Post on 02-Oct-2015
description
B A B V
B A B IV
Ruang-Ruang Vektor Euclidean4.1 Ruang n EuclidisDefinisi:
Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, .... an) himpunan semua tupel-n- terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan RnPasangan tiga berurut (a1, a2, a3) dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau suatu vektor.
Definisi:
Dua vektor u = (u1, u2, ... un) dan v = (v1, v2, ... vn) pada Rn dikatakan sama, jika:
u1 = v1, u2 = v2, . un = vn
Jumlah u + v didefinisikan oleh:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, . un + vn)
dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar didefinisikan:
ku = (ku1, ku2, ... kun)
Operasi penjumlahan dan perkalian skalar disebut operasi standar (baku) pada RnVektor nol (zero vector) dalam Rn
= (0, 0, 0, , 0) Jika u = (u1, u2, ... un) adalah vektor pada Rn, maka negatif atau invers aditifnya adalah:-u = (-u1, -u2, ... -un)
Pengurangan vektor - didefinisikan oleh :
+ (-1) = (u1, u2, ,un) + (-1) (v1, v2, ,vn)
= (u1, u2, ,un) + (-v1, -v2, ,-vn)
- = (u1 - v1, u2 - v2, un - vn)Teorema-1Jika = (u1, u2, ,un), = (v1, v2, ,vn) dan = (w1, w2, ,wn) adalah vektor-vektor di Rn dan k serta l skalar, maka :
a) + = +
( (komutatif)b) + ( + ) = ( + ) + ( (asosiatif)c) + = + =
d) + (-) = , yakni - = 0
( (invers aditif)
e) k(l) = (kl)
f) k( + ) = k + k
( (distributif 1)
g) (k+l) = k + l
( (distributif 2)
h) 1 =
Contoh manipulasi vector pada RnMisalkan:x + u = v
(x + u) + (-u) = v + (-u)
x + (u - u) = v - u
x + 0 = v u
x = v - uDefinisi:
Jika = (u1, u2, ,un) dan = (v1, v2, ,vn) adalah sembarang vektor di Rn, maka hasilkali dalam Euclidis (Euclidean inner product) . didedinisikan sebagai :
Contoh:
Dalam R4 : = (-1, 3, 5, 7)
= (5, -4, 7, 0)
Maka : . = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0)
= -5-12+35+0
= 18Teorema-2Jika , dan adalah vektor-vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka :
a) . = .
b) ( + ) . = . + .
c) (k). = k(.)
d) . 0, selanjutnya . = 0 jika dan hanya jika v = 0Bukti-b:
Jika = (u1, u2, ,un), = (v1, v2, ,vn) dan = (w1, w2, ,wn), maka:
( + ) . = (u1 + v1, u2 + v2, . un + vn) . (w1, w2, ,wn)
= (u1 + v1) w1 + (u2 + v2) w2 + . +(un + vn) wn
= (u1 w1 + u2 w2 + ...+ un wn) + (v1 w1 + v2 w2 + . +( vn wn)
= . + .
Contoh:
(3 + 2) . (4 + ) = (3u).(4u + v) + (2v). (4u + v)
= (3u).(4u) + (3u).v + (2v). (4u) + (2v).v
= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)
= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)Norm Euclidis (panjang euclidis) vektor = (u1, u2, ,un) Rn didefinisikan sebagai :
= ( . )1/2
=
Contoh:
Jika = (2, 2, -1) R3
Maka =
= 3
Jarak Euclidis antara titik = (u1, u2, ,un) Rn dan titik = (v1, v2, ,vn) Rn didefinisikan oleh :
d(u, v) =
Contoh:
Jika = (2, 4, -1, 1) dan = (1, 3, 2, -5)
Maka d(u, v) =
=
=
Teorema-3
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam Rn
Jika = (u1, u2, ,un) dan = (v1, v2, ,vn) adalah vektor-vektor di Rn, maka:
Atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponen:
| u1 v1 + u2 v2 + unvn |
EMBED Equation.3 Jika dan adalah vektor-vektor tak nol di R2 atau R3, maka:
=
Teorema-4
Jika dan adalah vektor-vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka:
a) 0
b) = 0 jika dan hanya jika u = 0
c) = |k|
d) + (ketaksamaan segitiga)
Bukti-c:
Jika = (u1, u2, ,un) maka k = (ku1, ku2, ,kun), sehingga
=
=
= |k|
Bukti-d:
2 = (u+v).(u+v)
= (u.u) + 2 (u.v) + (v.v)
= 2 + 2 (u.v) + 2
2 + 2 |u.v| + 2 ( sifat nilai mutlak 2 + 2
EMBED Equation.3 + 2( ketaksamaan Cauchy-Schawrz
= ( + )2
= |k|
+ Teorema-5
Jika , dan adalah vektor-vektor di Rn dan k adalah sembarang skalar, maka :
a) d(u, v) 0
b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v
c) d(u, v) = d(v, u)
d) d(u, v) d(u, w) + d(w, v)( (ketaksamaan segitiga)
Suatu vektor = (u1, u2, ,un) dalam Rn dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai suatu matriks baris atau matriks kolom.Teorema-6
Jika , dan adalah vektor-vektor di Rn dengan hasil kali dalam euclidean, maka :u.v = || u+v ||2 || u-v ||2Keortogonalan
Dua vektor u dan v dalam Rn disebut ortogonal jika u.v = 0
Contoh:
Dalam ruang Euclidean R4 vektor-vektor
u = (-2, 3, 1, 4) dan v = (1, 2, 0, -1) adalah ortogonal karena:
. = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0Teorema-7
(Teorema Pythagoras untuk Rn).
Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal dalam Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka: || u+v||2 = || u ||2 + ||v||2Jika dan , maka = (v1, v2, ,vn)
= (u1 + v1, u2 + v2, . un + vn)
= (u.v)
= u.v
Jadi bagi vektor pada notasi vertikal, rumusnya adalah:
= u.v
Contoh:
dan
u.v = = (5, -4, 7, 0) = 18
Rumus-rumus yang dihasilkan
Au.v = u.ATv
u.Av = ATu.v
Contoh:
, maka
, didapat
Au.v = 7(-2) + 10(0)`5(5) = 11
u.AT v = (-1)(-7) + 2(4) +4(-1) = 11JadiAu.v = u.ATv
Hasil Kali Titik
Sistem Linier Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik, sbb:
Contoh:
Sistem: 3x1 4x2 + x3 = 1
2x1 7x2 - 4x3 = 5
x1 + 5x2 - 8x3 = 0Bentuk hasil kali titik:
4.2 Transformasi Linier dari Rn ke Rm
Fungsi dari Rn ke R
b = f(a), b bayangan dari a di bawah f atau f(a) adalah nilai dari f di a. Himpunan A disebut daerah asal dari f, dan himpunan B disebut daerah kawan dari f. Himpunan bagian dari B yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk f ketika a berubah-ubah dalam A disebut daerah hasil dari f. RumusContohKlasifikasiUraian
f(x)f(x) = x2Fungsi bernilai real dari suatu peubah realFungsi dari R ke R
f(x, y)f(x, y) = x2 + y2Fungsi bernilai real dari dua peubah realFungsi dari R2 ke R
f(x, y, z) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2Fungsi bernilai real dari tiga peubah realFungsi dari R3 ke R
f(x1, x2, ...... xn)f(x1, x2, ...... xn) =
Fungsi bernilai real dari n peubah realFungsi dari Rn ke R
Fungsi dari Rn ke Rm
Daerah asal suatu fungsi f adalah Rn dan daerah kawannya adalah Rm (m dan n mungkin sama), maka f disebut suatu peta atau transformasi dari Rn ke Rm . f memetakan Rn ke Rm , dinyatakan dengan Rn ( Rmf1, f2, ... fn adalah fungsi-fungsi bernilai real dari n peubah real, maka:
w1 = f1(x1, x2, ... xn)
w2 = f2(x1, x2, ... xn)
wm = fn(x1, x2, ... xn) Disebut transformasi dari Rn ke Rm dinyatakan dengan transformasi T, maka:
Rn ( Rm dan T(x1, x2, ... xn) = (w1, w2, ,wm)
Contoh:
Persamaan-persamaan: w1 = x1 + x2
w2 = 3x1 x2
w3 = x12 - x22
Adalah transformasi T: R2 ( R3
Bayangan titik (x1, x2) adalah: T(x1, x2) = (x1 + x2, 3x1 x2, x12 - x22)
Misalnya T(1, -2) = (-1, -6, -3)Transformasi Linier dari Rn ke Rm
T: Rn ( Rm di definisikan oleh persamaan berbentuk:
w1 = a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn
w2 = a21 x1 + a12 x2 + .......... + a2n xn
wm = am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn
atau dalam notasi matriks:
Atau secara lebih ringkas dengan
w = Ax
Matriks A = (aij) disebut matriks standar untuk transformasi linier T, dan T disebut perkalian dengan A.
