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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONFacultad de Arquitectura y Ciencias del Hábitat
Carrera Arquitectura
UNIDAD TEMÁTICA 4
CÁLCULO, DIMENSIONAMIENTO YGRAFICACIÓN DE LA VIGA P5 E6 GENERAL
Docente: Arq. Ronald Edwin Almaraz PintoAuxiliar: Univ. Dennis Ckristoffers Saavedra SarmientoEstudiante: Univ. Jacqueline R. Vargas DenenAsignatura: Estabilidades IIIGrupo: 02
Cochabamba – Bolivia.
EJERCICIO Nº 6
Diseñar la viga, determinando la cantidad de acero y su respectiva posición en cada punto de apoyo y entre tramos, además en corte longitudinal.
Con un hormigón de resistencia característica de 21 MPa. Acero B 500 S (calcular con 420 MPa), coeficiente de seguridad de materiales.
qu = 20 KN/mqu = 25 KN/m 62 KN
2.50A B C D
6.00 4.00 2.00 5.00
Encontrar todos los datos necesarios:
1. INERCIA:
Debido a que no existe alguna referencia con respecto a la inercia en los tramos de la estructura se tomará para los mismos con un valor de 1.
2. RIGIDEZ:
3. FACTOR DE DISTRIBUCIÓN
NUDO A:
FD A - VOLADO = 0
1
FD A - B = 1
NUDO B:
FD BA = = 0,500,17 + 0,17
1,00FD BC = = 0,50
0,17 + 0,17
0,17
0,17
NUDO C:
FD CB = = 0,450,17 + 0,20
1,00FD CD = = 0,55
0,20 + 0,170,20
0,17
I = 1
K AB = 1 = 0,17 K BC = 1 = 0,17
6,0 6,0
K CD = 1 = 0,20
5,0
NUDO D:
FD CD = 0
4. DETERMINACIÓN DE MOMENTOS
MF VOL-A = q * L2 = 25 KN * 2,5 (m) = 78,13 KNm
2 2
MF AB = q * L2 = 25 KN * 6,0 (m) = 75,00 KNm
12 12
MF BA = - 75,00 KNm
MF BC = P (KN) * b2 (m) * a (m) = (KNm)
L2 (m)
MF BC = 62 (KN) * 2 (m) * 4 (m) = 27,56 (KNm)
6 (m)
MF CB = P (KN) * a2 (m) * b (m) = (KNm)
L2 (m)
MF BC = 62 (KN) * 4 (m) * 2 (m) = 55,11 (KNm)6 (m)
MF CD = q * L2 = 20 KN * 5,0 (m) = 62,50 (KNm)
8 8
MF DC = - 62,50 (KNm)
NUDO D
TRAMO Volad-A AB BA BC CB CD DC
FD 0 1 0,50 0,50 0,46 0,54 0
MF -78,13 75,00 -75,00 27,56 -55,11 62,5 -62,50
Dist 1 0 3,13 23,72 23,72 -3,40 -3,99 62,50
Prop 1 0 11,86 1,57 -1,70 11,86 31,25 -1,995
Dist 2 0 -11,86 0,065 0,065 -19,83 -23,28 1,995
Prop 2 0 0,033 -5,93 -9,92 0,033 0,99 -11,64
Dist 3 0 -0,033 7,93 7,93 -0,47 0,55 11,64
-78,13 78,13 -47,65 47,65 -66,92 66,92 0
-15,85
A
0,033
C
-3,13 -47,44 7,39
11,86 -0,13 43,11
B
1,023
MAB = - M2 *q
MAB max = - 78,13 = 50,13 KNm2 * 25
M max P BC= ( 17,46 * 4,0 ) - 47,65 = 22,19 KNm
MCD max = - 66,92 = 33,51 KNm
2 * 20
R2
80,08
63,38
A B C D
62,5 KN 150 KN62 KN
100 KN78,13
62,5 75,0075,00 50,00 50,0020,67 41,33
30,48/L
5,08
19,27/L 66,92/L
13,38
80,0862,5 69,92 17,46 44,54 63,38 36,62
47,65 66,92
5,08 3,21 3,21 13,38
"M"
-
+
--
+ +
78,13
47,65
66,92
50,1322,19 33,51 KNm
3,20 3,17
X AB = 80,08KN/25 KNmX AB = 3,20m
X CD = 63,38 KN/20 KNmX CD = 3,17 m
"Q"
+
++
-
80,08
-- -
62,50 69,92
17,46
44,54
63,38
36,62
142,
58 K
n
87,3
8 K
n
107,
92 K
n
36,6
2 K
n
3,20
3,17
1,832,80
Predimensionado de la Viga
h = 6,0 = 0,6 0,60 cm10
b = 0,6 = 0,3
2 0,25 cm
b = 0,6 = 0,2
3Resistencia de diseño del hormigón y del acero
Resistencia de diseño del hormigón:
