Post on 10-Oct-2020
Automatique des systèmes mécaniques:Asservissement des Systèmes Linéaires Continus et
Invariants (SLCI)LEFI ABDELLAOUI: INGÉNIEUR DOCTEUR AGRÉGÉ EN GÉNIE MÉCANIQUE
IPEIB 2020
01/06/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, BLOG: https://lefiabdellaoui.wordpress.com
Modélisation d’un système asservi
• Automatique: C’est la science qui étudie les automatismes;• Automatisme: Un dispositif technologique qui remplace l'opérateur humain dans la
conduite d'une machine, d'un processus, d'une installation industrielle;• Processus : C'est l'ensemble de l'installation que l'on doit piloter. Il est caractérisé par des
signaux d'entrée et de sortie et des lois physiques et mathématiques reliant ces signaux.• Un système est un ensemble de processus en évolution.Les signaux relatifs à un système sont de deux types :• Signaux d'entrées : Ils sont indépendants du système et peuvent être commandés
(Consignes) ou non commandés (Perturbations).• Signaux de sorties : Ils sont dépendants du système et des signaux d'entrées.
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Définitions :
Modélisation d’un système asservi
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Exemple1: Bras de MaxPID :
Modélisation d’un système asservi
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Exemple 2: Cheville de NAO
Leçon 1 : Modélisation d’un système asservi
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Exemple 2: Régulation de température
Modélisation d’un système asservi
Système
Consigne
système
𝑼𝒄
Perturbation
Réponse
𝜽(°𝑪)Transducteur
Consigne
opérateur
𝜽𝒄 (°C)
Consigne, perturbation et réponse:
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Vs(Volt)
𝜃(°)
Modélisation d’un système asservi
Système en boucle ouverte
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Un système est en boucleouverte lorsqu'on n'a aucuneinformation sur la sortie.L'opérateur ne peut pasélaborer une stratégied'ajustement pour obtenir lasortie désirée.
Porte
RéservoirPompe
Echangeur de chaleur
Vanne
𝛼(𝑡) 𝑞(𝑡) 𝜃1(𝑡) 𝜃(𝑡)
Exemple: Réservoir chauffé
Modélisation d’un système asservi
Système en boucle ouverte
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Pourvu que ça marche, je n’ai aucune information sur la
sortie.OOOOFFF !!! Je suis aveugle
Porte
Réservoir
Pompe
Echangeur de chaleur
Vanne
𝜶(𝒕) 𝒒(𝒕) 𝜽𝟏(𝒕) 𝜽(𝒕)
Modélisation d’un système asservi
Système en boucle fermée
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Porte
Réservoir
Pompe
Echangeur de chaleur
Vanne
𝜶(𝒕)𝒒(𝒕) 𝜽𝟏(𝒕) 𝜽(𝒕)
Perturbation : ouverture de la porte, fuite thermique
Moto-réducteur
cap
teu
r
Ampli+
-𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖𝒄 𝒕
𝜽𝒄 𝒕
𝜺 𝒕 = 𝑼𝒄 𝒕 − 𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖 𝒕
Modélisation d’un système asservi
Système en boucle fermée
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Porte
Réservoir
Pompe
Echangeur de chaleur
Vanne
𝜶(𝒕) 𝒒(𝒕) 𝜽𝟏(𝒕) 𝜽(𝒕)
Perturbation : ouverture de la porte, fuite thermique
Moto-réducteur
cap
teu
r
Ampli+
-
𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖𝒄 𝒕
𝜽𝒄 𝒕
𝜺 𝒕 = 𝑼𝒄 𝒕 − 𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖 𝒕
Je suis heureux ! Je compare la réponse 𝛉 𝒕 à la consigne 𝜽𝒄 𝒕 et
j’ajuste en conséquence 𝜺 𝒕jusqu’à avoir la température dans le
réservoir égale à la consigne (𝜺 𝒕 =0)
Modélisation d’un système asservi
Schéma général d’un système asservi
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Correcteur Préactionneur Actionneur Processus physique
Capteur
Transducteur
Sortie:Réponse
Perturbation:Entrée 2
+
-
+-
Consigne système
Consigne opérateur:Entrée 1
CHAINE D’ACTION DIRECTE/CHAINE D’ENERGIE
CHAINE DE RETOUR /CHAINE D’INFORMATION
Régulateur
Modélisation d’un système asservi
Asservissement de vitesse d’un vérin hydraulique
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L’exercice porte sur l’asservissement en vitesse d’un vérinhydraulique. La vitesse de sortie de ce vérin est notée 𝑣(𝑡). Uneélectrovanne (vanne pilotée électriquement considérée comme undistributeur hydraulique), délivre le débit 𝑞(𝑡) qui alimente le vérin.La consigne de vitesse 𝑣𝑐(𝑡)est transformée en tension 𝑢𝑐(𝑡) à l’aided’un transducteur. Cette tension est comparée à la tension 𝑢𝑚𝑒𝑠(𝑡),délivrée par un capteur de vitesse, puis corrigée par un correcteur.
