Post on 06-Jul-2018
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
1/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 1
Capítulo 1
Conceptos generales.
En este capítulo estudiaremos los conceptos de sistema, señal y modelo con el objeto de
establecer un marco conceptual que nos permita hacer clasificaciones y acotar el área de estudio.
1.1 Sistema.
El concepto de “sistema” tiene muchas connotaciones, de ahí que existan varias maneras de
definirlo, estas son algunas formas:
• Conjunto de entes o cosas arreglados de manera ordenada para realizar un fin o trabajo
específico.
• Conjunto de dos o más elementos interrelacionados de cualquier especie que buscan un
objetivo común.
• Entidad que procesa una o más señales para producir nuevas señales.
• Conjunto de elementos físicos o abstractos, interdependientes e interactuantes, que
forman un todo organizado y cuya operación es más compleja, que la operación
independiente de cada uno de sus elementos.
Figura 1.1 Concepto de sistema.
Ejemplos:
• Automóvil -- Sistema electromecánico
• Televisión -- Sistema electrónico.
• Nido de Hormigas -- Sistema biológico, ecológico.
• País de México -- Sistema político, económico.
• Proceso químico – Sistema térmico, hidráulico, etc.
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
2/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 2
1.2 Señal.
El concepto de “señal” está asociado directamente al concepto de sistema y lo podemos definir
como:
Función del tiempo que representa una variable física asociada con un sistema.
Función de una o más variables que transportan información acerca de la naturaleza de un
fenómeno.
Ejemplos. Variables físicas como:
• Voltaje, corriente.
• Posición, velocidad, aceleración.
• Presión, flujo, nivel.
• Etc.
Los sistemas y sus respectivas señales pueden ser representados convenientemente por medio de
diagramas de bloques:
SalidaSistema
Entrada
Excitación Respuestay(t)r(t)
Figura 1.2 Sistema con entrada y salida.
Dónde: la entrada ( )r t y la salida ( ) y t son señales.
Ya que la entrada y la salida son de manera general funciones diferentes del tiempo, se puede
decir que el sistema procesa la señal de entrada para producir una señal de salida. Es importante
notar que el concepto de sistema depende del punto de vista del diseñador o analista, es decir, un
sistema complejo puede estar formado por muchos subsistemas, y dependiendo de cuál sea
nuestro objeto de estudio, es que determinamos cual es el sistema a estudiar. Ejemplo:
Proceso Quimico
Sistema de Control
Amplificador
Opamp
Figura 1.3 Sistema y subsistemas.
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
3/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 3
La interacción de los componentes en el sistema genera señales observables. Las señales
observables que son de nuestro interés son usualmente llamadas salidas. El sistema está también
afectado por estímulos externos las señales externas que pueden ser controladas son usualmente
llamadas entradas, mientras que las que no pueden ser controladas son llamadas
perturbaciones. Las perturbaciones suelen dividirse en aquellas que pueden medirse
directamente y aquellas que se ponen en evidencia sólo a través de su influencia en las salidas, es
decir:
SalidaSistema
Entrada
Perturbación
Figura 1.4 Sistema con entrada, salida y perturbación.
1.3 Modelo matemático.
Representación cuantitativa que define el comportamiento de un sistema físico con cierto grado
de exactitud. (MM)
1.4 Clasificación de los si stemas
La clasificación de un sistema al igual que el análisis de los aspectos del mismo es un proceso
subjetivo, depende del objetivo que se persigue y de las circunstancias particulares en las cuales
se desarrolla. En este punto se dan lineamientos generales sobre las diferentes clases de sistemas
con el objeto de acotar sus métodos de estudio, sin perder de vista que podemos extender dichas
clasificaciones:
1.4.1 Sistemas estáticos y dinámicos.
Estático: Es aquel en el cual su salida o respuesta en un instante determinado depende
solamente del valor presente de la entrada o excitación. Ejemplo:
• Circuitos Eléctricos que no contienen elementos almacenadores de energía es decir solo
poseen resistencias.