FCD=
Fck=
21 MPa= 14,00 MPa
C 1,5
Resistencia de diseño del Acero:
FYD=
Fyk=
420 MPa= 365,22 MPa
S 1,15
Determinar altura útil:
d = h - rec - 0,6 - as 60 cm. - 2,5 cm. - 0,6 cm. - 1,2 cm. 56,3 cm.2
= =2
Ecuación simplificada de Moran; Determinar el momento reducido (u)
(Para el momento negativo en el apoyo "A")
µ = Mu (Kn. m) * 1000
b(cm
) *d2
(cm) * Fcd(Mpa
)
µ=
78,13 (Kn. m) * 1000
25(cm
) *56,3
(cm) * 14(Mpa
)
µ = 0,070
Como µ 0,296; no necesita armadura de compresión, por la cual se debe diseñar con armadura de flexiono conocido comúnmente como armadura simple, se debe determinar
la cuantía mecánica W.
0,6
0,25cm
cm
W = 0,07 ( 0,07 + 1 )
W = 0,075
As=
W * b (cm) * d (cm) * FCD (Mpa)= cm2
FYD (Mpa)
As=
0,075 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa = 4,067 cm2365,22 (Mpa)
Para poder determinar la cantidad de barras, se deberá proceder a tener en cuenta la distancia entre barras de acuerdo al reglamento. Y de esta manera determinar la cantidad específica de barras si perjudicar el paso del hormigón.
Número de barras: NºB = AsÁrea deter.
NºB = As =4,06
7 cm2 = 3,599 4 12 mm
Armadura Flexión Simple
u≤0.296≥
W = µ (
Distancia entre barras a) La distancia libre, horizontal y vertical, entre dos barras aisladas consecutivas de la armadura principal debe ser igual o mayor a los tres valores siguientes:
Dos centímetros salvo en viguetas y losas alveolares pretensadas donde se tomara 1.5 cm.
El diámetro de la barra más larga (Ø mayor) ⇛ Ø12mm = 1.2 cm ⇛Ø16mm = 1.6cm ⇛Ø20mm = 2cm
1.25 veces el tamaño máximo del árido. Siendo 38 mm ⇛3.8cm*1.25 = 4.75 cm
Área 16 mm 1,13 cm2
Separación entre barras = b- 2 rec -2Øest - Área n barras/numero espacios
Separación entre barras = 25 cm- 2(2,5)- 2 (0.6cm) –2(1.2 cm)/3Separación entre barras = 25 cm - 1.2cm – 3,2/1Separación entre barras = 4,87 cm
Verificando la cuantía mínima.
En las losas apoyadas sobre el terreno, se dispondrá en la cara inferior la mitad de esta armadura (8) cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda colocar en la cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la indicada en la tabla.
La cuantía mínima correspondiente será:
AS MIN = ᵱ * a * b
As min = 0,0033 * 60 cm. * 25 cm. = 4,95 cm2
NºB = As min = 4,95 cm2 = 4,38 5 12 mm
Área 16 mm 1,13 cm2
La cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción será:
As min tracción = 30% * As min
Nº BARRAS
4,87 cm
r =2,5 cm
n: separación espacios
25 cm
CUANTIAS GEOMÉTRICAS MINIMAS EN TANTO POR MIL, REFERIDAS A LA SECCION TOTAL DEL HORMIGON
Tipo de elementoestructural
Clase de acerofyk = 400 N/mm2 fyk = 500 N/mm2
Pilares 0.004 0.004Losas (1) 0.002 0.0018Vigas (2) 0.0033 0.0028Muros (3) Armadura
horizontal 0.004 0.0032Armaduravertical
0.0012 0.0009
As min tracción = 30% * 4,95 cm2
As min tracción = 1,49 cm2
La respuesta será: “De manera que el acero de cálculo (As) es menor al de Acero cuantía mínima de manera que se asume la cuantía mínima”.