𝒗𝒄(𝒕)
Correcteur Électrovanne Vérin hydraulique
Capteur de vitesse
Transducteur
𝒗(𝒕)+
-
𝒒(𝒕)𝒖(𝒕)
𝒖𝒎𝒆𝒔(𝒕)
Vitesse (m/s) Vitesse (m/s)
𝜺 𝒕 = 𝑼𝒄 𝒕 − 𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖𝒄(𝒕)
Modélisation d’un système asservi
Asservissement de vitesse d’un axe tournant
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L’exercice porte sur l’asservissement en vitesse d’un axe tournant. L’entraînementest assuré par un moteur suivi d’un réducteur de vitesse. La consigneω𝑐(𝑡) estdonnée au travers d’un potentiomètre angulaire. Une génératrice tachymétrique,placée après le réducteur, mesure la vitesse de sortie 𝜔 𝑡 de l’axe en question. Lesignal délivré par la génératrice tachymétrique𝑢𝑚𝑒𝑠(𝑡) est comparé à celui délivrépar le potentiomètre 𝑢𝑐 𝑡 . Un amplificateur, placé après le comparateur, délivre unsignal de commande au moteur.
𝝎𝒄(𝒕)
Amplificateur Moteur Réducteur
Génératrice tachymétrique
Potentiomètre
𝝎𝒓(𝒕)+
-
𝝎𝒎(𝒕)𝒖(𝒕)
𝒖𝒎𝒆𝒔(𝒕)
Vitesse (rad/s)
Vitesse (rad/s)
𝜺 𝒕 = 𝑼𝒄 𝒕 − 𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖𝒄(𝒕)
𝝎𝒎(𝒕)
𝝎𝒓(𝒕)
Modélisation d’un système asservi
Outils nécessaires pour étudier les systèmes asservis
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1) La modélisation et l’étude des systèmes asservis nécessitent les outils suivants :
▪ Savoir utiliser la transformée de Laplace ;
▪ Savoir déterminer la fonction de transfert à partir des lois de comportement ;
▪ Savoir simplifier un schémas blocs et déduire la fonction de transfert ;
▪ Savoir tracer et lire les diagrammes de Bode, Nyquist et Black.
▪ Savoir identifier la fonction de transfert expérimentalement (identification temporelle et
fréquentielle)
2) Dans la suite, nous nous limiterons à l’étude des Systèmes Linéaires Continus Invariants
(SLCI)
Outil1 : Transformée de Laplace
Nécessité de l’outil transformée de Laplace
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Domaine temporel Domaine de Laplace
Modélisation (PFD, Théorème de l’énergie
cinétique, Lois de Kirchhoff etc.) :
Lois de comportement des systèmes.
Equations différentielles en :
𝒆(𝒕) et 𝒔(𝒕)
Solution 𝒔(𝒕)
Transformée de Laplace 𝑳[. ] Equations polynomiales en 𝑬(𝒑) et 𝑺(𝒑)
Fonction de transfert
𝑯(𝒑) =𝑺(𝒑)
𝑬(𝒑)
Transformée inverse de Laplace 𝑳−𝟏[𝑺(𝒑)]𝑢 𝑡 = 𝑅𝑖 𝑡 + 𝑒 𝑡
𝑒 𝑡 = 𝑘𝑒𝜔𝑚 𝑡
𝑐𝑚 𝑡 = 𝐾𝑡𝑖 𝑡
𝑐𝑚 𝑡 −𝐷
2𝜂𝐾𝑟𝑓𝑅 𝑡 =
𝐽𝑒𝑞
𝜂
𝑑𝜔𝑚 𝑡
𝑑𝑡
𝑈 𝑝 = 𝑅𝐼 𝑝 + 𝐸 𝑝
𝐸 𝑝 = 𝑘𝑒Ω𝑚 𝑝
C𝑚 𝑝 = 𝑘𝑡𝐼 𝑝
C𝑚 𝑝 −𝐷
2𝜂𝐾𝑟𝐹𝑅 𝑝
=𝐽𝑒𝑞
𝜂𝑝Ω𝑚 𝑝
𝑺(𝒑) = 𝑯(𝒑)𝑬(𝒑)
Outil1 : Transformée de Laplace
Définition et propriétés
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Définition :▪ La transformée de Laplace bilatérale d’une fonction 𝑓: 𝑡 → 𝑓(𝑡) est :
𝐿 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑝 = න−∞
+∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 𝑝 ∈ ℂ
▪ Dans le cas où 𝑓(𝑡) = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟𝑡 < 0, on utilise la transformée de Laplace unilatérale :
𝐿 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑝 = න0
+∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 𝑝 ∈ ℂ
Propriétés :a. Linéarité
𝐿 𝑓 𝑡 + 𝑔(𝑡) = 𝐿 𝑓(𝑡) + 𝐿 𝑔(𝑡)𝐿 𝜆𝑓(𝑡) = 𝜆𝐿 𝑓(𝑡)
𝐿 0 = 0b. Théorème de retard
𝐿 𝑓(𝑡 − 𝑇) = 𝑒−𝑇𝑝𝐹(𝑝)
Outil1 : Transformée de Laplace
Propriétés
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c. Théorème des valeurs initiale et finale𝑙𝑖𝑚𝑡→0
𝑓(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑝→∞
𝑝𝐹(𝑝)
𝑙𝑖𝑚𝑡→∞
𝑓(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑝→0
𝑝𝐹(𝑝)
d. Dérivation
𝐿𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0)
𝐿𝑑2𝑓(𝑡)
𝑑𝑡2= 𝑝2𝐹 𝑝 − 𝑝𝑓 0 − 𝑓′(0)
e. Intégration
𝐿 න0
𝑡
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 =𝐹(𝑝)
𝑝+𝑓(0)
𝑝
Outil1 : Transformée de Laplace
Propriétés
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Dans le cas où les conditions initiales sont nulles, conditions d’Heaviside, alors ;
𝐿𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑝𝐹 𝑝 , 𝐿
𝑑2𝑓(𝑡)
𝑑𝑡2= 𝑝2𝐹 𝑝 et 𝐿 0
𝑡𝑓 𝑢 𝑑𝑢 =
𝐹(𝑝)
𝑝
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒑) 𝒇(𝒕) 𝑭(𝒑)
𝐾𝐾
𝑝sin𝜔𝑡
𝜔
𝑝2 + 𝜔2
𝐾𝑡𝐾
𝑝2cos𝜔𝑡
𝑝
𝑝2 + 𝜔2
𝐾𝑡𝑛𝐾𝑛!
