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Escoamento em tubos
Laminar interno viscoso
incompressível,
completamente
desenvolvido
Mecânica dos FluidosAula 15
Escoamento viscoso incompressível
Objetivo geral
Aplicar os princípios básicos da conservação da
massa, da quantidade de movimento e da energia
aos escoamentos internos,viscosos
incompressíveis em dutos.
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Objetivos específicos
Analisar o escoamento viscoso em tubos e dutos;
Descrever o perfil de velocidades para o
escoamento laminar.
Descrever o perfil das Tensões;
Definir raio hidráulico.
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Escoamento viscoso incompressível
Classificação
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Escoamento viscoso incompressível
LaminarTurbulento
Experimento de Reynolds
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Escoamento viscoso incompressível
OSBORNE REYNOLDS
(1842 - 1912)
Osborne Reynolds fez uma experiência para tentar
caracterizar o regime de escoamento, que a
princípio ele imaginava depender da velocidade de
escoamento.
Números de Reynolds críticos
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Escoamento viscoso incompressível
OSBORNE REYNOLDS
(1842 - 1912)
μ
ρ Dv
Experimento de Reynolds
O parâmetro que mede a razão entre as forças de
inércia e forças viscosas recebe o nome do
cientista que inicialmente estudou o escoamento
dos fluidos viscosos:
Número de Reynolds, Re
Definido como:
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Escoamento viscoso incompressível
μ
ρ DvRe
Escoamento interno
O transporte de fluidos normalmente é conduzido
em condutos fechados. Como os escoamentos
internos e externos apresentam características
diferentes, é conveniente estudá-los
separadamente.
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Escoamento viscoso incompressível
Escoamento interno
Os escoamentos internos são confinados por
superfícies sólidas, como: dutos, bocais, difusores,
contrações,
expansões,
válvulas e
acessórios.
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Escoamento viscoso incompressível
Escoamento em tubos
Algumas regras básicas devem ser estabelecidas antes
de iniciarmos o estudo dos escoamentos internos:
O duto está totalmente preenchido com fluido;
O principal mecanismo que promove o escoamento do
fluido é o gradiente de pressão;
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Escoamento viscoso incompressível
água sob
pressão
arpatm
Escoamento em tubos
Condutos forçados: nestes a pressão interna é diferente
da pressão atmosférica. Nesse tipo de conduto, as
seções transversais são sempre fechadas e o fluido
circulante as enche completamente.
Condutos livres: nestes, o líquido escoante apresenta
superfície livre, na qual atua a pressão atmosférica.
A seção não necessariamente apresenta perímetro
fechado e quando isto ocorre, para satisfazer a
condição de superfície livre, a seção transversal
funciona parcialmente cheia. 11
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento em tubos
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Escoamento viscoso incompressível
Perfil de velocidade no escoamento em tubos
O perfil de velocidade do escoamento em um tubo
depende das características do escoamento
(laminar ou turbulento) e do comprimento de
entrada.
A sequência laminar-transição-turbulenta ocorre em
todos os escoamentos, desde que o comprimento
de entrada seja suficientemente longo.
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Escoamento viscoso incompressível
Escoamento em tubos
Com relação ao comprimento de entrada (Le), o
número adimensional Le/D correlaciona –se com
Re. Os valores típicos dos comprimentos de
entrada são dados por:
Para escoamento laminar: Le/D = 0,06 Re
Para escoamento turbulento Le/D = 4,4 (Re)1/6
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Escoamento viscoso incompressível
Escoamento em tubos
Para Re muito baixos (Re = 10), o comprimento de
entrada pode ser curto: Le = 0,6 D
Para Re próximos do limite crítico do escoamento
laminar (Re = 2000), o comprimento de entrada
pode ser grande: Le = 120 D
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Escoamento viscoso incompressível
Escoamento laminar plenamente desenvolvido
Há 3 alternativas clássicas para estudar o
escoamento laminar plenamente desenvolvido:
A partir das equações de Navier Stokes;
(Computacional)
A partir da análise dimensional;
A partir da Segunda Lei de Newton (Analítica)
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Escoamento viscoso incompressível
Escoamento laminar plenamente desenvolvido
A partir da análise dimensional;
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Escoamento viscoso incompressível
DvDD
Lf
v
P
ρ
μ
ρ
,,2
Estudo a partir da 2ª Lei - Escoamento em tubos
Vamos deduzir as equação do perfil de velocidade e
das tensões
Para a geometria do interior de um tubo, pode-se tomar
um volume de controle de um espaço anular, como da
figura, cujo comprimento é dx e espessura dr.
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Escoamento viscoso incompressível
Escoamento laminar plenamente desenvolvido
O perfil de velocidade não é uniforme.
Há uma deformação do elemento fluido nas
superfícies frontal e traseira do cilindro.
Mas há uma simetria em relação ao eixo.
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Escoamento viscoso incompressível
r
o
dr
rr
d
r
r
o
• Simetria em relação ao eixo;
• Volume de controle: anel circular com comprimento dx e
espessura dr.