Contoh:
Transformasi linier T : R4 ke R3 yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan:
w1 = 2 x1 - 3x2 + x3 - 5 x4
w2 = 4 x1 + x2 - 2x3 + x4
w3 = 5 x1 - x2 + 4x3
dalam bentuk matrik:
Sehingga matriks standar untuk T adalah
A =
Jika (x1, x2, x3, x4) = (1, -3, 0, 2), maka hitunglah harga w
w1 = 1
w2 = 3
w3 = 8Geometri Transformasi Linier
Untuk matriks nol:T0(x) = 0.x = 0
Untuk matriks identitas:TI(x) = I.x = x
Operator-Operator PencerminanOperator T: R2 ( R2memetakan setiap vektor ke bayangan simetrisnya terhadap sumbu-y. Misalkan w = T(x), maka persamaan yang menghubungkan komponen-komponen x dan w adalah:
w1 = -x = -x + 0y
w2 = y = 0x + yDalam bentuk matriks:
Maka T adalah operator linier, dan matriks standar untuk T adalah:
=
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan setiap vektor ke bayangan simetrisnya terhadap suatu garis atau bidang disebut operator pencerminan.Latihan Carilah matriks standar dan gambarkan
1. pencerminan terhadap sumbu-x
2. pencerminan terhadap garis y = x
3. pencerminan terhadap bidang xy
4. pencerminan terhadap bidang xz
5. pencerminan terhadap bidang yz
Operator-Operator Proyeksi
Operator T: R2 ( R2 memetakan setiap vektor ke proyeksi ortogonalnya pada sumbu-x
Persamaan-persamaan yang menghubungkan komponen-komponen x dan w = T(x) adalah:
w1 = x = x + 0y
w2 = 0 = 0x + 0y
Atau dalam bentuk matriks:
Persamaan adalah linier, jadi T adalah suatu operator linier, dan matrik standar T adalah:
Latihan
Carilah matriks standar dan gambarkan
1. Proyeksi ortogonal pada sumbu-y
2. Proyeksi ortogonal pada bidang xy
3. Proyeksi ortogonal pada bidang xz
4. Proyeksi ortogonal pada bidang yz
Operator-Operator Rotasi
x = r cos ,
y = r sin
dan
w1 = r cos ( + ),w2 = r sin ( + )maka didapat:
w1 = r cos cos - r sin sin
w2 = r cos cos + r cos sin
substitusikan ke x dan y, menghasilkan:
w1 = x cos y sin
w2 = x sin + y cos
jadi matriks standar untuk T adalah:
Maka Rotasi dengan sudut
Persamaan:w1 = x cos y sin
w2 = x sin + y sin
Matriks standar:
Contoh:
Jika setiap vektor pada R2 dirotasikan dengan sudut = (300), maka bayangan w
dari suatu vektor adalah:x =
yaitu:w = = =
misalkan bayangan vektor x =
adalah
w =
Operator-Operator Pelebaran dan Penyempitan
k adalah skalar non-negatif, maka operator T(x) = kx pada R2 dan R3 disebut suatu penyempitan dengan faktor k jika 0 k 1 dan suatu pelebaran dengan faktor k jika k 1
Komposisi Transformasi Linier
Jika TA : Rn ( Rk dan TB : Rk ( Rm adalah transformasi-transformasi linier Untuk setiap x dalam Rn dapat dihitung TA(x) dan merupakan vektor dalam Rk, selanjutnya dapat dihitung TB(TA(x)) yang merupakan vektor dalam Rm Komposisi TB dengan TA dinyatakan oleh TB TA Jadi(TB TA)(x) = TB(TA(x))
Komposisi TB TA adalah linier, karena:
(TB TA)(x) = TB(TA(x)) = B(Ax) = (BA)x
Jadi