Para As min 4,95 cm2 Según la tabla de valores el acero requerido es de:2 12 Que es equivalente a 2,26 cm2
2 16 Que es equivalente a 4,02 cm2
Que es mayor al hallado en el cálculo: 6,28 cm2
6, 28 es mayor a As min 4,95
PARA LOS MOMENTOS RESTANTES:
(Para el momento negativo en el apoyo "B")
25 * 60 cm.
M U = 47,65 KN/m
F ck = 21 MPa
F yk = 420 MPa
SECCION DE
d = h - rec - 0,6 - as 60cm
.- 2,5 cm. - 0,6 cm. - 1,2 cm. 56,3 cm.
2
µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa
µ = 0,0430 0,3
KN/m* 1000 = 0,0430
ALTURA ÚTIL:
= =2
=MU * 1000 =
47,65
W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,043 + 1 ) = 0,04
AS W * b * d2 * FCD 0,045 * 25 cm. * 56 cm. * 14 MPa
AS MIN
= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2
Nº AS 2,42 cm2
F 1,13 cm2
Nº AS 4,95 cm2
F 1,13 cm2
ARMADURA SIMPLE
5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38
BARRAS = = = 2,14
= = = 2,417 cm2
FYD 365,22 MPa
(Para el momento negativo en el apoyo "C")25 * 60 cm.
M U = 66,92 KN/m
F ck = 21 MPa
F yk = 420 MPa
SECCION DE
(Para el momento positivo tramo A- B)25 * 60 cm.
MU = 50,13 KN/m
Fck = 21 MPa
Fyk = 420 MPa
SECCION DE
µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa
µ = 0,0603 0,3
W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,060 + 1 ) = 0,06
AS W * b * d2 * FCD 0,064 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa
AS MIN
= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2
Nº AS 3,45 cm2
F 1,13 cm2
Nº AS 4,95 cm2
F 1,13 cm2
ARMADURA SIMPLE
5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38
BARRAS = = = 3,05
= = = 3,451 cm2
FYD 365,22 MPa
KN/m* 1000 = 0,060=
MU * 1000 =66,92
µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa
µ = 0,0452 0,3
W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,045 + 1 ) = 0,05
AS W * b * d2 * FCD 0,047 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa
AS MIN
= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2
Nº AS 2,55 cm2
F 1,13 cm2
Nº AS 4,95 cm2
F 1,13 cm2
ARMADURA SIMPLE
5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38
BARRAS = = = 2,25
= = = 2,548 cm2
FYD 365,22 MPa
KN/m* 1000 = 0,045=
MU * 1000 =50,13
(Para el momento positivo tramo B- C)25 * 60 cm.
MU = 22,19 KN/m
Fck = 21 MPa
Fyk = 420 MPa
SECCION DE
(Para el momento positivo tramo C-D)
µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa
µ = 0,0200 0,3
W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,020 + 1 ) = 0,02
AS W * b * d2 * FCD 0,020 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa
AS MIN
= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2
Nº AS 1,10 cm2
F 1,13 cm2
Nº AS 4,95 cm2
F 1,13 cm2
ARMADURA SIMPLE
5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38
BARRAS = = = 0,97
= = = 1,101 cm2
FYD 365,22 MPa
KN/m* 1000 = 0,020=
MU * 1000 =22,19
25 * 60 cm.
MU = 33,51 KN/m
Fck = 21 MPa
Fyk = 420 MPa
SECCION DE
La respuesta será: “De manera que el acero de cálculo
(As) es menor al de Acero cuantía mínima, se asume el de cuantía mínima para todos los tramos”. Realizando la combinación.