𝑝𝑛+1𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
𝜔
𝑝 + 𝑎 2 + 𝜔2
𝑒𝑎𝑡𝑡𝑛𝑛!
𝑝 − 𝑎 𝑛+1𝑒−𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑝 + 𝑎
𝑝 + 𝑎 2 + 𝜔2
𝑒−𝑎𝑡1
𝑝 + 𝑎
f. Tableau des transformés de Laplace :Le tableau suivant donne les transformées de Laplace de quelques fonction usuelles.
Outil1 : Transformée de Laplace
Applications Objectifs : Des exercices élémentaires afin de maitriser les propriétés de la transformée de
Laplace
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Transformées directes de LaplaceTrouver les transformées de Laplace des fonctions suivantes :𝑓 𝑡 = 3𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡
Transformées inverses de LaplaceTrouver les transformées inverses de Laplace des fonctions suivantes :
𝐹 𝑝 =2
𝑝+1−
4
𝑝+3
Décomposition en éléments simplesDécomposer en éléments simples les fonctions suivantes et calculer leurs transformées inverses :
𝐹 𝑝 =− 𝑝2+𝑝−1
𝑝 𝑝+1 (𝑝+2),
Résolution des équations différentiellesRésoudre l’équation différentielle suivante par les transformées de Laplace.
1)𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡− 3𝑦 𝑡 = 0, 𝑦 0 = 6
𝑭 𝒑 =𝟑
𝒑 + 𝟏−
𝟏
𝒑 + 𝟐
𝒇 𝒕 = 𝟐𝒆−𝒕 − 𝟒𝒆−𝟑𝒕
𝑭 𝒑 =𝑨
𝒑+
𝑩
𝒑+𝟏+
𝑪
𝒑+𝟐=
𝟏
𝟐
𝒑−
𝟏
𝒑+𝟏−
𝟏
𝒑+𝟐𝒇 𝒕 =
𝟏
𝟐− 𝒆−𝒕 − 𝒆−𝟐𝒕
𝒑𝒀 𝒑 − 𝒚 𝟎 − 𝟑𝒀 𝒑 = 𝟎➔ 𝒀 𝒑 𝒑 − 𝟑 = 𝟔➔ 𝒀 𝒑 =𝟔
𝒑−𝟑➔ 𝒚 𝒕 = 𝟔𝒆𝟑𝒕
Outil2 : Fonction de transfert à partir des lois de comportements
Explication
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Equation différentielle 𝑠(𝑡) = 𝑓(𝑒(𝑡))
𝑒(𝑡) 𝑠(𝑡)
Fonction de transfert
𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)
𝐸(𝑝)
𝐸(𝑝) 𝑆(𝑝)
Domaine de Laplace
Domaine temporel
𝑞(𝑡)𝜃1 𝑡 + 𝑇1
𝑑𝜃1 𝑡
𝑑𝑡= 𝑘1𝑞(𝑡)
𝜃1(𝑡)
𝑄(𝑝) 𝜃1(𝑝)𝐻2 𝑝 =
𝜃1 𝑝
𝑄 𝑝=
𝑘11 + 𝑇1𝑝
Outil2 : Fonction de transfert à partir des lois de comportements
Exemple: Réservoir chauffé
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Porte
RéservoirPompe
Echangeur de chaleur
Vanne
𝛼(𝑡) 𝑞(𝑡) 𝜃1(𝑡) 𝜃(𝑡)
On donne les lois de comportement de chaque élémentdu système.• La loi de fonctionnement de la vanne est caractérisée
par l’équation 𝒒 𝒕 = 𝒌𝒂𝜶(𝒕) donnant le débit enfonction de l’angle d’ouverture de la vanne.𝑘𝑎 =10−3𝑚3/°𝑠
• Les deux autres équations caractérisent le transfert dechaleur :
1. Dans l’échangeur :
𝜽𝟏 𝒕 + 𝑻𝟏𝒅𝜽𝟏 𝒕
𝒅𝒕= 𝒌𝟏𝒒(𝒕) ,𝑘1 = 500°𝐶/𝑚3𝑠−1 et
𝑇1 = 10𝑠1. Dans l’enceinte :
𝜽 𝒕 + 𝑻𝟐𝒅𝜽 𝒕
𝒅𝒕= 𝒌𝟐𝜽𝟏 𝒕 ,𝑘2 = 0,8 et 𝑇2 = 25𝑠
Outil2 : Fonction de transfert à partir des lois de comportements
Exemple: Réservoir chauffé
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Domaine temporel Domaine Laplace
𝒒 𝒕 = 𝒌𝒂𝜶(𝒕)𝜶(𝒕) 𝒒(𝒕) 𝜶(𝒑)
𝑯𝟏 𝒑 =𝑸 𝒑
𝜶 𝒑= 𝒌𝒂
𝑸(𝒑)
𝒒(𝒕)𝜽𝟏 𝒕 + 𝑻𝟏
𝒅𝜽𝟏 𝒕
𝒅𝒕= 𝒌𝟏𝒒(𝒕)
𝜽𝟏(𝒕)
𝜽𝟏(𝒕)𝜽 𝒕 + 𝑻𝟐
𝒅𝜽 𝒕
𝒅𝒕= 𝒌𝟐𝜽𝟏(𝒕)
𝜽(𝒕)
𝑸(𝒑) 𝜽𝟏(𝒑)𝑯𝟐 𝒑 =
𝜽𝟏 𝒑
𝑸 𝒑=
𝒌𝟏𝟏 + 𝑻𝟏𝒑
𝜽𝟏(𝒑) 𝜽(𝒑)𝑯𝟑 𝒑 =
𝜽 𝒑
𝜽𝟏 𝒑=
𝒌𝟐𝟏 + 𝑻𝟐𝒑
Question 1: Déterminer les fonctions de transfert des trois constituants du système.
