Post on 02-Dec-2015
ATPS – MATEMÁTICA II
Etapas 1 e 2
Autores
NOME: ALENCAR APARECIDO LUNARDELLO - RA 2121206611 CURSO: Eng. Mecânica
NOME: BRUNO RODRIGUES DE OLIVEIRA RA - RA 2121198870 CURSO: Eng. Mecânica
NOME: CARLOS FABIANO SILVÉRIO - RA 2121210293 CURSO: Eng. Elétrica
NOME: CLAUDINEI CANDIDO DOS SANTOS - RA 2149212413 CURSO: Eng. Elétrica
NOME: GIULIANO CHRISTIAN OLIVEIRA - RA 3242563523 CURSO: Eng. Elétrica
NOME: DIEGO HENRIQUE DE SOUZA - RA 2140227583 CURSO: Eng. Produção
DISCIPLINA: Matemática II DATA: 26/09/2011
PROFESSORA: MARCOS
Ribeirão Preto, 26 de setembro de 2011.
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Índice
Índice...........................................................................................................................................2
ETAPA 1.....................................................................................................................................3
PASSOS......................................................................................................................................3
Passo 1....................................................................................................................................3
Passo 2....................................................................................................................................6
Passo 3....................................................................................................................................9
Passo 4..................................................................................................................................10
ETAPA 2...................................................................................................................................11
PASSOS....................................................................................................................................11
Passo 1..................................................................................................................................11
Passo 2..................................................................................................................................14
Passo 3..................................................................................................................................14
Passo 4..................................................................................................................................16
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ETAPA 1
Aula-tema: Integral Indefinida.
Esta etapa é importante para que o aluno compreenda o conceito de integral como função
inversa à derivada.
Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.
PASSOS
Passo 1
Determine o conceito de primitiva de uma função e apresente dois exemplos.
No estudo da derivada primitiva, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra,
a que chamamos de derivada. Nesta seção, faremos o caminho inverso, isto é, dada a
derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original, que chamaremos de primitiva.
Você deve observar, que é importante conhecer bem as regras de derivação e as derivadas de
várias funções, estudadas na Unidade 5, para determinar as primitivas. O que acabamos de
mencionar, nos motiva a seguinte definição:
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I, se para todo
, tem-se .
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1 A função é uma primitiva da função , pois
Exemplo 2 As funções , também são primitivas da função
, pois
4
Exemplo 3 A função é uma primitiva da função , pois
.
Exemplo 4 A função é uma primitiva da função , pois
Exemplo 6 Encontrar uma primitiva F(x), da função , para todo
, que satisfaça a seguinte condição .
Resolução: Pela definição de função primitiva temos para todo ,
assim, F(x) será uma função cuja derivada será a função f (x) dada.
Logo, , pois
, ou seja,
.
Como F(x) deve satisfazer a condição F(1) = 4, vamos calcular o valor da constante k,
fazendo x = 1 na função F(x) , isto é,
e resolvendo temos .
5
Assim, .
Portanto, , é uma função primitiva e
, que satisfaz condição F(1) = 4 .
ou seja,
Como F(x) deve satisfazer a condição F(0) = 2, com isto vamos calcular o valor da constante
k fazendo x = 0 na função F(x) , isto é,
Assim,
Portanto,
é uma função primitiva de
que satisfaz a condição F(0) = 2.
No estudo da derivada primitiva, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra,
a que chamamos de derivada. A função primitiva é o processo inverso, isto é, dada a
derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original, que é denominada primitiva.
Exemplos:
1. A função F( ) = é uma primitiva da função f( ) = 4.
Pois derivando temos: d = = = 4.
2. A função F(x) = é uma primitiva da função e-3x.
6
Pois derivando temos: dx = = =
Passo 2
Determine a definição de Integral Indefinida como a contida no item 6.2 do livro-texto,
apresentando dois exemplos com suas respectivas verificações.
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito
também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias.
Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a
derivada.
Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada integral
indefinida da função f(x) e é denotada por , onde:
− é chamado sinal de integração;
f(x) − é a função integrando;
dx – a diferencial que serve para identificar a variável de integração;
C – é a constante de integração.