Para As min 4,95 cm2 Según la tabla de valores el acero requerido es de:2 12 Que es equivalente a 2,26 cm2
2 16 Que es equivalente a 4,02 cm2
Que es mayor al hallado en el cálculo: 6,28 cm2
ARMADURA TRASVERSAL
1.- Separación de estribo
No es aconsejable adoptar, valores mayores a 30 cm.
2.- Diámetro del estribo
El diámetro de los cercos y estribos no debe ser inferior a la cuarta parte del diámetro correspondiente a la barra longitudinal más gruesa, y en ningún caso será inferior a 6 mm.
Diámetro estribo = max ≥ 6 mm4
µb * d2 * Fcd 25 cm. * 56 cm2 * 14,0 MPa
µ = 0,0302 0,3
W = µ ( µ + 1 ) = 0 ( 0,030 + 1 ) = 0,03
AS W * b * d2 * FCD 0,031 * 25 cm. * 56,3 cm. * 14 MPa
AS MIN
= r * a * b = 0 * 25 cm. * 60 cm. = 4,95 cm2
Nº AS 1,68 cm2
F 1,13 cm2
Nº AS 4,95 cm2
F 1,13 cm2
ARMADURA SIMPLE
5 BARRAS DE 12 mm.BARRAS = = = 4,38
BARRAS = = = 1,49
= = = 1,679 cm2
FYD 365,22 MPa
KN/m* 1000 = 0,030=
MU * 1000 =33,51
3.- Ecuaciones de diseño
Vou = 0,3 * FCD * b W * d = (Kn)
10
Vou ≥ Vu ; si no cumple cambiar de sección
Vcu = 0,16 * * b W * d = (Kn)
10
Vu > Vcu ; armadura constructiva 6 c/30
Vsu = Vu -Vcu =
(Kn)
ST = A90º * Fyd * 0.9 d =(cm)
Vsu * 10
Nomenclatura:
Vu = esfuerzo cortante últimoVcu = esfuerzo cortante que absorbe el HºVsu = esfuerzo cortante que absorbe el AºVou = esfuerzo cortante comparativo
St = separación de estribosd = Altura útil
Fcd = resistencia de diseño del hormigónFyd = resistencia de diseño del Aº
Calculando Armadura longitudinal:
√FCD
+
+
+
-
80,08
- - -
62,50 69,92
17,46
44,54
63,38
36,62
0,83 0,83 0,83
1,06 1,06 1,06
0,93 0,93 0,93 0,67 0,67 0,67
1,33 1,33 1,33
1,67
0,61 0,61 0,61
1,06 1,06 1,06
41,75
20,75
53,05
26,53
46,45
23,22
42,39
21,19
24,41
12,21
Como es procedimiento es largo, comenzaremos por la cortante de mayor valor.
Utilizando el momento negativo mayor de la viga que es 80,08 KN , obtenemos un Vu de 76,33 KN.
80,08 = Vu Vu = 76,33 KN
3,2 3,05
Calcular la separación de estribos de la viga, bajo el siguiente cortante último Vu = 76,33 Kn, sección de viga 25X60, resistencia característica del hormigón de 21 MPa, resistencia característica del acero de 420 S.
Vu = 76,33 Kn Sección: 25 cm * 60 cm fck = 21 MPa fYk = 420 S MPa
a) Resistencia de diseño del hormigón y del acero
Resistencia de diseño del hormigón:
FCD=
Fck=
21 MPa= 14,00 MPa
C 1,5
Resistencia de diseño del Acero:
FYD=
Fyk=
420 MPa= 365,22 MPa
S 1,15
Altura útil:
d = h- rec – Ø est. - ØAs/2 = 60cm-2.5cm-0.6cm-1.2cm/2 = 56.3cm.