Outil2 : Fonction de transfert à partir des lois de comportements
Exemple: Réservoir chauffé
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𝜽𝟏(𝒑)𝑯𝟐 𝒑 =
𝑲𝟏
𝟏 + 𝑻𝟏𝒑
𝜶(𝒑)
𝑯𝟏 𝒑 = 𝑲𝒂
𝑸(𝒑)
Question 2: Déterminer la température à la sortie de l’échangeur 𝜃1(𝑡) si l’angle d’ouverture de la vanne est égal à 360°.
Le schéma bloc suivant représente le système vanne + échangeur :
𝜶 𝒕 = 𝟑𝟔𝟎°➔𝜶 𝒑 =𝟑𝟔𝟎
𝒑
𝜽𝟏 𝒑 =𝒌𝟏𝒌𝒂
𝟏+𝑻𝟏𝒑𝜶(𝒑)➔𝜽𝟏 𝒑 =
𝟏𝟖𝟎
𝒑 𝟏+𝟏𝟎𝒑=
𝟏𝟖
𝒑 𝒑+𝟎,𝟏=
𝟏𝟖𝟎
𝒑−
𝟏𝟖𝟎
𝒑+𝟎,𝟏
D’où : 𝜽𝟏 𝒕 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟖𝟎𝒆−𝟎,𝟏𝒕
VanneEchangeur
Outil2 : Fonction de transfert à partir des lois de comportements
Exemple: Réservoir chauffé
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Question 3: Déterminer la température dans l’enceinte θ(t) si l’angle d’ouverture de la vanne est égal à 360°.Le schéma bloc suivant représente le système vanne + échangeur+ enceinte :
𝜽(𝒑)𝑯𝟑 𝒑 =
𝒌𝟐𝟏 + 𝑻𝟐𝒑
𝜽𝟏(𝒑)𝑯𝟐 𝒑 =
𝑲𝟏
𝟏 + 𝑻𝟏𝒑
𝜶(𝒑)𝑯𝟏 𝒑 = 𝑲𝒂
𝑸(𝒑)
𝜶 𝒕 = 𝟑𝟔𝟎°➔𝜶 𝒑 =𝟑𝟔𝟎
𝒑
𝜽 𝒑 =𝒌𝟏𝒌𝟐𝒌𝒂
𝟏+𝑻𝟏𝒑 𝟏+𝑻𝟐𝒑𝜶(𝒑)➔𝜽 𝒑 =
𝟏𝟒𝟒
𝒑 𝟏+𝟏𝟎𝒑 𝟏+𝟐𝟓𝒑=
𝟎,𝟓𝟕𝟔
𝒑 𝒑+𝟎,𝟏 𝒑+𝟎,𝟎𝟒=
𝟏𝟒𝟒
𝒑+
𝟗𝟔
𝒑+𝟎,𝟏−
𝟐𝟒𝟎
𝒑+𝟎,𝟎𝟒
𝜽 𝒕 = 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗𝟔𝒆−𝟎,𝟏𝒕 − 𝟐𝟒𝟎𝒆−𝟎,𝟎𝟒𝒕
Outil2 : Fonction de transfert à partir des lois de comportements
Exemple: Réservoir chauffé
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Question 4: Avec le logiciel Scilab, Représenter et interpréter les allures de𝜃1 𝑡 𝑒𝑡𝜃(𝑡) si l’angled’ouverture de la vanne est égal à 360°.