Dinámico: Es aquel en el cual su salida o respuesta en un instante determinado depende del
presente y del pasado de la señal de entrada. Por lo que también se llaman sistemas con
memoria. Ejemplos:
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
4/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 4
• Circuitos Eléctricos que contienen elementos almacenadores de energía es decir
capacitancias e Inductancias.
• Arreglos mecánicos que asocian resortes e inercias.
Los sistemas dinámicos se describen o modelan a través de ecuaciones diferenciales. Si las
salidas de un sistema dinámico dependen del pasado, presente y futuro de las entradas, se dice
entonces que tenemos un sistema No-Causal o Anticipatorio. Estos sistemas solo se visualizan
hipotéticamente y no son físicamente construibles Si las salidas de un sistema dinámico solo
dependen del pasado y presente de las entradas el sistema es Causal.
1.4.2 Sistemas lineales y no lineales.
Lineal. Es aquel que satisface el principio de superposición, el cual implica las propiedades
matemáticas de aditividad y homogeneidad. Es decir:
Sistema lineal y(t)u(t)
Figura 1.5 Sistema lineal.
)(u L y =
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L u u L u L u y L Au A L u A+ = + = ∀ ∈ℜ
1 2 1 2( ) ( ) ( ) L A u Bu A L u BL u∴ + = +
No lineal: Es aquel que contiene por lo menos un elemento no-lineal en su estructura. Es decir no
satisface el principio de superposición. Ejemplos:
)(2 t u ydt
dy=+ 02101 =+
x xa
dy
dxa
0
0
0
01
2
01
2
1
01
=+
=+
=+
xea
dt
dxa
xadt
dxa
xadt
dxa
Los sistemas físicos reales son en esencia no lineales, pero es conveniente utilizar aproximaciones
lineales de los mismos, ya que existe un gran número de herramientas matemáticas para su
análisis y síntesis.
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
5/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 5
1.4.3 Sistemas variantes e Invariantes en el tiempo.
Se dice que un sistema es Invariante en el tiempo o estacionario si los parámetros del sistema se
mantienen constantes al transcurrir el tiempo, es decir no cambian con el tiempo. Un sistema es estacionario
si su salida es siempre la misma cada vez que se aplique la misma entrada; sin importar el momento en que
esto se realice. En caso contrario el sistema es Variante en el Tiempo.
Ejemplos: ( )
( ) ( ) invarianteeneltiempo. , constantes.dy t
a by t f t a bdt
+ = → =
( )( ) ( ) ( ) ( ) variante en el tiempo. , funciones de
dy t a t b t y t f t a b t
dt + = → =
1.4.4 Sistemas determinísticos y estocásticos.
Determinístico : Es aquel en el cual tanto el sistema como las entradas al sistema son conocidos de maneraexacta. Para tal sistema, la salida para una entrada dada, puede ser determinada para todo tiempo futuro, si
todas las condiciones iniciales o estados son conocidos.
Estocásticos: Es aquel en el cual los parámetros del sistema o las entradas no se conocen de una manera
precisa, es decir solo se pueden describir en un sentido probabilístico o estadístico.
1.4.5 Sistemas de parámetros concentrados y dist ribu idos.
Parámetros concentrados: Es aquel en el cual las dimensiones físicas reales del sistema son mucho
menores que la longitud de onda de las señales con las que operan. Estos sistemas se describen a través de
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s) y satisfacen que:
y = c
d f
λ λ
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
6/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 6
1.4.6 Sistemas continuos y discretos
Si las señales que procesa el sistema están definidas en un intervalo continuo de tiempo el sistema es
denominado sistema en tiempo continuo. Por otra parte, si el sistema procesa señales que están definidas
únicamente en instantes particulares de tiempo generalmente equiespaciados, el sistema es llamado sistema
en tiempo discreto. Un sistema híbrido es uno en el que coexisten señales en tiempo continuo y en tiempo
discreto. Es decir:
( ) .