Lê-se: Integral indefinida de f(x) em relação a x ou simplesmente integral de f(x) em relação a
x. O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado
integração.
Observações: Da definição de integral indefinida temos as seguintes observações:
(i)
(ii) dx representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as
primitivas da função integrando.
(iii)
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Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir.
Exemplo 1
(i) Se então .
(ii) Se então .
(iii) Se então .
(iv) Se então .
(v) Se então .
(vi) Se então .
Observação Pelos exemplos acima, temos:
Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para
diferenciação.
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Propriedades da integral indefinida
Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então:
a)
b)
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a
própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é
conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro;
conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição
em um momento qualquer; conhecendo o índice de infração, deseja-se estimar os preços, e
assim por diante.
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou
integração indefinida.
Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F´ (x) = f (x) para qualquer x no
domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f.
Exemplos:
1) F(x) = é uma primitiva de f (x) =
2) F(x) = ln(x) + cos(x) – 7, x > 0, é uma primitiva de f(x) = – Sen (x), pois F´ (x) =
– Sen (x).
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Passo 3
Enuncie a regra de integração da função constante e a regra da função polinomial. Discuta
com seu grupo e escreva a condição do expoente da função polinomial ser diferente de -1.
Demonstre esta regra derivando. (item 6.2, pag. 224 livro-texto). Mostre as duas propriedades
fundamentais das integrais indefinidas – Teorema 6.1. (livro-texto)
Regra da Potencia
Uma antiderivada de uma função potencia é uma outra função potencia obtida do integrando
aumentando-se seu expoente de 1 e dividindo-se a expressão pelo expoente.
Observe:
Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas.
Solução:
Cada integrando é uma função potência com expoente n -1. Aplicando a regra da potência em
cada caso, obtemos o seguinte resultado:
Os resultados acima podem ser verificados diferenciando-se cada uma das antiderivadas
mostrando que os resultados são iguais aos correspondentes integrandos.
Propriedade1
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Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal de
integral.
Assim:
Exemplo
Propriedade 2
A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destes diferenciais.
Assim:
A integral da soma é igual à soma das integrais.
Exemplo:
Passo 4
Integrais imediatas são aquelas em que podemos diretamente utilizar as regras de integração.
O custo fixo de produção da empresa “Maravilhas para você” é R$ 8.000,00. O custo
marginal é dado pela função. C (x) = 0,03x²+0,12x+5. Determinar a função custo total,
usando integrais imediatas. Organize tudo o que foi feito nesta etapa e transcreva para o
caderno de estudo.
C (x) = (x) dx = 0,03 x² + 0,12 x + 5) dx
C (x) = x² dx + x dx + dx
C (x) = 0,03 dx + 0,12 dx + 5
C (x) = x³ + x² + 5x + K
Logo:
C (x) = 0,01 x³ + 0,06 x² +5 x + k.
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Quando a produção for nula, x = 0, o custo fixo será R$ 8.000,00, ou seja, 8.000 = 0,01(0)³ +
0,006 (0)² + 5(0) + k e k = 8.000.
Portanto, a função custo total é:
C (x) = 0,01 x³ + 0,06 x² +5 x + 8.000.
ETAPA 2
Aula-tema: Integral Definida
Esta etapa é importante para que o aluno compreenda que o conceito de integral definida não
só abrange a área sob a curva y = ƒ (x) no intervalo a ≤ x ≤ b dada por como
há outras aplicações.
Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.
PASSOS
Passo 1
Leia o capítulo 5.2 do livro-texto, discuta com seu grupo e expliquem o significado da
Integral definida como Área.
Conceito de área
Já sabemos que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana
qualquer. Por isso, motivaremos o entendimento do cálculo de área usando o método do
retângulo, de uma região R compreendida entre o gráfico de uma função f(x) com valores
positivos, o eixo x , em um intervalo fechado [a,b] , conforme figura abaixo
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Talvez o primeiro contato que você tenha com o conceito de área, seja através da fórmula A =
b × h , que dá a área A de um retângulo como o produto da base b pela altura h . Logo a
seguir, você tem a área de um triângulo que é igual à metade do produto da base pela altura.
