Post on 11-Nov-2015
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Sistemas Fuzzy
Sistemas especialistas Fuzzy
n Especialistas n Senso comum para resolver problemas n Impreciso, inconsistente, incompleto, vago Embora o transformador esteja um pouco carregado, pode-se
us-lo por um tempo n Nenhum problema para outro especialista, mas sim para o EC
n Lgica Fuzzy: n Idia: todas as coisas admitem graus (temperatura, altura,
velocidade, distncia, etc...) n Desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califrnia em Berkeley na
dcada de 60
Grau de Crena x Grau de Verdade n Grau de Crena x Teoria das Probabilidades
n 80% dos pacientes com dor de dentes tm cries n Uma probabilidade de 0.8 no significa 80% verdade mas sim um grau de
crena de 80% na regra Grau de verdade x Lgica Fuzzy
n Mrio alto n A proposio verdadeira para uma altura de Mario 1.65m ?
n ...mais ou menos.... n Observar que no h incerteza, estamos seguros da altura de Mario
n O termo lingustico alto vago, como interpret-lo? n Por exemplo, a teoria de conjuntos Fuzzy (semntica para lgica fuzzy) permite
especificar quo bem um objeto satisfaz uma descrio vaga (predicado vago) n O grau de pertinncia de um objeto a um conjunto fuzzy representado por algum nmero
em [0,1]
Caractersticas: Lgica Fuzzy (1/2)
n Lgica convencional: sim-ou-no, verdadeiro-ou-falso n Lgica Fuzzy (difusa ou nebulosa):
n Refletem o que as pessoas pensam n Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de deciso ou senso
comum
n Trabalha com uma grande variedade de informaes vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expresses do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.
Caractersticas: Lgica Fuzzy (2/2)
n Antes do surgimento da lgica fuzzy essas informaes no tinham como ser processadas
n A lgica fuzzy contm como casos especiais no s os sistemas lgicos binrios, como tambm os multi-valorados
n A lgica fuzzy vem sendo aplicada nas seguintes reas n Anlise de dados n Construo de sistemas especialistas n Controle e otimizao n Reconhecimento de padres, etc.
n Conjunto de princpios matemticos para a representao do conhecimento baseado no grau de pertinncia dos termos
Conjuntos Fuzzy (1/3)
n Conjuntos com limites imprecisos
Altura(m)
1.75
1.0
Conjunto Clssico 1.0
Funo de pertinncia
Altura (m)
1.60 1.75
.5
.9
Conjunto Fuzzy
A = Conjunto de pessoas altas
.8
1.70
Conjuntos Fuzzy (2/3) n Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X caracterizado por uma
funo de pertinncia A, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
A:X[0,1]
n Desta forma, a funo de pertinncia associa a cada elemento x pertencente a X um nmero real A(X) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinncia do elemento x ao conjunto A, isto , o quanto possvel para o elemento x pertencer ao conjunto A.
n Uma sentena pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa n A(X) : x [0,1], A(X) = 0 0 < A(X) < 1 A(X) = 1
Conjuntos Fuzzy (3/3)
n Definio formal n Um conjunto fuzzy A em X expresso como um conjunto de pares
ordenados:
}|))(,{( XxxxA A =
Universo ou Universo de discurso
Conjunto fuzzy
Funo de pertinncia
(MF)
Um conjunto fuzzy totalmente caracterizado por sua funo de pertinncia (MF)
Como representar um conjunto Fuzzy num computador?
1. Funo de pertinncia n Reflete o conhecimento que se tem em relao a intensidade
com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy n Mtodos para adquirir esse conhecimento do especialista n Ex: Perguntar ao especialista se vrios elementos pertencem a
um conjunto
Funo de Pertinncia
n Vrias formas diferentes n Representadas uma funo de mapeamento n Caractersticas das funes de pertinncia:
n Medidas subjetivas n Funes no probabilsticas monotonicamente crescentes, decrescentes
ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.