TB TA = TBAContoh
T1 : R2 ( R2 dan T2 : R2 ( R2 adalah operator-operator linier yang merotasikan vektor masing-masing dengan sudut 1 dan 2Maka: (T2 T1)(x) = T2(T1(x))
Jawab:
Jadi matriks-matriks operator liniernya adalah:
,
[T2 T1] =
EMBED Equation.3 =
=
= [T2 T1] 4.3 Sifat-Sifat Transformasi Linier dari Rn ke Rm
Transformasi Linier Satu-Satu
Definisi:
T : Rn ( Rn disebut satu-satu jika T memetakan vektor-vektor yang berbeda pada Rn ke vektor-vektor yang berbeda pada RmContoh-1
A adalah matriks nxn dan TA : Rn ( Rn adalah perkalian dengan matrik A, maka: A dapat dibalik
Ax = w konsisten untuk setiap matriks w, n x l
Ax = w tepat mempunyai satu jawab
Untuk setiap vektor w pada Rm ada vektor x pada Rn sedemikan sehingga TA(x)=w. Daerah hasil untuk TA adalah semua dari Rn Untuk setiap vektor w dalam daerah hasil TA, tepat ada satu vektor x pada Rn sedemikan sehingga TA(x)=w. Maka TA adalah satu-satuTeorema: Jika A adalah suatu matriks n x n dan TA : Rn ( Rn adalah perkalian dengan A, maka:
A dapat dibalik
Daerah hasil dari TA adaah Rn TA adalah satu-satu
(Selanjutnya contoh-contoh soal bisa dilihat pada buku Anton Howard)CatatanPribadi
T disebut Transformasi Linear, jika T:V ( W
W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, yang memenuhi batasan:
1. T(V1 + V2) = T(V1) + T(V2); dimana V1 dan V2 RnT(kV) = k T(V); dimana V ( Rn dan k bilangan nyata2. T: V ( suatu Transformasi Linear, di mana:
Dimensi N(T) disebut nolitas dari T ditulis n(T)
Dimensi T(V) disebut rank dari T ditulis r(T)
Contoh-1:
Basis s = (v1, v2, v3) pada R3
v1 = (1, 1, 1); v2 = (1, 1, 0); v3 = (1, 0, 0)
T: R3 ( R2 dimana:T(V1) = (1, 0)
T(V2) = (2, -1)
T(V3) = (4, 3)
Tentukan: T(2, -3, 5)
Jawab:
(2, -3, 5) = k1 v1 + k2 v2 + k3v3
= k1 (1, 1, 1) + k2 (1, 1, 0) + k3(1, 0, 0)
k1 + k2 + k3 = 2
k1 + k2 = -3
k1 = 5
Jadi k2 = -3-5 = -8
k3 = 2-5 +8 = 5
Maka:
(2, -3, 5) = 5 v1 - 8 v2 + 5v3
T(2, -3, 5) = 5 T(V1) - 8 T(V2) + 5 T(V3)
= 5 (1, 0) - 8 (2, -1) + 5 (4, 3)
= (9, 23)
Contoh-2:
T: R2 ( R3
Tentukan: N(T); n(T); T(V) dan r(T)
Jawab:
maka
Jadi:
Sehingga N(T) = himpunan vektor-vektor
SPL:
Atau:
x y= 0
2x + 3y= 0
4x
= 0, maka x = 0 dan y = 0 Maka didapat N(T) =
Dimensi N(T) = n(T) =
Selanjutnya:
T(v)=
SPL: =
Atau:
EMBED Equation.3 ( lakukan OBE
Maka:
= 0
5b3 - 20b1 - 4b2 + 8b1 = 0
12b1 + 4b2 - 5b3 = 0
Jadi
T(v) R3 berupa bidang datar melalui titik O(0, 0, 0) dengan vektor normal n = (12, 4, -5) berarti dimensi T(V) = r(T) = 2
Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik
T:v ( w, diminta mencari nilai karakteristik ()
Vektor
Rn dimana ax 0
Vektor disebut vektor karakteristik
Nilai Karakteristik
A . = , di mana A = matriks bujur sangkar
Contoh:
dan
Tentukan nilai karakteristik
Jawab:
= = = 2
Jadi = 2
Cara lain:
A . = .
=
=
=
Jadi = 2
Persamaan Karakteristik
A . = .