b) Esfuerzo cortante comparativo
Vou = 0,3 * FCD * b W * d = (Kn)
10
Vou = 0,3 * 14 Mpa * 25 cm * 56,3 cm2 = (Kn)
10
COLUMNA: 30*30 (cm)
15 cm
15 cm
A90º = p D2 * 2
A90º = p 0,6 ² * 2 = 0,57
A90º = p D2 = 0,57
4
2
4
Vou = 591,2 KN
591,2 >
76,33 ; armadura constructiva
c) Esfuerzo cortante que absorbe el hormigón
Vcu = 0,16 * * b W * d = (Kn)
10
Vcu = 0,16 * * 25cm * 56,3 cm2 = (Kn)
10
Vcu = 84,26 KN
d) Esfuerzo cortante que absorbe el Acero
Vsu = Vu - Vcu
Vsu = 76,33 KN - 84,26 KN
Vsu = 7,93 KN
e) Separación de estribos
ST = A90º * Fyd * 0.9 d = (cm)
Vsu * 10
ST = 0,57 *365,22Mpa * 0.9 (56,3) =
(cm)
7,93 * 10
ST = 130,68 cm
Debido al espaciamiento mayor al mínimo de la normativa, la armadura transversal constructiva adoptada será: 6 c/ 30 (estribos de 6mm cada 30 cm).
PARA LAS CORTANTES RESTANTES:
Volado:
62,50 = Vu Vu = 58,75 KN
√FCD
√14Mpa
2,50 2,35591,2 > 58,75
Vsu = Vu - Vcu
Vsu = 58,75 KN - 84,26 KN
Vsu = 25,51 KN
ST = 0,57 *365,22Mpa * 0.9 (56,3) =
(cm)
42,36 * 10
ST = 24,46 cm
Tramo B-A
69,92 = Vu Vu = 66,17 KN
2,80 2,65591,2 > 66,17
Vsu = Vu - Vcu
Vsu = 66,17 KN - 84,26 KN
Vsu = 18,09 KN
ST = 0,57 * 365,22Mpa * 0.9 (56,3) = 57,29(cm)18,09 * 10
Asumimos: 6 c/ 30 Tramo C-D
63,38 = Vu Vu = 60,38 KN
3,17 3,02
591,2 > 60,38
Vsu = Vu - Vcu
Vsu = 60,38 KN - 84,26 KN
Vsu = 23,88 KN
ST = 0,57 * 365,22Mpa * 0.9 (56,3) = 43,40(cm)23,88 * 10
Asumimos: 6 c/ 30
Tramo D-C
36,62 = Vu Vu = 33,62 KN
1,83 1,68591,2 > 33,62
Vsu = Vu - Vcu
Vsu = 33,62 KN - 84,26 KN
Vsu = 50,64 KN
ST = 0,57 * 365,22Mpa * 0.9 (56,3) = 20,46(cm)50,64 * 10
Asumimos: 6 c/ 20
LONGITUDES DE ANCLAJE
En zonas sísmicas, las longitudes de anclaje deben aumentarse en 10 Ø.
La norma americana del ACI prescribe un valor de 30 cm como longitud mínima de anclaje por prolongación recta de barras corrugadas trabajando a tracción y 20 cm si trabaja a compresión.
Adoptaremos una longitud de 60 cm.
DIA
M.
PARC
IAL
TOTA
L(m
m)
ab
cd
ef
(m)
(m)
12
P112
0,2
19,3
50,
219
,75
39,5
22
P116
0,20
4,50
4,7
9,4
32
P216
4,00
48
42
P316
3,67
3,67
7,34
52
P412
0,25
19,3
50,
2519
,85
39,7
62
P416
4,55
4,55
9,1
72
P516
2,55
2,55
5,1
82
P616
3,68
0,25
3,93
7,86
975
P76
0,60
0,25
0,60
0,25
0,10
0,10
1,90
142,
50
PLA
NIL
LA D
E A
CER
OS
Nº
CA
NTID
AD
POSI
CIÓ
ND
IMEN
SIO
NES
(m
)O
BSER
VA
CIO
NES
a
ab
c
ab a a
ab
c
ab
a a
b
c
def
PLANO CONSTRUCTIVO
2
barr
as 1
2 m
m.
0,6
0,25
cm
2 ba
rras
16
mm
.
2 ba
rras
12
mm
.
0,6
0,25
cm 2 ba
rras
16
mm
.
2 ba
rras
12
mm
.
0,6
0,25
cm
2 ba
rras
16
mm
.
2 ba
rras
12
mm
.
0,6
0,25
cm 2 ba
rras
16
mm
.
2 ba
rras
12
mm
.
0,6
0,25
cm
2 ba
rras
16
mm
.
2 ba
rras
12
mm
.
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