MFs
Altura (m)
alto no Brasil
1.75
.5
.8
.1
alto nos EUA
alto na Itlia
Funo de Pertinncia n Funo Triangular
n Funo Trapezoidal
n Funo Gaussiana
n Funo Sino Generalizada
trimf x a b cx ab a
c xc b
( ; , , ) max min , ,=
0
trapmf x a b c dx ab a
d xd c
( ; , , , ) max min , , ,=
1 0
gbellmf x a b cx cb
b( ; , , ) =
+
1
12
2
21
),,;(
= cx
ecbaxgaussmf
Funo de Pertinncia
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Grau
de
Perti
nnc
ia"
(a) Triangular
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Grau
de
Perti
nnc
ia"
(b) Trapezoidal
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
Grau
de
Perti
nnc
ia
(c) Gaussiana
0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 Gr
au d
e Pe
rtin
ncia"
(d) Sino Gerneralizada
Funo de pertinncia: Universo Discreto
n X = {SF, Boston, LA} (discreto e no ordenado) n C = Cidade desejvel para se viver n C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA, 0.6)}
n X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto) n A = Nmero de filhos n A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6),
(5, .2), (6, .1)}
0 2 4 6 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
X = Nmero de filhos
Grau
de
Perti
nnc
ia
(a) Universo Discreto
Funo de pertinncia: Universo Contnuo
n X = (Conjunto de nmeros reais positivos) (contnuo)
n B = Pessoas com idade em torno de 50 anos
n B = {(x, B(x) )| x em X}
B x x( ) =
+
1
1 5010
2
0 50 100 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
X = Idade
Grau
de
Perti
nnc
ia
(b) Universo Contnuo
Partio Fuzzy
n Partio fuzzy do universo de X representando idade, formada pelos conjuntos fuzzy jovem, maduro e idoso.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2
X = Idade
Gra
u de
Per
tinn
cia Jovem Maduro Idoso
Variveis Lingsticas
n Uma varivel lingstica possui valores que no so nmeros, mas sim palavras ou frases na linguagem natural. n Idade = idoso
n Um valor lingstico um conjunto fuzzy. n Todos os valores lingsticos formam um conjunto de termos:
n T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,... Maduro, no maduro,... Velho, no velho, muito velho, mais ou menos velho,... No muito jovem e no muito velho,...}
n Permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semntica usada por especialistas
Exemplo: If projeto.durao is no muito LONGO then risco is ligeiramente reduzido
Hedges (modificadores)
n Termos que so usados para modificar a forma dos conjuntos fuzzy n Muito, algo mais ou menos, um
pouco
n So universais n Compostos de nome e frmula n Muito:
n Extremamente
n Muito muito
n Um pouco
n Mais ou menos
n Indeed ( )2)()( xx AMA =
( )3)()( xx AMA =
( ) 3,1)()( xx AMA =
)()( xx AMA =
( )( ) 15,0,)(121)(
5,00,)(*2)(2
2
A B, se B(x) A(x) para cada x X A = B, se A(x) = B(x) para cada x X A = X - A A(x) = 1 - A(x)
E(x) = Max [0, A(x) - B(x)]
C = A B c(x) = max(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)
C = A B c(x) = min(A(x), B(x)) C = A(x) B(x)
Operaes Bsicas
n Subconjunto n Igualdade n Complemento n Complemento Relativo
n Unio
n Interseo
Representao
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 A est contido em B
Grau
de
Perti
nnc
ia
B A
(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy no A
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 A B
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 (c) Conjunto Fuzzy "A ou B"
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 (d) Conjunto Fuzzy "A e B"
Exemplo (Unio|Interseo)
n X = {a, b, c, d, e} n A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e} n B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
n Unio n C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
n Interseo
n D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
Propriedades n Comutatividade
n A B = B A A B = B A
n Idempotncia n A A = A A A = A
n Associatividade n A (B C) = (A B) C = A B C A (B C) = (A B) C = A B C
n Distributividade n A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
Propriedades padres: Comutatividade, Idempotncia Associatividade, Distributividade etc. so vlidas para os conjuntos fuzzy. Exceo:
A A A A X
Regras Fuzzy
Consistem: n Conjunto de condies IF
(usando conectivos and, or ou not) n Uma concluso THEN n Uma concluso opcional ELSE
Exemplo:
1. Se velocidade > 100 Ento DPP 30 metros
2. Se velocidade < 40 Ento DPP 10 metros
1. Se velocidade alta Ento DPP longa
2. Se velocidade baixa Ento DPP curta
Velocidade [0,220] Baixa, Mdia e alta
Regras Fuzzy
n E o raciocnio? n Avaliar o antecedente n Aplicar o resultado ao conseqente n As regras so ativadas parcialmente, dependendo do antecedente n Ex: Se a altura alta, o peso pesado (altura =1.85, peso = ?)
