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8/3/2019 Aussagen Logik
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Grundlagen der EDV
Aussagenlogik
G. Laner 03/04
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Aussagenlogik
G. Laner 2003/04
Aussage
Was versteht man unter einer Aussage?
Einen Satz, dem eindeutig das Resultat "wahr" oder "falsch"
zugeordnet werden kann.
Mgliche Schreibweisen:
wahr w, 1, true
falsch f, 0, false
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Wahrheitstabellen
Bieten eine bersicht ber alle mglichen Kombinationen von
mehreren zusammengesetzten Aussagen.
Aussagen werden ber aussagenlogische Operatorenverknpft, den JUNKTOREN.
Unterschieden wird nach ein-, zwei- und mehrstelligenJunktoren.
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Negation
(Verneinung)
Operator:
Wahrheitstabelle: a a
w f
f w
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Konjunktion
(UND-Verknpfung)
Operator:
Wahrheitstabelle: a b a b
w w w
w f f
f w f
f f w
Umgangssprachlich: sowohl, als auch
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Disjunktion
(ODER-Verknpfung)
Operator:
Wahrheitstabelle: a b a b
w w w
w f w
f w w
f f f
Umgangssprachlich: oder (einschlieend)
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Antivalenz / Alternative
(ENTWEDER ODER-Verknpfung)
Operator: D
Wahrheitstabelle: a b aD b
w w f
w f w
f w w
f f f
Umgangssprachlich: entweder oder (ausschlieend)
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Implikation / Subjunktion
(IMPLIZIERT-Verknpfung)
Operator: p a heit Prmisse, b Konklusion
Wahrheitstabelle: a b apb
w w w
w f f
f w wf f w
Umgangssprachlich: wenn - dann / aus - folgt
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quivalenz
Operator: m
Wahrheitstabelle: a b amb
w w w
w f f
f w ff f w
Umgangssprachlich: genau dann, wenn
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Aussagenlogik
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Beispiel 1:Wahrheitstabelle: p q r (p pq r
w
w
w
f
w
w
w
f
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
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Aussagenlogik
G. Laner 2003/04
Beispiel 1:Wahrheitstabelle: p q r (p pq r
w
w
w
f
w
w
w
f
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
w
w
f
w
w
w
w
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Aussagenlogik
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p q r s ((( p m(q r)) p( s (q ))))
wwwwwwww
ffff
ffff
wwwwffff
wwww
ffff
wwffwwff
wwff
wwff
wfwfwfwf
wfwf
wfwf
wwffffff
wwff
ffff
ffffwwww
ffff
wwww
wwffffff
ffww
wwww
wfwfwwww
wfwf
wwww
wfwwwwww
wfww
wwww
fwffffff
fwff
ffff
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Tautologie - Kontradiktion
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TautologieAussagenlogische Formel, die fr alle Kombinationen derAussagenvariablen den Wert "wahr" hat.
KontradiktionAussagenlogische Formel, die fr alle Kombinationen derAussagenvariablen den Wert "falsch" hat.
IndeterminiertMindestens eine Kombination ergibt "wahr" und mindestens eineergibt "falsch".
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Normalformen
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KKNF - Kanonische konjunktive NormalformKonjunktive Verknpfung von Basisdisjunktionen.
Bsp.: (p q r) (p q r)
KDNF - Kanonische disjunktive NormalformDisjunktive Verknpfung von Basiskonjunktionen.
Bsp.: (p q r) (p q r)
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Normalformen
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p
w
w
w
w
f
f
f
f
q
w
w
f
f
w
w
f
f
r
w
f
w
f
w
f
w
f
( p pq) r
w
f
w
f
w
f
w
w
Gesucht: quivalente KDNF
Alle Kombinationen, die Resultat"w" haben, werden gesucht undverarbeitet.
(p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r)
( p q r)
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Normalformen
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p
w
w
w
w
f
f
f
f
q
w
w
f
f
w
w
f
f
r
w
f
w
f
w
f
w
f
( p pq) r
w
f
w
f
w
f
w
w
Gesucht: quivalente KKNF
Alle Kombinationen, die Resultat"f" haben, werden gesucht undverarbeitet.
( p q r) ( p q r) (p q r)
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NAND / NOR Junktoren (Sheffer / Peirce Operatoren)
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p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
p oq
f
w
w
w
NAND (Sheffer-Operator)entspricht NOT AND
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
p qq
f
f
f
w
NOR (Peirce-Operator)entspricht NOT OR
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quivalenz-Umformungen
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Um eine Normalform zu erreichen, drfen als Junktoren nur,undvorkommen.
Daher sind die Junktoren mund pdurch geeignete Konstrukte zuersetzen (siehe nchste Folie).
Zustzlich sind Umformungen nach den DE MORGAN - Gesetzennotwendig:
a b entspricht a b
a b entspricht a b
Weitere Umformungen:
a b c entspricht a b a c
a b c entspricht a b a c
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quivalenz-Umformungen
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p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
ppq
w
f
w
w
p
f
f
w
w
p q
w
f
w
w
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
pmq
w
f
f
w
(ppq) (qpp)
f
f
w
w
( p q) ( q p)
f
f
w
w