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Cadran solaire de temps moyen
sur une surface réglée
Francis Ziegeltrum
16 octobre 2010
Réunion CCS
Xh
Yh
Zh
Gno
mon
h
h
h
z
y
xS
0
lsin
lcos
RLMSTR 2
R
z
y
x
xzy
h
h
h
Coordonnées horizontales
Il y a un an je vous avais présenté ma méthode de calcul des coordonnées du Soleil dans le repère horizontal utilisant les matrices de rotation.C’est une méthode qui fait abstraction de la trigonométrie et utilise un outil de l’algèbre.Je vous rappelle en quelques mots la méthode: partant de la longitude moyenne du Soleil, on effectue 3 changements de repère pour arriver au repère local que l’on nomme le repère horizontal. A chaque changement de repère correspond une matrice de rotation.
Xh
Yh
Zh
Gno
mon
h
h
h
z
y
xS
p
p
p
z
y
xP
M
m
m
m
z
y
x
La projection du point P sur la surface plane revient à déterminer le point d’intersection de la droite passant par S et P avec la surface
Projection sur une surface plane
Connaissant les coordonnées cartésiennes du Soleil à tout instant, on peut facilement à calculer la projection d’un point sur une surface plane. On peut ainsi calculer les courbes en huit qui caractérisent les cadrans solaires de temps moyen.
Xh
Yh
Zh
Gno
mon
h
h
h
z
y
xS
p
p
p
z
y
xP
M
m
m
m
z
y
x
Existe-t-il des familles de surfaces permettant de trouver facilement le point d’intersection avec une droite?
Généralisation
…( Rappel de géométrie analytique
A
A
A
z
y
x
A
kujuiu
u
u
u
u 321
3
2
1
u,AD
u
Espace euclidien
3A
2A
1A
u.zz
u.yy
u.xx
L’espace euclidien est un espace imaginaire dans lequel peuvent s’effectuer les calculs de la géométrie analytique.Pour cela il faut un repère pour les coordonnées cartésiennes et un espace vectoriel pour décomposer les vecteurs.Le plus petit élément de l’espace est le point. Celui-ci est localisé dans l’espace à l’aide de ces coordonnées.L’élément suivant est le vecteur représenté par une flèche. Tout vecteur de l’espace se décompose en somme des vecteurs i,j et k. u1, u2 et u3 sont appelés coordonnées du vecteur u.Par un point passe un infinité de droite ayant chacune son vecteur directeur. Tout point de la droite s’écrit en utilisant les coordonnées de A et de u. a est le paramètre.
Géométrie analytique
Opération sur les vecteurs
Produit scalaire 332211 v.uv.uv.u)v.u(
Produit vectoriel
1221
3113
2332
vuvu
vuvu
vuvu
vu
Norme d’un vecteur )u.u(u
Produit mixte wvuwvuw,v,u
Géométrie analytique
Fonctions visual basic
Function produit_scalaire(u1, u2, u3, v1, v2, v3)
produit_scalaire = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3
End Function
Function produit_vectoriel(u1, u2, u3, v1, v2, v3)
Dim pproduit_vectoriel(3) As Double
pproduit_vectoriel(1) = u2 * v3 - u3 * v2
pproduit_vectoriel(2) = u3 * v1 - u1 * v3
pproduit_vectoriel(3) = u1 * v2 - u2 * v1produit_vectoriel = Array(pproduit_vectoriel(1), pproduit_vectoriel(2), pproduit_vectoriel(3))
End Function
Function produit_mixte(u1, u2, u3, v1, v2, v3, w1, w2, w3)
produit_mixte = produit_scalaire(u1, u2, u3, produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(0), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(1), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(2))
End Function
Comme toujours je me sers d’un tableur et surtout de la programmation visual basic qui permet de créer des fonctions qui sont de véritable super opérateurs de calcul.