( )
g t Sistema continuo
g kT Sistema discreto
→
→
1.4.7 Sistemas monovariables y mul tivariables.
Los sistemas con una sola entrada y una sola salida se denominan escalares o monovariables, en ingles son
conocidos como sistemas SISO debido a sus siglas en ingles. (Single Input Single Output).
SISO y(t)u(t)
Figura 1.6 Sistema monovariable (SISO).
Los sistemas con multiples entradas y multiples salidas se denominan multivariables o MIMO por sus siglas en
ingles. (Multiple Input Multiple Output).
MIMO
y1(t)u1(t)
u2(t)
u3(t)
y2(t)
y3(t)
Figura 1.7 Sistema multivariable (MIMO).
La clasificación de los sistemas puede ser extendida a sus formas de representación matemática,es decir los modelos matemáticos los clasificamos de la misma manera que los sistemas, como se
muestra en La figura 1.8.
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
7/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 7
Figura 1.8 Clasificación de los modelos matemáticos.
En esta asignatura estudiaremos a los sistemas o modelos: causales, dinámicos,
determinísticos , de parámetros concentrados, lineales, invariantes en el tiempo y continuos ,los cuales se modelan mediante ecuaciones diferenciales, lineales, ordinarias y de
coeficientes constantes.
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
8/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 8
1.5 Clasificación de señales.
Las señales son funciones de una o más variables. Generalmente la variable independiente es el
tiempo y la señal representa una cantidad física que varía con respecto al tiempo, como por
ejemplo un voltaje ( )v t , o una corriente ( )i t . Sin embargo, puede haber señales como la
luminancia de una imagen que es función de 2 variables espaciales (Horizontal y Vertical). Lasseñales se pueden clasificar como sigue:
1.5.1 Señales continuas y discretas.
Señal continua en el tiempo o señal analógica: Es aquella que está definida para todos los
instantes del tiempo en un intervalo de tiempo especificado, es decir para cualquier valor de tiempo
en el intervalo continuo (a,b), donde a y b son reales y pueden tomar valores desde −∞ a ∞ .
Matemáticamente, estas señales pueden ser descritas por funciones de una variable continua.
Ejemplos:
• El sonido.• La luz.
• Voltajes. ( )v t
• Fuerzas. ( ) f t
• etc.
Nota: Esto no implica continuidad desde el punto de vista matemático.
( ) y t
t
1t
A
Figura 1.9 Función continua en el tiempo, con una discontinuidad
1t t =
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
9/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 9
Señal Discreta en el Tiempo. Es una señal discontinua que está definida para todos los puntos deun intervalo determinado del conjunto de los números enteros. Es decir, solo está definida paraalgunos instantes discretos de tiempo. Ejemplo.
( ) x kT
t
T 2T kT
Figura 10. Señal discreta.
( ) ( ) x n donde n kT x kT = ⇒ ; 1, 2, 3, 4k es un entero k → =
intervalo de tiempo de muestreo.T →
Ejemplos de señales discretas.
tan 125 . (8000 / .)
var .
T cons te telefonia digital micro seg Veces seg
T iable promedio del Dow Jounes por semana ó Mes
→ →
→ →
( ) X kT puede ser cuantizada→
Desde este punto de vista podemos establecer 4 tipos de señales:
Analógicas ( ) x t Amplitud y Tiempo continuos
Muestreadas ( )s x n Tiempo Discreto, Amplitud continua
Cuantizada ( )q
x t Tiempo Continuo, Amplitud discreta.
Digital ( )q x n Tiempo y Amplitud discretos
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
10/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 10
1.5.2 Señal periódica y aperiódica.
Señal Periódica: Una señal continua en el tiempo ( ) x t se dice periódica sí y solo sí.