1.85
.5 .75
.1
Alto
90
.5 .75
.1
Pesado
Regras Fuzzy
n E no caso de existir vrios antecedentes?
n E no caso de existir vrios conseqentes?
1 FUZZIFICAO
2 INFERNCIA
AGREGAO
3 DEFUZZIFICAO
COMPOSIO
Etapas do raciocnio Fuzzy
Lingustico Numrico Nvel
Variveis Calculadas
Variveis Calculadas
(Valores Numricos)
(Valores Lingusticos) Inferncia Variveis de Comando
Defuzzificao
Objecto
Fuzzificao
(Valores Lingusticos)
Variveis de Comando (Valores Numricos)
Nvel
Etapas do raciocnio Fuzzy
Fuzzificao
n Etapa na qual as variveis lingsticas so definidas de forma subjetiva, bem como as funes membro (funes de pertinncia)
n Engloba n Anlise do Problema n Definio das Variveis n Definio das Funes de pertinncia n Criao das Regies
n Na definio das funes de pertinncia para cada varivel, diversos tipos de espao podem ser gerados: n Triangular, Trapezoidal, ...
TRIANGULAR
Frio Normal Quente
TRAPEZOIDAL
Lento Rpido
Fuzzificao
Inferncia Fuzzy n Etapa na qual as proposies
(regras) so definidas e depois so examinadas paralelamente
n Engloba: n Definio das proposies n Anlise das Regras n Criao da regio resultante
n O mecanismo chave do modelo Fuzzy a proposio
n A proposio o relacionamento entre as variveis do modelo e regies Fuzzy
n Na definio das proposies, deve-se trabalhar com:
n Proposies Condicionais if W is Z then X is Y
n Proposies No-Condicionais
X is Y
Inferncia Fuzzy
n AGREGRAO n Calcula a importncia de uma determinada regra para a situao
corrente
n COMPOSIO n Calcula a influncia de cada regra nas variveis de sada.
Defuzzificao n Etapa no qual as regies resultantes so convertidas em valores
para a varivel de sada do sistema n Esta etapa corresponde a ligao funcional entre as regies Fuzzy e
o valor esperado
n Dentre os diversos tipos de tcnicas de defuzzificao destaca-se: n Centride n First-of-Maxima n Middle-of-Maxima n Critrio Mximo
Exemplos:
z0 z0 z0
Centride First-of-Maxima Critrio Mximo
Defuzzificao
Inferncia Fuzzy: Um exemplo
n Objetivo do sistema: n um analista de projetos de uma
empresa que determina o risco de um determinado projeto
n Quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas no projeto
n Representao das variveis de entrada
n Base de conhecimento 1. Se dinheiro adequado ou
pessoal pequeno ento risco pequeno
2. Se dinheiro mdio e pessoal alto, ento risco normal
3. Se dinheiro inadequado, ento risco alto
Problema: dinheiro = 35% e pessoal = 60%
Inferncia Fuzzy: Um exemplo
n Passo 1: Fuzzificar
75,0)(&25,0)( == dd mi
Dinheiro
Inadequado Mdio
Adequado 35
.25
.75
Pessoal
60
Baixo Alto
.2
.8
8,0)(&2,0)( == pp ab
Inferncia Fuzzy: Um exemplo n Passo 2: Avaliao das regras
n Ou mximo e mnimo
Adequado
Regra 1:
Baixo 0,0 ou
0,2
Risco
mdio
Regra 2:
Alto 0,25
e
0,8
Risco
Inferncia Fuzzy
Risco
Inadequado
Regra 3:
0,75
Inferncia Fuzzy n Passo 3: Defuzzificao
Risco
0,75
0,25
10 20 30 40 70 60 50 100 90 80
4,708,35,267
75,075,075,025,025,025,02,02,02,02,075,0*)1009080(25,0*)706050(2,0*)40302010(
==+++++++++
+++++++++=C
Inferncia Fuzzy
n O mtodo de Sugeno n Igual ao Mandani n Conseqente Singleton
n Computacionalmente eficaz n Mais utilizado em otimizao e adaptao (controle de
sistemas