𝜃1 𝑡
𝜃(𝑡)
Modélisation d’un système asservi
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Porte
Réservoir
Pompe
Echangeur de chaleur
Vanne
𝜶(𝒕)𝒒(𝒕) 𝜽𝟏(𝒕) 𝜽(𝒕)
Perturbation : ouverture de la porte, fuite thermique
Moto-réducteur
cap
teu
r
Ampli+
-𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖𝒄 𝒕
𝜽𝒄 𝒕
𝜺 𝒕 = 𝑼𝒄 𝒕 − 𝒖𝒎𝒆𝒔 𝒕
𝒖 𝒕
Exemple: Réservoir chauffé
➔ Nécessité de l’outil simplification des schémas blocs
Déterminer 𝑯 𝒑 =𝜽 𝒑
𝜽𝒄(𝒑)
Outil2 : Fonction de transfert à partir des lois de comportements
Fonctions tests
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Outil3 : Simplification des schémas blocs
Convention
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Outil3 : Simplification des schémas blocs
Convention
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Y(p)BY(p)
X(p)-BY(p)AX(p)-ABY(p)=Y(p) 𝑯 𝒑 =
𝑨
𝟏 + 𝑨𝑩
C. Convention
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Règles de simplification
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Outil3 : Simplification des schémas blocs
Règles de simplification
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𝑯 𝒑 =𝑨
𝟏 − 𝑨𝑩
𝑯 𝒑 =−𝑨
𝟏 + 𝑨𝑩
𝑯 𝒑 =−𝑨
𝟏 − 𝑨𝑩
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Manipulation des schémas blocs
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Outil3 : Simplification des schémas blocs
Manipulation des schémas blocs
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Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application1: simple
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𝑮𝟏𝑮𝟒𝟏 + 𝑯𝟏𝑮𝟏𝑮𝟒
𝑮𝟐 + 𝑮𝟑
𝐻 𝑝 =𝑌(𝑝)
𝑋(𝑝)=
(𝑮𝟐 + 𝑮𝟑)𝑮𝟏𝑮𝟒𝟏 + 𝑯𝟏𝑮𝟏𝑮𝟒
1 +𝑯𝟐(𝑮𝟐 + 𝑮𝟑)𝑮𝟏𝑮𝟒
𝟏 + 𝑯𝟏𝑮𝟏𝑮𝟒
=(𝑮𝟐 + 𝑮𝟑)𝑮𝟏𝑮𝟒
𝟏 + 𝑯𝟏𝑮𝟏𝑮𝟒 +𝑯𝟐(𝑮𝟐 + 𝑮𝟑)𝑮𝟏𝑮𝟒
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application2: Boucles imbriquées
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Solution 1:
𝟏
𝑪(𝒑)𝑯 𝒑 =
𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟏𝑮𝟒𝟏 + 𝑯𝟏𝑮𝟏𝑮𝟒 +𝑯𝟐𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟏𝑮𝟒
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application2: Boucles imbriquées
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Solution 2:
𝑪(𝒑)
𝑯 𝒑 =𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟏𝑮𝟒
𝟏 + 𝑯𝟏𝑮𝟏𝑮𝟒 +𝑯𝟐𝑮𝟐𝑮𝟑𝑮𝟏𝑮𝟒
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application3: Boucles imbriquées
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𝑨
𝟏 + 𝑨𝑩
𝑨
𝟏 + 𝑨𝑩 𝟏
𝑪(𝒑)𝟏 − 𝑪
𝑪
𝑨𝑪
𝟏 + 𝑨𝑩
𝑫(𝟏 − 𝑪)
𝑪
𝑯 𝒑 =𝑨𝑪
𝟏 + 𝑨𝑩 + 𝑨𝑫(𝟏 − 𝑪)
X(p) Y(p)
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application4: Système à une entrée et deux sorties
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𝑲𝒕𝑨 𝒑 𝑩(𝒑)
𝑲𝒆
𝑼(𝒑) 𝛀(𝒑)
𝑯𝟏 𝒑 =𝑲𝒕𝑨 𝒑 𝑩(𝒑)
𝟏 + 𝑲𝒆𝑲𝒕𝑨 𝒑 𝑩(𝒑)
𝑨 𝒑
𝑲𝒆 𝑲𝒕𝑩(𝒑)
𝑼(𝒑) 𝑰(𝒑)
𝑯𝟐 𝒑 =𝑨 𝒑
𝟏 + 𝑲𝒆𝑲𝒕𝑨 𝒑 𝑩(𝒑)
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application4: Système à deux entrées
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Y
X-Y A(X-Y) A(X-Y)+Z=AB(X-Y)+BZ
𝒀 𝒑 =𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
𝟏+𝑨 𝒑 𝑩 𝒑𝑿 𝒑 +
𝑩 𝒑
𝟏+𝑨 𝒑 𝑩 𝒑𝒁 𝒑 𝒀 𝒑 = 𝑯𝟏(𝒑)𝑿 𝒑 + 𝑯𝟐(𝒑)𝒁 𝒑
𝑯𝟏(𝒑) =𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
𝟏 + 𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
𝑯𝟐(𝒑) =𝑩 𝒑
𝟏 + 𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
Méthode1: algébrique
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application4: Système à deux entrées
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Méthode 2: Simplification de schéma bloc
1. Déterminer 𝑯𝟏 𝒑 = ቚ𝒀(𝒑)
𝑿(𝒑) 𝒁 𝒑 =𝟎
2. Déterminer 𝑯𝟐 𝒑 = ቚ𝒀(𝒑)
𝒁(𝒑) 𝑿 𝒑 =𝟎
3. Exprimer 𝒀(𝒑) en fonction de 𝑿 𝒑 et 𝒁 𝒑
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application4: Système à deux entrées