Isto decorre do fato de que qualquer triângulo pode ser decomposto em dois triângulos
retângulos, e todo triângulo equivale exatamente a meio retângulo, conforme figura abaixo.
Dada a fórmula para a área de um triângulo, pode-se, encontrar a área de
qualquer polígono (um subconjunto do plano delimitado por uma “curva” fechada,
consistindo em um número finito de segmentos retilíneos).
Os problemas para o cálculo de área, não apresentam grande dificuldade se a figura plana for
um retângulo, um paralelogramo ou um triângulo. A área de uma figura plana qualquer pode
ser calculada aproximando a figura por polígonos, cujas áreas podem ser calculadas pelos
métodos da geometria elementar. Isto nos motiva a considerar, agora, o problema de calcular
a área de uma região R do plano, limitada por duas retas verticais x = a e x = b, pelo eixo x e
pelo gráfico de uma função f(x), limitada e não negativa no intervalo fechado [a,b] , conforme
figura a seguir:
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Para isso, vamos fazer uma partição P do intervalo [a,b] , isto é, vamos dividir o intervalo
[a,b] em n subintervalos, por meio dos pontos
escolhidos arbitrariamente, da seguinte maneira
veja a figura abaixo
Logo, a área de cada retângulo será
altura do primeiro retângulo;
altura do segundo retângulo; ... ;
altura do i-ésimo retângulo; ...;
altura do n-ésimo retângulo.
Você já deve ter percebido que, aumentando o número de retângulos, pode-se obter uma melhor aproximação para a área A da região R. Assim a soma das áreas dos n retângulos,
denotada por , será:
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Essa soma é chamada Soma de Riemann da função f relativa à partição P . Quando n cresce, é
“razoável” esperar que a soma das áreas dos retângulos aproxime da área A sob a curva. Deste
modo, definimos a medida da área A da região R, como sendo
se esse limite existir. E então se diz que a região R é mensurável.
Passo 2
Resolva a seguinte integral mostrando cada passo.
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Passo 3
No deslocamento vertical de uma partícula, pode-se considerar o eixo dos y para a posição
considerada. O efeito da gravidade na partícula é diminuir, tanto a altura como a velocidade.
Desprezando a resistência do ar, a aceleração é constante a
, em que 2 é a aceleração gravitacional na superfície da Terra.
medido em metros.
Resolva o que se pede:
1) Encontre as funções de velocidade e espaço.
2) Se uma bola é jogada diretamente para cima a partir do chão com velocidade inicial de
96m/seg., determine seu deslocamento.
Resposta 1:
A Função da Velocidade para o deslocamento vertical:
Portanto a equação primitiva da velocidade é:
Função do Espaço:
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Portanto a equação primitiva do espaço é:
Resposta 2:
Sabendo que e que obtemos a seguinte equação:
Aplicando os valores conhecidos como , e temos:
Para determinarmos o tempo podemos resolver pela fórmula de Bhaskara, o resultado obtido
para
Portanto aplicando o tempo obteremos o deslocamento:
O deslocamento foi de .
Passo 4
Pela 2ª Lei de Newton sabemos que F= m.a. Se a aceleração é constante, a força também é. O
trabalho τ realizado por uma partícula, deslocando-se sobre uma reta percorrendo uma
distância d é dado pelo produto da força pela distância. τ= F x d, com τ medido em Joule. Se
uma força variável y = f(x), sendo f(x) contínua, atua sobre um corpo situado no ponto x do
eixo dos x, o trabalho realizado por esta força quando se desloca de a até b ao longo deste
eixo é dado por τ= . Uma partícula é localizada a uma distância de x cm da origem.
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Uma força de (x⁴+2x³+3x²) N age sobre a partícula quando a mesma se move de x = 1 até x =
2. Determine qual é o trabalho realizado pela partícula para deslocar-se? Organize tudo o que
foi feito nesta etapa e transcreva para o caderno de estudo.
Resposta:
dx
= dx + dx + dx
= + 3 + C
= + + C
= + + C
=
= + 10
= + 10 + C C
= + 10 = = =14,7