A . = I ( I = vektor satuan
I - A = 0
( I - A) = 0 ( disebut Ruang Karakteristik
| I - A | = 0 ( disebut Persamaan Karakteristik
Contoh:
Tentukan nilai karakteristik
Jawab:
| I - A | = 0
= 0
= 0
(-1)( -3)-(-2)(-4) = 0
2 - 4 - 5 = 0
(-5)( +1) = 0
1 = 5 atau 2 = -1
Vektor Karakteristik ( )Contoh:
Tentukan vektor karakteristik dari
Jawab
Persamaan Karakteristik:
| I - A | = 0
= 0
= 0
(-1)( +2)-(-1)(-4) = 0
2 + - 6 = 0
(+3)( -2) = 0
1 = -3 atau 2 = 2
Misalkan
Ruang Karakteristik:
( I - A ) =
=
Untuk = -3, maka:
= (
=
-4x1 x2 = 0 ( -4x1 = x2
-4x1 x2 = 0
x1 = - x2 ( atau x2 = -4x1Himpunan Jawab:
( (
= vektor karakteristik untuk 1 = -3
Untuk 2 = 2, maka:
x1 x2 = 0
-4x1 + 4x2 = 0 ( x1 = x2Himpunan Jawab:
( (
= vektor karakteristik untuk 2 = 2
Contoh-1
Diketahui
Ditanya 1) Nilai karakteristik
2) Vektor karakteristik
Jawab-1):
Persamaan Karakteristik:
| I - A | = 0
= 0
= 0
= 0
= 0
3 + 2 - 20 2 + 20 + 108 - 18 90 + 18 18 + 9 36 = 0
3 - 12 16 = 0
( +2)( 2 -2 -8) = 0
( +2) ( +2) ( -4) = 0
1 = -2 atau 2 = -2 atau 3 = 4
Jawab-2):
Ruang Karakteristik:
I A = -
I A =
Misal
Ruang karakteristik:
(I A)
EMBED Equation.3 =
Untuk = -2
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
Kesimpulan: x1 x2 + x3 = 0
x1 = x2 - x3
HP = =
= =
untuk = -2
Misalkan: x2 = s, x3 = t
Maka
untuk = 4
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
6x2 = 6x1
12x2 = 6x3
x2 = x1
2x2 = x3
Jadi: x1 = x2
x3 = 2x2
HP = = =
Misalkan: x2 = s
Maka
untuk = 4
Contoh-2
Diketahui
I A = - =
Ditanya 1) Nilai karakteristik
2) Vektor karakteristik
Jawab:
Persamaan Eigen:
| I - A | = 0
= 0
= 0
[(-4)( -4)( -4)-8-8] - [4(-4) + 4( -4) + 4( -4)] = 0
[(-4)3 - 16] - [12(-4)] = 0
1. 3 - 32(-4) + 3 (-4)2 + (-4)3 16 [12-48] = 0
3 - 122 + 48 - 64 - 16 - 12 + 48 = 0
3 - 122 + 36 - 32 = 0
( -2)( 2 -10 +16) = 0
( -2) ( -2) ( -8) = 0
1 = 2 atau 2 = 2 atau 3 = 8
1,2 = 2 , 3 = 8
Misalkan Vektor Eigen:
Ruang Eigen:
(I A)
EMBED Equation.3 =
Untuk = 2 , maka
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
-2x1 - 2x2 - 2x3 = 0-2x1 - 2x2 - 2x3 = 0-2x1 - 2x2 - 2x3 = 0Jadi: -2x1 - 2x2 - 2x3 = 0
Maka: x1 + x2 + x3 = 0
Sehingga:x1 = -x2 - x3HP= =
= =
Untuk = 2
Misalkan: x2 = s, x3 = t
Maka
Untuk = 8
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
4x1 - 2x2 - 2x3 = 0 ( 4x1 - 2x2 - 2x3 = 0
-2x1 + 4x2 - 2x3 = 0 ( -2x1 + 4x2 - 2x3 = 0 --2x1 - 2x2 + 4x3 = 0 6x1 - 6x2 = 0
6x1 = 6x2
x1 = x2
-2x1 - 2x2 + 4x3 = 0 -2x2 - 2x2 + 4x3 = 0
-4x1 + 4x3 = 0 ( 4x3 = 4x2
x3 = x2
Jadi: x1 = x2 dan x3 = x2
HP= =
=
Untuk = 8
Misalkan: x2 = s
Maka
Untuk = 8
Tugas Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A, jika:
1. A =
2. A =
3. A =
4. A =
Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan Vektor eigen dari matriks A, jika:
5. A =
6. A =
7. A =
(a1, a2, a3)
(a1, a2, a3)
v
kv
u
v
u+v
w = T(x)
(x, y)
(-x, y)
x
y
x
T(x)
T memetakan titik ke titik
T memetakan vektor ke vektor
T(x)
x
(x, y)
(x, 0)
x
w
x
r
r
x
y
w = (w1, w2)
x = (x, y)
(x, y)
(w1, w2)
y
x
x
w
T(x) = kx
0 k < 1
x
x
k > 1
T(x) = kx
x
-
y
x
T1(x)
T2(T1(x))
-
1
1 + 2
2
-
+
+
+
_1322029729.unknown
_1360347471.unknown
_1360523346.unknown
_1362090882.unknown
_1362095321.unknown
_1393631510.unknown
_1393631575.unknown
_1393631841.unknown
_1393631548.unknown
_1362096149.unknown
_1362096173.unknown
_1362096225.unknown
_1362095443.unknown
_1362095945.unknown