( ) ( ) ( , ) x t T x t t + = ∀ → −∞ ∞
El valor positivo más pequeño para el cual se cumple la igualdad anterior, es llamado el periodo de
la señal. Ejemplo: Señal periódica
)2cos()( φ π += t f At x
Donde , , A f y ϕ son constantes
.)/(
)(
.
segradianesFase
segundosr pociclosó HertzenFrecuencia f
Amplitud A
→
→
→
φ
La frecuencia angular en radianes por segundo está definida por:
1 22 f T
f
π
ω π
ω
= ⇒ = =
Para una señal discreta:
),()()( ∞−∞→∀=+ nn X N n X
Ejemplos
Señal senoidal
2( ) , ( )
2 2( ) ,
n x t A sen t x n Asen
N
kT x kt Asen
N N
π ω
π π
= =
= Ω =
Señal Aperiódi ca: No cumple con la igualdad para la periodicidad.
t t Diente de Sierra Tren de Pulsos
x(t)x(t)
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
11/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 11
1.5.3 Señales determinísticas y aleatorias.
Determinista: Es aquella que se define completamente a través de una ecuación (expresión
analítica), por lo tanto todos los valores futuros pueden ser preservados a través de esta ecuación.
Ejemplo:
( ) senSeñal senoidal y t A t ω =
Aleato ria: Es aquella en la cual su valor no puede ser determinado con certidumbre. Estas señales
se describen solo en términos de funciones probabilísticas ( variancia, media, funciones de
distribución). Ejemplo:
( ) n t Voltaje de ruido en un Amplificv ador =
1.5.4 Señales o funciones Singulares.
Estas señales forman un conjunto o familia de señales de prueba de uso estándar para el análisis y
la síntesis de sistemas dinámicos.
a.- Función Impulso. (Delta de Dirac) [ ])()(0 t ót u δ
11; ( ) 0 0 ( ) 1 0 A d t cuando t y t dt cuando t
d δ δ
∞
−∞
= = = ≠ = =
∫
1
d
2
d −
2
d 0
)(t f
0
( )t δ
(1)
t
0 0T
∞→⇒→ alt 0δ
(K)
( )K t T δ −
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
12/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 12
b.- Función escalón un itario. [ ])()( 1 t uót u −
01)(,00)( ≥=
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
13/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 13
Es decir nos interesa excitar a un sistema lineal e invariante en el tiempo con una señal de prueba
estándar conocida del tipo impulso, escalón, rampa o parabólica para poder predecir su respuesta.
Ejemplos:
1.- Se desea construir el pulso de amplitud 4 presente entre t=1 y t=2.
2.- Se desea construir el diente de sierra mostrado en la figura.
SLIT
( )
( )
( )
( )
t
u t
r t
p t
δ
?
8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015
14/14
Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos
MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 14
Bibliografía.
1. D’Azzo J., Houpis C, and Sheldon S. “Linear Control System Analysis and Design with
MATLAB”. Marcel Dekker Inc. 5th Edition. 2003.
2. Dorf R. and Bishop R. ”Modern Control Systems”. Prentice Hall. 12th Edition. 2011
3. Dorsey J. “Sistemas de Control Continuos y Discretos” Mc Graw Hill. Primera Edición.
2002.
4. Kuo B., "Automatic Control Systems", Jhon Wiley, 8th Edition. 2003.
5. Kuo F., “Network Analysis and Synthesis”, Wiley International Edition, 1966.
6. Naresh, K. “Control Systems”, Jhon Wiley & Sons, Second Edition, 1995.
7. Nise N. “Control Systems Engineering”, Wiley 6th Edition. 2011.
8. Ogata, K. “Modern Control Engineering”, Pearson, 5th Edition. 2010.
9. Rodríguez A. J. E. “Introducción a la Ingeniería del Control Automático” McGraw-Hill,
Primera Edición, 1998.
510
( ) ( 2) ( 2) ( 5) ( 5) 3 ( 5) x t r t u t r t u t u t ⇒ = − − − − − − −
( ) x t
t
( 2) ( 2)r t u t ⇒ − −
( 5) ( 5)r t u t ⇒ − − −
3 ( 5)u t ⇒ − −
2
3
-3