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𝑯𝟏(𝒑) =𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
𝟏 + 𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
1. Déterminer 𝑯𝟏 𝒑 = ቚ𝒀(𝒑)
𝑿(𝒑) 𝒁 𝒑 =𝟎
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application4: Système à deux entrées
01/06/2020 ENSEIGNANT: LEFI ABDELLAOUI, BLOG: https://lefiabdellaoui.wordpress.com
𝑯𝟐(𝒑) =𝑩 𝒑
𝟏 + 𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
2. Déterminer 𝑯𝟐 𝒑 = ቚ𝒀(𝒑)
𝒁(𝒑) 𝑿 𝒑 =𝟎
𝑩(𝒑)
𝑨(𝒑)
𝒀(𝒑)𝒁(𝒑)
−𝟏
+
+
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application4: Système à deux entrées
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3. Exprimer 𝒀(𝒑) en fonction de 𝑿 𝒑 et 𝒁 𝒑
𝑯𝟏(𝒑)
𝑯𝟐(𝒑)
𝒀(𝒑)
𝒁(𝒑)
++
𝑿(𝒑)
𝒀 𝒑 = 𝑯𝟏(𝒑)𝑿 𝒑 + 𝑯𝟐(𝒑)𝒁 𝒑
𝑯𝟏(𝒑) =𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
𝟏 + 𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
𝑯𝟐(𝒑) =𝑩 𝒑
𝟏 + 𝑨 𝒑 𝑩 𝒑
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application5: Moteur à courant continu
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( ) ( )ee t =K ω t
( ) ( )m tc t =K i t
( ) ( ) ( )( )
m d r
dω tc t -K ω t -c t =J
dt
( ) ( ) ( )( )di t
u t -e t =Ri t +Ldt
On donne ci-dessous les équations qui régissent le fonctionnement d’un moteur à courant continu à flux constant :
u(t) : tension au borne de l’induit ;•e(t) : force électromotrice ;•i(t) : courant dans l’induit ;•cm(t) : couple moteur ;•Ke : constante de force électromotrice ;•Kt : constante de couple électromagnétique ;•Cr(t) : couple résistant appliqué sur le moteur ;•Kd : constante du couple de frottement visqueux ;•J : moment d’inertie moteur ;•R : résistance de l’induit ;•𝜔(t) : vitesse de rotation moteur ;•L : inductance de l’induit ;
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application5: Moteur à courant continu
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( ) ( )ee t =K ω t
( ) ( )m tc t =K i t
( ) ( ) ( )( )
m d r
dω tc t -K ω t -c t =J
dt
( ) ( ) ( )( )di t
u t -e t =Ri t +Ldt
1. Traduire les équations dans le domaine de Laplace sachant que les conditions initiales sont nulles.
𝐸(𝑝) = 𝐾𝑒Ω 𝑝
𝐶𝑚(𝑝) = 𝐾𝑡𝐼 𝑝
𝐶𝑚 𝑝 − 𝐾𝑑Ω 𝑝 − 𝐶𝑟 𝑝 = 𝐽𝑝Ω 𝑝
𝑈 𝑝 − 𝐸 𝑝 = 𝑅𝐼 𝑝 + 𝐿𝑝𝐼 𝑝
2. Compléter le schéma blocs suivant : 𝟏
𝑹 + 𝑳𝒑𝑲𝒕
𝟏
𝑲𝒅 + 𝑱𝒑
𝑲𝒆
Outil3 : Simplification des schémas blocs
Application5: Moteur à courant continu
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𝟏
𝑹 + 𝑳𝒑𝑲𝒕
𝟏
𝑲𝒅 + 𝑱𝒑
𝑲𝒆
3. Exprimer 𝛀(𝒑) en fonction de 𝑼 𝒑 et 𝑪𝒓 𝒑
𝒀 𝒑 = 𝑯𝟏 𝒑 𝑼 𝒑 + 𝑯𝟐(𝒑)𝑪𝒓 𝒑
𝑯𝟏(𝒑) =𝑲𝒕
𝑲𝒕𝑲𝒆 + (𝑹 + 𝑳𝒑)(𝑲𝒅 + 𝑱𝒑)
𝑯𝟐(𝒑) =−(𝑹 + 𝑳𝒑)
𝑲𝒕𝑲𝒆 + (𝑹 + 𝑳𝒑)(𝑲𝒅 + 𝑱𝒑)
Outil4 : Diagramme de Bode
Pourquoi utiliser un papier semi-log?
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L’étude fréquentielle ou harmonique d’un système consiste à lui appliquer unefonction sinusoïdale ( 𝐴1sin(𝜔𝑡 + 𝜑1) )et suivre la sortie du système qui estgénéralement une fonction sinusoïdale (𝐴2sin(𝜔𝑡 + 𝜑2)).
𝑯 𝒋𝝎 =𝟏
𝟏 + 𝒋𝝎𝝎 = 𝟏𝒓𝒂𝒅/𝒔 𝝎 = 𝟐𝒓𝒂𝒅/𝒔
𝝎 = 𝟑𝒓𝒂𝒅/𝒔
Outil4 : Diagramme de Bode
Pourquoi utiliser un papier semi-log?
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Les deux informations utiles dans cette étude sont l’amplitude 𝐴2 ou bien le gain 𝐴2
𝐴1et
la phase 𝜑2 ou bien le déphasage Δ𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1.
𝑯 𝒋𝝎 =𝟏
𝟏 + 𝒋𝝎𝝎 = 𝟏𝒓𝒂𝒅/𝒔 𝝎 = 𝟐𝒓𝒂𝒅/𝒔
𝝎 = 𝟑𝒓𝒂𝒅/𝒔
Outil4 : Diagramme de Bode
Pourquoi utiliser un papier semi-log?
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Représenter l’évolution du gain ou du déphasage en fonction de la pulsation 𝜔 = 2𝜋𝑓ou bien en fonction de la fréquence 𝑓 en utilisant une échelle décimale est impossible. Pour cela, l’utilisation d’une échelle logarithmique est la solution.