_1362091501.unknown
_1362091886.unknown
_1362090923.unknown
_1360526700.unknown
_1360526906.unknown
_1360527087.unknown
_1362090648.unknown
_1360527052.unknown
_1360526792.unknown
_1360526535.unknown
_1360526628.unknown
_1360525566.unknown
_1360351305.unknown
_1360378429.unknown
_1360387877.unknown
_1360523156.unknown
_1360382940.unknown
_1360382949.unknown
_1360382927.unknown
_1360358275.unknown
_1360378345.unknown
_1360356517.unknown
_1360349090.unknown
_1360351180.unknown
_1360351294.unknown
_1360349099.unknown
_1360347917.unknown
_1360347953.unknown
_1360347501.unknown
_1322267859.unknown
_1322290473.unknown
_1360345152.unknown
_1360346197.unknown
_1360347326.unknown
_1360346896.unknown
_1360346939.unknown
_1360346854.unknown
_1360346754.unknown
_1360346806.unknown
_1360346153.unknown
_1360346175.unknown
_1360345248.unknown
_1325240551.unknown
_1360344064.unknown
_1360344866.unknown
_1360344232.unknown
_1360343993.unknown
_1354281334.unknown
_1322290886.unknown
_1322391575.unknown
_1322391590.unknown
_1322391938.unknown
_1322291028.unknown
_1322291096.unknown
_1322297836.unknown
_1322291063.unknown
_1322290932.unknown
_1322290817.unknown
_1322290858.unknown
_1322290538.unknown
_1322272407.unknown
_1322288663.unknown
_1322288951.unknown
_1322290259.unknown
_1322290459.unknown
_1322288976.unknown
_1322288772.unknown
_1322288839.unknown
_1322288683.unknown
_1322287138.unknown
_1322287432.unknown
_1322288509.unknown
_1322287213.unknown
_1322272711.unknown
_1322286466.unknown
_1322272456.unknown
_1322269336.unknown
_1322271940.unknown
_1322272138.unknown
_1322272400.unknown
_1322272071.unknown
_1322269642.unknown
_1322270549.unknown
_1322269572.unknown
_1322268785.unknown
_1322268955.unknown
_1322269059.unknown
_1322268841.unknown
_1322268123.unknown
_1322268630.unknown
_1322267925.unknown
_1322032466.unknown
_1322263688.unknown
_1322265958.unknown
_1322267722.unknown
_1322267743.unknown
_1322267761.unknown
_1322267696.unknown
_1322266102.unknown
_1322266483.unknown
_1322264905.unknown
_1322265490.unknown
_1322265922.unknown
_1322265449.unknown
_1322264035.unknown
_1322264165.unknown
_1322263858.unknown
_1322262068.unknown
_1322262224.unknown
_1322262576.unknown
_1322263467.unknown
_1322262555.unknown
_1322262122.unknown
_1322262184.unknown
_1322261255.unknown
_1322261372.unknown
_1322261403.unknown
_1322261913.unknown
_1322261322.unknown
_1322032635.unknown
_1322029889.unknown
_1322032392.unknown
_1322032448.unknown
_1322031810.unknown
_1322031939.unknown
_1322031200.unknown
_1322029795.unknown
_1322029851.unknown
_1149123659.unknown
_1321863968.unknown
_1321866410.unknown
_1322029093.unknown
_1322029497.unknown
_1322029581.unknown
_1322029478.unknown
_1322029272.unknown
_1322029068.unknown
_1321866587.unknown
_1322028887.unknown
_1321864301.unknown
_1321865740.unknown
_1321865754.unknown
_1321865166.unknown
_1321864275.unknown
_1321864291.unknown
_1321864144.unknown
_1321862525.unknown
_1321863183.unknown
_1321863803.unknown
_1321863648.unknown
_1321863783.unknown
_1321862710.unknown
_1321862824.unknown
_1321862686.unknown
_1150338377.unknown
_1150338455.unknown
_1321855222.unknown
_1150338404.unknown
_1150337521.unknown
_1150337880.unknown
_1150337257.unknown
_1150336335.unknown
_1150337029.unknown
_1149154998.unknown
_1149677043.unknown
_1147309905.unknown