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento viscoso incompressível
Aplicando-se a equação da quantidade de movimento em
relação à componente x, quando aplicada ao volume de
controle diferencial tem-se:
Somando-se as forças normais (de pressão) que
atuam sobre o volume de controle na direção x, que
atuam nas extremidades esquerda e direita do volume
de controle e as forças tangenciais (de cisalhamento)
atuam nas superfícies cilíndricas interna e externa,
temos:
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento viscoso incompressível
Para uma pressão (P ) no centro de volume de
controle anular as forças de pressão na extremidades
esquerda e direita serão, respectivamente:
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento viscoso incompressível
Para uma tensão de cisalhamento ( ) no centro do
volume de controle do anel a força de cisalhamento
nas superfícies interna e externa do cilindro serão,
respectivamente:
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento viscoso incompressível
A soma das componentes x das forças que atuam sobre o
volume de controle deve ser igual a zero. Sendo assim,
temos:
=0
Dividindo-se a equação por , e resolvendo para
, temos:
Escoamento viscoso incompressível
Como é uma função apenas de r, a equação vale
para os valores de r e x apenas se cada um dos valores
dos seus membros for constante. A equação pode ser
reescrita como:
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento viscoso incompressível
Integrando esta equação, obtemos:
Escoamento viscoso incompressível
Como:
Então:
Escoamento viscoso incompressível
Separando-se as variáveis, integrando-se e resolvendo a
equação para encontrar a velocidade, tem-se:
Escoamento viscoso incompressível
Separando-se as variáveis, integrando-se e resolvendo a
equação para encontrar a velocidade, tem-se:
Escoamento viscoso incompressível
Avaliação das condições de contorno para determinação
das constantes C1 e C2:
CC1: R = 0 (No centro do tubo) Vmáxima (Cte)
O termo ln r torna-se infinito, uma situação que é
fisicamente impossível, donde se conclui que C1 deve ser
nulo. Neste caso, tem-se:
Escoamento viscoso incompressível
CC2:
r = R (Na parede do tubo) V = 0
Escoamento viscoso incompressível
Colocando-se (-R2) em evidência, obtém-se uma equação
equivalente
Escoamento laminar em um tubos
Uma vez obtido o perfil de velocidade, podemos
obter várias características do escoamento, tais
como: Vazão, velocidade média, tensão de
cisalhamento e a queda de pressão .
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Escoamento viscoso incompressível
Vazão volumétrica
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Escoamento viscoso incompressível
Equação de Hagen-Poiseuille
No escoamento de pressão completamente desenvolvido o
gradiente de pressão (P1 - P2) é constante.
Sendo assim, tem-se:
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Escoamento viscoso incompressível
Velocidade média
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Escoamento viscoso incompressível
Ponto de velocidade máxima
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Escoamento viscoso incompressível
No ponto de velocidade máxima, no centro do tubo,
tem-se r = 0 :
Ponto de velocidade máxima
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Escoamento viscoso incompressível
Tensão de cisalhamento
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Escoamento viscoso incompressível
Tensão de cisalhamento
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Escoamento viscoso incompressível
Tensão de cisalhamento
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Escoamento viscoso incompressível
Tensão de cisalhamento
Como se verificou, a tensão de cisalhamento varia
linearmente com o gradiente de pressão axial.
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga
A perda de carga em um trecho da tubulação
representa a conversão irreversível de energia
mecânica em energia térmica indesejada através
da transferência de calor.
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Escoamento viscoso incompressível
WsQ mVPgzv
umVPgzv
u )()( 1112
12222
2
21
22
lthuum
Q12
Perda de carga
A notação hlt deriva-se do fato de o balanço de energia
comumente ser expresso em unidades de energia por
peso do líquido que fluía, em detrimento da
representação de energia por unidade de massa como
na equação anterior. Desta forma, as dimensões eram
dadas em pés de líquido em escoamento:
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Escoamento viscoso incompressível
lthuum
Q12
Wszg
vPz
g
vPBh 2
2
222
12
211
γγ
Perda de carga
Num escoamento plenamente desenvolvido num tubo
de seção constante, as velocidades nos pontos
considerados são constantes, e assim a equação da
energia se reduz a:
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Escoamento viscoso incompressível
BhzzgPP
)( 2121
ρ
Perda de carga para escoamento laminar
E se o tubo for horizontal, a equação se torna ainda
mais simples:
Desta forma, a perda de carga distribuída em um tubo
horizontal, para um escoamento plenamente
desenvolvido pode ser expressa como a perda de
pressão.