𝝎(𝒓𝒂𝒅/𝒔) 10 100 1000 10000 100000 1000000
log𝝎 1 2 3 4 5 6
𝜔 10𝜔1 décade
Outil4 : Diagramme de Bode
Pourquoi utiliser un papier semi-log?
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1 décade
𝝎(𝒓𝒂𝒅/𝒔) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
𝐥𝐨𝐠𝝎 1 1,3 1,47 1,6 1,69 1,77 1,84 1,9 1,95 2
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,60,70,80,9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 100
5 rad/s
Outil4 : Diagramme de BodePourquoi utiliser un papier semi-log?
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𝝎(𝒓𝒂𝒅/𝒔
10 100 1000 10000
300rad/s 3000rad/s
1 décade
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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a- Le GAINCette représentation est déterminée en représentant le gain 𝐺𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝐻 𝑗𝜔 en fonction de log𝜔. Dans le cas où on dispose d’une échelle logarithmique pour l’axe des abscisses, on porte sur cette axe à la place de 𝑙𝑜𝑔𝜔.Méthode classique :1. Remplacer dans l’expression de la fonction de transfert « 𝑝 » par « 𝑗𝜔 »2. Calculer 𝐻(𝑗𝜔) pour déduire 𝐺𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝐻(𝑗𝜔)3. Tracer les asymptotes correspondant aux faibles fréquences ω→0 et hautes fréquences ω→+∞4. Tracer la courbe en s’aidant des asymptotes précédemment tracées. Si nécessaire, affiner la représentation en calculant les coordonnées de quelques points.
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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b –La phase
Cette représentation est déterminée en représentant la phase 𝜑 = 𝑎𝑟𝑔 𝐻 𝑗𝜔 en
fonction de log𝜔Méthode classique :
1. Remplacer dans l’expression de la fonction de transfert « 𝑝 » par « 𝑗𝜔 »
2. Calculer tan𝜑 à l’aide de la relation : tan arg 𝑎 + 𝑗𝑏 =𝑏
𝑎
3. Trouver l’intervalle dans lequel varie . Pour cela, on étudie le signe de cos 𝜑 et
de sin𝜑4. Déterminer les variations de la fonction tan𝜑 en déduire les asymptotes
correspondant aux faibles fréquences 𝜔 → 0 et hautes fréquences 𝜔 → +∞
5. Tracer la courbe 𝜑 = 𝑎𝑟𝑔 𝐻 𝑗𝜔
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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Remarques :
Dans le cas où la fonction de transfert s’écrit sous la forme d’un produit :
𝐻 𝑗𝜔 = 𝐴 𝑗𝜔 𝐵 𝑗𝜔 , on a alors :
𝐺𝑑𝐵 𝐻 𝑗𝜔 = 𝐺𝑑𝐵 𝐴 𝑗𝜔 + 𝐺𝑑𝐵(𝐵 𝑗𝜔 ) et 𝜑 𝐻 𝑗𝜔 = 𝜑 𝐴 𝑗𝜔 + 𝜑(𝐵 𝑗𝜔 )
Dans le cas où la fonction de transfert s’écrit sous la forme d’un produit :
𝐻 𝑗𝜔 = 𝐾𝐴 𝑗𝜔 , le gain, est trouvé en représentant celui de 𝐴 𝑗𝜔 et en faisant
une translation de 20 log𝐾. Pour la phase, le diagramme reste inchangé si 𝐾 est
positif.
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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Fonctions usuelles :
Effectuer les tracés asymptotiques et réels des fonctions usuelles suivantes :
𝐻1 𝑝 = 1 + 𝜏𝑝, 𝜏 > 0𝐻2 𝑝 = 1 + 𝜏𝑝, 𝜏 < 0
𝐻3 𝑝 =1
1+𝜏𝑝, 𝜏 > 0
𝐻4 𝑝 =1
1+𝜏𝑝, 𝜏 < 0
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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Gain :
𝐻1 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜏𝜔, 𝜏 > 0
𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝐻1 𝑗𝜔 = 20 log 1 + 𝜏2𝜔2
Asymptotes:
ω → 0,𝐺𝑑𝐵 → 0 L’axe des abscisses est une asymtote pour les faibles fréquences
ω → +∞,𝐺𝑑𝐵 → 20 log 𝜏 + 20 log𝜔 𝐆𝐝𝐁 = 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝛕 + 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝛚 est une asymtote pour les hautes fréquences: c’est une droite de pente +20dB/décade
1 décade𝝎 𝟏𝟎𝝎
20 log 𝜏 + 20 log𝜔
20 log 𝜏 + 20 log𝜔+20+20dB
Doite de pente (+1)Pente +20dB
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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Gain :
𝐻1 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜏𝜔, 𝜏 > 0
𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝐻1 𝑗𝜔 = 20 log 1 + 𝜏2𝜔2
(+1)
GdB
GdB
𝜔𝑐: Pulsation de coupure des deux asymptotes
20 log 𝜏 + 20 log𝜔𝑐 = 0
𝜔𝑐 =1
𝜏 𝜔𝑐 =1
𝜏
𝐺𝑑𝐵 𝜔 = 𝜔𝑐 = 20 log 2 = +3𝑑𝐵
+3dB
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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Phase :
𝐻1 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜏𝜔, 𝜏 > 0
𝜑 = arg(𝐻1 𝑗𝜔 ) = arctan(𝜏𝜔)
Asymptotes:
ω → 0, tan𝜑 → 0,𝜑 → 0 L’axe des abscisses est une asymtote pour les faibles fréquences
ω → +∞, tan𝜑 → +∞,𝜑 → +90° 𝛗 = 𝟗𝟎° est une asymtote pour les hautes fréquences
tan𝜑 = 𝜏𝜔
𝜑 𝜔 = 𝜔𝑐 = 45°
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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𝐻1 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜏𝜔, 𝜏 > 0
(+1)
GdB
GdB
𝜔𝑐 =1
𝜏
+3dB
𝜑(°) 9090
45
𝐻2 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜏𝜔, 𝜏 < 0
(+1)
GdB
GdB
𝜔𝑐 =1
𝜏
+3dB
𝜑(°) 90
-90
-45
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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𝐻3 𝑝 =1
1+𝜏𝑝, 𝜏 > 0
(+1)
GdB
GdB
𝜔𝑐 =1
𝜏
-3dB
𝜑(°)9090
45
𝐻4 𝑝 =1
1+𝜏𝑝, 𝜏 < 0
(+1)
GdB
GdB
𝜔𝑐 =1
𝜏𝜑(°) 90
-90
-45
-3dB
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode
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Méthode pratique pour les tracés asymptotiques de diagramme de Bode : Gain et phaseA partir des fonctions usuelles, les règles suivantes peuvent être soulignées :Règle 1 :
En présence d’un pôle réel soit 𝑝𝑖, quand 𝜔 augmente, le tracé asymptotique du gain subit une
variation de pente de -20dB par décade dès que l’on rencontre 𝑝𝑖 . En même temps le tracé
asymptotique de phase diminue de 90° si le pôle est négatif et augmente de la même quantité dans le
cas contraire.