Géométrie analytique
Droites coplanaires
Positionnement d’une droite dans l’espace
A
Da
B
u
v
Db
Deux droites sont coplanaires si et seulement si les vecteurs sont coplanaires,C’est-à-dire si le produit mixte
vet u,AB
0v,u,AB
Géométrie analytique
Positionnement d’une droite dans l’espace
Droites sécantes
A
I
Da
B
u
v
Db
Deux droites sont sécantes si et seulement si elles sont coplanaires et non parallèles
Géométrie analytique
Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes
A
I
Da
B
u
v
Db
3B3AI
2B2AI
1B1AI
u.zu.zz
u.yu.yy
u.xu.xx
Le point d’intersection I appartient aux deux droites donc:
En éliminant b on trouve l’expression de a:
2112
A1A2B1B2
u.vu.v
y.vx.vy.vx.v
Géométrie analytique
Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes
A
I
Da
B
u
v
Db
3AI
2AI
1AI
u.zz
u.yy
u.xx
Les coordonnées de I sont:
Avec:
2112
A1A2B1B2
u.vu.v
y.vx.vy.vx.v
)Rappel de géométrie analytique
Une surface est dite réglée si elle est engendrée par des droites où est une courbe paramétrée et est un vecteur également paramétré.
Définition
)(u),(AD )(A )(u
A
Courbe paramétrée
Gén
érat
rice
u
Surface réglée
X
Y
Z
1
0
0
uG
énér
atri
ces
Surface réglée de révolution
Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux surfaces réglées de révolution.Soit un cercle qui représente la courbe paramétrée A et une droite appelée génératrice ayant comme vecteur directeur le vecteur u parallèle à l’axe z. Par chaque point du cercle passe une droite dirigée par u. L’ensemble de ces droites forment la surface d’un cylindre.
X
Y
Z
Gén
érat
rice
s
1
0
0
u
0
sin.R
cos.R
A
X
Y
Z
Première surface:Un cylindre
Surface réglée de révolution
J’ai donc généré une surface réglée à partir d’une droite parallèle à l’axe z et s’appuyant sur un cercle. Je peux placer un autre cercle à une certaine distance du premier. Toutes les génératrices coupent ce cercle.
Gén
érat
rice
s
)(u
0
sin.R
cos.R
A
X
Y
Z
Rotation du cercle supérieur d’un angle jDeuxième surface: un hyperboloïde à une nappe
Si je suppose que les génératrices sont accrochées à ces 2 cercles et que je tourne celui du haut d’un angle phi, les génératrices ne sont plus parallèles à l’axe z mais s’inclinent. La surface engendrée par les droites n’est plus un cylindre. La surface est un hyperboloïdes à une nappe. Si l’on continu de tourner le cercle supérieur on finit par obtenir un cône.
Surface réglée de révolution
=j 0 : Cylindre0< <18j 0 : Hyperboloïde=18j 0 : Cône
Surface réglée de révolution
Un point I projection de P appartient à la surface régléesi et seulement si il appartient à une des droites génératrices.
S
Gnomon
P
PBSP
A
B
AB
Zh
Xh
Yh
I
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
S
Gnomon
P
PBSP
A
B
AB
Zh
Xh
Yh
I
Un point I projection de P appartient à la surface régléesi et seulement si les vecteurs sont coplanairesSP PBAB
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
S
P
PBSP
A
B
AB
Zh
Xh
Yh
I
Un point I projection de P appartient à la surface régléesi et seulement si le produit mixte
0PB,AB,SP
h
h
h
z
y
x
S
h
h
h
z
y
x
SP
R
H)sin(
R
L)cos(
PB
b
R
HH)sin()sin(
)cos()cos(
AB
ab
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
0PB,AB,SP La résolution de permet de déterminer la valeur q
max
min
Variation de pour )(PB,AB,SP 180180
La fonction a une forme sinusoïdale et passe donc par une valeur mini et une valeur maxi.Entre ces deux extrema, la fonction s’annule.
)(PB,AB,SP
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
max
min
On détermine la valeur q pour laquelle le produit mixte s’annule en utilisant la méthode numérique de résolution dite de dichotomie sur l’intervalle [qmin, qmax] .
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
Résumé de la méthode
1. Calculer les coordonnées du Soleil dans le repère horizontal à l’aide de la méthode décrite dans le Traité abrégé de gnomonique.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs
3. Déterminer q en résolvant par la méthode de dichotomie
4. Calculer les coordonnées de I point d’intersection de la droite passant par
S et P avec la génératrice de la surface.
5. Calculer la norme du vecteur
SP PBAB
0PB,AB,SP
IA
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
S
Gnomon
P
A
B
Zh
Xh
Yh
I
IAAI
Tracé sur la surface
Pour chaque point I on connait l’angle q positionnant le point A sur le cercle de base, sur le segment AB on marque la distance
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
Cadran solaire sur une surface réglée de révolution
Cadran solaire sur un hyperboloïde
Centrale nucléaire de Civaux-Simulation