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Escoamento viscoso incompressível
BhP
ρ
Perda de carga para escoamento laminar
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga para escoamento laminar
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga para escoamento turbulento
Para um escoamento turbulento não é possível avaliar
a queda de pressão analiticamente. Sendo assim,
recorre-se à análise dimensional. Como vimos:
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Escoamento viscoso incompressível
Re,,DD
Lf
v
P
2ρ
Re,,DD
Lf
v
lh
2
Perda de carga para escoamento turbulento
Embora a análise dimensional preveja a relação, é
necessário fazer experimentos para obtenção de
valores reais. Uma vez que a função ainda é
indeterminada, é permitido introduzir o número ½ no
denominador do primeiro termo, de modo a tornar a
perda de carga em termos de energia cinética, por
unidade de massa. Assim, tem-se:
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Escoamento viscoso incompressível
Re,,DD
Lf
v
lh
22
1
Perda de carga para escoamento turbulento
A função desconhecida é definida como fator de atrito, “f” e
é determinada experimentalmente:
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Escoamento viscoso incompressível
Re,D
f
2
2v
D
Lflh
Perda de carga para escoamento turbulento
Os resultados publicados por Moody (1944), através de
gráfico, relacionam o fator de atrito, com a rugosidade e
NRe.
A rugosidade relativa também é obtida através de trabalhos
publicados em tabelas ou gráficos.
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Escoamento viscoso incompressível
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga para escoamento turbulento
Interpretação do Diagrama de Moody
Nre f Regime de Escoamento
aumenta diminui Laminar
aumenta aumenta Transição
aumenta diminui Turbulento (Tubo liso)
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga para escoamento turbulento
1. Avaliar o NRe.
2. Obter a rugosidade relativa através de tabela ou gráfico.
3. Ler o fator de atrito no gráfico de Moody.
4. Determinar a perda de carga através da equação
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga para escoamento turbulento
Avaliar o Nre.
Em Nre muito grandes, a maioria dos elementos de
rugosidade na parede emerge através da sub-camada
viscosa. Neste caso a perda de pressão depende
somente dos elementos de rugosidade. Tal escoamento
é dito inteiramente rugoso.
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Escoamento viscoso incompressível
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Escoamento viscoso incompressível
Subcamada
viscosa
Escoamento rugoso
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento rugoso
Escoamento viscoso incompressível
Escoamento rugoso
Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material (mm) Rugosidade
absoluta equivalente
Aço comercial novo 0,045
Aço laminado novo 0,04 a 0,10
Aço soldado novo 0,05 a 0,10
Aço soldado limpo, usado 0,15 a 0,20
Aço soldado
moderadamente oxidado
0,4
Aço soldado revestido de
cimento centrifugado
0,10
Material (mm) Rugosidade
absoluta equivalente
Aço laminado revestido
de asfalto
0,05
Aço rebitado novo 1 a 3
Aço rebitado em uso 6
Aço galvanizado, com
costura
0,15 a 0,20
Aço galvanizado, sem
costura
0,06 a 0,15
Ferro forjado 0,05
Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material (mm) Rugosidade
absoluta equivalente
Ferro fundido novo 0,25 a 0,50
Ferro fundido com leve
oxidação
0,30
Ferro fundido velho 3 a 5
Ferro fundido centrifugado 0,05
Ferro fundido em uso com
cimento centrifugado
0,10
Ferro fundido com
revestimento asfáltico
0,12 a 0,20
Valores da rugosidade absoluta equivalente
Material (mm) Rugosidade
absoluta equivalente
Ferro fundido oxidado 1 a 1,5
Cimento amianto novo 0,025
Concreto centrifugado novo 0,16
Concreto armado liso, vários
anos de uso
0,20 a 0,30
Concreto com acabamento
normal
1 a 3
Concreto protendido
Freyssinet
0,04
Cobre, latão, aço revestido de
epoxi, PVC, plásticos em geral,
tubos extrudados
0,0015 a 0,010
Valores da rugosidade absoluta equivalente
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga distribuída (Normal)
TRATAMENTO COMPUTACIONAL
Para uma análise computacional é necessário dispor de
uma formulação matemática para o fator de atrito.
Sendo assim, são utilizadas correlações variadas, de
acordo com a configuração do sistema de tubos.
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Escoamento viscoso incompressível
Perda de carga distribuída (Normal)
TRATAMENTO COMPUTACIONAL
Blasius Re 105
Colebrook
70
Escoamento viscoso incompressível
250
31640
,Re
,f
50
512
732
1
50 ,Re,
,
,
/log
f
D
f
Perda de carga distribuída (Normal)
TRATAMENTO COMPUTACIONAL Darcy-Weisbach
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Escoamento viscoso incompressível
Referências
CARVALHO, Daniel Fonseca de. Fundamentos de Hidráulica. Cap. 7.
2009
FOX, Robert W.; McDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos
fluidos. Ed. LTC: Rio de Janeiro. 2009. 6ªed.
HANSEN, Arthur G. Mecánica de fluidos. Ed. Limusa: México.1974.
Parte IV. Cap. 10
LOUREIRO, Eduardo - Mecânica dos Fluidos
MOTT, Robert L. Applied Fluid Mechanics. Prentice Hall: New Jersey.
1994
MUNSON, Bruce R; YOUNG, Donald F.; OKIISHI, Theodore H.
Fundamentos da mecânica dos fluidos. Edgard blucher: São Paulo.
1997. Vol 1
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/aulasfei/22008/exp_Reynol
ds.htm