Post on 18-Apr-2015
Aula 07 – Limite e Continuidade
Idéia intuitiva e definição de limites.
A Definição de Limite
Para chegarmos a definição precisa de limite consideremos inicialmente a função
Intuitivamente, se está próximo de 3, mas , então está próximo de 5, ou seja,
2 1, se 3( )
6 , se 3
x xf x
x
x3x ( )f x
3lim ( ) 5.xf x
A Definição de Limite
Quão próximo de 3 deverá estar para que esteja próximo de 5?
Ou, a que distância deverá estar de 3, para que a distância entre e 5 seja cada vez menor?
x ( )f x
x( )f x
A Definição de Limite
Ou ainda, dada uma distância (qualquer) de a 5, podemos encontrar a que distância deve estar de 3?
A distância de a 3 é representada matematicamente por , da mesma forma que a distância de a 5 é representada por
x
( )f x3x
( ) 5 .f x
( )f x
x
A Definição de Limite
Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal que se então
L
limx a
f x L
0 0 .f x L 0 x a
f
( )f x,a a
x a
A Definição de Limite
A Definição de Limite
2 1, se 3( )
6 , se 3
x xf x
x
3lim ( ) 5xf x
Exemplo
Demonstre que 3
lim(4 5) 7.x
x
Limites Laterais
Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à esquerda de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela esquerda é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal que se então
L
limx a
f x L
0 0 .f x L a x a
f
( )f xa
x a
Limites Laterais
Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à direita de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela direita é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal que se então
L
limx a
f x L
0 0 .f x L a x a
f
( )f xa
x a
Teorema
existe e será igual a se e somente se e existirem e forem iguais a .
limx a
f x
L
L
limx a
f x
limx a
f x
Exemplos
1
2
Limites Infinitos
Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal que se então
limx a
f x
0M 0 ( ) .f x M0 x a
f
( )f x,a a
x a
Limites Infinitos
Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos
se, para todo , existir , tal que se então
limx a
f x
0M 0 ( ) .f x M 0 x a
f
( )f x,a a
x a
Exemplos
Determine:
0
1) limx
ax
0
1) limx
bx
Função Contínua no Ponto
Diremos que a aplicação é
contínua no ponto , se
:f
p
i f p
limx p
iii f x f p
limx p
ii f x
fy
x
L
px
f x
lim écontínua emx p
f x L f p f p
Função Contínua no Ponto
fy
x
L
px
f x
f p
lim nãoécontínua emx p
f x L f p f p
Função Descontínua no Ponto
fy
x
L
px
f x
limnãoécontínua em
Nãoexiste
x pf x L
f pf p
Função Descontínua no Ponto
f
y
x
L
px
f x
f p
Nãoexiste lim nãoécontínua emx p
f x f p
f x
p Função Descontínua no Ponto
Função Contínua
A aplicação é contínua, se a
mesma for contínua em todos os pontos
do seu domínio.
:f
Exemplos de Funções Contínuas
4
1) lim 3 4 3 1 4x
x f
2 2
12) lim 3 1 3 4 1
xx f
3 2 3 2
13) lim 3 1 1 3 1 1 3 3 1
xx x f
4 2 4 2
04) lim 3 0 0 3 3 0
xx x f
Exemplos de Funções Contínuas
5) limsen senx p
x p
6) limcos cosx p
x p
7) lim ,com e 0 1x p
x pa a a a
8) limln ln ,com e 0 1x p
x p p p
Outros Exemplos de Limites
1) lim tg tg , e2x p
x p p k k
2) limcotg cot g , ex p
x p p k k
4) limsec sec , e2x p
x p p k k
3) limcossec cossec , ex p
x p p k k
Exemplo
Determine os pontos de descontinuidade da função cujo gráfico é mostrado a seguir, justificando.
Exemplo
Determine o valor de L para que a função
abaixo seja contínua no ponto p=0.
2
cos se 0( ) se 0
1 se 0
x xf x L x
x x
Seja uma aplicação definida por
, cujo o esboço do gráfico é
dado a seguir:
Limite Fundamental da Trigonometria
:f
senxf x
x
2 323
1y
x
Limite Fundamental da Trigonometria
2 323
1y
x
0x 0 x
f x
0
senlim 1x
x
x
Exemplo
Calcule 0
sen3limx
x
x
0
sen3limx
x
x 0
sen3lim3
3x
x
x
u
0
senlim3u
u
u
1
3
0 0x u
Exemplo
Calcule sen
limx
x
x
senlimx
x
x u
x u x u 0x u
0
sen( )limu
u
u
sen( ) sen cos sen cosu u u 1 0
0
senlimu
u
u
1
senu
Limite fundamental
(1 1/ )xxx
1
10
100
1.000
10.000
2
2,5937
2,7048
2,71812,7182
e
1lim 1
x
xe
x
Exemplo
Mostre que
De modo análogo obtemos
1
0lim(1 )hh
h e
1 1x h
h x
1lim 1
x
x x
0h x 1
0lim (1 )hh
h
1lim 1
x
x x
e
1
0lim (1 )hh
h e
1
0lim(1 )hh
h e
Exemplo
Mostre que 0
1lim 1
h
h
e
h
1 ln( 1)hu e h u 1
ln( 1)
he u
h u
1
1ln( 1)uu
1
1
ln( 1)uu
0 0h u
10 0
1 1lim lim
ln( 1)
h
h hu
e
hu
1
ln e 1
Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então:
limx p
f x
limx pg x
,
1) lim lim limx p x p x p
f x g x f x g x
2) lim limx p x p
f x f x
Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então:
limx p
f x
limx pg x
,
3) lim lim limx p x p x p
f x g x f x g x
lim4) lim , desde que lim 0
limx p
x p x px p
f xf xg x
g x g x
Teorema: Limite de Função Composta
Sejam e duas
funções tais que . Se e
é contínua em , então
:f A :g B
Im f B limx p
f x L
g L
lim limx p x pg f x g f x g L
Se existe, então:
Corolário: Limite de Função Composta
) lim lim , sendon nx p x p
ii f x f x n
) lim lim , sendon
n
x p x pi f x f x n
limx p
f x
Se é par,supomos lim 0.x p
n f x
Se existe, então:
Corolário: Limite de Função Composta
) limln ln lim ,sendolim 0x p x p x p
iv f x f x f x
lim
) lim x pf xf x
x piii a a
limx p
f x
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
6
2) lim 3 4x
i x
Solução:
66
2 2lim 3 4 lim 3 4x x
x x
63.2 4 62
64
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
62
1) lim 3 4 2x
ii x x
Solução:
662 2
1 1lim 3 4 2 lim 3 4 2x x
x x x x
623.1 4.1 2 61 1
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
) lim sen 2x
iii x x
Solução:
lim sen 2 lim sen 2x x
x x x x
2sen
0
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:2 4
2
2) lim3
x
x
xiv
Solução:
22
2
44 lim2 ?2
2lim3 3 3
x
xxxx
x
Calculando . 2
2
4lim
2x
x
x
Atividade
Calculando temos: 2
2
4lim
2x
x
x
2
2 2 2
2 24lim lim lim 2 4
2 2x x x
x xxx
x x
Logo
22
2
44 lim2 42
2lim3 3 3 81
x
xxxx
x