Règle 2 :
En présence d’un zéro réel soit 𝑧𝑖, quand 𝜔 augmente, le tracé asymptotique du gain subit une
variation de pente de +20dB par décade dès que l’on rencontre 𝑧𝑖 . En même temps le tracé
asymptotique de phase augmente de 90° si le zéro est négatif et diminue de la même quantité dans le
cas contraire.
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode 𝑯 𝒑 =𝟏
𝟏+𝟎,𝟎𝟓𝒑
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𝝎𝒄 = 𝟐𝟎𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-1)
(-90)
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode 𝑯 𝒑 =𝟏+𝟎,𝟎𝟓𝒑
𝟏+𝟎,𝟓𝒑
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𝝎𝒄𝟏 = 𝟐𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-1)
(-90)
𝝎𝒄𝟐 = 𝟐𝟎𝒓𝒂𝒅/𝒔
Outil4 : Diagramme de Bode
Diagramme de Bode 𝑯 𝒑 =𝟏+𝒑
𝟏+𝟎,𝟓𝒑 𝟏+𝟐𝒑
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𝝎𝒄𝟏 = 𝟎, 𝟓𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-1)
(-90)
𝝎𝒄𝟐 = 𝟏𝒓𝒂𝒅/𝒔
𝝎𝒄𝟑 = 𝟐𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-1)
(-90)
Outil4 : Diagramme de BodeDiagramme de Bode 𝑯 𝒑 =
𝟐𝟎
𝟏+𝟎,𝟏𝒑 𝟏+𝟎,𝟎𝟓𝒑
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𝝎𝒄𝟏 = 𝟏𝟎𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-1)
(-180)
𝝎𝒄𝟐 = 𝟐𝟎𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-2)
(-90)
Outil4 : Diagramme de BodeDiagramme de Bode 𝑯 𝒑 =
𝟓 𝟏+𝟎,𝟓𝒑
𝟏+𝟐𝒑 𝟏+𝟎,𝟎𝟏𝒑
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𝝎𝒄𝟏 = 𝟎, 𝟓𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-1)
(-180)
𝝎𝒄𝟐 = 𝟐𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-1)
(-90)
𝝎𝒄𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝒓𝒂𝒅/𝒔
Outil4 : Diagramme de BodeDiagramme de Bode 𝑯 𝒑 =
𝟏−𝒑
𝟏+𝒑 𝟐
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𝝎𝒄 = 𝟏𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-270)
(-1)
Outil4 : Diagramme de BodeDiagramme de Bode 𝑯 𝒑 =
𝒌
𝒑 𝟏+𝝉𝒑
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𝝎𝒄 =𝟏
𝝉
𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝐻 𝑗𝜔 = 20 log 𝑘 − 20 log𝜔 − 20 log 1 + 𝜏2𝜔2
𝜑 = arg 𝐻 𝑗𝜔 = −90° − arctan(𝜏𝜔)
ω → 0, 𝐺𝑑𝐵 → 20 log 𝑘 − 20 log𝜔 Droite de pente -20dB/décade: Asymptote pour les faibles fréquences
ω → 0,𝜑 → −90° 𝝋 = −𝟗𝟎°: Asymptote pour les faibles fréquences
Outil4 : Diagramme de BodeDiagramme de Bode 𝑯 𝒑 =
𝒌
𝒑 𝟏+𝝉𝒑
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𝝎𝒄 =𝟏
𝝉
𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝒌 − 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝝎𝒊(-1)
(-2)
(-90)
(--180)
GdB
Phase(°)
𝝎𝒊
Outil4 : Diagramme de BodeDiagramme de Bode 𝑯 𝒑 =
𝟏𝟎
𝒑 𝟏+𝟎,𝟓𝒑
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𝝎𝒄 = 𝟐𝒓𝒂𝒅/𝒔
(-180)
(-1)
Merci pour votre attention
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