presa ao cubo por meio de pino. Formular o determinantede contorno D(w) para l'sta hiptese.
Supor que uma p de hlice de hilicptero seja representada por trs massasconcentradas igualmente espaadas, com a extremidade do cubo engastada.Determinar as freqncias naturais para a velocidade de rotao n, na baseda rigidez de flexo constan te. .
Determinar a vibrao de toro-flexo para o sistema representado na Fig.P.7-49
I~m
~ 2c \J'm
Utilizando a formulao matricial. estabclecct as condies de contorno paraos modos de tlexo simtiicos e antisimtricos p~ra o sistema indicado na
Fig. P.7-50. Representar graficamente o det~nninaJte de contorno em funoda freqncia w para estabeleeer as freqncias naturais, e traltar os primeirosdois perfis de modos.
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P'
~
olm'lTfl\l - ,
----- - - 'lEI :" ._--
---~---
onde ,B simtrico em relao sua diagonal. Fazendo L = = (M, V)', mostrar que a matriz de rigidez
7-56 Calcular as matrizes parceladas do Probl. 7-55 e mostrar que elas esto na
forma (plicas indicam transposta)
751 Provar que os elementos da matriz modal [P ] para um sistema de dois graus
de liberdade so
que esperada, em face do teorema de reciprocidade de Betti-MaxwelI. *
7-57 Usando a notao do Probl. 7-56, reescrever a Eq. 7.12-6 na formaonde a seo do sistema formada de uma mola e uma massa, conforme aFig.7.13-1.
7-52 Mostrar que para o sistema indicado na Fig. !,.7-52, a utilizao do processo
da Seo 7.13 reduz a equao de freqncia natural para { } R =[ ~ : + ~ J{ } RL n Q, S L n-1
e mostrar que o determinante da matriz de transferncia igual unidade.
7-58 Estabelecer as equaes de diferena para o sistema torcional representado
na Fig. P.7-58. Determinar as equaes de contorno e resolv-Ias para as fre-
qncias naturais.
7-53 Fazendo 111 =; eOt
e 112 = = e-Ot na Eq. (7.13-8), (A + D)/2 = = cos lux.
Desenvolve~ a equao de freqncia nos termos desta substituio.
7-54 Reduzir o sistema da Fig. 7.13-3 para um equivalente ao sistema indicadona Fig. 7.13-2.
755 Permutando O e y, a Eq. 7.12-4 pode ser rearrumada para a forma7-59 Estabelecer as equaes de diferena para N massas iguais numa corda com
tenso T, conforme indicado na Fig. P.7-59. Determinar as equaes decontorno e